Un tiroir peut sembler assez grand lorsque la somme des surfaces des objets est inférieure à celle de son fond. Pourtant, cette somme ne donne ni leur orientation ni leur place. Un rectangle peut occuper la zone dont un autre aurait besoin ; un coin exclu peut empêcher une pièce carrée de trouver sa position malgré beaucoup de surface restante. Pour examiner ces différences, nous suivons Clara dans des dessins entièrement créés, avec des choix remplis et des limites explicites.
Chaque objet est représenté par un rectangle indivisible, aligné sur les côtés du dessin. Les longueurs sont des unités abstraites, sans profondeur, épaisseur ou charge. Deux rectangles peuvent se toucher sur leur frontière, mais ne doivent pas partager une surface positive. La rotation d’un quart de tour n’est permise que lorsque le cas l’autorise. Aucun tiroir, objet ou rangement réel n’a été observé ou essayé. Les règles du dessin ne certifient ni manipulation, ni protection, ni conservation, ni aptitude d’un meuble commercial.
Dumas ouvre son récit à La Haye.
Quatrevingt-treize débute dans le bois de la Saudraie.
Hugo lie Ursus au loup Homo.
Donner une place, pas seulement une surface
Notre premier tiroir dessiné mesure dix de largeur et six de hauteur. Un objet a mesure six sur quatre ; b, quatre sur trois. Clara place a contre le bord gauche et b contre le bord droit, tous deux au bas du dessin. Les deux rectangles se touchent au repère six de la largeur et ne se recouvrent pas. Leurs surfaces réunies valent trente-six dans un fond de soixante. Ce relevé constitue une disposition choisie ; le seul nombre trente-six n’aurait pas donné ces deux positions.
Les coordonnées servent uniquement à retrouver la feuille de l’exercice. Nous mesurons la largeur depuis le bord gauche et la hauteur depuis le bas du dessin. Dire qu’un rectangle commence à deux et finit à six en largeur désigne une bande de quatre unités. La même convention est conservée dans les cas suivants. Nous n’en déduisons aucun sens physique d’ouverture du tiroir et ne transformons pas le bas du dessin en avant d’un meuble réel.
Modifier une orientation autorisée change les possibilités
Un autre dessin mesure huit sur six et doit recevoir deux rectangles de six sur quatre. Dans son premier état, chacun garde six en largeur et quatre en hauteur ; aucune rotation n’est autorisée. La surface totale des objets vaut quarante-huit, exactement celle du fond. Clara veut conserver les deux rectangles entiers, sans en superposer un à l’autre et sans les faire dépasser.
Dans cette orientation, une séparation côte à côte demanderait douze de largeur ; une séparation l’un au-dessus de l’autre demanderait huit de hauteur. Le fond n’offre que huit sur six. Les déplacer en diagonale dans la feuille, tout en les gardant alignés, ne fournit pas une troisième séparation si leurs bandes de largeur et de hauteur se recouvrent toutes deux. Clara ne dessine donc pas les deux rectangles comme déjà rangés sur la seule preuve de l’égalité des surfaces. Cette première incompatibilité porte sur les orientations maintenues et les limites communes du fond.
La personne qui prépare le dessin accepte ensuite la rotation d’un quart de tour des deux objets. Clara représente désormais chacun par quatre de largeur et six de hauteur. Elle choisit le premier entre les repères zéro et quatre de largeur, le second entre quatre et huit ; chacun utilise toute la hauteur de zéro à six. Les deux rectangles occupent le fond sans surface commune. Leur aire n’a pas changé. La rotation a changé les dimensions qui doivent se réunir dans une même direction, ce qui rend cette disposition possible après la modification expresse de la règle.
Clara retire donc la mention « mêmes orientations » de la fiche finale et indique que les deux ont tourné. Elle conserve les identités des objets : a n’est pas devenu deux petits objets, et b n’a pas rétréci. Le résultat choisi possède deux rectangles entiers avec des dimensions échangées entre largeur et hauteur. La feuille initiale, qui interdisait ce changement, demeure distincte. Clara peut expliquer le passage de l’une à l’autre sans prétendre que la première disposition aurait simplement été mal cherchée sous une autorisation pourtant inchangée.
