Camille retrouve une page où Nora avait dessiné deux rangées de trois cases. Cinq portent les numéros un à cinq ; la sixième est vide. La famille voulait déplacer les numéros jusqu'à obtenir, sur la première ligne, un, deux, trois, puis sur la seconde, quatre, cinq et la case vide. Une note au crayon annonce que deux étiquettes ont simplement été échangées pour « réparer » une mauvaise copie. Camille refuse de traiter cette retouche comme un coup du jeu. Elle doit établir si la page retouchée peut réellement venir du dessin initial par les déplacements autorisés.
La grille est inventée pour cette scène. À chaque geste, une seule étiquette voisine de la case vide par un côté glisse dans celle-ci ; le vide prend sa place. Les diagonales ne sont pas des voisinages, les étiquettes ne se soulèvent pas, et deux cases n'échangent pas leurs contenus si aucune n'est vide. Le cahier ne décrit aucun puzzle commercial ni la façon de le fabriquer. Une suite de six signes, lue de gauche à droite sur la première ligne puis sur la seconde, suffit à noter chaque état. Zéro représentera le vide, sans devenir une sixième étiquette.
Les pages consultées attestent seulement une catégorie de puzzles. La grille, ses règles et ses résultats viennent du cahier fictif, sans attribut emprunté aux fabricants.
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Quatre glissements ne sont pas un échange libre
Camille inscrit l'état de référence « un, deux, trois / quatre, cinq, vide ». Le vide est en bas à droite. Il peut recevoir le trois situé au-dessus ou le cinq placé à sa gauche. S'il reçoit le trois, la première ligne devient un, deux, vide et la seconde quatre, cinq, trois. La page n'a pas seulement changé le numéro trois de place : l'emplacement qu'il a quitté est désormais disponible pour le geste suivant. Camille indique ce nouveau vide, car une liste de nombres sans case libre ne permettrait pas de vérifier le deuxième geste.
Nora avait dessiné un petit tour de quatre gestes. Depuis la référence, elle fait glisser successivement trois, deux, cinq, puis trois dans le vide. Les états successifs sont « un, deux, vide / quatre, cinq, trois », puis « un, vide, deux / quatre, cinq, trois », puis « un, cinq, deux / quatre, vide, trois », enfin « un, cinq, deux / quatre, trois, vide ». Chaque numéro appelé touche alors le vide par un côté. La dernière case libre revient en bas à droite, mais trois étiquettes ont tourné entre leurs places.
Paul croyait qu'un vide revenu à son départ obligeait les autres cases à revenir aussi. Le tour de Nora dément cette règle. Le cinq monte sur la première ligne, le deux part à droite et le trois descend, alors que le un et le quatre restent fixes. La feuille finale est atteignable en quatre gestes, mais elle n'est pas le dessin de départ. Camille conserve la trace entière plutôt que la seule dernière ligne : elle peut montrer le déplacement de chaque étiquette sans inventer un échange direct entre deux cases occupées.
Ce tour donne aussi une réparation possible lorsqu'un ordre de trois noms doit changer ensemble. Il ne donne pas la permission de prendre uniquement deux noms voisins et de les intervertir pendant que tous les autres restent où ils sont. Nora demande donc à Camille de comparer la note au crayon, qui permute seulement un et deux, avec un invariant des gestes autorisés. Un exemple de quatre mouvements réussis ne suffirait pas à rejeter toutes les tentatives plus longues ; il faut trouver une propriété que chacun des mouvements conserve.
La paire échangée échoue avant la recherche d'un trajet
Camille lit les cinq numéros en ignorant la case vide, puis compte les paires qui se présentent dans l'ordre inverse de un, deux, trois, quatre, cinq. Dans la référence, aucune paire n'est inversée. Dans « deux, un, trois / quatre, cinq, vide », la paire deux-un est inversée et aucune autre ne l'est. La note au crayon a donc créé une inversion impaire. Cette mesure ne cherche pas le nombre de gestes nécessaires ; elle sert d'abord à refuser une provenance impossible sous la règle de la grille.
