Jeanne prépare une suite d'invitations pour une réception fictive de la maison. Chaque carte portera une marque rouge ou bleue. Le choix du lendemain est tiré selon une règle qui dépend de la dernière marque obtenue. Avant d'imprimer la carte suivante, Jeanne doit donc distinguer la couleur qu'elle connaît, les issues encore possibles et la décision de préparation qu'elle remet à Camille. Une fréquence prévue pour plusieurs cartes ne lui révèle pas l'histoire particulière qui sera tirée.
Les invitations, les tirages et les pertes en points sont entièrement inventés. Aucun procédé postal, commercial ou d'impression n'est décrit. Les fractions sont les règles explicites de notre exercice, pas des mesures d'enveloppes vendues ni des observations de visiteurs. Chaque tirage est indépendant des tirages plus anciens une fois connue la couleur immédiatement précédente ; c'est une hypothèse du récit, et non une propriété présumée d'un objet réel.
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Ces pages attestent seulement la catégorie des enveloppes et du courrier. Couleurs, tirages, pertes et décisions sont créés ; aucun procédé réel n'est transféré.
Quatre histoires pour une même question à deux étapes
La première carte, notée étape zéro, est rouge et effectivement connue de Jeanne. Après une rouge, la règle donne trois chances sur quatre de produire une nouvelle rouge et une chance sur quatre de produire une bleue. Après une bleue, elle donne une chance sur deux pour chacune des deux couleurs. À chaque étape, les deux chances sortantes totalisent un. Jeanne inscrit les règles à côté des couleurs de départ, car intervertir les deux lignes changerait immédiatement la réponse.
Pour la première carte nouvelle, Jeanne peut annoncer rouge avec probabilité trois quarts et bleu avec probabilité un quart. Elle ne dit pas que trois cartes rouges et une bleue seront effectivement fabriquées. Les quatre quarts sont une répartition des issues du tirage à venir ; la scène ne réalise qu'une issue. Camille souhaite déjà remplir la ligne de la seconde carte avec les mêmes trois quarts. Jeanne arrête son stylo : cette ligne ne peut être appliquée telle quelle que si la première carte nouvelle est rouge.
Jeanne déplie les deux tirages possibles en quatre histoires complètes. Rouge puis rouge porte neuf seizièmes : trois quarts suivis de trois quarts. Rouge puis bleu porte trois seizièmes. Bleu puis rouge porte un huitième, car le premier bleu avait un quart de chance et le retour rouge une moitié. Bleu puis bleu porte également un huitième. Les quatre poids additionnés font seize seizièmes. Elle peut ainsi vérifier la seconde étape sans faire semblant de connaître déjà sa première couleur.
La demande de Camille est « quelle couleur aura la seconde carte nouvelle ? ». Deux histoires terminent en rouge : rouge-rouge et bleu-rouge. Jeanne additionne neuf seizièmes et deux seizièmes, soit onze seizièmes. Les histoires qui terminent en bleu pèsent trois seizièmes et deux seizièmes, soit cinq seizièmes. Elle remet onze seizièmes comme prévision du rouge à l'étape deux. Elle garde séparée la chance neuf seizièmes de n'avoir jamais quitté le rouge, qui répondrait à une autre demande.
Dans la scène réalisée, la première carte nouvelle sort bleue. Camille veut pourtant conserver onze seizièmes pour la suivante parce que ce nombre figurait sur la fiche établie avant le tirage. Jeanne remplace cette prévision inconditionnelle par la ligne réellement applicable : après une bleue observée, rouge et bleu ont chacun une moitié de chance. Si la seconde carte sort ensuite rouge, le chemin réalisé est rouge initial, puis bleu, puis rouge. Il n'était pas le chemin rouge-rouge, bien qu'il aboutisse à la même couleur finale.
L'événement arrivé n'est pas le premier passage par le bleu
Une autre consigne demande si une bleue est apparue au moins une fois pendant les deux cartes nouvelles. La seule histoire qui évite entièrement le bleu est rouge-rouge, de poids neuf seizièmes. La réponse est donc sept seizièmes. Jeanne peut aussi la reconstruire directement : bleu dès la première étape pèse quatre seizièmes ; rester rouge puis passer au bleu à la deuxième en pèse trois. Elle additionne ces événements incompatibles sans compter deux fois une histoire qui aurait deux bleues.