Une rotation permise ne résout pas chaque format
Nous posons une branche indépendante avec les mêmes deux rectangles de six sur quatre, mais un fond de sept sur sept. Les rotations sont cette fois permises dès le début. L’aire des objets reste quarante-huit et celle du fond vaut quarante-neuf. Il existe donc une unité de surface de plus que le total des objets, sans que cela donne encore une disposition.
Si les deux restent six sur quatre, leurs largeurs réunies valent douze et leurs hauteurs huit. Si les deux deviennent quatre sur six, ces sommes deviennent huit et douze. Si un seul tourne, elles valent dix dans les deux directions. Aucune de ces possibilités ne donne une séparation dans le carré de sept. Clara vérifie ainsi les orientations que le cas lui permet, plutôt que conclure seulement depuis un dessin raté. Elle retire l’annonce « la rotation suffira » de cette branche : l’autorisation existe déjà, mais aucune des orientations autorisées ne remplit les deux limites avec les rectangles séparés.
Clara choisit pour cette demande un autre fond, huit sur six, et y prépare les deux rectangles tournés, côte à côte. Elle ne donne pas ce choix comme un agrandissement uniforme du carré précédent : la largeur augmente de sept à huit, la hauteur diminue de sept à six et l’aire totale diminue de quarante-neuf à quarante-huit. Le choix a pourtant rendu la disposition possible. La feuille finale indique donc les deux nouvelles dimensions et les orientations effectivement retenues, au lieu de résumer le changement par « plus grand ». Le projet a trouvé une autre forme compatible avec ses deux objets, sans leur attribuer une aire nouvelle.
Décrire un coin exclu de la place disponible
Un nouveau fond garde huit sur six, mais sa partie de droite entre les hauteurs trois et six est exclue. Elle mesure quatre sur trois. La place disponible forme donc un L : une bande de huit sur trois au bas du dessin et une bande de quatre sur trois dans son haut gauche. Son aire totale vaut trente-six. Nous posons cette exclusion comme une règle du dessin, sans décrire un obstacle matériel ou une opération réelle pour le retirer.
Clara veut y placer un carré de cinq sur cinq. Ce carré possède une aire de vingt-cinq, inférieure aux trente-six disponibles, et ses dimensions n’excèdent pas celles du fond extérieur. Il rencontre pourtant nécessairement le coin exclu. Sa largeur de cinq ne peut rester entièrement dans les quatre unités de gauche ; sa hauteur de cinq ne peut rester entièrement dans les trois unités du bas. Il déborde donc dans les deux bandes qui définissent le coin interdit et partage une surface positive avec celui-ci. Changer sa position ne résout pas cette incompatibilité dans le L donné.
Clara choisit pour ce carré la version du fond où les huit sur six sont entièrement disponibles. Elle le place entre zéro et cinq dans les deux directions. Cette position ne change ni le carré ni les dimensions extérieures du fond. Elle change la zone que le projet accepte d’utiliser. La fiche finale ne conserve donc pas le coin exclu à côté du carré choisi. Dans cette branche, ce choix de zone complète a été expressément accepté avant la position finale. Aucun obstacle réel n’est déclaré retiré ; la feuille distingue deux projets de place disponible et celui qui accueille effectivement le carré dans l’exercice.
Remplir la forme en L avec trois objets différents
Une autre demande conserve au contraire le L de trente-six unités carrées. Elle comporte a de quatre sur quatre, b de quatre sur trois et c de quatre sur deux. Clara n’envisage aucun échange d’objet et garde les orientations données. Leurs aires valent seize, douze et huit, soit exactement la place disponible. Elle doit néanmoins attribuer à chacun une partie précise du L.
