Clara prépare pour Nils un petit livre privé composé de six fiches, nommées A, B, C, D, E et F. Sur chacune figure le nombre de fiches auxquelles elle renvoie. La liste des destinataires manque dans le premier état du dossier. Nils souhaite pourtant dessiner des traits entre les noms et imprimer une légende qui dirait quelles fiches se répondent. Clara lui demande de séparer le nombre annoncé de chaque relation effectivement attestée. Un dessin compatible avec les six nombres peut aider à tester la feuille ; il ne devient pas, par cette seule compatibilité, la liste des renvois que quelqu’un aurait réellement écrits.
Les notices 351019, 351020 et 351021 du Met classent ces objets parmi les livres. Nous avons lu leurs textes de catalogue, sans examiner leurs images ni reprendre leur contenu.
Une paire signifie ici un renvoi réciproque unique. Si A renvoie à C, C compte également A, et le trait AC n’apparaît qu’une fois. Aucune fiche ne se renvoie à elle-même ; deux traits identiques ne servent pas à gonfler un total. Cette convention est une donnée de leur exercice, non une déduction tirée des trois notices. Le premier relevé donne respectivement trois, trois, deux, deux, un et un renvois pour A à F. Clara place ces six nombres sur le brouillon mais laisse encore vides les cases où Nils voulait inscrire les destinataires.
Un dessin compatible ne suffit pas à remplir le relevé
Nils commence par additionner les six nombres : trois plus trois plus deux plus deux plus un plus un font douze. Chaque trait touche deux fiches, donc un dessin fidèle au relevé comportera six traits. Il dessine AC, AD, AF, BC, BD et BE. A touche C, D et F ; B touche C, D et E ; C et D touchent chacune A et B ; E touche seulement B et F seulement A. La somme et chacun des six comptes sont vérifiés. Nils peut utiliser ce dessin comme témoin de possibilité : le relevé n’est pas contradictoire au seul motif qu’il a caché les noms des voisins.
Clara arrête cependant sa première légende, qui affirmait que A renvoyait effectivement à C, D et F. Le dessin montre qu’une telle liste pourrait produire les nombres donnés. Il ne montre pas qu’elle est la liste perdue. Cette différence change la page remise : Nils écrit sous le schéma « exemple compatible avec les totaux », puis garde la case « renvois attestés » vide. Il n’ajoute pas le mot « observé » à côté de F sous prétexte que F n’a qu’un voisin. Savoir qu’un voisin est unique ne dit pas encore lequel il est.
Pour répondre à Nils, Clara construit un second dessin sans changer un seul des six comptes. Elle retire AD et BC du premier, puis inscrit AB et CD. Les quatre autres traits, AC, AF, BD et BE, restent en place. Le nouveau relevé se lit AB, AC, AF, BD, BE, CD. A touche B, C et F ; B touche A, D et E ; C touche A et D ; D touche B et C ; E touche B ; F touche A. Les totaux sont toujours trois, trois, deux, deux, un et un. Pourtant AB, absent du premier dessin, est présent dans le second.
Nils vérifie le changement sur les quatre extrémités concernées au lieu de comparer vaguement deux illustrations. A perd D et gagne B ; B perd C et gagne A ; C perd B et gagne D ; D perd A et gagne C. Chacune perd exactement une occurrence et en reçoit exactement une. E et F ne changent pas de voisin. Ce remplacement de deux paires par deux autres conserve donc tous les nombres inscrits au dos des fiches, tout en modifiant précisément le lien que Nils voulait imprimer. La compatibilité des comptes ne décide même pas si AB existe.
Clara choisit de conserver les deux dessins dans son dossier de travail, avec des noms de versions, plutôt que de les superposer sur la page destinée au lecteur. Les superposer ajouterait huit traits et violerait le relevé de six. En choisir un sans autre preuve ferait passer un exemple pour un fait. Elle remet seulement les nombres et l’indication qu’au moins deux listes les réalisent. Pour Nils, la décision éditoriale n’est pas « quel dessin est le plus joli ? », mais « quelle paire peut-on affirmer depuis les renseignements actuellement reçus ? ». À ce stade, AB n’en fait pas partie.
Les deux exemples sont aussi reliés en une seule pièce. Dans le premier, A atteint B par C ; E rejoint ce groupe par B et F par A. Dans le second, A rejoint B directement, puis C et D par les traits voisins ; E et F restent attachées. Clara n’a donc pas obtenu son contre-exemple en abandonnant tacitement une exigence éventuelle de connexité. Même si Nils demande une page où chaque fiche puisse être atteinte en suivant des renvois, les deux réponses contraires sur AB subsistent. Cette vérification protège leur conclusion contre une réparation trop facile du premier relevé.