Camille lit « première bleue à la seconde carte » sur une étiquette et y inscrit sept seizièmes. Jeanne retire ce nombre : sept seizièmes incluait toutes les histoires où la première carte nouvelle était déjà bleue. Pour que la première bleue n'arrive qu'à l'étape deux, il faut une rouge à l'étape un puis une bleue à l'étape deux. Trois quarts multipliés par un quart donnent trois seizièmes. Jeanne remet cette étiquette corrigée avec l'ordre exigé par le mot « première ».
La répétition éventuelle de la règle ne change pas rétroactivement ce résultat à deux étapes. Si Jeanne attend la première bleue, avoir encore seulement des rouges après trois cartes nouvelles a pour poids trois quarts multiplié trois fois. La première bleue exactement à la quatrième aurait donc trois tirages rouges suivis d'un passage bleu, soit vingt-sept deux cent cinquante-sixièmes. Elle n'applique pas la ligne bleue avant cette première apparition : tant que l'attente se poursuit, la dernière couleur reste rouge.
L'attente moyenne jusqu'à cette première bleue vaut quatre étapes dans la règle donnée. Jeanne l'obtient en écrivant qu'une première tentative est toujours faite et que, dans les trois quarts des cas restant rouges, l'attente recommence sous la même condition : E égale un plus trois quarts de E, d'où E égale quatre. Elle refuse d'en faire une date garantie. Même après quatre cartes, l'histoire des quatre rouges possède un poids positif, quatre puissances de trois quarts. L'espérance et une échéance certaine ne sont pas le même engagement envers les invités.
Deux départs qui s'approchent sans devenir la même histoire
Camille pose une seconde feuille dont la carte initiale est bleue, tandis que les transitions restent exactement les mêmes. La première carte nouvelle est rouge avec probabilité une moitié. À l'étape deux, une rouge intermédiaire mène au rouge avec trois quarts, et une bleue intermédiaire avec une moitié. Une moitié de trois quarts plus une moitié d'une moitié donne trois huitièmes plus deux huitièmes, soit cinq huitièmes. Jeanne inscrit ce résultat sur la feuille bleue, et conserve onze seizièmes sur la feuille rouge.
Camille aimerait réunir les deux feuilles en disant que l'ancienne couleur n'a plus d'effet après deux tirages. Jeanne compare des dénominateurs communs : onze seizièmes contre dix seizièmes. La différence vaut un seizième, encore positive. À la première étape, trois quarts contre une moitié donnaient un quart d'écart. Un nouveau tirage a réduit cet écart d'un facteur quatre, mais ne l'a pas annulé. Elle garde donc les deux prévisions tant que l'information initiale demeure différente.
Pour une étape quelconque, Jeanne nomme p la chance que la carte courante soit rouge. Le prochain rouge vient d'une rouge avec poids trois quarts de p ou d'une bleue avec poids une moitié de un moins p. Elle écrit donc p suivant égale une moitié plus un quart de p. Cette ligne suit les deux provenances du rouge au lieu de multiplier p par trois quarts seulement. Appliquée à p égal un, elle donne trois quarts ; appliquée de nouveau, onze seizièmes. Elle sert à prolonger une feuille sans multiplier à chaque fois toutes les histoires.
Un nombre qui resterait identique après cette opération satisfait p égal une moitié plus un quart de p. En retirant un quart de p de chaque côté, Jeanne trouve trois quarts de p égal une moitié, donc p égal deux tiers. Elle ne prétend pas avoir tiré « deux tiers d'une carte ». Deux tiers est un niveau de prévision qui ne change plus lorsqu'on lui applique la même règle de transition. La scène garde à chaque étape une carte effectivement rouge ou bleue.
Depuis le départ rouge, l'écart à deux tiers est d'abord un tiers. La récurrence le divise par quatre à chaque nouveau tirage : p à l'étape n vaut deux tiers plus un tiers multiplié par un quart à la puissance n. Depuis le départ bleu, l'écart commence à moins deux tiers et se divise de la même façon. À l'étape trois, les deux feuilles portent respectivement quarante-trois soixante-quatrièmes et vingt et un trente-deuxièmes. Jeanne voit les nombres approcher deux tiers par des côtés différents, sans déclarer qu'ils y sont déjà égaux.
La différence entre les deux prévisions à l'étape n vaut un quart à la puissance n. Camille propose de l'effacer parce qu'elle deviendra petite. Jeanne accepte de dire qu'elle tend vers zéro dans la répétition indéfinie de cette règle, mais pas de réécrire les comptes finis. Si une invitation particulière sort bleue à l'étape trois, elle ne contredit pas non plus une prévision rouge proche de deux tiers. Le rapprochement concerne des répartitions de possibilités, pas la convergence certaine de chaque histoire vers une couleur fixe.
