Nora reçoit douze jetons numérotés pour un classement imaginaire. Onze ont exactement la même masse ; le dernier est différent, mais personne ne sait s’il est plus lourd ou plus léger. Elle dispose, dans cette construction sur papier, de trois comparaisons entre deux plateaux idéaux. Une comparaison annonce seulement gauche plus lourde, équilibre, ou droite plus lourde. Il faut remettre le numéro du jeton et le sens de l’écart, pas seulement désigner une petite pile suspecte.
Ces jetons et ces résultats sont stipulés. Nous n’avons ni pesé un objet réel ni établi la précision d’une balance. Les pages consultées ci-dessous servent à nommer trois catégories d’objets de catalogue, sans fournir les règles de pesée ou la masse d’un jeton. Les nombres inscrits sur la feuille sont ceux de notre exercice ; un résultat matériel qui contredirait ses hypothèses imposerait de reprendre l’enquête, et non de lui appliquer de force l’arbre prévu.
The Century: Midwinter Number, February est catalogué parmi les estampes et affiches.
Harper’s Magazine, Christmas est également catalogué parmi les estampes et affiches.
Putti and a Young Satyr at Play est catalogué parmi les dessins.
La première réponse distribue des hypothèses, pas des objets
Nora écrit deux propositions derrière chacun des douze numéros : « plus lourd » et « plus léger ». Sa feuille contient donc vingt-quatre possibilités. Si elle comparait un seul jeton à un autre, une réponse d’équilibre laisserait dix jetons et leurs deux sens possibles. Les deux comparaisons restantes n’auraient alors que neuf suites de réponses au plus. Cette première économie apparente fermerait la branche équilibrée avant même qu’elle ne commence ; Nora ne choisit pas une première pesée pour la facilité de la manipuler.
Elle place les numéros 1, 2, 3 et 4 à gauche, 5, 6, 7 et 8 à droite. Les quatre derniers restent à part. Dans notre système idéal, une égalité innocente les huit jetons posés : le différent se trouve parmi 9, 10, 11 et 12, dans l’un des deux sens. Une gauche plus lourde laisse au contraire quatre candidats lourds à gauche et quatre candidats légers à droite. Une droite plus lourde produit le miroir : quatre lourds à droite ou quatre légers à gauche. Chaque réponse initiale conserve ainsi exactement huit hypothèses.
Ce partage n’identifie pourtant pas « quatre suspects » de manière uniforme. Après un déséquilibre à gauche, 1 lourd et 5 léger expliquent tous deux le même signe ; 1 léger et 5 lourd ne l’expliquent pas. Nora écrit ces huit étiquettes orientées sans les condenser en une liste de huit numéros. Si elle effaçait le sens à ce stade, une troisième pesée pourrait la ramener au bon numéro tout en lui faisant remettre la mauvaise conclusion. La suite de l’arbre doit séparer des couples numéro-sens.
Le jeton 9 a un rôle différent suivant le premier résultat. Lorsque les plateaux ont penché, le différent appartient nécessairement aux huit jetons pesés et 9 est alors un témoin normal. Quand les plateaux se sont équilibrés, 9 redevient un suspect. Nora inscrit ce changement dans la feuille ; elle ne déclare pas 9 normal de manière permanente au seul motif qu’il était resté sur la table pendant le premier geste.
Si les deux plateaux s’équilibrent
Supposons que la première réponse soit l’équilibre. Nora compare 9, 10 et 11 à 1, 2 et 3. Ces trois derniers sont normaux sous la condition désormais acquise. Si la gauche devient plus lourde, le différent est l’un des trois jetons 9, 10, 11 et il est lourd. Si la droite devient plus lourde, il se trouve dans ce même trio et il est léger. Si l’équilibre persiste, seul 12 reste différent ; il manque encore son sens. La deuxième pesée distribue donc les huit hypothèses en groupes de trois, trois et deux.
Dans la branche « équilibre puis équilibre », Nora compare 12 à 1. Le témoin 1 est normal depuis la première réponse. Une gauche plus lourde désigne 12 lourd, une droite plus lourde 12 léger. L’égalité ne fait partie d’aucune des deux hypothèses restantes : elle signalerait une prémisse démentie, pas un treizième diagnostic à inventer. La feuille comporte cette sortie de refus séparément du résultat demandé, afin que la promesse d’exactitude demeure conditionnelle.