Clara place a dans la bande gauche, entre zéro et quatre en largeur et zéro et quatre en hauteur. Elle place b dans le bas droit, entre quatre et huit en largeur et zéro et trois en hauteur. Enfin, c occupe le haut gauche, entre zéro et quatre en largeur et quatre et six en hauteur. Les trois rectangles ne partagent aucune surface positive et aucun n’entre dans le coin exclu. La disposition est complète : a et c remplissent la bande gauche sur ses six unités de hauteur ; b remplit les trois unités du bas droit. Le coin interdit demeure vide dans la version effectivement choisie.
Une première proposition centrait a entre deux et six de largeur, en gardant zéro à quatre de hauteur. Cette position respecterait bien les limites extérieures de huit sur six, mais sa partie comprise entre quatre et six de largeur et trois et quatre de hauteur appartient au coin exclu. Clara retire donc ce centrage. Elle ne déplace pas seulement les deux autres rectangles pour dégager la place, car l’intersection concerne a et la zone interdite elle-même. La correction remet a à gauche, puis conserve les places de b et c données dans la disposition complète. Elle change une position identifiable sans faire disparaître la restriction qui motivait le choix.
La rotation d’un objet peut permettre de placer les deux autres
Nous revenons à un fond complet de huit sur six, sans coin exclu. Les trois objets sont maintenant a de six sur quatre, b de quatre sur trois et c de quatre sur trois. Leurs aires totalisent quarante-huit, exactement celle du fond. Les rotations d’un quart de tour sont permises pour tous, et Clara veut conserver les trois objets entiers.
Si a reste six en largeur et quatre en hauteur, il laisse seulement deux unités de largeur à répartir entre ses côtés et deux unités de hauteur entre le bas et le haut. Chacun des deux autres rectangles a au moins trois dans chaque direction, qu’il tourne ou non. Aucun ne peut donc se séparer de a dans le sens de la largeur ou dans celui de la hauteur, quelle que soit la position de a. Clara retire cette orientation de la préparation des trois. Elle ne conclut pas seulement que sa position contre le bord gauche était mauvaise : le rectangle de six sur quatre occuperait trop de chacune des deux directions pour laisser un des autres entièrement hors de lui.
Clara tourne a en quatre sur six et le place sur toute la bande gauche. Elle garde b et c en quatre sur trois, sans les tourner : b dans le bas droit, c dans le haut droit. Les deux petites hauteurs de trois remplissent ensemble les six disponibles à droite. Cette disposition conserve les trois aires et les trois identités. La correction n’impose donc pas de tourner tous les objets parce qu’un seul a tourné. Elle indique une orientation différente pour a et celles maintenues pour b et c, avec les positions qui rendent le choix simultanément possible.
La nouvelle place de a a une conséquence pour les deux autres : elle laisse à droite un rectangle entier de quatre sur six, au lieu de fragments dispersés autour d’un rectangle horizontal. Clara peut maintenant y préparer b et c l’un au-dessus de l’autre. Elle ne décrit pas ces deux places comme une surface récupérée par réduction de a ; son aire reste vingt-quatre. La préparation a changé la forme de ce qui reste disponible. La feuille finale garde cette relation entre l’orientation choisie du premier objet et les deux positions réellement affectées ensuite.
Une position déjà fixée doit être discutée avant la préparation
Une branche indépendante reprend ces trois objets et ce fond complet, mais b possède une position à maintenir : entre deux et six en largeur, zéro et trois en hauteur. Cette demande est expressément acceptée au départ de la branche. Les rotations restent permises. Clara doit chercher les places des deux autres sans déplacer silencieusement le rectangle auquel cette position a été promise.
Le maintien de b empêche de placer a. À gauche comme à droite de b, il ne reste que deux de largeur. Au-dessus, il reste trois de hauteur ; en dessous, rien. Or a possède au moins quatre de largeur et quatre de hauteur dans ses deux orientations permises. Il ne peut se séparer de b dans aucune direction. Clara refuse donc de remettre la disposition précédente en affirmant qu’elle conserve cette position : celle-ci plaçait b dans le bas droit, entre quatre et huit. Le fond et les objets sont les mêmes, mais la demande de position a supprimé la possibilité utilisée par l’ancienne préparation.
