Jeanne prépare pour une maison imaginaire un catalogue de petites marques dessinées sur une grille. Une case noircie appartient à la marque ; une case blanche n'en fait pas partie. Chaque dessin possède une fiche que d'autres pourront corriger sans lui prêter une propriété qu'il n'a pas. Camille veut écrire « une seule pièce avec un trou » dès qu'elle voit une bordure autour d'une case blanche. Nora refuse ce raccourci : une ouverture au bord, même minuscule, peut relier cette case au blanc extérieur. Elles conviennent de décrire les coordonnées avant d'attribuer des mots au dessin.
La grille est un modèle sur papier, et ses cases n'ont ni épaisseur ni mécanisme. Des pages officielles de Paperblanks, d'Appointed et de Rifle Paper Co. ont servi uniquement à vérifier la catégorie des cahiers et carnets. Elles ne donnent aucune règle pour les marques fictives de Jeanne, aucun mode de fabrication, aucune qualité de papier et aucune preuve de résistance d'une jonction. Les décomptes qui suivent sont ceux de la grille définie ici, pas ceux d'un produit vendu.
Jeanne numérote les lignes de haut en bas et les colonnes de gauche à droite. Deux cases occupées sont voisines par côté si leurs lignes diffèrent de un et leurs colonnes sont égales, ou l'inverse. Quand elle autorise aussi le contact par coin, elle l'annonce comme voisinage à huit directions. Pour les cases blanches, elle annonce ce choix séparément : compter un passage par coin dans le blanc ne signifie pas qu'une personne ou qu'un objet pourrait physiquement le traverser. Le mot « passage » n'est ici qu'une relation entre deux coordonnées.
Elle commence avec les huit cases du carré de trois lignes et trois colonnes dont seul le centre, en ligne deux et colonne deux, est blanc. Les trois cases de la ligne supérieure sont noires ; celles de la ligne médiane sont noires aux colonnes un et trois ; les trois de la ligne inférieure sont noires. Cette liste ne dépend ni d'une esquisse approximative ni de la largeur d'un trait. Camille peut recopier la fiche et recomposer exactement la figure sans voir le carnet original.
Pour déterminer le nombre de parties noires, Jeanne part de n'importe quelle case occupée et marque toutes celles qu'elle atteint en passant uniquement d'un côté partagé à l'autre. Sur l'anneau, la case du haut gauche mène à celle du haut milieu puis au haut droit ; les côtés droit et gauche descendent chacun jusqu'à la ligne inférieure, qui les rejoint. Toutes les huit cases appartiennent donc à une seule composante par côtés. Autoriser les diagonales ne peut pas la séparer : la réponse reste une seule composante sous l'autre convention.
La question du blanc exige un autre départ. Jeanne place mentalement une bordure blanche tout autour des trois lignes et colonnes, puis propage la marque « extérieur » depuis cette bordure selon les voisins blancs autorisés. Dans l'anneau intact, aucune des quatre cases par côté du centre n'est blanche ; même ses quatre diagonales sont noires. Le centre ne reçoit donc pas l'étiquette extérieur, qu'on traverse le blanc par côtés ou par côtés et coins. Il forme une seule région blanche bornée. La fiche initiale annonce une partie noire et un trou blanc dans les deux conventions.
Camille propose de simplifier la correction : si une case noire est effacée, la fiche perdrait forcément son trou. Jeanne retire d'abord la case du haut milieu, ligne un colonne deux. Le centre blanc touche maintenant directement cette case blanche par un côté, et celle-ci touche la bordure extérieure par son côté supérieur. Le trajet de deux pas blancs suffit à supprimer le trou. Pourtant les deux flancs noirs demeurent liés par la ligne du bas. Les sept cases occupées forment encore une seule composante par côtés. Une correction a changé la colonne « trous », sans changer la colonne « pièces ».