Si la deuxième réponse a désigné le trio lourd, elle compare 9 à 10. Une gauche plus lourde donne 9 lourd ; une droite plus lourde donne 10 lourd ; l’égalité donne 11 lourd. Pour le trio léger, le même troisième geste sert mais les deux signes se renversent : gauche plus lourde signifie 10 léger, droite plus lourde 9 léger, équilibre 11 léger. Les noms posés sur les plateaux n’ont pas changé, tandis que le sens attribué au signe dépend de la réponse précédente. Nora conserve cette dépendance dans chaque ligne de sa feuille.
Camille propose une observation d’essai : la première pesée s’équilibre, la seconde penche à droite et la troisième s’équilibre. Nora lit successivement « parmi 9, 10, 11 et léger », puis « ni 9 ni 10 ». Elle inscrit 11 léger. Elle ne retient pas « 11 différent » en attente d’une quatrième comparaison, car la deuxième réponse avait déjà fixé la direction. Inversement, elle ne transforme pas l’égalité finale en preuve que tous les douze sont identiques : cette égalité ne concernait que 9 et 10 sous un dossier qui laissait encore 11.
Une autre observation commence par deux équilibres et termine avec 12 plus léger que 1. Elle produit 12 léger sans emprunter le trio. Ce chemin montre pourquoi les deux hypothèses restées dans la branche centrale demandent encore un geste, bien qu’elles portent le même numéro. Une feuille qui s’arrêterait à « 12 » après deux pesées satisferait une autre question. Nora doit signer une réponse composée d’un numéro et d’un sens ; la comparaison finale est nécessaire pour cette commande-là.
Une gauche plus lourde ne signifie pas que le fautif est à gauche
Lorsque la première comparaison penche à gauche, Nora retient 1, 2, 3, 4 lourds et 5, 6, 7, 8 légers. Elle prépare une deuxième comparaison qui mélange délibérément les rôles : 1, 2 et 5 à gauche ; 3, 6 et 9 à droite. Le témoin 9 est normal dans cette branche. Déplacer 5 à gauche ne le rend pas lourd ; s’il est effectivement le différent léger, il tire cette gauche vers le bas relatif. Nora calcule donc le signe de chaque hypothèse dans sa nouvelle position au lieu de reprendre mécaniquement le signe de la première pesée.
La deuxième gauche plus lourde conserve 1 lourd, 2 lourd ou 6 léger. Les autres jetons de la liste initiale ne produiraient pas ce résultat avec leurs positions nouvelles. La troisième pesée compare 1 à 2. Si la gauche est plus lourde, 1 est lourd ; si la droite l’est, 2 est lourd ; si les plateaux s’équilibrent, aucun des deux ne l’est et 6 est léger. L’équilibre devient ici une réponse affirmative sur 6, parce que la branche précédente avait déjà réduit la liste à ces trois possibilités.
La deuxième droite plus lourde conserve seulement 3 lourd ou 5 léger. Nora compare alors 3 au témoin 9. Une gauche plus lourde donne 3 lourd ; l’égalité donne 5 léger. Une droite plus lourde serait incompatible avec les deux hypothèses conservées. La sortie n’a que deux feuilles diagnostiques malgré les trois signes que pourrait afficher en général une balance. Nora marque le troisième signe « modèle à vérifier » et refuse de compléter le tableau par un jeton qui ne figurait plus dans cette branche.
Si la deuxième comparaison s’équilibre, 4 lourd, 7 léger ou 8 léger subsistent. Nora place 7 à gauche et 8 à droite. La gauche plus lourde désigne 8 léger, car c’est l’allègement à droite qui ferait monter ce plateau ; la droite plus lourde désigne 7 léger ; l’équilibre désigne 4 lourd. Elle vérifie ce renversement avant de ranger la feuille. « Le côté qui descend contient le suspect » serait une mauvaise règle ici : le suspect peut être précisément le jeton trop léger sur le côté qui monte.
Une séquence effectivement choisie dans notre dossier fictif est gauche plus lourde, équilibre, puis droite plus lourde. La deuxième réponse élimine 1, 2, 3, 5 et 6 parmi les candidats alors actifs ; elle laisse 4 lourd et 7 ou 8 légers. Au dernier geste, 7 à gauche devient le côté plus léger : Nora remet « 7 léger ». Elle barre « 4 lourd », qui aurait imposé l’équilibre entre 7 et 8, et « 8 léger », qui aurait fait pencher l’autre côté. Le choix résulte des trois gestes exécutés, non d’une ressemblance entre le numéro 7 et l’un des numéros du premier plateau droit.