Une observation remet le calcul à son point réel
Avant d'ouvrir la première carte nouvelle, Jeanne avait inscrit onze seizièmes pour le rouge de la seconde. Elle prépare maintenant deux fiches conditionnelles distinctes. Si la première carte nouvelle est rouge, la prochaine chance de rouge est trois quarts. Si elle est bleue, cette chance est une moitié. Elle conserve les deux fiches avant l'ouverture, puis remet à Camille seulement celle qui correspond à la couleur observée. La préparation n'a pas changé les fractions ; l'observation a sélectionné la ligne pertinente.
Camille vérifie que cette sélection n'a pas fait disparaître l'ancien onze seizièmes. Avant l'ouverture, l'observation rouge a trois quarts de chance et conduirait à trois quarts pour le prochain rouge ; l'observation bleue a un quart de chance et conduirait à une moitié. Trois quarts de trois quarts plus un quart d'une moitié donnent neuf seizièmes plus deux seizièmes, soit onze seizièmes. La prévision initiale était bien la moyenne des deux fiches possibles, pas une fiche à conserver après l'une des observations.
Dans une branche, la première nouvelle carte est rouge. Jeanne remet trois quarts pour la suivante. Dans l'autre, elle est bleue et Jeanne remet une moitié. Ces deux histoires ne peuvent être fusionnées en une carte fictive « rouge aux onze seizièmes » que quelqu'un aurait physiquement vue. Une probabilité n'est pas une couleur partielle. Les décisions d'impression qui suivront sont prises dans une branche déterminée ou avant l'observation, et Jeanne indique toujours laquelle elle utilise.
La feuille bleue initiale fournit le même avertissement sous un autre angle. Si sa première nouvelle carte sort rouge, la suivante reçoit trois quarts pour le rouge, exactement comme après une rouge issue de l'autre feuille. Si elle sort bleue, la suivante reçoit une moitié. La règle de notre jeu oublie les cartes plus anciennes une fois la couleur courante connue. Elle n'efface pas la première couleur des calculs précédents ; elle dit précisément à quel moment cette information cesse d'être nécessaire pour la prochaine transition.
Préparer une couleur n'est pas prédire la plus fréquente à tout prix
L'hôte demande à Jeanne de préparer à l'avance un modèle d'invitation rouge ou bleu pour la seconde carte nouvelle, avant de connaître la première. Un modèle inadapté entraîne des points fictifs sur son relevé. Préparer rouge alors que la carte tirée est bleue coûte trois points ; préparer bleu alors qu'elle est rouge coûte un point. Un modèle qui correspond à la couleur tirée ne coûte rien. Ce menu de pertes est stipulé pour la scène, sans prix réel ni technique d'impression.
Sur la feuille qui commence rouge, le prochain rouge à l'étape deux pèse onze seizièmes et le bleu cinq seizièmes. Rouge est donc la couleur la plus probable. Mais préparer le modèle rouge expose Jeanne à trois points dans les cinq seizièmes de cas bleus, soit quinze seizièmes de point en moyenne. Préparer bleu expose à un point dans les onze seizièmes de cas rouges, soit onze seizièmes. Jeanne remet le modèle bleu. Elle n'annonce pas que le bleu deviendra majoritaire ; elle choisit le moindre coût attendu sous la perte qu'on lui a réellement donnée.
Camille voudrait corriger le relevé en ne comparant que onze et cinq : « onze est plus grand, donc rouge gagne ». Jeanne lui montre les deux colonnes de perte. Onze désigne ici les cas où le modèle bleu coûterait un point, tandis que cinq désigne ceux où le modèle rouge en coûterait trois. La comparaison pertinente porte sur onze contre quinze, après multiplication par les pertes. Elle écarte le modèle rouge et inscrit la raison de cette exclusion, de sorte qu'un lecteur ne puisse pas attribuer son choix du bleu à une prévision inversée.
Jeanne peut retrouver la frontière de décision sans recalculer chaque histoire. Si p est la chance du rouge, préparer rouge coûte en moyenne trois fois un moins p ; préparer bleu coûte p. Les deux préparations sont égales lorsque trois moins trois p égale p, donc lorsque p vaut trois quarts. Au-dessous de trois quarts, elle préfère le bleu ; au-dessus, le rouge. À égalité, elle a annoncé qu'elle prendrait rouge pour remplir la fiche sans ambiguïté. Cette règle dérive des pertes stipulées, non d'une préférence universelle pour une couleur.