Le détail de cette ouverture importe à la décision. Si l'on conserve seulement « sept cases noires, une seule partie », la correction suivante paraît identique. Jeanne efface plutôt le coin supérieur gauche de l'anneau original, ligne un colonne un, en laissant le haut milieu noir. Le noir du haut milieu rejoint le haut droit, descend à droite, traverse le bas et remonte à gauche jusqu'à la case de la ligne deux colonne un. Aucune partie noire n'est isolée : il reste sept cases et une composante par côtés, comme après l'ouverture du haut milieu.
Le blanc raconte une autre histoire. Le centre, ligne deux colonne deux, n'a toujours aucun voisin blanc par côté : ses voisins haut, bas, gauche et droit demeurent noirs. Le coin blanc effacé se trouve seulement en diagonale du centre. Si Jeanne compte les chemins du blanc par côtés, le centre reste un trou. Si elle permet aussi le pas diagonal, il touche le coin supprimé, qui touche à son tour l'extérieur. Il n'est alors plus un trou. La même feuille à sept cases donne donc « un trou » et « aucun trou » selon la convention annoncée, sans que le dessin change.
Nora inscrit les deux versions de sept cases dans deux lignes différentes du catalogue. L'ouverture au milieu du haut enlève le trou même avec le voisinage blanc le plus strict. L'ouverture au coin ne l'enlève que sous le voisinage blanc qui accepte les diagonales. Une légende unique « bordure cassée » effacerait cette différence opératoire : pour corriger une annotation fondée sur les côtés, il faut savoir quelle case précise manque. L'aire égale et la connexité noire égale ne suffisent pas à déduire la réponse blanche.
Elles vérifient ensuite la tentation inverse : noircir une case au hasard pour retrouver les huit cases de départ. Jeanne part de la version ouverte au haut milieu et noircit le centre, ligne deux colonne deux. Il y a de nouveau huit cases noires ; elles sont reliées par côtés, notamment par ce nouveau centre. Mais la case blanche du haut milieu reste ouverte sur la bordure. Aucune case blanche bornée ne réapparaît. Cette version et l'anneau initial ont même aire et même nombre de parties noires, tout en ayant des nombres de trous différents.
La réparation correcte du trou perdu dans la première ouverture serait de remettre la case du haut milieu, pas de remplir le centre. Dans un cas, le blanc central redevient enclavé ; dans l'autre, le blanc central n'existe plus et le blanc restant communique avec l'extérieur. Les deux opérations donnent huit cases occupées, mais elles ne donnent pas le même fichier de coordonnées. Nora conserve la première version du catalogue pour l'image d'une bordure entourant du blanc ; elle ne remplace pas silencieusement cette image par une surface pleine sous prétexte que les deux fiches portent le nombre huit.
Jeanne examine alors une marque plus petite : deux cases seulement, aux coordonnées un-un et deux-deux. Elles se touchent par un coin et n'ont aucun côté commun. Sous la règle noire par côtés, ce sont deux parties ; sous la règle noire à huit directions, c'est une partie. Le blanc ne présente aucun trou dans les deux cas. Ce contre-exemple retire à Camille une autre formule trop large, « les cases qui se touchent forment une pièce ». Le mot « touchent » doit être assorti de la relation choisie avant de produire une valeur dans le catalogue.
La petite paire n'est pas une version miniature de l'anneau. L'anneau garde une seule partie noire quelle que soit la relation, alors que le retrait d'un coin change seulement le statut du blanc. Dans la paire diagonale, c'est la partie noire qui change avec la relation, sans trou blanc à arbitrer. Jeanne sépare donc les champs « nombre de composantes noires » et « nombre de régions blanches bornées ». Elle refuse de déduire l'un de l'autre au moyen de l'aire ou d'un vague adjectif comme « continu ».
Camille demande ce que deviendrait la fiche si l'on autorisait systématiquement les diagonales partout. Jeanne dessine quatre cases sur un carré de deux sur deux, deux noires sur une diagonale et deux blanches sur l'autre. Avec huit voisins pour les deux couleurs, les deux noires sont reliées et les deux blanches le sont aussi ; leurs liaisons abstraites se croisent au centre du petit carré. Aucun trait dessiné ne règle ce croisement. Pour une lecture géométrique, elle précise les règles des deux couleurs et n'interprète pas deux contacts diagonaux opposés comme deux couloirs matériels qui se traverseraient.
