Dans une maison fictive, Jeanne prépare une énigme sur une feuille avant de recevoir ses invités. Quatre voyants dessinés portent les lettres A, B, C et D. Des commandes portent chacune deux lettres. Les invités devront obtenir un état annoncé en choisissant des commandes, puis expliquer pourquoi un autre état reste hors de portée. Le succès ne dépend pas de la beauté du panneau imaginé : la règle de chaque geste et l'état de départ doivent rester lisibles à chaque étape.
Notre panneau n'est ni un circuit installé, ni une consigne pour intervenir sur une installation. Appuyer sur une commande inverse exactement les deux voyants dont elle porte les lettres : allumé devient éteint, éteint devient allumé. Il n'y a ni temporisation, ni panne cachée, ni courant à vérifier. Les quatre états sont des zéros ou des uns sur du papier. Une commande peut être actionnée une seconde fois, ce qui annule son premier effet. Les règles de cette énigme sont créées ici ; les sources suivantes attestent seulement la catégorie des commandes et des voyants, sans fournir notre logique de paires.
Simon présente des catégories d'interrupteurs et de boutons.
Legrand présente une collection de commandes d'éclairage.
Hager répertorie notamment des boutons-poussoirs et des voyants.
Obtenir deux voyants précis plutôt que deux voyants quelconques
Jeanne place les lettres aux quatre coins de son dessin et écrit quatre commandes : AB, BC, CD et DA. Toutes partent de quatre voyants éteints. Pour une première demande, seuls A et C doivent être allumés à la fin. Appuyer sur AB allume A et B. Appuyer ensuite sur BC éteint B, déjà allumé, et allume C. L'état final est A et C. Jeanne inscrit les deux états intermédiaires sur la feuille ; sans celui qui montre B allumé après le premier geste, la seconde commande pourrait sembler allumer trois voyants au lieu d'en inverser deux.
Camille propose d'appuyer seulement sur AC. Le dessin initial ne porte aucune commande AC. Les lettres A et C existent bien, mais cela ne suffit pas à rendre un bouton portant ces deux lettres disponible. Jeanne refuse donc cette solution à un geste dans le premier dossier. Elle ne transforme pas une paire désirée en une commande que le panneau n'a jamais reçue. La demande reste réalisable par AB puis BC, et l'absence d'AC ne la rend pas impossible ; elle impose seulement un autre parcours d'états.
Une seconde suite part des mêmes quatre voyants éteints. CD allume C et D ; DA éteint D et allume A. Elle aboutit encore à A et C. Jeanne conserve les deux suites : AB, BC et CD, DA. Elles ne montrent pas deux cibles différentes. Elles montrent que la même remise finale peut avoir deux histoires de gestes, avec B allumé temporairement dans la première et D temporairement dans la seconde. Si l'énigme porte seulement sur l'état final, elles réussissent toutes deux ; si elle porte aussi sur le trajet, ce détail devient décisif.
Un brouillon comptait quatre commandes parce qu'il additionnait ces deux suites. Les faire toutes agir à partir de l'état éteint ramènerait au contraire chaque voyant à l'extinction : A apparaît dans AB et DA, B dans AB et BC, C dans BC et CD, D dans CD et DA. Chaque lettre serait inversée deux fois. Jeanne retire donc cette combinaison de la réponse à la première demande. Les deux suites sont des alternatives pour obtenir A et C, pas les deux moitiés d'une exécution à quatre gestes.
Savoir avant d'essayer qu'un état est exclu
Jeanne cherche une règle qui contrôle les états possibles sans tester au hasard toutes les suites. Chacune de ses quatre commandes inverse deux voyants. Si les deux sont éteints, le nombre de voyants allumés augmente de deux ; s'ils sont allumés, il diminue de deux ; si l'un seulement est allumé, ce nombre reste le même. À partir de zéro, ce nombre demeure donc pair après n'importe quelle suite. Un état où seul A serait allumé ne peut pas être la réponse, même en répétant indéfiniment AB, BC, CD ou DA.
Camille demande alors si cette parité prouve que toutes les demandes paires réussissent. Jeanne ne confond pas une condition nécessaire avec une recette complète. Elle choisit trois commandes du panneau, AB, BC et CD. Pour obtenir A avec D, elle peut les actionner toutes trois : AB allume A et B ; BC éteint B et allume C ; CD éteint C et allume D. L'état final est A et D. Cette construction ne repose pas sur une case d'un tableau déjà remplie ; elle donne un trajet que les invités peuvent reproduire sur leur feuille.