La personne concernée accepte ensuite que b rejoigne le bas droit, entre quatre et huit, plutôt que demeure centré. Clara remplace la position dans la fiche, puis prépare a tourné dans la bande gauche et c dans le haut droit. Les trois objets retrouvent une place simultanée. Cette réponse nouvelle ne change pas la taille de b et n’ajoute aucune surface au fond. Elle permet d’utiliser la disposition jusque-là incompatible avec la position maintenue. Clara conserve donc l’accord sur le déplacement de b avec le choix final ; la feuille n’annonce plus que ce rectangle reste dans son ancienne bande alors qu’un autre y occupe désormais une partie.
Introduire un écart entre les rectangles
Dans un autre cas, deux rectangles de quatre sur six remplissent un fond de huit sur six en se touchant sur le repère quatre de largeur. Une demande nouvelle impose un écart d’au moins une unité entre eux dans la direction qui les sépare. Les rotations d’un quart de tour sont permises. Nous n’en faisons ni une marge de protection matérielle ni un espace de prise en main ; il s’agit seulement d’une condition ajoutée au dessin.
Les deux rectangles verticaux côte à côte demanderaient maintenant quatre, plus un, plus quatre : neuf de largeur. En les superposant, ils demanderaient treize de hauteur. Tournés tous deux en six sur quatre, ils demanderaient treize de largeur ou neuf de hauteur. Avec un seul tourné, la séparation demanderait onze dans l’une ou l’autre direction. Aucun de ces choix ne respecte huit sur six avec l’écart demandé. Clara retire donc la disposition où les rectangles se touchaient. Elle demeure correcte sous l’ancienne règle de contact permis, mais ne peut pas être remise sous le nouveau titre « écart d’une unité ».
Clara retient un fond de neuf sur six. Elle place le premier rectangle vertical entre zéro et quatre de largeur, le second entre cinq et neuf ; chacun garde toute la hauteur de six. La bande comprise entre quatre et cinq reste libre et remplit l’écart choisi. Les deux aires réunies valent toujours quarante-huit, tandis que le fond en possède cinquante-quatre. Les six unités carrées restantes se trouvent ici dans une bande précise, qui sépare les objets. Clara ne les répartit pas au hasard dans des vides décoratifs avant d’annoncer l’écart ; elle a préparé deux positions dont les frontières retrouvent effectivement cette condition.
Si une demande ajoutait une unité libre autour de l’ensemble également, ce fond de neuf sur six ne suffirait plus. Une branche distincte accepte donc onze sur huit : la place intérieure, après retrait d’une bande d’une unité à chaque bord, mesure neuf sur six. Les rectangles occupent les largeurs un à cinq et six à dix, avec les hauteurs un à sept. Cette variante conserve l’écart d’une unité entre eux et le retrait d’une unité au bord. Elle ne transforme pas rétroactivement la disposition précédente en projet qui possédait déjà ces deux marges.
Une séparation peut interdire une place sans retirer de surface
Une nouvelle branche reprend un fond complet de huit sur six et deux rectangles de quatre sur six. Le dessin possède maintenant une ligne de séparation verticale au repère trois. Elle ne retire aucune surface, mais chaque objet doit rester entièrement d’un seul côté de cette ligne. La gauche mesure donc trois sur six et la droite cinq sur six. Les rotations sont permises. Cette convention de compartiments est ajoutée expressément à notre exercice ; elle ne décrit ni une cloison réelle ni la possibilité de la déplacer matériellement.
Le rectangle de quatre sur six ne peut entrer à gauche : il demande quatre de largeur sans tourner et six s’il tourne. À droite, il peut entrer verticalement, mais les deux ne peuvent s’y rejoindre. Leur largeur commune serait huit, au-delà des cinq disponibles, et leur hauteur commune douze, au-delà de six. Une orientation horizontale demanderait déjà six de largeur pour un seul, toujours au-delà de cinq. Clara retire donc la préparation où le second rectangle commençait au repère zéro et franchissait la séparation à trois. Les deux objets pourraient occuper le fond extérieur entier, mais cette disposition ne respecte pas la nouvelle convention qui les oblige à choisir un compartiment chacun.