Ils comptent ensuite les possibilités du premier vecteur de nombres dans le cadre strict de leur exercice : dix-sept dessins nommés satisfont les six comptes, dont seize sont reliés en une pièce. Quinze contiennent AB et deux ne le contiennent pas. Clara ne convertit pas ces quinze contre deux en probabilité d’un lien véritable : aucune règle de tirage des dessins n’est donnée, et le relevé pourrait provenir d’un dossier réel choisi d’une manière inconnue. Le comptage sert à repérer des possibilités, pas à voter pour le dessin majoritaire. Nils raye sa proposition « AB presque certain » et garde « AB non déduit ».
Un des dix-sept dessins explique pourquoi la connexité mérite une case distincte. Il contient AB, AC, AD, BC, BD et EF. Les quatre premières fiches forment une composante ; E et F ne sont reliées qu’entre elles. Les six nombres sont pourtant corrects : A et B ont chacune trois voisins, C et D deux, E et F un. Si Clara exige que toutes les fiches participent à un seul parcours de renvois, elle écarte précisément ce dessin. Elle n’écarte ni l’exemple sans AB ni l’exemple avec AB déjà reliés. La condition supplémentaire retire une possibilité, mais ne tranche toujours pas la paire litigieuse.
Un renvoi attesté change la réponse, sans remplir toutes les cases
Une nouvelle feuille arrive dans la scène : elle donne cette fois le renvoi réciproque entre C et D. Clara ne transforme pas l’arrivée en preuve que son second dessin entier était le bon. Elle inscrit seulement CD dans la colonne des paires attestées, conserve les six nombres déjà reçus et reprend la question sur AB. Le nouvel élément est plus fort qu’un total pour une relation donnée, mais il n’énumère toujours pas les cinq autres traits. Nils devra montrer ce qu’il impose et ce qu’il laisse ouvert.
Clara commence par supposer AB absent. A et B exigeraient alors six extrémités de traits vers C, D, E ou F : trois pour A et trois pour B. Le renvoi CD déjà attesté occupe une des deux places de C et une des deux places de D. Il reste à C et D une place chacune pour rencontrer A ou B. E et F n’en possèdent qu’une chacune. Ces quatre fiches n’offrent donc que quatre places libres vers A et B, là où six seraient nécessaires. Clara refuse l’hypothèse sans AB ; elle ne choisit pas un dessin à l’œil pour arriver à cette conclusion.
Nils inscrit maintenant AB comme conséquence des nombres et de CD. Le trait AB fournit une place à A et une à B ; il leur reste deux voisins à trouver chacune, soit quatre places en tout. C, D, E et F disposent justement d’une place libre chacune après CD. Toutes seront employées, deux du côté de A et deux du côté de B. Cette égalité des places donne aussi une limite à la nouvelle certitude : elle fixe AB, mais ne dit pas quelle paire de ces quatre fiches ira à A. Nils ne peut pas déduire AC de la même preuve.
Clara lui donne deux continuations avec CD pour rendre cette limite visible. La première est AB, AC, AF, BD, BE, CD. La seconde est AB, AD, AF, BC, BE, CD. Dans la seconde, A reçoit D à la place de C et B reçoit C à la place de D ; chaque fiche garde son compte. Les deux partagent AB et CD, mais l’une possède AC et l’autre pas. Nils imprime seulement « CD reçu, AB imposé par les comptes » dans la légende de décision. Il laisse les autres paires sous forme d’alternatives, sans inventer une correspondance complète à partir d’un seul ajout.
Le nombre de continuations sous CD est six. Pour les obtenir, il suffit de choisir deux noms parmi C, D, E et F comme voisins restants de A ; les deux autres seront voisins de B. Les quatre fiches n’ont chacune qu’une place libre. Chaque choix de deux noms forme un dessin différent, et aucun ne viole les comptes. Clara vérifie ces six choix, puis retire une annotation qui prétendait que le nouveau reçu ne laissait « plus qu’un montage ». L’ajout a rendu AB nécessaire, pas la totalité des renvois unique.
Nils remplace, pour une autre épreuve, le reçu CD par un reçu AC. Les nombres demeurent identiques, mais il ne peut plus recopier l’argument des quatre places : AC consomme une place de A et de C, pas une place dans chacune des deux fiches intermédiaires C et D. Douze dessins du premier relevé portent AC ; dix d’entre eux portent également AB, deux l’omettent. Le premier témoin sans AB, AC, AD, AF, BC, BD, BE, satisfait précisément le nouveau reçu. Clara conserve donc « AB ouvert » dans cette branche. Les deux reçus ne sont pas interchangeables au motif qu’ils attestent chacun une seule paire.
