Dans la maison fictive de Valferrand, Jeanne trouve une bande portant six petits repères. La bande elle-même n’est plus là : il ne reste qu’une feuille où quelqu’un a noté toutes les distances entre deux repères, sans écrire quelle paire produisait quel nombre. Elle voudrait replacer six cartons sous une reproduction destinée à la famille. Antoine lui propose de trier les distances et de déclarer l’ordre retrouvé. Jeanne lui demande d’abord ce que signifie « retrouver » lorsque les noms des extrémités ont disparu.
Leur exercice se fait sur une bande dessinée, divisée en dix-sept unités égales. Personne ne mesure un objet ancien et personne ne prétend qu’un fabricant de règle ou de pied à coulisse aurait produit les valeurs. Jeanne consulte seulement les catégories publiques d’instruments de mesure de Mitutoyo, Fowler et Starrett pour nommer sobrement le type d’objet qu’un personnage pourrait évoquer ; les coordonnées, les marques et toutes les décisions qui suivent sont inventées pour cette histoire. Les trois adresses restent dans son dossier de travail, non sur le cartel comme preuves d’un passé familial.
La feuille donne quinze nombres, car six repères forment quinze paires. Triés avec leurs répétitions éventuelles, ils valent ici un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, seize et dix-sept. La plus grande distance impose seulement une étendue de dix-sept unités. Pour calculer, Jeanne place provisoirement ses extrémités en zéro et dix-sept. Ce déplacement de l’origine ne découvre ni un mur, ni une gauche historique : il fixe une convention sur le papier. Il reste quatre positions intérieures distinctes à déterminer.
Une première disposition satisfait toute la feuille
Antoine pose les six marques à zéro, un, quatre, dix, douze et dix-sept. Jeanne ne se contente pas de reconnaître visuellement quelques écarts. Elle part de zéro : les cinq distances vers la droite sont un, quatre, dix, douze, dix-sept. Depuis un vers les positions suivantes, elle lit trois, neuf, onze, seize. Depuis quatre, elle lit six, huit, treize. Depuis dix, il reste deux et sept ; depuis douze, cinq. Ensemble, ces cinq, quatre, trois, deux et une distances reconstituent exactement les quinze lignes de la feuille.
Cette vérification par groupes interdit une facilité. Si Antoine n’avait contrôlé que la plus grande longueur, deux plans innombrables auraient semblé admissibles. S’il avait contrôlé seulement les écarts successifs entre voisins, il aurait écarté les distances entre marques non voisines, celles qui occupent pourtant la plupart des lignes. Jeanne coche chaque ligne une seule fois. Le fait que les quinze valeurs soient toutes différentes dans cet exemple rend la comparaison lisible, mais ce n’est pas une règle générale qu’elle exporterait à d’autres bandes.
Antoine voudrait aussitôt inscrire les cartons dans l’ordre zéro, un, quatre, dix, douze, dix-sept. Jeanne accepte d’en faire un modèle possible et refuse le mot « original ». La liste des distances oublie les noms des paires. On peut connaître une collection de longueurs sans savoir laquelle reliait le premier carton au troisième. Il manque précisément la liaison entre un nombre et deux repères identifiés. Sa réserve n’est pas une défiance abstraite envers les calculs : elle porte sur une information que la feuille a matériellement perdue.
Elle retourne d’abord le dessin comme on retourne la bande sur une table. Les marques deviennent zéro, cinq, sept, treize, seize, dix-sept après avoir changé chaque position x en dix-sept moins x. Toute distance absolue entre deux marques reste la même. Si le document ne dit pas quelle extrémité regardait la fenêtre, ces deux dessins ne sont qu’une disposition et son reflet. Jeanne inscrit « orientation inconnue » au bas de cette paire ; elle n’en fait pas deux hypothèses sur la taille ou le nombre des repères.
