Dans une maison fictive, Alma prépare un petit carnet pour montrer deux séries de cartes, A et B. Elle a exactement quatre cartes A et trois cartes B. Chaque page ne révèle qu'une carte supplémentaire. Son projet initial n'est pas de départager deux personnes, ni de compter des voix : elle veut que le nombre de A déjà montrées ne soit jamais inférieur au nombre de B déjà montrées. Cette exigence porte sur toutes les pages intermédiaires. Une belle dernière page ne répare pas une page antérieure qui aurait enfreint la règle.
Les pages officielles de Rhodia, de Field Notes et de Papier ont été lues pour situer la catégorie des carnets et cahiers. Aucun de ces fabricants ne donne la convention des cartes, les personnages ou les comptes. Les sept cartes ne décrivent ni un produit, ni une pratique réelle de consultation. Alma choisit ici seule un ordre imaginaire et une contrainte inventée ; les trois lectures n'autorisent aucune recommandation de fabrication ou de conservation.
Alma écrit A comme une montée d'une unité et B comme une descente d'une unité. La hauteur d'une page est le nombre de A déjà visibles moins le nombre de B déjà visibles. Avec quatre A et trois B, la hauteur finale vaut toujours un. Cette égalité finale est une donnée pauvre : elle vaut pour un relevé qui a commencé par B autant que pour un relevé demeuré admissible. Alma garde donc deux colonnes sur sa feuille, l'ordre réellement dévoilé et la hauteur atteinte après chaque lettre. Elle ne remplace pas l'une par le seul total de l'autre.
La dernière page ne décide pas pour les six premières
Son premier projet est BAAAABB. Il finit à hauteur un, mais sa première page est à hauteur moins un. La correction consistant à montrer encore des A plus tard ne change pas ce premier fait. Alma barre ce projet avant de remettre le carnet. Le refus a un instant déterminé, page un ; il ne repose pas sur une impression de déséquilibre à la fin. Si le carnet avait déjà été montré, elle ne pourrait pas appeler cette première page conforme en changeant le reste.
Elle essaie AABBAAB. Les hauteurs successives sont un, deux, un, zéro, un, deux, un. Toutes sont non négatives ; la page quatre touche exactement zéro sans passer en dessous. Alma accepte cet ordre sous sa règle actuelle. Elle précise à son frère qu'« au moins autant » autorise l'égalité. S'il avait demandé « toujours davantage de A », la page quatre suffirait au contraire à refuser la même suite. Les lettres ne changent pas lorsqu'on change la condition ; le verdict dépend de la formule réellement adoptée.
Pour mesurer son choix, Alma ne traite pas les sept cartes comme sept individus différents. Deux cartes A échangées entre elles laisseraient le même relevé. Il existe trente-cinq suites possibles, car il suffit de choisir les trois positions des B parmi sept. Elle les vérifie indépendamment par une table de préfixes : à chaque position, elle conserve le nombre de A et de B encore disponibles et la hauteur atteinte. Une branche dont la hauteur devient négative est abandonnée. Quatorze suites terminent admissibles. Elle peut donc nommer une suite admissible parmi quatorze, pas une page chanceuse parmi sept.
Cette table n'est pas une fréquence de comportement. Aucune main aléatoire n'a été décrite et les trente-cinq ordres n'ont pas été rendus équiprobables par le seul fait de les lister. Alma retire la phrase « le carnet réussira deux fois sur cinq ». Quatorze sur trente-cinq est une fraction de la liste finie sous les hypothèses posées ; c'est le bon quotient si, et seulement si, quelqu'un introduit ultérieurement un tirage uniforme des ordres complets. La décision présente porte sur un ordre choisi et vérifié.
Elle contrôle le quatorze par un second calcul, indépendant de la table. Pour tout ordre fautif, elle repère la première page où B dépasse A. Elle échange les lettres A et B dans cette portion initiale, et seulement dans cette portion. La portion qui avait une B de plus obtient alors une A de plus ; le relevé transformé possède cinq A et deux B au total. Réciproquement, dans tout relevé à cinq A et deux B, elle repère la première page où A prend une avance d'une unité, échange les lettres de cette portion et retrouve un relevé fautif du stock quatre-trois. Les deux transformations se défont exactement. Il y a vingt et une suites à cinq A et deux B, en choisissant les deux places des B parmi sept. Alma soustrait donc vingt et une suites fautives aux trente-cinq, et retrouve quatorze. Elle n'a pas attribué un poids plus grand à une carte : l'échange est un outil de dénombrement entre deux listes, pas une modification autorisée du carnet remis.