Un glissement horizontal du vide ne change pas l'ordre de lecture des cinq numéros. L'étiquette traverse le vide, mais ne franchit aucune autre étiquette. Un glissement vertical dans une grille de trois colonnes fait franchir deux numéros dans cet ordre de lecture. Chacun des deux croisements peut ajouter ou retirer une inversion, mais leur nombre total change d'une valeur paire. Après n'importe quelle succession de ces gestes, la parité du nombre d'inversions reste donc celle du départ. Camille n'a pas besoin de lister une infinité de suites pour refuser le simple échange de un et deux.
Paul propose de déplacer le vide autour du bord jusqu'à ce qu'il se trouve à nouveau en bas à droite, puis de prétendre qu'une paire de noms a basculé. Camille repasse sur les quatre gestes déjà tracés : ils déplacent trois noms, non deux seuls. Tout tour supplémentaire conserve encore la parité, puisqu'il se décompose lui aussi en gestes horizontaux ou verticaux. La durée de la tentative ne répare pas l'inversion impaire. Elle marque la note « échange hors règle » et garde l'état fautif comme témoin d'une correction éditoriale qui ne doit pas être racontée comme une partie jouée.
La parité est une condition nécessaire ; Camille refuse d'en faire seule une recette pour six cases. Six signes distincts donnent exactement sept cent vingt états possibles, six factorielle. Depuis la référence, une recherche qui ajoute seulement les voisins légaux atteint trois cent soixante états différents. Tous ont une inversion paire ; chacun des trois cent soixante autres a une inversion impaire. Pour cette grille précise, l'énumération rend la condition également suffisante. Elle ne promet pas le même critère sur un autre format de feuille.
La recherche enregistre chaque état une seule fois et note son prédécesseur lors de sa première apparition. Le vide peut avoir deux ou trois voisins selon sa case ; Camille essaie ces voisins, inscrit les états nouveaux, puis passe à la couche suivante. La couche zéro contient la référence, les deux gestes possibles donnent la couche un, et les couches suivantes couvrent les trois cent soixante états atteignables. La distance maximale rencontrée est vingt et un gestes. Une assertion « pair donc faisable » sans cette énumération n'aurait fourni ni trajet ni preuve de suffisance pour la feuille remise.
Nora revient à la note au crayon. Pour « deux, un, trois / quatre, cinq, vide », elle donne un certificat court de refus : une inversion contre zéro au départ, et conservation de la parité à chaque glissement. Pour « un, cinq, deux / quatre, trois, vide », elle donne au contraire un certificat de réussite : la suite de quatre étiquettes glissées, trois-deux-cinq-trois. Les deux certificats ne répondent pas de la même manière. Le premier élimine tous les trajets ; le second fournit un trajet réel dont chaque geste peut être rejoué.
Être faisable ne dit pas combien de gestes il faudra
Camille dessine ensuite « vide, un, deux / quatre, cinq, trois ». Les numéros un, deux et trois se trouvent chacun à un pas orthogonal de leur place finale. La somme de ces trois distances vaut trois. Chaque glissement ne peut réduire cette somme que d'une unité au plus ; trois est donc une borne inférieure. La feuille offre précisément trois gestes : glisser un, puis deux, puis trois dans le vide. Nora atteint « un, deux, trois / quatre, cinq, vide ». Ici la borne et le trajet coïncident, et Camille peut annoncer trois comme minimum.
Une autre page affiche « vide, deux, trois / quatre, cinq, un ». Le un seul semble déplacé : il est à trois pas de sa place de départ, les autres numéros sont déjà sur leurs cases finales. La même somme des distances vaut donc trois. Pourtant le un ne peut traverser directement les cases occupées pour rejoindre le coin supérieur gauche. Il faut faire circuler temporairement d'autres étiquettes afin d'amener le vide du bon côté. Camille refuse de classer les deux pages sous le même délai uniquement parce que leur somme est identique.