La personne qui a posé cette convention accepte de porter la séparation au repère quatre. Clara conserve les deux objets verticaux et affecte le premier à la gauche de zéro à quatre, le second à la droite de quatre à huit. Chaque côté mesure désormais quatre sur six et reçoit un rectangle entier. La surface disponible totale n’a pas changé et aucun objet n’a rétréci. Le choix a changé la répartition de cette surface entre les deux zones autorisées. Clara corrige donc la position de la ligne sur la fiche finale ; elle ne laisse pas une ligne à trois sous deux objets dont l’un la franchirait encore. La modification acceptée et la préparation remise désignent la même séparation.
Avec les deux objets conservés, aucune autre position de cette ligne ne permettrait la même affectation, dans les orientations autorisées. Chaque côté doit avoir au moins quatre de largeur ; leurs largeurs réunies valent exactement huit. Accorder cinq à l’un laisserait seulement trois à l’autre et retrouverait le manque initial. Clara garde donc quatre comme position choisie et justifiée pour cette branche, sans présenter toute division d’une surface de quarante-huit comme équivalente. La comparaison avec le coin exclu reste précise : celui-ci retirait une aire positive ; la ligne de compartiment n’en retire aucune, mais elle interdit qu’un objet utilise simultanément les deux côtés.
Deux zones de même aire ne répondent pas aux mêmes objets
Nous ajoutons une dernière comparaison à notre exercice : le L précédent et un fond carré complet de six sur six offrent chacun trente-six unités carrées. Une première demande porte sur le carré individuel de cinq sur cinq ; une seconde sur les trois rectangles de quatre sur quatre, quatre sur trois et quatre sur deux. Les objets des deux demandes restent distincts. Clara doit retenir une zone pour chaque préparation, sans imposer qu’une seule offre les deux solutions.
Pour la première demande, Clara choisit le fond carré de six. Le rectangle individuel de cinq y possède une position entière, par exemple entre zéro et cinq dans les deux directions. Le L, malgré la même aire totale, ne permettait aucune position à ce carré. La différence ne vient donc pas d’une unité de surface manquante, ni d’une rotation qu’elle aurait oubliée : un carré de cinq tourné reste un carré de cinq. Clara remet la préparation dans le fond carré et écarte le L pour cet objet précis, sans le déclarer inutilisable pour tous les objets du dossier.
Pour la seconde demande, elle choisit au contraire le L et y prépare les trois positions déjà renseignées. Le fond carré de six ne permet pas même de séparer les objets de quatre sur quatre et de quatre sur trois. Sans rotation du second, leurs sommes sont huit en largeur et sept en hauteur ; avec rotation, elles deviennent sept et huit. Les deux directions dépassent six. Le troisième objet ne résout pas ce conflit en rejoignant les espaces restants. Clara garde donc le L pour cette demande et n’y remplace pas un des rectangles par le carré de cinq de l’autre préparation.
Les deux remises de feuilles montrent ainsi des choix inversés selon les objets demandés : le carré complet pour l’objet individuel de cinq, le L pour les trois autres. Clara retire un classement qui désignait la zone carrée comme meilleure pour toutes les préparations parce qu’elle lui paraissait plus simple. Les aires totales étaient identiques et chaque zone possède, dans les cas remplis, une possibilité que l’autre n’offre pas. Elle conserve donc la liste des objets avec chaque choix de forme. La comparaison n’additionne pas leurs deux aires pour prétendre que tous pourraient être préparés dans un seul des fonds.
Le dossier garde des orientations, des zones disponibles et des positions choisies. Les rectangles demeurent les objets du dessin, sans essai d’un rangement réel. Pour chaque préparation retenue, Clara peut cependant retrouver où chaque pièce est placée, quelle demande a été modifiée et quels vides doivent rester libres. La fin de la préparation ne repose plus sur une surface générale annoncée : elle possède une disposition cohérente dans la seule convention de cet exercice.