Le même trio de commandes permet toutes les paires de lettres. AB, BC et CD donnent directement trois paires voisines ; AB suivi de BC donne A et C ; BC suivi de CD donne B et D ; les trois donnent A et D. Aucune autre paire de deux lettres n'existe parmi quatre. L'état vide est déjà disponible sans geste. Pour allumer les quatre voyants, AB puis CD suffisent : les deux commandes portent des lettres disjointes, chacune allume sa paire encore éteinte. Jeanne a ainsi construit les huit états de nombre pair, vide, six paires et quatre allumés. Les huit états de nombre impair restent écartés par l'invariant précédent.
La seconde construction de l'état entièrement allumé est BC puis DA. Elle ne suit pas les mêmes états intermédiaires qu'AB puis CD, mais atteint bien A, B, C et D. Jeanne vérifie ce résultat lettre par lettre : les deux paires BC et DA sont disjointes. Elle ne répond pas simplement « quatre est pair » ; la parité seule n'aurait pas donné les commandes nécessaires. L'état final et le trajet sont tous deux renseignés, ce qui lui permet de proposer une démonstration plutôt qu'une promesse d'accessibilité.
Deux suites complètes peuvent se remplacer
Pour comprendre la double réponse à A et C, Jeanne se limite d'abord à l'usage de chaque commande zéro ou une fois. Deux pressions de la même commande s'annulent et ne changent que la longueur du trajet, pas l'état final. Dans le cycle AB, BC, CD, DA, appuyer une fois sur chacune ramène également à l'état vide. Si une suite donne un état, ajouter les quatre commandes une fois chacune inverse l'appartenance de chaque commande à la suite sans modifier le résultat final. C'est ainsi que AB avec BC se transforme en CD avec DA.
Jeanne vérifie que cette transformation explique exactement deux choix réduits pour chaque état final du cycle, sans en cacher un troisième. Si une sélection de commandes ne change aucun voyant, chaque lettre doit figurer un nombre pair de fois parmi les paires choisies. Lorsque AB est absent, B impose l'absence de BC, puis C celle de CD et D celle de DA : aucune commande n'est choisie. Lorsque AB est présent, B impose BC, C impose CD et D impose DA : les quatre le sont. Le cycle complet est donc la seule sélection non vide qui ne change rien.
Deux sélections menant au même état diffèrent par une sélection qui ne change rien. Elles sont donc soit identiques, soit complémentaires par les quatre commandes. Jeanne retient cette conséquence pour la cible A et C : AB avec BC d'un côté, CD avec DA de l'autre. Elle ne compte pas comme solutions nouvelles AB, BC, AB, AB ou d'autres répétitions qui s'annulent. Le nombre de gestes exécutés peut varier à l'infini si l'on ajoute des retours inutiles ; le nombre de sélections réduites reste ici deux.
Cette distinction devient utile quand Camille demande la suite la plus courte. Les deux sélections réduites de A et C comportent chacune deux commandes ; aucune commande initiale ne porte directement AC. Deux gestes constituent donc le minimum. Pour tous les voyants allumés, AB avec CD et BC avec DA demandent aussi deux gestes. Jeanne n'attribue pas ce minimum à tous les états pairs : AB seul demande un geste, l'état vide zéro. Elle annonce un minimum pour la demande effectivement posée, après avoir séparé les choix distincts des retours sans effet.
Ajouter un coût fictif change le choix sans changer la cible
L'hôte donne maintenant un coût de mise en scène à chaque geste sur la feuille : AB coûte un point, BC trois, CD un et DA deux. Ces points ne sont ni un prix, ni une durée réelle, ni une mesure d'effort électrique. Jeanne garde la cible A et C, ainsi que les deux seules sélections réduites du cycle. AB puis BC totalisent quatre points ; CD puis DA en totalisent trois. Sous la nouvelle préférence du moindre coût, elle choisit CD puis DA, même si les deux réponses demandent exactement deux gestes.
Camille propose de faire DA avant CD puisque la somme resterait trois. Pour la seule cible finale, elle a raison : l'ordre de deux inversions ne change pas les lettres inversées un nombre impair de fois. L'hôte ajoute toutefois une contrainte de scène : A doit rester éteint jusqu'au dernier geste. DA en premier allumerait A immédiatement ; CD en premier ne touche pas A, puis DA l'allume à la fin tout en éteignant D. Jeanne choisit donc l'ordre CD, DA. La contrainte nouvelle porte sur l'état intermédiaire, pas sur le coût ou l'état final.
La suite concurrente AB, BC échoue aussi à cette contrainte de scène : AB allume A dès son premier geste. Inverser son ordre l'aide sur cette contrainte : BC puis AB allume d'abord B et C et n'allume A qu'au second ; cette version satisfait donc la contrainte, mais coûte toujours quatre. Jeanne conserve cette correction importante. Sous le coût seul, CD avec DA gagne trois contre quatre. Sous coût plus extinction de A avant le dernier geste, elle retient CD puis DA à trois, tout en reconnaissant que BC puis AB reste une solution admissible plus chère.