Le choix de la convention ne se répare pas après coup par un changement de nom. Sur le coin effacé, une fiche calculée avec quatre voisins blancs indique un trou ; une fiche calculée avec huit n'en indique pas. Si le lecteur reçoit seulement le nombre zéro, il ne peut pas reconstituer si le centre a été rempli, si le haut a été ouvert ou si le coin a été considéré comme un passage diagonal. Jeanne ajoute au champ résultat le couple « règle des cases noires, règle des cases blanches » et garde les coordonnées de la modification. Cette donnée fait partie de la preuve.
Pour tester une autre sorte de correction, Nora dessine deux îlots noirs de deux lignes et deux colonnes. Le premier occupe les colonnes un et deux des lignes un et deux ; le second occupe les colonnes quatre et cinq des mêmes lignes. La colonne trois reste blanche entre eux. Chaque îlot est relié en lui-même par côtés, mais aucun côté noir ne traverse la colonne blanche. Le dessin total possède huit cases noires et deux parties, sans trou blanc. Son aire égale celle de l'anneau, mais ses deux autres champs diffèrent.
Nora noircit maintenant la case de la ligne un colonne trois. Elle touche la case de la ligne un colonne deux à gauche et celle de la ligne un colonne quatre à droite. Les deux îlots ne sont plus séparés : il y a neuf cases noires, une seule partie, toujours aucun trou. Elle n'a pas fermé une région blanche ; elle a bâti un pont entre deux régions noires. Si elle retire précisément cette case, les deux parties réapparaissent. C'est une opération sur les composantes, et non l'inverse de la suppression du trou de l'anneau.
Camille tente d'obtenir le même raccord en noircissant la case de la ligne deux colonne trois. Elle y parvient également pour les deux îlots de deux lignes, mais ce n'est pas une autorisation de noircir n'importe où dans la colonne trois : une case plus bas ne toucherait aucun des deux îlots par côté. La décision « ajouter un pont » exige donc un témoin de coordonnées et deux attaches vérifiées. Le simple fait que deux groupes soient séparés par une colonne blanche ne prouve pas que toute case de cette colonne les joindra.
Une autre proposition consiste à repeindre le coin supérieur droit du premier îlot, ligne un colonne deux, en blanc, puis à ajouter la case de ligne un colonne trois. Le nouveau pont n'a alors plus d'attache gauche sur sa ligne. Il touche encore l'autre îlot à droite, mais le premier îlot n'est pas atteint par ce contact ; il faudrait regarder une autre case intermédiaire. Jeanne refuse de recycler le calcul « neuf cases, une partie » de la version précédente après cette double modification. L'ordre des changements et leur liste exacte comptent autant que le total final.
Le catalogue reçoit deux tâches séparées. Pour vérifier les parties noires, on explore seulement les cases noires depuis chacune qui n'a pas encore reçu de numéro ; chaque exploration donne une partie. Pour vérifier les trous, on explore d'abord les cases blanches depuis l'extérieur d'un rectangle plus grand que la figure ; seules les régions blanches non atteintes sont comptées. Ce sont des procédures finies sur une grille finie, avec la relation de voisinage inscrite en tête. Les conserver séparées évite qu'une correction d'un seul carré fasse passer un ancien résultat pour un nouveau calcul.
Jeanne fixe la convention principale de son catalogue : côté partagé pour les parties noires et côté partagé pour les régions blanches. Elle ajoute une colonne de comparaison quand les diagonales blanches importent, comme au coin retiré. Ce choix n'est pas une vérité sur tous les dessins : c'est un contrat de lecture pour ces fiches. Un lecteur qui souhaite une autre convention peut recalculer à partir des coordonnées, mais ne peut pas citer le chiffre principal comme s'il provenait déjà de son contrat.