La recherche couche par couche donne onze gestes pour cette deuxième page. Nora en extrait un trajet complet vers la référence en faisant glisser dans le vide quatre, cinq, un, trois, deux, un, cinq, quatre, un, deux, puis trois. Camille contrôle les états intermédiaires dans la feuille de calcul : chaque numéro est voisin du vide au moment où il est appelé, et le dernier état est bien la référence. Les couches de zéro à dix ne contiennent pas cette page lorsqu'on part de la référence ; onze est donc un minimum, pas seulement la longueur d'une solution trouvée par chance.
Cette comparaison retire une promesse concrète. Si l'hôte n'accorde que quatre glissements, Nora accepte la première page, dont le minimum est trois, et refuse la seconde, dont le minimum est onze. Toutes deux avaient pourtant une borne inférieure égale à trois. La somme des distances ne ment pas : elle interdit moins de trois gestes dans les deux cas. C'est l'interprétation « au moins trois » comme « exactement trois » qui était fausse. Camille donne au destinataire la borne, le trajet et la limite de temps séparément.
Paul suggère d'ajouter au relevé le seul nombre d'inversions. Les deux pages ont une parité paire et satisfont donc le premier filtre. Ce renseignement ne départage pas leurs durées. La parité rejette l'échange impossible ; la distance orthogonale donne une borne ; l'exploration des états donne le minimum et, avec les prédécesseurs, une suite de gestes. Nora inscrit trois colonnes distinctes sur sa feuille de décision. Une colonne ne remplacera pas silencieusement les deux autres lors de la remise du cahier.
Un nom déjà à sa place peut quand même devoir bouger
Camille reçoit une dernière instruction : sur certaines copies, le numéro un a déjà été fixé au coin supérieur gauche et ne doit jamais être déplacé, même provisoirement. Les autres glissements restent permis. L'état de référence satisfait cette consigne, et la feuille à examiner, « un, deux, cinq / vide, trois, quatre », laisse également le un au même coin. Sa parité est paire. Sans fixation, la recherche ordinaire donne un trajet de dix gestes vers la référence. Camille ne peut pourtant pas répondre que la nouvelle consigne est remplie par ce seul verdict.
Elle recommence la recherche en refusant chaque geste qui ferait glisser le un dans le vide. À partir de la référence, quinze états seulement sont atteignables sous cette restriction. Les quinze se répartissent en couches de tailles un, deux, trois, deux, trois, deux, deux. La feuille « un, deux, cinq / vide, trois, quatre » n'est dans aucune de ces couches. Parmi les soixante états de parité paire où le un se trouve au coin voulu, quarante-cinq ne peuvent donc pas être obtenus sans le déplacer pendant le trajet. Le bon résultat dépend ici d'une contrainte sur l'histoire, et pas seulement sur la photo finale.
Nora dessine le graphe des cinq cases qui restent lorsque le coin du un est interdit. La case en bas à gauche débouche sur une petite circulation à quatre cases située sur la droite. Le vide peut parcourir cette circulation et en permuter cycliquement des numéros, mais il ne dispose pas du passage par le coin fixé qui permettrait d'en inverser librement l'ordre. Camille joint l'énumération des quinze états à cette explication locale. Elle ne présente pas l'image d'un cycle comme une preuve suffisante pour toutes les positions : le contrôle exhaustif décide aussi du cas précis demandé.
Le trajet de dix gestes sans fixation montre ce qui manque. Depuis « un, deux, cinq / vide, trois, quatre », Nora glisse un, deux, trois, quatre, cinq, trois, deux, un, quatre et cinq dans le vide. Le premier geste retire le un de son coin ; le huitième l'y remet. Chaque geste respecte le voisinage, et l'état final est la référence. Cette liste n'est donc pas un contre-exemple à la parité : elle en réalise la possibilité. Elle est un contre-exemple à la prétention que « le un est à sa place au début et à la fin » équivaut à « le un n'a jamais bougé ».