Une seconde disposition n’est pas le reflet de la première
Puis Antoine trouve zéro, un, huit, onze, treize, dix-sept. Les écarts à partir de zéro sont un, huit, onze, treize, dix-sept. Depuis un ils sont sept, dix, douze, seize ; depuis huit, trois, cinq, neuf ; depuis onze, deux et six ; depuis treize, quatre. En triant les quinze résultats, Jeanne obtient exactement la même série de un à treize, puis seize et dix-sept. Les cartons intermédiaires ont pourtant changé de places, et aucun simple retournement du premier dessin ne donne celui-ci.
Jeanne teste la différence au lieu de l’annoncer d’après la seule silhouette. Le reflet de la première solution portait les positions intérieures cinq, sept, treize et seize ; la seconde porte un, huit, onze et treize. Elles n’ont pas le même ensemble. Le reflet de la seconde donne zéro, quatre, six, neuf, seize, dix-sept, encore une autre écriture orientée. Ainsi quatre listes apparaissent lorsque la gauche est fixée arbitrairement, regroupées en deux familles par retournement. Deux familles demeurent même après avoir pardonné cette symétrie ordinaire.
Pour être sûre de ne pas avoir oublié un cinquième plan, Jeanne énumère toutes les façons de choisir quatre entiers distincts parmi les seize places intérieures de un à seize. Il y en a mille huit cent vingt. Pour chacun, elle ajoute les deux extrémités, produit les quinze différences positives entre paires, les trie et compare la liste complète à celle de la feuille. Quatre placements passent. Cette recherche exhaustive vaut pour le quadrillage de cette histoire et ces deux extrémités fixées ; elle ne démontre pas qu’une bande continue quelconque se résoudrait de la même manière.
Le nombre de candidats contrôlés change la façon de préparer l’exposition. Antoine pouvait jusque-là dire seulement « nous avons trouvé deux plans possibles ». Jeanne peut désormais écrire que, parmi les placements entiers du cadre annoncé, leurs quatre listes orientées se réduisent à deux familles. Elle range les quatre fiches dans deux pochettes, chaque pochette réunissant un plan et son reflet. Elle laisse les deux pochettes ouvertes. Fermer l’une parce que sa ligne semble moins jolie serait une préférence de mise en page, pas une conséquence des distances.
Antoine pointe le repère situé à un sur les deux plans non réfléchis : il voudrait s’en servir pour les départager. Jeanne répond que les deux familles ont précisément une marque à un dans cette orientation. Dire « il y a une marque juste après zéro » ne choisit donc rien entre elles. Si zéro lui-même n’était qu’une convention sans extrémité identifiée, retourner les plans brouillerait encore le sens de « juste après ». Une observation supplémentaire n’aide que si elle porte une information que les deux solutions n’ont pas déjà en commun.
Une marque observée doit garder son étiquette
Dans une boîte séparée, Jeanne retrouve un petit croquis attribué à sa tante : une flèche nomme le bord gauche, et un trait sombre est dessiné quatre unités après ce bord. Elle ne traite pas l’attribution manuscrite comme authentifiée par la feuille de distances. Elle écrit sur une troisième fiche : « Si la flèche désigne bien le même bord et si le trait sombre est l’un des six repères, exiger une marque à quatre. » Cette condition est une proposition vérifiable, non une distance anonyme ajoutée en cachette aux quinze premières.
Sous cette condition, la première liste orientée contient quatre. La seconde ne le contient pas. Mais le reflet de la seconde contient quatre aussi : ses positions sont zéro, quatre, six, neuf, seize et dix-sept. Le seul nombre quatre ne tranche donc pas encore entre les deux familles si la flèche du croquis n’est pas rattachée physiquement au zéro du calcul. Jeanne garde les deux pochettes. Elle vient de découvrir que « une distance depuis le bord » et « une position depuis le bord identifié » ne sont pas des formulations interchangeables.