Avec ce contrat, l'anneau intact est une partie et un trou ; le haut milieu retiré, une partie et zéro trou ; le coin retiré, une partie et un trou ; le centre ajouté au haut ouvert, une partie et zéro trou. Nora inscrit aussi que la paire diagonale est deux parties et zéro trou, puis que le pont entre les deux îlots fait passer deux parties à une. Chaque ligne garde son acte de modification, afin qu'une personne qui lit seulement les chiffres ne mélange pas fermeture du blanc et raccord du noir.
Camille revient au coin manquant. Elle veut imprimer simplement « trou présent », puisque c'est la réponse du contrat principal. Jeanne accepte cette valeur seulement avec une note courte : en voisinage diagonal pour le blanc, le centre rejoint l'extérieur par le coin supprimé. Sans cette note, la personne qui vérifie à l'œil pourrait prendre la discordance pour une erreur de recopie. La note ne prétend pas que le papier possède une fente ni que l'encre forme une barrière ; elle indique pourquoi deux lectures annoncées divergent.
Elles traitent ensuite un désaccord de correction. Une ancienne fiche affirmait « neuf cases, une seule partie, un trou » pour les deux îlots réunis par la case de ligne un colonne trois. Le premier champ est exact, le deuxième aussi, mais le troisième est faux : aucune région blanche n'est encerclée par ces cases, car le blanc au-dessous du pont et entre les îlots rejoint le blanc de la bordure inférieure. Jeanne ne supprime pas toute la fiche. Elle corrige le champ faux et cite le chemin blanc qui descend depuis la colonne centrale. Cette preuve locale rend la correction contrôlable par un tiers.
Nora demande si le contour extérieur des deux îlots reliés suffit à conclure à l'absence de trou. Jeanne répond par une recherche depuis la case blanche de ligne deux colonne trois, située sous le pont de ligne un. Cette case touche par son côté inférieur le blanc de la ligne trois, qui mène hors du rectangle occupé. Le témoin nomme une chaîne blanche complète. Un dessin plus grand pourrait cacher une autre région intérieure ; pour la figure précise, l'exploration des autres blancs montre qu'aucune n'est séparée. La fiche n'infère pas une règle universelle de ce seul témoin.
Dans une version destinée à la consultation rapide, elles gardent un croquis, mais refusent d'en faire la seule source de vérité. Un croquis agrandi peut laisser paraître un espace entre deux cases qui partagent réellement un côté ; un trait épais peut au contraire sembler souder deux coins. La liste des coordonnées et la convention résolvent ces apparences. Le croquis aide à se repérer ; il ne remplace pas le compte qui décide si la légende dit « une partie », « deux parties » ou « trou ».
Le travail de Jeanne change alors de nature. Elle ne cherche plus la formule la plus flatteuse pour chaque marque, mais la modification minimale qui rend vraie une légende choisie. Pour l'anneau ouvert par le haut, si elle veut restaurer un trou sans changer les autres cases, remettre la case supprimée suffit. Pour les deux îlots, si elle veut une seule partie, ajouter l'une des deux cases de la colonne centrale qui touche simultanément les deux blocs suffit. Les deux réparations ajoutent une case, mais leurs preuves portent sur des champs différents et leurs coordonnées ne sont pas interchangeables.
Si l'objectif est au contraire de garder le même nombre de cases, la réparation peut devenir impossible sous une contrainte plus serrée. Après le retrait du haut milieu, ajouter le centre remet l'aire à huit sans rendre le trou. Il faudrait remettre le haut milieu et enlever ailleurs une case qui n'ouvre pas une nouvelle sortie au centre ; le choix de cet ailleurs demande son propre contrôle. Jeanne n'inscrit pas une solution générale à partir d'une seule tentative. Elle conserve l'exemple qui réfute la règle naïve « retrouver l'aire restaure la légende ».
Le catalogue peut enfin répondre à une demande précise : « Cette bordure de huit cases montre-t-elle une zone blanche isolée ? » Jeanne répond oui pour l'anneau, non pour la bordure ouverte au milieu et non pour la feuille de huit cases obtenue en remplissant son centre, sous la convention principale. À la question différente « Les huit cases forment-elles une seule partie ? », les trois réponses sont oui. Cette paire de questions donne trois fiches distinctes là où un seul chiffre d'aire aurait dissimulé la correction.