Le geste sur 3 contre 9 et celui sur 7 contre 8 répondent à deux questions distinctes. Dans le premier, le témoin normal sépare un candidat lourd d’un candidat léger qui n’est pas pesé. Dans le second, deux candidats légers sont opposés, tandis que le candidat lourd est laissé de côté. Nora ne substitue pas l’un à l’autre : 3 contre 9 ne départagerait pas 7 et 8, et 7 contre 8 ne ferait rien pour 3 lourd contre 5 léger. Chaque troisième choix est indexé sur la deuxième réponse, ce qui est la part réellement adaptative du dossier.
La droite plus lourde exige sa propre feuille vérifiée
Pour une première droite plus lourde, les hypothèses sont 5, 6, 7, 8 lourds et 1, 2, 3, 4 légers. Nora ne se contente pas d’écrire « symétrique » en bas de page. Elle compare 5, 6 et 1 à 7, 2 et 9 ; le témoin 9 est à nouveau normal. Une deuxième gauche plus lourde conserve 5 lourd, 6 lourd ou 2 léger. Une deuxième droite plus lourde conserve 7 lourd ou 1 léger. L’équilibre conserve 8 lourd, 3 léger ou 4 léger. Les huit possibilités initiales ont été affectées une fois chacune.
Dans le premier de ces groupes, 5 contre 6 désigne 5 lourd si la gauche descend, 6 lourd si la droite descend, et 2 léger si elle ne penche pas. Dans le deuxième, 7 contre 9 donne 7 lourd si la gauche descend et 1 léger si les plateaux restent égaux ; une droite descendante est hors des hypothèses. Dans le troisième, 3 contre 4 donne 4 léger pour une gauche descendante, 3 léger pour une droite descendante, et 8 lourd pour l’équilibre. Nora vérifie ainsi les sens au lieu d’inverser uniquement les chiffres d’une feuille précédente.
Ce miroir compte dans la remise pratique de la décision construite. Si la première droite descend et que la deuxième comparaison s’équilibre, il serait faux de chercher 7 lourd sous prétexte qu’il était sur le premier plateau droit. Le groupe actif est 8 lourd, 3 léger ou 4 léger. La comparaison de 3 et 4 ne peut trancher cette liste que parce que 7 a déjà été éliminé par l’équilibre précédent. Nora conserve les chemins rejetés sur la feuille ; ils expliquent à Camille pourquoi un nom qui figurait sur le plateau gagnant ne suffit pas à devenir la réponse.
La troisième pesée est choisie après lecture des deux premières, jamais à l’avance comme un geste identique sur toutes les branches. Il existe trois comparaisons possibles après une première égalité, trois après une première gauche lourde, et trois après une première droite lourde, avec certaines paires répétées lorsque cela suffit. La feuille forme un arbre de décision, pas une série fixe de trois photographies des plateaux. Copier seulement la liste des objets pesés et effacer les conditions de branche détruirait la garantie que chaque hypothèse mène à une réponse distincte.
Vérifier la capacité de la feuille plutôt que son allure
Nora relit les vingt-quatre hypothèses initiales une par une. Chacune produit une suite de trois signes selon les comparaisons que ses signes précédents déclenchent ; les vingt-quatre suites obtenues sont distinctes. Huit commencent par l’équilibre, huit par la gauche plus lourde et huit par la droite plus lourde. Dans la première famille, les groupes après le deuxième geste ont les tailles trois, trois et deux. Dans chacune des deux familles penchées, ils ont les tailles trois, deux et trois. Aucun groupe ne dépasse les trois réponses que peut offrir le dernier geste.
Ce contrôle ne prétend pas que les vingt-sept suites théoriques de trois signes sont toutes des diagnostics. Certaines ne peuvent se produire sous les prémisses de la branche qu’elles emprunteraient. Lorsque la feuille en rencontre une, la bonne action est de refuser la conclusion conditionnelle et d’examiner ce qui a changé : nombre de jetons différents, égalité réelle des onze autres, comparaison mal notée, ou modèle idéal démenti. La place vide dans un arbre n’est pas une permission de fabriquer un vingt-cinquième état après coup.