Une égalité autorisée n'est pas une avance permanente
Le frère d'Alma lui demande une seconde maquette où A doit rester strictement devant B après chaque carte montrée. La première carte y est nécessairement A. Après cette première page, il reste trois A et trois B ; leurs six positions doivent préserver une hauteur supplémentaire non négative par rapport à cette avance initiale. La table en retient cinq. Alma écrit le nouveau nombre près du mot « strict » au lieu de remplacer silencieusement quatorze par cinq dans l'ancienne fiche.
La suite AAABABB est recevable même sous cette règle stricte : ses hauteurs sont un, deux, trois, deux, trois, deux, un. Elle peut servir de témoin à la maquette sévère. AABBAAB, en revanche, reste recevable seulement pour la première maquette parce que sa quatrième hauteur est zéro. Les deux relevés finissent pourtant à un. Alma montre les deux feuilles côte à côte et refuse d'utiliser leur même hauteur finale comme preuve de leur même parcours.
Si une quatrième B remplace la réserve de cartes sans ajouter de A, la hauteur finale devient zéro. Il existe alors soixante-dix ordres distincts de quatre A et quatre B, quatorze sans passage négatif, mais aucun qui garde A strictement devant après la dernière carte. Ce dernier zéro suffit à interdire la seconde maquette ; il n'interdit pas la première. Alma ne recycle pas le « cinq » de la collection sept cartes : le stock nouveau, la longueur nouvelle et la page finale nouvelle changent ensemble le problème.
Elle reçoit une proposition encore différente : permettre un seul degré de retard, autrement dit une hauteur qui ne descend pas au-dessous de moins un. Avec les sept cartes d'origine, la table compte vingt-huit ordres autorisés. La première carte B devient possible ; une hauteur moins deux reste interdite. Alma inscrit cette tolérance comme une troisième règle et ne prétend pas que les quatorze ordres précédemment refusés auraient, à l'époque, satisfait la première. Une permission nouvelle produit une autre décision, non une correction rétroactive du registre déjà montré.
Une demi-page révélée ferme des chemins
Avant de composer la suite entière, Alma peut recevoir les lettres une à une. Supposons que les trois premières pages portent AAB. Elles atteignent les hauteurs un, deux, un. Il reste deux A et deux B à disposer, soit six fins distinctes. Cinq restent admissibles ; la fin BBAA ferait passer la hauteur de un à zéro puis à moins un, et doit être exclue. Alma pourrait choisir AABB comme fin, donnant AABAABB. Elle sait précisément ce qu'elle doit encore vérifier au lieu de déclarer que tout ordre restant est libre parce que le préfixe présent est bon.
Si les trois premières pages sont ABB, la hauteur a déjà atteint moins un. Il reste trois A et une B dans le stock fixé ; même montrer les trois A suivantes ne rendrait pas les trois pages initiales conformes. La conséquence n'est pas « ajouter davantage de A », car le stock est fixé ; c'est refuser cette exposition sous la première règle. Alma peut repartir sur un nouveau carnet vierge et proposer un autre ordre, mais ce départ constitue un autre objet. Elle garde sur la première feuille la trace ABB et son refus, sans le réécrire comme si le frère avait vu AAB.
Après seulement deux pages, AA laisse dix fins possibles et neuf admissibles ; AB laisse également dix fins, mais cinq admissibles. Les deux préfixes ont respecté la règle jusque-là. Leur différence vient de la marge déjà construite : AA se trouve à hauteur deux, AB à hauteur zéro. Alma choisit de terminer d'abord la maquette qui commence par AA si elle souhaite garder davantage de fins disponibles. Cela n'autorise pas à affirmer que ce préfixe conduira automatiquement à une fin conforme : l'une de ses dix fins échoue encore.
Une vérification des seules quantités restantes manquerait ce point. Après AA il reste deux A et trois B ; après AB il reste trois A et deux B. Ce ne sont pas les mêmes réserves, et chacune doit être jointe à la hauteur où elle commence. Alma ajoute trois colonnes à son registre, A restantes, B restantes et hauteur présente. Deux états ayant la même longueur restante mais des hauteurs différentes ne peuvent être confondus. Ce petit travail d'état justifie les neuf et les cinq, plutôt que de leur donner l'allure d'une préférence esthétique pour une première lettre.