Paul demande s'il peut au moins promettre que le un ne bougera qu'une fois. Camille refuse cette solution intermédiaire pour une raison indépendante de l'énumération. Le un commence au coin et doit y finir. Un glissement le fait nécessairement quitter le coin ; un seul glissement ne peut à la fois le quitter et l'y ramener. Une trajectoire qui le déplace doit donc comporter au moins un second glissement du même numéro. La solution tracée en comporte précisément deux. Si l'hôte autorise deux déplacements temporaires de ce numéro, la feuille est remise avec dix gestes ; s'il les interdit, elle reste bloquée.
La décision matérielle de la famille n'est pas de forcer le numéro collé. Nora prépare deux mentions différentes pour la même configuration finale : « refusée si le un reste immobile » et « réalisable en dix gestes si deux mouvements temporaires du un sont autorisés ». L'état de départ et celui d'arrivée sont identiques dans les deux demandes ; seule la permission sur les étapes change. Camille conserve les deux fiches, car effacer le refus après avoir trouvé une solution sous une autre règle ferait croire que la première règle avait été satisfaite.
Corriger une copie avant de jouer ne constitue pas un glissement
La copie où un et deux sont inversés pose encore une autre demande. Les étiquettes un et deux ont été contrôlées sur un relevé extérieur au dessin ; la famille interdit désormais de les retoucher sur cette copie, mais permet une unique correction de transcription parmi trois, quatre et cinq avant de commencer à jouer. Cette permission éditoriale n'est pas un coup de la grille. Camille garde l'état fautif « deux, un, trois / quatre, cinq, vide » et compare les trois paires qu'elle a effectivement le droit d'échanger. Chacune change la parité impaire en parité paire, sans déterminer encore le nombre de glissements à effectuer ensuite.
Si la correction échange trois et quatre, la grille devenue paire exige dix-huit glissements vers la référence. Échanger trois et cinq en exige également dix-huit. Échanger quatre et cinq en exige quatorze. Nora obtient ces trois minima par la même exploration de trois cent soixante états ; elle ne confond pas les trois échanges de l'imprimé avec trois chemins du jeu. La borne de distance orthogonale vaut respectivement huit, six et quatre, mais ne choisit pas à elle seule la plus courte correction. Camille inscrit les trois distances exactes à côté des trois copies possibles.
L'hôte autorise au plus quinze glissements après la correction unique. Deux copies de parité paire sont donc encore inutilisables pour sa séance ; la correction quatre-cinq seule mène à un trajet dans la limite. Nora choisit cette copie : elle fait glisser quatre, un, deux, cinq, un, quatre, trois, deux, cinq, un, quatre, cinq, deux et trois. Les quatorze gestes rejoignent la référence ; n'importe quel échange réparateur ne ferait pas gagner la partie à temps. Si l'hôte retire l'autorisation de correction éditoriale, l'état initial demeure impossible quelle que soit la durée accordée. Cette décision dépend à la fois des étiquettes protégées, de la distinction entre corriger et glisser, et de la limite de quinze ; elle ne découle pas de la parité prise isolément.
Une note de clôture distingue enfin ce que les trois contrôles ont établi. Le simple échange de un et deux n'a aucune suite légale ; la page qui paraît à trois pas peut réclamer onze gestes ; et la page avec le un déjà au bon coin exige qu'il quitte ce coin si l'on veut rejoindre la référence. Aucun de ces résultats ne vient des pages de puzzles consultées pour la catégorie. Ils appartiennent aux six cases et aux permissions écrites dans le cahier. Nora pourra choisir quelle fiche transmettre seulement après avoir demandé si le nom déjà posé peut, ou non, être provisoirement déplacé.