Deux parcours peuvent rejoindre la même destination sans répondre au même choix. L'un possède une somme de coûts plus petite, l'autre évite une liaison particulièrement coûteuse. Deux trajets différents peuvent aussi dépendre d'un passage commun. Pour préparer ces distinctions, nous construirons des décisions de parcours et de remise dans une fiction. Les personnages choisiront ce qu'ils veulent conserver, puis une suite correspondant réellement à cette demande, sans faire disparaître les étapes ou les conditions qui l'ont déterminée.
Les lieux, les liaisons et leurs coûts sont créés. Les coûts sont des points abstraits, sans distance, durée ou prix réel. Aucun voyage, bâtiment, transport de document ou panne n'a été observé. Une liaison indisponible et un lieu indisponible seront deux règles différentes du modèle. Nous ne proposons ni itinéraire réel ni procédé de sécurité ou de transmission. Les lettres nomment seulement des destinations distinctes. Les calculs ne revendiquent aucune invention mathématique et ne valent pas validation d'un service réel.
Balzac décrit un peintre.
Balzac décrit une rue parisienne.
Balzac décrit une boutique à Limoges.
Ces trois portées ont été réellement consultées textuellement. Elles ne donnent aucune règle pour les graphes suivants et ne décrivent pas nos destinations. Les coûts, les permissions et les réponses appartiennent à nos cas originaux. Nous ne déduisons pas un déplacement des personnages de Balzac de la présence d'une rue ou d'une boutique dans un passage. La fiction du dossier reçoit ses propres actions ; ses choix seront vérifiés à partir des liaisons expressément données pour chaque branche.
Le plus petit coût total peut comporter le passage le plus coûteux
Nora veut rejoindre T depuis S. Deux parcours dirigés sont donnés. S–A puis A–T coûtent respectivement un et neuf points. S–B puis B–T coûtent six et six. Ces quatre liaisons ne peuvent être utilisées que dans le sens écrit. Le coût total additionne les passages effectivement parcourus. Un autre critère compare le plus grand coût d'une seule liaison dans le trajet. Nous donnons les deux demandes séparément, sans appeler les points un effort physique.
Nora accepte d'abord de réduire le coût total et choisit S–A–T, pour dix contre douze. Elle accomplit ce parcours dans la scène construite et conserve neuf comme coût de son dernier passage. Le préparateur souhaitait annoncer qu'aucune étape du trajet ne dépassait six, puisque l'autre proposition comportait deux six. Nora retire cette annonce. Son total plus petit n'a pas raccourci le dernier passage de A vers T. Le choix remis garde donc dix au total et neuf pour sa liaison la plus coûteuse, au lieu de réunir les avantages de deux propositions différentes.
Samuel accepte, dans une autre branche, de réduire le plus grand coût d'une liaison, même si la somme augmente. Il retient S–B–T. Ses deux passages coûtent six chacun, avec un total de douze. Samuel arrive effectivement à T par B et retire le passage par A de sa consigne active. Le narrateur ne lui attribue pas le total dix de Nora : il vient de choisir une autre route. Sa demande ne faisait pas de douze un résultat universellement préférable ; elle donnait un critère pour départager les deux parcours qui lui étaient proposés.
Une nouvelle demande de Nora fixe un maximum de sept par liaison et de quinze pour le total. Elle retient S–B–T : les deux six et leur somme douze remplissent ces limites. S–A–T reste sous quinze au total, mais son neuf manque la première condition. Nora retire donc la proposition qui conservait A en tête grâce au seul total. La fiche de cette branche reçoit les deux limites avec B comme étape retenue. Le résultat ne décrit pas une nouvelle liaison A–T à sept ; il change le parcours parce que le coût neuf est resté celui de cette liaison.