La quatrième page est une vraie décision après AAB. Si Alma y place A, elle atteint la hauteur deux ; il reste une A et deux B, dont les trois ordres sont admissibles. Si elle y place B, elle atteint zéro ; les deux A et la B restantes ont trois ordres, mais commencer cette fin par B ferait aussitôt descendre sous zéro. Il n'en reste que deux. Le total trois plus deux retrouve les cinq fins annoncées à partir de AAB. Alma peut engager A à la quatrième page et conserver trois possibilités, ou engager B et en conserver deux. Elle ne dit pas que choisir A rendra l'une des fins effectivement meilleure : elle décrit la liberté que l'engagement laisse encore au moment où il est pris.
Son frère voudrait promettre la cinquième page avant de connaître la quatrième. Alma refuse cette formulation tant qu'il ne nomme pas les deux branches. Dans la branche AABA, une B en cinquième page conserve une hauteur un ; dans la branche AABB, une B en cinquième page produit moins un et est interdite. La même lettre au même numéro de page a donc deux verdicts selon le préfixe effectivement réalisé. Alma écrit une instruction conditionnelle, « si AABA, B reste possible ; si AABB, montrer A », puis vérifie les réserves de chaque branche. Elle ne fabrique pas un ordre universel de cinquième carte en effaçant l'information de la quatrième.
Trois renvois sur les pages, sans trait qui se croise
Le frère accepte AABBAAB mais veut pouvoir retrouver, pour chacune des trois pages B, une page A antérieure qui n'a encore servi à aucun renvoi. Il veut dessiner les renvois au-dessus de la ligne des sept cartes sans que deux traits se croisent. Ce n'est plus seulement la question de savoir si le relevé est admissible : il faut remettre trois couples de pages précis. Alma conserve l'ordre déjà retenu et n'introduit aucune huitième carte. Une A peut rester sans renvoi, puisque le stock en comporte quatre pour seulement trois B.
Alma commence par inscrire les positions un à sept sous A, A, B, B, A, A, B. À la troisième page, elle rattache B à la deuxième A, la plus récente encore libre. À la quatrième, elle rattache B à la première A. À la septième, elle rattache B à la sixième A. Elle remet les couples de positions (2,3), (1,4) et (6,7) ; la cinquième A reste libre. Les deux premiers traits sont emboîtés, le dernier est séparé, et aucun ne se croise. Le résultat nomme les pages effectivement utilisées : écrire seulement « trois B sont compensées » ne permettrait pas de dessiner ou de contrôler ces renvois.
Le frère avait proposé de prendre chaque fois la plus ancienne A libre. Sur la même suite, cette consigne donne (1,3), (2,4) et (5,7). Les deux premiers traits se croisent : leur ordre des extrémités est un, deux, trois, quatre. Les deux consignes attribuent pourtant une A antérieure et distincte à chaque B. Alma ne rejette donc pas la seconde parce qu'elle violerait la borne des préfixes ; elle la rejette pour le dessin sans croisement ajouté à la commande. Elle conserve ses trois couples comme essai contradictoire, puis inscrit sur la feuille remise les couples emboîtés de la consigne « plus récente A libre ».
La règle de la A libre la plus récente produit ce type de dessin pour toute suite qui respecte la borne. Au moment où une B apparaît, une A libre doit exister : sinon les B déjà vues seraient plus nombreuses que les A, contrairement à la borne vérifiée sur cette page. On peut donc effectuer chaque rattachement. Si deux traits issus de A situées aux positions i puis j, avec i avant j, se croisaient, le B du premier serait rencontré avant celui du second alors que la A de j attendrait encore au-dessus de lui. La consigne aurait pris cette A plus récente pour le premier B ; elle n'aurait pas laissé un trait i–B traverser le futur trait j–B. Alma garde ce raisonnement avec les couples tracés : il justifie que sa procédure est réutilisable, mais la fiche du carnet donne bien les trois renvois réellement choisis, pas une promesse abstraite de procédure.