Cette comparaison change une phrase de la page envisagée. Nils avait écrit « tout renvoi nouveau dans le groupe central décide AB ». Clara lui fait lire le témoin AC sans AB, puis remplace cette phrase par la condition exacte portant CD. Elle ne s’appuie pas sur les proportions dix contre deux pour annoncer une quasi-certitude dans la branche AC. La scène ne fournit aucun tirage de dessins ni fréquence historique. Elle demande une preuve pour la paire publiée ; la présence de plusieurs exemples majoritaires ne remplace pas le contre-exemple qui demeure compatible avec le reçu effectivement choisi.
Nils demande si la nouvelle preuve permet de réécrire l’ancien brouillon comme s’il avait toujours comporté CD. Clara refuse. Le premier brouillon sans AB ne possédait pas CD, et c’est précisément pourquoi il était compatible avec les seuls nombres. Elle le conserve daté comme contre-exemple de l’état initial. Le second brouillon, avec CD, sert de témoin possible après réception. La même feuille ne peut pas porter simultanément « AB indécidable » et « AB imposé » sans dire quel renseignement est disponible. La chronologie documentaire change la portée de la conclusion, non la validité arithmétique des six nombres.
Elle distingue aussi un trait reçu d’un trait obtenu par raisonnement. CD apparaît sur la nouvelle feuille de la scène ; AB ne s’y trouve pas, mais devient forcé par CD et les comptes. Cette provenance différente doit rester lisible si Nils publie une note expliquant ses choix. Écrire « AB attesté dans la feuille arrivée » serait faux. Écrire « AB impliqué sous la règle des renvois réciproques et les six totaux » indique exactement la dépendance de la conclusion. Si une règle ou un total était corrigé plus tard, il faudrait reprendre l’implication, tandis que le reçu CD garderait son statut de pièce arrivée.
Un total pair peut cacher une contradiction plus forte
Pour éprouver sa méthode avant d’arrêter le livre, Nils propose un autre relevé sur les mêmes six lettres : quatre, quatre, un, un, un, un. La somme vaut douze, donc six traits seraient nécessaires, comme dans le premier dossier. Il veut en conclure que la liste est réalisable parce que la somme est paire. Clara lui rappelle qu’une condition de comptage peut être satisfaite sans que les voisins puissent être affectés. Elle cherche un obstacle portant sur les places disponibles, pas un dessin choisi au hasard qui échouerait simplement par maladresse.
Si A et B sont reliées entre elles dans ce nouveau relevé, chacune a encore besoin de trois voisins parmi C, D, E et F. Il faudrait donc six incidences de ces quatre fiches vers A ou B. Or chacune de C à F n’autorise qu’un seul renvoi ; elles n’en fournissent ensemble que quatre. Si A et B ne sont pas reliées, elles demandent huit incidences vers ces mêmes quatre fiches, ce qui aggrave le défaut. Les deux cas couvrent toutes les possibilités pour AB. Le relevé pair est impossible sous la règle d’un trait unique par paire.
Nils retire sa phrase « total pair, dossier prêt ». Il garde le total douze comme vérification nécessaire, puis ajoute l’échec des capacités sur les quatre fiches peu reliées. Il ne propose pas de multiplier un trait entre A et C pour remplir une place de plus : deux renvois identiques ne donnent pas deux voisins distincts dans la règle annoncée. Il ne fait pas non plus porter un renvoi de C vers elle-même, puisque les boucles ont été exclues avant le calcul. Une réparation aurait besoin de modifier les données ou la règle, et devrait être annoncée comme telle avant tout nouveau dessin.
Clara propose une comparaison qui va dans l’autre sens : trois, trois, trois, un, un, un. Les trois premières fiches demandent neuf incidences, les trois dernières n’en possèdent que trois au total. Même si les trois incidences des dernières vont toutes vers A, B ou C, il reste six incidences à former à l’intérieur du trio fort. Trois paires intérieures en fournissent exactement six, et il n’existe que trois paires possibles entre A, B et C. Elles doivent donc toutes être présentes : AB, AC et BC sont forcées. La forte concentration des nombres ne crée pas ici une contradiction ; elle fixe le petit triangle.
Nils vérifie que cette conclusion n’a pas supposé en douce que les trois fiches de degré un s’attachent chacune au trio fort. Si deux d’entre elles se liaient entre elles, elles dépenseraient deux de leurs trois places sans aider A, B ou C. Le trio fort n’aurait alors qu’une incidence extérieure et demanderait huit incidences intérieures, alors que ses trois paires ne peuvent en donner que six. Cette branche est donc impossible. Chaque fiche faible doit joindre l’une des trois fortes. Après le triangle, A, B et C disposent chacune d’une place extérieure, répartie entre D, E et F.