Camille signe la version corrigée avec les coordonnées et la règle, sans qualifier la marque de découpe réalisable, de page imprimée ni de produit particulier. Le mot « trou » désigne uniquement une région blanche finie qui n'atteint pas l'extérieur selon les pas autorisés. La prochaine personne pourra contester la convention, puis refaire le calcul avec une autre, mais elle saura exactement quelle affirmation était vérifiée ici. La correction d'une case ne sera plus absorbée dans une étiquette inchangée.
Réunir deux blancs enfermés sans les faire sortir
Une autre fiche demande une opération différente de l'ouverture de l'anneau. Jeanne trace un rectangle plein de trois lignes et cinq colonnes, puis laisse blanches les cases de la ligne deux aux colonnes deux et quatre. Les treize autres cases sont noires. Chaque blanc possède quatre voisins noirs par côté, et même ses voisins diagonaux restent noirs : il y a donc deux régions blanches bornées, sous le voisinage à quatre comme sous celui à huit. Le noir reste d'une seule pièce autour d'elles. Nora demande une modification d'une seule case noire qui réunisse les deux cases blanches dans une même région encore bornée, sans effacer l'une ou l'autre.
Jeanne efface la case de la ligne deux colonne trois, située entre les deux blancs. Les trois cases blanches des colonnes deux, trois et quatre forment alors une chaîne par côtés. Au-dessus, les trois cases de la ligne un demeurent noires ; au-dessous, celles de la ligne trois aussi. Les extrémités blanches ne touchent pas davantage le dehors, puisque les colonnes un et cinq demeurent noires. La nouvelle région blanche reste donc bornée avec quatre ou huit voisins, mais elle est unique. Il y a douze cases noires ; elles restent reliées par le contour du rectangle. L'opération a fait passer le nombre de trous de deux à un, sans le faire tomber à zéro et sans changer le nombre de parties noires.
Camille propose plutôt d'effacer la case du haut au milieu, ligne un colonne trois. Cette case semble toucher les deux blancs en diagonale, mais elle est sur le bord extérieur. Avec quatre voisins blancs, elle ne rejoint ni l'un ni l'autre : deux trous demeurent. Avec huit voisins, elle rejoint les deux, mais ouvre immédiatement leur région commune sur l'extérieur ; il ne reste aucun trou. Ce résultat ne remplit pas la demande, même si deux blancs jadis séparés communiquent maintenant sous une convention. Nora garde séparées les exigences « réunis » et « encore enfermés », au lieu de lire seulement le nombre de chemins possibles.
La place du blanc ajouté est forcée par le contrat à quatre voisins. Pour réunir en un seul pas les cases initiales deux-deux et deux-quatre sans toucher à elles, la nouvelle case doit partager un côté avec chacune. La seule coordonnée répondant à ces deux obligations est deux-trois. Toute case de bord adjacente à un seul des deux blancs ouvre au mieux ce blanc vers l'extérieur ; aucune ne relie les deux par côtés. Sous huit voisins, les cases un-trois et trois-trois peuvent toucher les deux en diagonale, mais elles sont elles-mêmes au bord et font échouer la condition d'enfermement. Jeanne retient donc deux-trois comme correction unique satisfaisant simultanément les deux conventions et la présence persistante des deux cases blanches d'origine.
Cette fiche nouvelle ne remplace pas l'ancien anneau à un trou. Dans l'anneau, retirer la case du haut milieu faisait disparaître l'unique région bornée en l'ouvrant au dehors. Ici, retirer la cloison intérieure unit deux régions bornées en une troisième qui reste enfermée. Le même geste apparent « effacer une case » a ainsi deux issues topologiques différentes, contrôlées par la position et par la destination exigée. Nora remet le rectangle trois sur cinq, les deux blancs d'origine et la seule case effacée, avec la preuve d'unicité ; une simple annotation « un trou après correction » n'aurait pas montré que les deux anciens blancs ont été conservés et réunis.