Corriger un projet privé sans corriger le passé public
Le relevé ABBAAAB est encore privé. Ses hauteurs commencent par un, zéro, moins un : la troisième page échoue. Alma repère deux cartes voisines aux positions trois et quatre, B puis A. Elle les échange avant toute présentation et obtient ABABAAB. Le nouveau relevé garde quatre A et trois B ; toutes ses hauteurs sont non négatives. Le changement ne consiste ni à inventer une huitième carte ni à supprimer l'une des trois B. Elle marque dans le brouillon l'ancienne suite, la paire échangée et la suite qui sera effectivement montrée.
Une seule transposition voisine suffit dans ce cas précis, parce que l'unique descente interdite est corrigée à l'endroit où elle apparaît. Alma ne déduit pas que toute suite refusée serait réparable par un échange. Une suite commençant par plusieurs B peut nécessiter plusieurs gestes ; surtout, si ses pages fautives ont déjà été montrées, les gestes sur le brouillon ne modifient pas l'histoire du carnet public. Le certificat de cette réparation est le contrôle des sept nouvelles hauteurs, pas le nom séduisant de l'opération « échange ».
Elle met cette limite à l'épreuve avec AABBBAA. La cinquième hauteur vaut moins un. Déplacer l'A de la sixième position devant le B de la cinquième donne AABBABA, qui demeure admissible. Ici l'échec tardif laisse les quatre premières pages intactes. Si seules ces quatre pages avaient été montrées, Alma pourrait encore choisir la nouvelle cinquième page sans contredire ce qui est visible. Si la cinquième B avait déjà été révélée, la même correction serait une nouvelle maquette, non la continuation conforme du carnet montré.
Le frère lui propose de cacher temporairement une page fautive et de la déployer plus tard, tout en racontant que le carnet entier a toujours été conforme. Alma refuse cette présentation. Une page cachée n'est pas une page déjà révélée à la place d'une autre ; l'ordre des révélations est précisément la donnée examinée. Elle peut annoncer honnêtement une édition révisée avec un autre ordre. Elle ne peut pas obtenir un résultat sur le relevé ancien en modifiant seulement la légende de celui-ci.
Une règle de pause déplace la question au moment de la décision
Alma imagine enfin une convention de pause : elle ne doit montrer une page supplémentaire que si cette page laissera la hauteur non négative. Avec AABBABA, elle ouvre les quatre premières pages et se trouve à zéro ; la cinquième est A, donc l'ouverture est permise. Avec AABBBAA, elle arrive au même zéro après quatre pages mais la cinquième prévue est B. Elle arrête l'ouverture avant ce geste. Le carnet projeté est refusé comme totalité, tandis que le préfixe effectivement montré reste conforme. Cette différence entre projet et acte évite de présenter une violation non réalisée comme un fait accompli.
La pause ne garantit pas que toutes les cartes seront montrées. Si le seul stock encore accessible au prochain geste était B à hauteur zéro, la règle bloquerait la suite. Alma n'appelle pas ce blocage une victoire. Elle peut choisir un autre ordre avant l'ouverture, ou clore le carnet en disant que la maquette complète n'a pas été livrée. Les quatorze suites admissibles de la collection initiale attestent l'existence de solutions complètes, mais ne rendent pas conforme n'importe quelle politique qui décide sans regarder la prochaine carte.
Elle compare alors deux promesses différentes dans sa lettre. « Chaque page montrée respectera la borne » peut être tenue en s'arrêtant à temps, même si les sept pages ne sont jamais montrées. « Les sept pages seront montrées et respecteront la borne » exige une suite complète parmi les quatorze. Alma choisit la seconde promesse pour la version remise : elle sélectionne AABBAAB avant l'ouverture, en vérifie les sept hauteurs et montre toutes les pages. Elle n'ajoute pas après coup une clause de pause pour qualifier de réussite un carnet resté incomplet.
Le dernier feuillet porte l'ordre effectivement retenu et la règle qui l'a jugé. Le brouillon ABBAAAB, la correction privée et les variantes plus sévère ou plus tolérante restent dans le dossier de préparation, chacune avec sa propre décision. Le carnet remis ne revendique aucune loi sur les carnets réels ou sur les habitudes de lecture. Il tient une promesse limitée, mais vérifiable : quatre A et trois B ont été montrées dans un ordre où aucune page intermédiaire ne laisse B dépasser A.