Un détour moins cher n'est pas automatiquement un parcours avec moins d'étapes
Dans une comparaison brève, ajoutons S–C de coût quatre, C–B de coût un et C–A de coût un, en conservant les premières liaisons. Sous la limite de sept par passage, S–C–B–T totalise onze et devient moins coûteux que S–B–T à douze. Nora le choisit. Une autre branche ajoute une limite de deux passages ; Nora y retient S–B–T, puisque la route par C en demandait trois. Elle garde onze avec trois passages, et douze avec deux. Les deux nombres favorables ne proviennent pas d'une même route.
Ce contraste entre un nombre de passages et leur coût est déjà une question connue de notre dossier de plans de maison. Il ne suffit pas à lui seul à construire un autre parcours long. Dans la suite, nous examinerons donc une demande différente : conserver une remise lorsque certaines liaisons disparaissent. Cette demande ne consiste pas simplement à classer les trajets par leur somme ou leur longueur de liste.
Deux parcours peu coûteux peuvent dépendre d'une même liaison
Un autre graphe dirigé remplace le précédent. Ses liaisons sont S–A de coût huit, A–T deux, S–B huit, B–T trois, S–C un, C–A un et C–B un. Il possède quatre parcours de S vers T : S–A–T coûte dix ; S–B–T onze ; S–C–A–T quatre ; S–C–B–T cinq. Nora veut envoyer deux copies complètes d'une liste fictive. Elle demande qu'au moins une copie puisse atteindre T si une seule liaison, quelconque dans cette liste, devient indisponible.
Le préparateur retient d'abord les deux trajets les moins coûteux séparément : S–C–A–T et S–C–B–T, pour neuf points réunis. Nora les refuse pour la demande. Ils se séparent après C, mais partagent S–C. Si cette liaison disparaît, aucune des deux copies ne peut quitter S par sa route prévue. Les deux arrivées à T n'ont donc pas reçu deux préparations indépendantes de chaque liaison. Nora retire la paire de la consigne active. Elle conserve quatre et cinq comme coûts exacts des parcours refusés, sans les appeler deux remises protégées par leur seule différence de noms.
Elle compare alors S–A–T avec S–C–B–T. Leur coût réuni est quinze et leurs listes de liaisons n'en possèdent aucune en commun. Nora accepte cette paire. La première copie suit S vers A puis T ; la seconde suit S vers C, B puis T. Si une liaison de la première route devient indisponible, celles de la seconde restent disponibles sous la règle d'une seule disparition. Une liaison de la seconde ne retire aucune de la première. Cette propriété concerne les listes données, pas une résistance matérielle des copies ou une fiabilité réelle des lieux.
Dans la scène remplie, S–A devient indisponible avant les départs. Nora annule le départ de la première copie par cette route et conserve le second parcours. La copie complète passe de S à C, de C à B, puis de B à T ; elle y est remise. Le coût de la route utilisée est cinq, tandis que la préparation choisie portait quinze pour les deux parcours proposés. Nora garde ces deux portées distinctes. Elle ne dit pas que les quinze points de deux trajets ont été effectivement parcourus lorsque l'un des départs n'a pas eu lieu dans cette réalisation.
Une autre paire recevait S–B–T et S–C–A–T, également sans liaison commune et également de coût quinze. Nora la laisse comme alternative, puis conserve explicitement la paire passant directement par A pour sa fiche active. Le minimum ne désigne donc pas une seule préparation. Nous avons comparé les six paires possibles parmi les quatre routes : les trois paires sans liaison commune coûtent quinze, quinze et vingt et un. Les deux paires qui partagent respectivement A–T ou B–T ne satisfont pas la demande, pas davantage que celles qui partagent S–C. La décision de Nora choisit l'une des deux préparations minimales, avec ses copies et ses étapes propres.
Deux moitiés d'une liste ne remplacent pas deux copies complètes
Gardons la paire acceptée S–A–T et S–C–B–T. La liste fictive possède deux éléments nommés α et β. Une nouvelle proposition prépare seulement α pour la première route et β pour la seconde, tout en gardant la demande de recevoir la liste entière après la disparition d'une liaison. Les deux trajets n'ont toujours aucune liaison commune. Le contenu des envois a en revanche changé. Nous ne prétendons ni copier un document réel ni utiliser un outil de reproduction ; les contenus des deux enveloppes sont donnés dans le modèle.