Il existe six façons de répartir ces trois fiches faibles entre les trois fortes : D peut choisir l’une des trois, E l’une des deux restantes, F reçoit la dernière. Clara ne prétend toujours pas que le nom précis du voisin de D est connu. Le triangle est commun aux six dessins, les trois accroches extérieures varient. Elle rédige deux colonnes distinctes dans son carnet : « liens imposés dans toutes les réalisations » et « liens seulement présents dans certains exemples ». Ce déplacement de la question sert à Nils quand le dossier ne livre pas toutes les paires mais permet une partie de la légende.
La comparaison des trois relevés empêche une règle trop large. Avec trois, trois, deux, deux, un, un, AB était d’abord possible sans être obligatoire ; après CD reçu, il devient nécessaire. Avec quatre, quatre, un, un, un, un, aucun dessin n’existe malgré une somme paire. Avec trois, trois, trois, un, un, un, les trois liens centraux sont nécessaires sans qu’une feuille supplémentaire arrive. Clara ne réduit pas ces différences à « plus le nombre est grand, plus le lien est sûr » : le rôle des places restantes et des paires déjà attestées change chaque preuve. Elle remet à Nils les raisons associées à chaque statut.
Garder les décisions à la bonne date de connaissance
Nils prépare une épreuve de lecture pour leur propre manuscrit. Il montre les six nombres initiaux sans CD et demande à Clara si la phrase « A et B se répondent » peut être publiée. Elle lui donne deux listes intégrales contraires, toutes deux reliées en une pièce, et répond non. Il ajoute ensuite la feuille portant CD, sans modifier les nombres ; elle lui donne l’argument des quatre places contre six et répond oui, mais avec la mention « déduit ». Enfin il retire la feuille CD et ne garde que le dessin de la seconde version. Clara revient à non : perdre la preuve reçue retire le droit de transformer cet exemple en relation attestée.
Cette épreuve distingue une correction documentaire d’une simple variation graphique. Le changement AD et BC vers AB et CD ne corrige pas une erreur dans les totaux ; les deux dessins sont arithmétiquement justes. Il révèle une information qui manque à la première remise. À l’inverse, la feuille CD apporte un élément nouveau et rend l’hypothèse sans AB impossible. Nils ne peut pas profiter du fait que son dessin préféré contient déjà CD pour dire que le reçu ne changeait rien. Avant l’arrivée, CD n’était qu’un trait dessiné ; après, il est une paire annoncée par la scène.
Clara décide d’imprimer dans le livre privé la version des six comptes et, sur une page datée séparée, la conséquence de la feuille CD. Le premier schéma y reste désigné comme exemple, non comme plan authentique des renvois. La seconde page n’énumère pas toutes les relations : elle porte CD comme donnée et AB comme résultat conditionné par les comptes. Nils conserve dans le dossier de fabrication les six continuations possibles, plutôt que de sélectionner silencieusement une seule table pour remplir les blancs du lecteur. Le choix de présentation rend visible la limite de ce qui est su.
Il vérifie enfin ce qu’une demande de connexité changerait à cette remise. Parmi les dix-sept dessins du premier relevé, un seul isole E avec F ; les seize autres restent d’un seul tenant. Retirer le dessin isolé ne supprime pas les deux témoins opposés sur AB. Après le reçu CD, les six choix répartissent chaque fiche faible sur A ou B et relient ces deux dernières par AB : ils sont tous d’un seul tenant. La connexité peut donc être mentionnée sans servir d’alibi à une liste exacte que personne n’a fournie. Nils garde la condition comme contrôle, et non comme substitut à la feuille arrivée.
Clara teste une arrivée différente pour montrer que la condition peut au contraire devenir décisive. Une feuille porterait EF, et E comme F n’autorisent chacune qu’un seul voisin : elles ne pourraient alors toucher aucune des quatre autres fiches. Si le livre exige toujours un parcours reliant les six, cette feuille et cette exigence ne peuvent pas être vraies ensemble sous les nombres reçus. Sans la condition de connexité, il reste exactement le dessin AB, AC, AD, BC, BD, EF : parmi A, B, C et D, les degrés trois, trois, deux, deux imposent les cinq paires du groupe sauf CD. Nils inscrit « incompatibilité avec la connexité » plutôt que d’effacer le reçu EF ou de publier le dessin isolé comme une seule pièce.
Quand Clara remet le manuscrit, ses trois légendes emploient trois verbes différents : un dessin réalise les comptes, une feuille atteste CD, et les comptes joints à cette feuille imposent AB. Aucun de ces verbes ne transforme les notices de livres consultées en témoins des six fiches fictives. Nils peut compléter plus tard le réseau si de nouvelles relations sont réellement apportées ; il devra alors refaire la vérification sous ces renseignements, conserver l’état antérieur et nommer les liens qui restent libres. Pour l’instant, son livre dit exactement pourquoi un total ne suffit pas à nommer une paire, puis pourquoi un renvoi supplémentaire peut en nommer une sans révéler toutes les autres.