Une première fiche avait marqué AB avec BC « interdit » sans préciser l'ordre. Jeanne la rectifie : le choix des deux commandes n'est pas interdit en bloc par la nouvelle contrainte, seul AB en premier l'est. Cette distinction évite de transformer une règle sur les étapes en règle sur les ensembles de commandes. La décision active garde CD puis DA pour son coût, et les états inscrits sont zéro, C avec D, puis A avec C. Elle ne prétend pas que B et C ne pourraient jamais fournir le même résultat sous un autre ordre.
Une commande absente peut laisser toute la portée intacte
Dans une autre branche, BC est indisponible avant la préparation. AB, CD et DA demeurent. Jeanne ne reprend pas son premier chemin vers A et C, qui utilisait précisément BC. Elle peut cependant prendre CD puis DA, les deux commandes disponibles, et atteindre la cible. Pour allumer les quatre, AB puis CD restent utilisables. La panne d'une commande retire certaines suites, mais ne prouve pas à elle seule qu'elle retire un état final. Les deux questions demandent des vérifications différentes.
Les trois commandes restantes relient encore les quatre lettres par un chemin B-A-D-C. Leurs inversions permettent toujours toute paire de voyants : une paire de lettres voisines du chemin demande une commande, tandis qu'une paire éloignée demande la suite des commandes entre elles. Par exemple, B et C demandent AB, DA, CD. Chaque lettre intérieure est alors inversée deux fois, les deux extrémités une fois. L'état vide et l'état tout allumé complètent de nouveau les huit états pairs. Jeanne construit ainsi la portée au lieu de la déduire seulement du mot « chemin ».
Dans ce chemin, une sélection non vide des trois commandes ne ramène pas tous les voyants à l'extinction. La lettre B n'appartient qu'à AB : si AB est choisi, B resterait allumé. Pour l'éteindre, AB doit être absent. Alors A impose l'absence de DA, puis D l'absence de CD. Aucune sélection non vide n'a un effet nul. Chaque état pair possède donc une sélection réduite unique. Pour A et C, CD avec DA reste seule ; la solution concurrente AB avec BC a disparu sans que la cible disparaisse.
Une branche différente rend DA indisponible mais garde AB, BC et CD. Cette fois A et C restent accessibles par AB avec BC. La suite CD avec DA n'est plus disponible. Le coût minimal pour A et C devient quatre points dans les coûts fictifs déclarés, contre trois dans la branche précédente. Les deux pannes isolées conservent les mêmes huit états pairs et retirent toutes deux la redondance du cycle ; elles n'ont pourtant pas la même conséquence sur la meilleure réponse à cette demande. Jeanne garde les états de panne séparés plutôt que d'assembler leurs commandes survivantes dans une liste imaginaire.
Deux absences créent une barrière nouvelle
Une troisième branche retire BC et DA en même temps. Il ne reste que AB et CD. AB n'agit que sur la première paire, CD que sur la seconde. À partir du vide, Jeanne peut ne rien faire, allumer A et B, allumer C et D, ou allumer les quatre par les deux commandes. Ce sont quatre états, chacun avec un nombre pair de voyants allumés dans chacune des deux paires. A et C seuls seraient une lettre allumée dans chaque paire ; aucune des deux commandes restantes ne peut produire cette demande.
Camille voudrait retenir la vieille suite CD, DA parce que DA figurait dans la feuille d'une seule panne. Jeanne refuse ce mélange de branches. DA est absente dans le dossier où BC l'est aussi. Elle conserve l'état A et C comme impossible sous ces deux absences, tout en notant que les quatre voyants peuvent encore être allumés par AB et CD. La perte d'une cible ne signifie pas que tout le panneau cesse de répondre. La différence apparaît en comparant les quatre états disponibles aux huit de la branche avec un seul manque.
La parité globale ne suffit plus à caractériser la portée : A et C forment un état globalement pair, mais inatteignable ici. Il faut un contrôle pour chacune des deux parties séparées, AB et CD. Chacune commence avec zéro voyant allumé et sa seule commande inverse les deux voyants de cette partie. Elle conserve donc son propre nombre pair. Jeanne peut maintenant refuser A et C sans parcourir toutes les longueurs de suites possibles. La nouvelle impossibilité provient de la séparation effective des commandes, pas d'une nouvelle règle qui aurait interdit les deux voyants nommés.