Nora refuse cette proposition. Avec S–A indisponible, l'enveloppe de β parvient seule à T. Elle ne contient pas α. La protection d'un parcours encore disponible n'a pas reconstitué le contenu manquant. Nora retire donc l'annonce de liste entière attachée à cette préparation en deux moitiés. Elle ne donne pas α au destinataire en racontant que β a pu passer. Le problème n'est pas une nouvelle liaison partagée ; il vient de la demande conservée et du contenu que le préparateur avait changé sans la modifier.
Nora accepte alors de placer α et β dans chacune des deux copies. Cette modification est expressément donnée avant les départs. S–A devient de nouveau indisponible dans cette branche ; la seconde enveloppe suit S–C–B–T et remet les deux éléments à T. Le destinataire reçoit donc la liste entière dans la réalisation racontée. Nora retire la préparation qui séparait α et β et conserve les deux contenus complets sur sa fiche. Elle n'a pas raccourci le parcours restant ni ouvert la liaison fermée : elle a corrigé ce que ce parcours disponible pouvait effectivement remettre.
Samuel choisit une autre demande dans une branche indépendante : sans disparition de liaison dans les données de cette scène, il accepte de recevoir α par A et β par C puis B. Les deux enveloppes arrivent et il réunit les deux éléments à T. Nora ne reprend pas ce résultat comme une garantie de la préparation en moitiés sous disparition possible. La réussite des deux trajets ouverts appartient aux conditions de Samuel. Son accord permet une remise différente, tandis que celui de Nora continuait à demander le contenu entier lorsqu'une des deux routes ne peut pas être utilisée.
Une protection contre une rupture ne répond pas à deux ruptures
Ajoutons au deuxième graphe une nouvelle liaison directe S–T, de coût six. Nora veut toujours au moins une copie complète reçue, mais accepte maintenant que deux liaisons quelconques puissent devenir indisponibles. Les disparitions portent uniquement sur les liaisons énumérées. S et T restent disponibles. Nora peut préparer autant de copies que son nouvel accord l'indique ; nous n'attribuons aucun coût matériel supplémentaire aux enveloppes, seulement les coûts abstraits des routes qui leur sont proposées.
Deux copies sur deux routes sans liaison commune ne suffisent plus à cette demande. La paire S–A–T et S–C–B–T peut perdre S–A et S–C dans le même état permis. Aucune copie n'atteint alors T par sa route prévue. Nora retire donc cette paire comme réponse au nouvel accord, tout en la conservant dans la branche qui ne permettait qu'une seule disparition. Elle ne renomme pas deux événements en un seul incident pour sauver l'ancienne préparation. Le changement porte précisément sur le nombre de liaisons qui peuvent manquer ensemble.
Nora accepte trois copies complètes, proposées sur S–A–T, S–C–B–T et S–T. Ces trois routes n'ont aucune liaison commune deux à deux. Leur coût de préparation réuni est vingt et un. Chaque liaison indisponible peut retirer au plus une de ces trois routes ; deux disparitions ne les retirent donc pas toutes. Nora choisit cette préparation et remplace le nombre deux par trois dans le relevé des copies. Elle ne garde pas quinze comme coût réuni : ce nombre appartenait à la paire précédente, avant l'ajout de la route directe et de la troisième copie.
La scène donne effectivement S–A et S–C comme indisponibles avant les départs. Les deux routes qui les utilisaient ne sont pas exécutées. La troisième copie va directement de S à T et remet α et β, avec un coût utilisé de six. Nora garde vingt et un pour la préparation de trois routes et six pour celle qui a effectivement servi dans cette réalisation. Elle ne présente pas les deux autres copies comme déjà arrivées par des liaisons différentes : leur route préparée a été retirée. Une copie reçue suffit à sa demande, mais cette suffisance n'attribue pas trois arrivées à une scène qui n'en a donné qu'une.