Si la première nouvelle carte a déjà été ouverte, le choix pour la seconde change. Après une rouge observée, p vaut trois quarts : les deux pertes moyennes valent chacune trois quarts, et la convention d'égalité donne le modèle rouge. Après une bleue observée, p vaut une moitié : le rouge coûte trois demis, le bleu une moitié ; Jeanne remet bleu. Camille reçoit donc deux décisions conditionnelles qui ne sont pas simplement la décision bleue prise avant d'observer. Le moment où la fiche est remplie change l'information disponible.
Dans la branche effectivement racontée, la première nouvelle carte est bleue. Jeanne avait préparé bleu avant l'ouverture pour la seconde sous le calcul initial. Elle maintient bleu après cette observation, mais avec une justification nouvelle : une moitié contre trois demis, et non onze seizièmes contre quinze seizièmes. La même action peut survivre à une information nouvelle sans que son ancien calcul devienne conditionnel. Elle date les deux fiches de leur moment logique, plutôt que de faire croire que le premier bleu était déjà connu quand elle a choisi le modèle initial.
Un avis de couleur n'est pas une couleur observée
Une variante distincte empêche Jeanne de regarder directement la première carte nouvelle. Camille lui remet seulement un avis « rouge » ou « bleu ». Le rédacteur de cet avis reproduit la vraie couleur avec une chance de quatre cinquièmes et se trompe avec une chance d'un cinquième, quelle que soit la couleur. Cette précision est donnée pour l'exercice ; personne n'a mesuré un lecteur ou un capteur réel. La première carte nouvelle reste rouge avec trois quarts de chance avant l'avis. Jeanne doit maintenant conditionner son choix sur un message, pas sur une couleur certaine.
Un avis « rouge » peut venir d'une vraie rouge bien rapportée, avec poids trois quarts fois quatre cinquièmes, soit trois cinquièmes. Il peut aussi venir d'une bleue mal rapportée, avec poids un quart fois un cinquième, soit un vingtième. L'avis rouge pèse donc treize vingtièmes au total. Parmi les seules histoires où cet avis est reçu, douze treizièmes avaient une vraie rouge et un treizième une vraie bleue. Jeanne ne remplace pas trois quarts par quatre cinquièmes : ces deux nombres décrivent des étapes différentes, couleur produite et exactitude du rapport.
Pour la seconde carte après cet avis rouge, Jeanne applique la transition à la couleur cachée. Une vraie rouge probable douze treizièmes mènerait au rouge avec trois quarts ; une vraie bleue probable un treizième y mènerait avec une moitié. La somme vaut neuf treizièmes plus un vingt-sixième, soit dix-neuf vingt-sixièmes. Ce nombre reste sous trois quarts. Sous les pertes fictives trois contre un, préparer rouge coûterait trois fois sept vingt-sixièmes, soit vingt et un vingt-sixièmes ; préparer bleu coûterait dix-neuf vingt-sixièmes. Elle choisit bleu, alors qu'une rouge directement observée aurait produit l'égalité et sa convention rouge.
Camille propose de traiter l'avis rouge comme une preuve suffisante pour remettre la fiche « rouge observée ». Jeanne refuse cette substitution, puis garde deux dossiers : observation directe et avis imparfait. Si l'avis était bleu, les histoires vraies seraient trois vingtièmes de rouge et quatre vingtièmes de bleu ; parmi les avis bleus, la vraie rouge pèserait trois septièmes. La seconde rouge aurait alors dix-sept vingt-huitièmes et le modèle bleu resterait préférable. Ces valeurs permettent de comprendre pourquoi aucun des deux mots reçus ne doit être confondu avec la carte elle-même. La règle de l'avis, absente des autres branches, explique la décision nouvelle.
L'avis peut informer sans améliorer cette décision
Jeanne doit maintenant décider si elle commande cet avis pour préparer le seul modèle de la seconde carte. Sans avis, elle remet bleu et sa perte moyenne vaut onze seizièmes. Avec avis, les deux messages conduisent encore à bleu : rouge laisse dix-neuf vingt-sixièmes de chance au rouge, bleu dix-sept vingt-huitièmes, tous deux sous la frontière de trois quarts. Le poids treize vingtièmes du message rouge multiplie dix-neuf vingt-sixièmes ; le poids sept vingtièmes du message bleu multiplie dix-sept vingt-huitièmes. Leur somme redonne onze seizièmes. L'avis distingue les histoires, mais n'améliore pas ce choix précis.