Deux pesées ne sauraient résoudre notre commande. Même si chacune fournissait trois résultats utilisables, elles distingueraient au plus neuf suites. Il y a vingt-quatre réponses complètes à séparer. Cette borne est indépendante de la façon dont Nora nomme ses jetons et de l’ordre où elle les place : elle porte sur le nombre de résultats observables. Les trois pesées de sa feuille sont donc nécessaires en nombre et, puisque ses vingt-quatre issues ont été contrôlées, suffisantes sous les hypothèses annoncées.
Camille demande si l’on peut glisser un treizième jeton dans la même commande en gardant trois pesées et aucune pièce connue d’avance comme normale. Nora appelle k le nombre placé de chaque côté au premier geste. Si les plateaux s’équilibrent, les treize moins deux k jetons laissés de côté restent chacun possible en version lourde ou légère. Il faut donc que deux fois ce nombre n’excède pas neuf, capacité maximale des deux réponses restantes ; cela exige k au moins cinq.
Si le premier geste penche, seuls les k jetons du côté descendant en version lourde et les k du côté montant en version légère demeurent : deux k possibilités. Les deux gestes restants imposent alors k au plus quatre. Le même premier geste ne peut satisfaire k au moins cinq et k au plus quatre. Cette contradiction ne dépend pas de la conception précise de la deuxième pesée. Elle interdit treize sous notre modèle initial ; elle ne dit rien d’une autre commande où le sens de l’écart serait connu ou un étalon normal déjà disponible.
Nora remet à Camille le numéro 7 et la mention « plus léger » pour la branche effectivement stipulée, avec le chemin gauche, équilibre, droite inscrit à côté. Elle conserve la feuille entière pour les autres réponses possibles mais ne les présente pas comme des pesées qu’elle aurait observées. L’exercice distingue une décision effectivement remplie dans une histoire construite, la preuve exhaustive que l’arbre aurait répondu aux autres états autorisés, et la limite de ce qu’aucune pesée réelle n’a ici certifié. C’est cette séparation qui permet au classement de porter une réponse complète sans emprunter à une balance imaginaire une autorité matérielle.
Une pièce normale change la commande
Camille ouvre ensuite une autre boîte : treize jetons suspects et un quatorzième dont la masse normale est connue indépendamment. Nora ne l’ajoute pas aux douze possibilités de la première feuille : elle ouvre une commande différente, portant sur treize jetons suspects et ce témoin certifié. Elle peut désormais fixer les trois pesées avant de recevoir la première réponse. Pour chaque suspect, elle inscrit une suite de trois signes : G si le jeton va à gauche, D s’il va à droite, et 0 s’il reste hors des plateaux. Un jeton plus lourd produit cette suite de signes de résultat ; un jeton plus léger produit exactement la suite opposée. Le témoin normal, lui, va à droite dans chacune des trois pesées et n’est jamais candidat.
Voici la feuille concrète, dans l’ordre des jetons 1 à 13 : GGG, GG0, GGD, G0G, D00, D0G, DGD, GD0, DGG, 0DD, 0D0, 0DG, 00D. Chaque colonne compte une présence suspecte à gauche de plus qu’à droite ; la présence du témoin à droite rétablit donc l’égalité du nombre de jetons sur les deux plateaux. Nora n’a besoin d’aucun résultat précédent pour composer la colonne suivante. Les treize suites sont toutes différentes et aucune n’est l’opposée d’une autre. Avec leurs treize opposées, elles occupent vingt-six des vingt-sept suites ternaires possibles. La seule suite inutilisée est 000, impossible ici puisque l’un des treize suspects est stipulé différent.
Camille lit, par exemple, G0D. Elle trouve le sixième jeton plus léger, car la sixième inscription D0G a G0D pour opposée. Le quatrième jeton plus lourd produirait G0G, et ne peut recevoir la même réponse. Nora vérifie toutes les inscriptions avant de remettre cette feuille : si une paire opposée apparaissait, la construction serait rejetée et aucun numéro ne serait délivré. Ce contrôle porte sur les vingt-six diagnostics, et non sur la seule somme des colonnes. Le témoin connu autorise une opération que le premier dossier n’avait pas : une colonne déséquilibrée entre suspects reste une pesée équilibrée grâce à lui. Elle n’autorise aucune conclusion sur la précision d’une balance réelle.