Une autre proposition réunissait S–C–A–T, S–C–B–T et S–T, pour quinze points. Nora la refuse sous les deux disparitions permises. S–C retire les deux premières à la fois ; S–T retire la troisième. Le nombre trois de copies n'était donc pas la seule condition de la préparation choisie. Nora conserve leurs routes sans liaison commune, et non seulement un total d'enveloppes. La copie directe ne corrige pas automatiquement les deux trajets qui dépendent du même début. Les trois copies à vingt et un restent celles qu'elle a explicitement acceptées pour cette demande.
Un lieu commun peut retirer deux parcours qui ne partagent aucune liaison
Une branche entièrement différente possède deux routes dirigées. S–A–C–T comporte des coûts un, un et deux, soit quatre. S–B–C–D–T comporte quatre coûts un, également quatre. Leurs liaisons sont toutes distinctes, mais les deux routes traversent C. Nora demande cette fois qu'une copie complète puisse parvenir après l'indisponibilité d'un seul lieu intermédiaire, quelconque parmi A, B, C et D. Un lieu retiré enlève les passages qui l'utilisaient. Les deux extrémités S et T ne font pas partie des lieux susceptibles d'être retirés dans cette règle.
Le préparateur retient les deux routes parce qu'aucune liaison n'est commune et conserve le coût huit. Nora refuse cette réponse à sa nouvelle demande. C est présent sur les deux trajets. Dans l'état où C devient indisponible, aucune des deux copies ne peut suivre sa route jusqu'à T. Nora retire donc les deux départs préparés dans cette réalisation et n'annonce aucune copie reçue. La conclusion précédente sur une seule liaison disparue n'avait pas promis ce résultat pour un lieu. Sa nouvelle règle touche deux passages différents ou davantage lorsqu'ils dépendent du même emplacement.
Une nouvelle liaison A–T de coût cinq est maintenant expressément ajoutée. Nora choisit de remplacer la première route par S–A–T, de coût six, et de garder S–B–C–D–T, de coût quatre. Les lieux intermédiaires sont désormais A pour la première, B, C et D pour la seconde. Aucun n'est partagé. Nora accepte ce coût réuni de dix et retire huit de la préparation active. La nouvelle liaison ne diminue pas les coûts ; elle change la dépendance à C de la première copie, ce qui répond à l'objet de son nouvel accord.
Dans la scène donnée, C devient indisponible avant les départs. La seconde route est retirée, mais la première copie passe de S à A puis T et remet la liste entière. Nora conserve son coût utilisé six. Elle ne décrit pas la copie reçue comme ayant gagné T en contournant C après l'avoir atteint : le parcours choisi ne le traversait plus. La correction avait été acceptée avant le départ et portait sur la route entière. Le destinataire reçoit α et β par ce nouveau trajet, tandis que l'autre copie n'est pas annoncée comme arrivée.
Samuel souhaite ensuite étendre la demande à l'indisponibilité possible de T lui-même. Nora refuse de conserver sa garantie sous ce nouveau domaine sans autre destination. Les deux copies ont T pour terme, et aucune autre remise finale n'a été donnée. Samuel accepte finalement de garder S et T hors du domaine de disparition dans cette branche et maintient la demande sur les seuls lieux intermédiaires. Le récit conserve cet accord explicite avec la copie remise. Il ne transforme pas une protection contre la perte d'un lieu intérieur en une promesse d'arriver à une destination elle-même retirée du modèle.
Une suite de petits choix peut produire une tournée entière coûteuse
Une dernière scène remplace tous les graphes précédents par quatre lieux S, A, B et C, avec des liaisons utilisables dans les deux sens. S–A coûte un, S–B deux, S–C deux, A–B un, A–C deux et B–C vingt. Nora doit partir de S, visiter A, B et C une seule fois chacun, puis revenir à S. Entre deux étapes consécutives, elle utilise la liaison directe indiquée ; aucun lieu intermédiaire caché n'est ajouté. Les coûts ne sont pas des distances géométriques : nous n'imposons pas qu'une liaison directe soit moins coûteuse qu'une autre suite.