Cette égalité ne dépend pas seulement de l'exactitude quatre cinquièmes utilisée plus haut. Quel que soit un avis imparfait qui renseigne sur la première carte sans voir la seconde, la chance du rouge à la seconde est une moyenne de trois quarts après vraie rouge et d'une moitié après vraie bleue. Elle ne peut dépasser trois quarts. Tant que la même perte trois contre un et la même transition gouvernent la fiche, bleu reste donc au moins aussi bon après chaque message. Un rapport parfait sur une vraie rouge atteindrait exactement l'égalité ; la convention donnerait alors rouge, sans réduire la perte moyenne. Jeanne inscrit cette limite dans sa décision, plutôt que de vanter une précision supérieure sans effet sur le modèle remis.
Dans cette branche, Camille propose l'avis contre un seizième de point fictif prélevé pour sa préparation. Jeanne le refuse : sa perte attendue resterait onze seizièmes pour le modèle, puis monterait à douze seizièmes avec ce prélèvement. Elle ne déclare pas que l'avis est inutile à toute enquête ou à toute autre décision. Elle dit ce qu'elle refuse réellement ici : payer pour une information qui modifie ses croyances mais jamais le modèle optimal sous la règle et les pertes présentes. Si l'hôte changeait la question posée à l'avis, cette conclusion devrait être examinée de nouveau.
Changer une ligne peut renverser la préparation
L'hôte propose enfin une autre règle pour une série indépendante. Après rouge, il garde trois quarts pour rouge ; après bleu, il remplace la moitié par une certitude de rouge au tirage suivant. Jeanne ne modifie pas les deux premières fiches. Elles appartiennent à la règle initiale et à ses réalisations. Elle ouvre une nouvelle feuille et inscrit explicitement que seule la sortie de la ligne bleue a changé. Ce détail est décisif parce que certaines histoires de deux étapes passent par le bleu avant de revenir au rouge.
En partant de rouge sous cette nouvelle règle, la première carte nouvelle reste rouge avec trois quarts et bleue avec un quart. À la seconde étape, le chemin rouge-rouge pèse toujours neuf seizièmes. Le chemin bleu-rouge pèse maintenant un quart, car le retour depuis bleu est certain. La chance totale de rouge vaut neuf seizièmes plus quatre seizièmes, soit treize seizièmes. Elle dépasse la frontière de trois quarts de la fiche de pertes. Jeanne choisit cette fois le modèle rouge, au lieu du bleu choisi sous onze seizièmes.
Elle vérifie les pertes de cette nouvelle décision : avec treize seizièmes de rouge et trois seizièmes de bleu, préparer rouge coûte trois fois trois seizièmes, soit neuf seizièmes ; préparer bleu coûte treize seizièmes. Rouge gagne la comparaison. Camille ne peut pas réutiliser le bleu de la série précédente au motif que la carte initiale est encore rouge. La ligne changée agit sur le chemin qui passe d'abord par bleu ; sans le garder dans le calcul, on manquerait précisément la différence qui inverse la décision.
Sous la nouvelle ligne, le rouge prévu n'augmente pourtant pas à chaque étape. La formule devient p suivant égale trois quarts de p plus un fois un moins p, soit un moins un quart de p. En partant de un, Jeanne obtient trois quarts, puis treize seizièmes, puis cinquante et un soixante-quatrièmes. Les prévisions passent d'un côté puis de l'autre de leur niveau fixe quatre cinquièmes. Elle ne les raconte pas comme des cartes alternativement certaines : chacune reste une probabilité entre zéro et un.
Jeanne résout la nouvelle équation de stabilité : p égale un moins un quart de p donne cinq quarts de p égal un, donc quatre cinquièmes. L'écart à quatre cinquièmes est multiplié cette fois par moins un quart à chaque tirage. Le signe change, la taille diminue. Camille avait proposé que toute règle dont la prévision se rapproche d'un niveau doit y monter sans recul ; les trois premières valeurs réfutent cette formulation. Jeanne conserve les valeurs effectivement calculées avant d'employer le mot « rapprochement ».
Elle remet deux dossiers séparés. Le premier porte les transitions trois quarts et une moitié, le rouge onze seizièmes à l'étape deux, et le modèle bleu sous les pertes trois contre un. Le second porte trois quarts et un, le rouge treize seizièmes, et le modèle rouge. Aucun tirage réel n'a été attribué à une marque de papier citée en source. La décision finale identifie la couleur initiale, la règle active, le moment de l'observation et la perte comparée ; retirer l'un de ces éléments changerait la portée du choix remis.