L'hôte autorise enfin, sur une autre feuille, une commande supplémentaire AC reliant les deux parties. Une pression sur AC depuis le vide allume exactement A et C. Le nouvel ensemble AB, CD, AC permet aussi les autres paires : AB avec AC donne B et C ; AC avec CD donne A et D ; les trois donnent B et D. L'état tout allumé reste obtenu par AB et CD. Avec le vide, les six paires sont de nouveau accessibles. Jeanne inscrit l'ajout comme nouvelle permission de l'exercice ; elle ne prétend pas avoir trouvé AC cachée dans la feuille où seulement AB et CD subsistaient.
Cette liaison nouvelle ne rend toujours pas A seul accessible. AB, CD et AC inversent chacun deux lettres, et le nombre global de voyants allumés reste pair. Jeanne distingue donc les deux réparations de portée : AC supprime la barrière qui exigeait une parité séparée dans chaque partie, mais ne supprime pas la parité globale. L'hôte peut obtenir A et C d'un geste sur la feuille enrichie. S'il demande A seul, il lui faudrait autoriser une autre sorte de geste ou changer l'état de départ ; annoncer AC comme solution aux deux demandes serait confondre une paire et une lettre.
L'état reçu compte autant que l'état voulu
Jeanne reçoit maintenant une feuille où A et B sont déjà allumés. Les quatre commandes du cycle initial sont disponibles. La demande finale reste A et C. Elle ne repart pas de quatre zéros dans son calcul des gestes à effectuer. Il faut conserver A allumé, éteindre B et allumer C ; BC fait exactement ces deux inversions. Une seule pression suffit depuis cet état initial. La même cible exigeait deux pressions depuis le vide. L'efficacité annoncée d'une suite dépend donc du point de départ effectivement reçu.
Si l'état reçu ne comporte que A allumé et que la demande est A avec C, la différence à produire est C seul. Aucune commande de paire ne change un nombre impair de voyants entre départ et arrivée. Jeanne refuse cette demande sous les quatre commandes initiales, même si l'arrivée compte deux voyants et figure parmi les huit états atteignables depuis le vide. Une cible possible depuis un état initial n'est pas automatiquement possible depuis chaque autre état : les parités du départ et de l'arrivée doivent coïncider.
À partir de A seul, demander B seul reste en revanche possible. AB éteint A et allume B ; le départ et l'arrivée ont chacun un voyant allumé. Jeanne ne dit donc pas que tout état impair est « bloqué ». Depuis le vide, les états impairs sont hors de portée ; depuis un état impair, les gestes de paire restent dans la classe impaire et peuvent déplacer la lettre allumée. L'invariant porte sur le changement de parité, pas sur une interdiction générale de représenter un voyant isolé sur la feuille.
Dans la branche aux deux commandes restantes AB et CD, cette différence de départ doit même être examinée par partie. Si A seul est allumé au départ, B seul est accessible par AB, mais C seul ne l'est pas : la première paire perdrait son unique voyant allumé et la seconde gagnerait un unique voyant, ce qu'aucune des deux commandes séparées ne peut faire. Avec AC ajoutée, A devient C par une pression, car cette commande éteint A et allume C. Jeanne garde ensemble l'état reçu et la liste effective des commandes plutôt qu'un verdict de portée repris d'une autre branche.
Terminer avec la règle que la feuille possède réellement
L'hôte souhaite finalement une représentation où A seul serait accessible depuis quatre voyants éteints. Jeanne pourrait ajouter au modèle une commande qui inverse A seul. Ce nouveau type de geste change la parité et, avec les trois commandes AB, BC, CD déjà présentes, permettrait d'obtenir chacun des seize états : pour une cible paire, le chemin des paires suffit ; pour une cible impaire, Jeanne inverse A puis utilise les commandes de paire pour déplacer les autres inversions nécessaires. Elle n'inscrit pas ce geste dans le panneau initial, qui n'en possède aucun.
La commande hypothétique n'est pas une recommandation de câblage ni la description d'un produit cité. Elle sert à montrer exactement quelle hypothèse de l'énigme devrait changer pour rendre une demande impaire réalisable depuis le vide. Jeanne choisit de conserver le panneau original pour l'accueil : cible A et C, deux gestes CD puis DA et coût fictif trois, avec A éteint jusqu'au dernier geste. La feuille des deux pannes, elle, reste refusée pour cette cible tant que la liaison AC n'a pas été expressément ajoutée.
Elle remet aux invités les états de départ, les commandes permises et la cible sur la même feuille. Pour chaque variante, elle indique si elle cherche une atteinte possible, le nombre minimal de gestes, le moindre coût ou un état intermédiaire imposé. Ces demandes ne donnent pas toujours la même suite, même lorsqu'elles portent sur A et C. La distinction utile est vérifiable sur les voyants dessinés : une paire inversée à chaque geste, des parties qui peuvent se séparer, et une nouvelle liaison qui rétablit une cible sans abolir toutes les limites.