La proposition qui prend à chaque départ le plus petit coût vers un lieu encore non visité donne S–A–B–C–S. Ses coûts sont un, un, vingt et deux, soit vingt-quatre. Nora la refuse pour son objectif de plus petite somme sur la tournée entière. Les deux premiers coûts faibles ne lui permettent plus d'éviter B–C dans cette suite. Elle ne retire pas le retour à S du bilan pour rendre le résultat plus petit : ce retour appartient à la demande. La proposition reste une tournée complète correcte quant aux lieux, mais son coût ne gagne pas la comparaison globale.
Nora choisit S–B–A–C–S. Les coûts sont deux, un, deux et deux, soit sept. Elle effectue cette tournée dans la scène construite et retrouve S après les trois visites. Le premier passage coûte davantage que celui vers A de l'autre proposition, mais la suite ne demande pas le passage direct B–C de coût vingt. Nora retire donc la consigne « prendre d'abord le coût un » de la fiche active. Elle garde deux avec le départ vers B et sept avec la tournée exécutée, au lieu de présenter cette décision comme un premier pas plus petit que celui qu'elle a écarté.
Nous avons comparé les six ordres possibles de visite : leurs coûts sont vingt-quatre, vingt-cinq, sept, vingt-cinq, sept et vingt-quatre. La tournée inverse S–C–A–B–S coûte donc également sept. Nora la laisse comme alternative, puis conserve B comme premier lieu sur la remise active. Le minimum ne choisit pas entre ces deux orientations. La personne chargée du récit avait conservé C au départ tout en racontant ensuite le passage de B vers A ; Nora corrige cette suite pour qu'elle suive B, A puis C. Le coût égal ne permet pas de mélanger les étapes des deux tournées minimales.
Samuel propose de garder le début S–A–B et de revenir ensuite par A avant de gagner C, puis S. S–A–B–A–C–S coûterait également sept : un, un, un, deux et deux. Nora le refuse sous sa première demande, parce que A y apparaît deux fois. Elle ne lui attribue pas vingt-quatre simplement parce qu'il partage le début de la proposition refusée ; son coût sept est exact. Son rejet vient d'une condition différente, la visite unique de chaque lieu. Les deux comparaisons restent séparées : le coût d'une suite et les étapes qu'elle doit conserver pour être admissible.
Une branche nouvelle autorise expressément la seconde présence dans A. Nora accepte cette modification et retient S–A–B–A–C–S, qui est alors réalisée. Elle retrouve A, puis gagne C et revient à S. La fiche active garde sept avec cinq passages et avec deux présences dans A. Elle ne garde pas l'annonce de quatre passages de l'autre tournée à sept. La nouvelle autorisation a rendu ce parcours admissible ; elle n'a pas supprimé son retour dans A, ni validé ce retour dans la branche qui le refusait. Le récit conserve donc le changement accepté avec les gestes qui l'utilisent.
Nora décrit enfin les deux présences dans A comme deux étapes d'un même lieu. Dans la tournée choisie sans retour, A avait été visité une fois après B ; dans celle qui autorise la répétition, il est atteint avant B puis retrouvé après lui. Nous donnons pour cette seconde scène un objet fictif laissé dans A au premier passage, puis repris au second. Nora le retrouve effectivement avant de gagner C. Le récit ne transporte pas cet objet à B pour éviter d'écrire le retour. La demande modifiée possède ainsi une conséquence accomplie dans le parcours, sans que le coût sept soit présenté comme la preuve d'une tournée restée identique.
Une rupture déjà annoncée change ce qu'il reste à protéger
Nous revenons au graphe dirigé comportant S–T de coût six. Une nouvelle suite donne S–A déjà indisponible, avant tout départ. La demande autorise au maximum deux liaisons indisponibles au total dans cette suite, sans rétablissement : S–A compte déjà parmi ces deux. Il peut donc encore manquer au plus une autre liaison. Nora est autorisée à revoir les routes après cette annonce. Elle veut une copie complète reçue et accepte au maximum dix points pour les routes proposées à partir de cet état. Ce plafond concerne les coûts fictifs, sans dépense réelle.
Nora retire le plan de trois routes à vingt et un. Il dépassait dix et conservait S–A–T, désormais indisponible. Elle refuse aussi de reprendre deux liaisons encore inconnues en plus de S–A : cela ferait trois disparitions au total, au lieu des deux données. Le nouvel état ne possède pas le même ensemble de suites possibles que le premier départ sans aucune rupture annoncée. Nora conserve S–A comme événement déjà acquis dans cette branche et demande une préparation contre la seule liaison supplémentaire qui peut encore manquer. Son choix ne fait ni revenir S–A ni effacer sa place dans le compte des disparitions.
Elle retient maintenant S–C–A–T, de coût quatre, et S–T, de coût six. Ces deux routes n'ont aucune liaison commune et restent disponibles après le retrait de S–A. Nora prépare deux copies complètes et remplace les trois routes antérieures par cette paire à dix. La paire encore moins coûteuse S–C–A–T avec S–C–B–T est refusée : elle partage S–C et ne résisterait pas à sa disparition supplémentaire. La nouvelle préparation à deux copies n'avait pas satisfait le premier état qui permettait deux ruptures encore inconnues. Elle satisfait ici une demande portant sur un état où l'une est déjà localisée, avec une autorisation explicite de reprendre la préparation avant de partir.
La première copie commence effectivement S–C et atteint C, pour un point. À cet instant, S–T devient également indisponible. Les deux liaisons retirées sont maintenant S–A et S–T ; aucune troisième disparition n'est permise dans cette suite. La copie déjà en C poursuit par C–A puis A–T et remet α et β à T. Son coût utilisé est quatre. Nora garde son passage S–C accompli avant l'annonce, puis ses deux passages suivants. Elle n'annonce pas un départ direct de cette copie par S–T, et la seconde copie n'emprunte pas cette liaison fermée. La première demande, au moins une liste entière reçue, est remplie.
L'hôte donne alors une demande nouvelle : recevoir deux copies complètes au total. Il conserve comme première remise celle déjà accomplie par C puis A, et autorise le changement de route de la seconde copie, qui n'est pas partie. Nora accepte cette nouvelle demande au lieu de l'attribuer à l'accord initial d'une seule copie suffisante. Les deux disparitions permises sont déjà connues dans cette suite ; elle n'a plus à protéger le second départ contre une autre liaison encore susceptible de disparaître. Cette portée demeure explicite. Nora ne la transforme pas en une méthode qui donnerait deux remises certaines avant que les deux ruptures aient été renseignées.
La seconde copie suit désormais S–C–B–T, pour cinq points, et remet également α et β. Les deux remises sont enregistrées, avec quatre puis cinq points effectivement utilisés, soit neuf. Les dix points de la paire préparée avant la fermeture de S–T ne deviennent pas dix points parcourus : la route directe de six a été remplacée avant son départ. Les deux trajets exécutés partagent S–C, mais son retrait ne fait pas partie des possibilités restantes après les deux ruptures acquises. Nora conserve donc le partage de cette liaison sur le relevé au lieu de qualifier les routes de disjointes. La nouvelle remise double vient de l'état désormais renseigné et du changement accepté de demande, pas d'une protection qui aurait toujours existé pour cette paire.
Garder les routes et la demande qui les rend recevables
Les graphes ont permis plusieurs choix renseignés : réduire une somme, limiter une liaison, préparer des copies complètes sur des routes distinctes, changer le domaine d'une disparition et comparer une tournée entière. Aucun résultat ne certifie une destination réelle. Une route retenue garde ses liaisons, son contenu et ses conditions ; une scène conserve ce qui a effectivement pu partir et arriver dans son état. Le récit peut alors donner un coût et une remise sans emprunter les avantages d'une autre proposition ou les passages d'un autre graphe.