Le croquis comporte un deuxième renseignement indépendant : le premier trait intérieur est à une unité du bord que la flèche nomme gauche. Jeanne vérifie alors les deux conditions conjointes. La première solution présente un et quatre. Le reflet de la seconde présente quatre mais pas un ; la seconde présente un mais pas quatre ; le reflet de la première présente ni l’un ni l’autre. Une seule des quatre listes orientées reste compatible. Il a fallu conserver ensemble le bord identifié, le trait à un et le trait à quatre ; séparer ces observations aurait rendu l’argument plus faible qu’il ne l’est.
Camille, chargée de préparer les demandes aux cousins, croit qu’il faut toujours deux marques pour départager quatre plans. Jeanne lui montre pourquoi le nombre de marques ne suffit pas à mesurer la force d’un renseignement. Si un document lié à la bande disait directement « repère à huit depuis le bord gauche identifié », seule la seconde liste orientée passerait : la première n’a pas huit, et aucun des deux reflets n’en a non plus. Une observation bien étiquetée à huit serait donc plus décisive que la première indication à quatre. Mais ce document n’existe pas dans leur boîte ; Jeanne le note comme question à poser, jamais comme réponse reçue.
Elles dressent une table à quatre colonnes, une par liste orientée, et une ligne par position qu’un futur témoin pourrait vraiment désigner. À quatre, deux colonnes restent cochées ; à un, deux aussi ; à huit, une seule. La table ne donne pas une probabilité qu’un témoin dise vrai. Elle indique seulement quelle question séparerait quelles solutions si une observation fiable arrivait. Camille cesse de demander « avez-vous vu une distance de huit ? » : huit appartient déjà au sac des quinze distances. Elle demande « avez-vous vu un repère situé à huit depuis ce bord nommé ? », ce qui est une autre sorte de preuve.
Antoine veut remplacer sur-le-champ le cartel « deux reconstructions » par « la bande était disposée ainsi ». Jeanne distingue une élimination conditionnelle d’une preuve de provenance. L’énumération montre que, si le croquis concerne cette bande et si ses deux marques sont fidèles, un seul placement du modèle subsiste. Elle ne prouve pas que la tante a tracé le croquis le même jour, ni que le trait sombre n’a pas été ajouté plus tard. Les catégories commerciales de mesure n’ajoutent rien à ces questions. Le cartel peut montrer un plan privilégié par le croquis, avec la condition écrite sans triomphalisme.
Quand deux papiers ne portent pas le même genre de preuve
Jeanne pose les deux documents côte à côte. La feuille des quinze distances conserve toutes les paires mais a perdu leurs noms. Le croquis conserve deux positions nommées depuis un bord, mais ne donne presque aucune des distances restantes. Aucun n’est simplement la version courte de l’autre. C’est leur jonction, sous une hypothèse explicite d’identité de la bande, qui tranche. Si le croquis provenait d’une autre bande de même longueur, la jonction serait invalide malgré la parfaite arithmétique de chaque document pris isolément.
Elle imagine donc le cas où une cousine conteste la flèche. La cousine ne doit pas refaire les mille huit cent vingt essais pour montrer sa réserve : elle peut accepter tout le calcul et refuser seulement l’identité du bord. Jeanne conserve alors le résultat fort mais borné des distances, deux familles, et retire la sélection fondée sur le croquis. Cette façon de reculer ne détruit pas le travail déjà valable. Elle évite aussi de présenter l’incertitude comme un échec de la personne qui a compté les écarts.
Antoine propose de mesurer directement la distance entre « le premier » et « le troisième » repère du dessin A. Jeanne lui demande comment ces noms seront portés sur la bande absente. Dans A, de un à quatre il y a trois ; dans B, de un à huit il y a sept. Mais « troisième » est un rang dans une reconstruction, pas une étiquette survivante de l’objet. Une nouvelle fiche affichant simplement le nombre trois parmi les quinze n’apporterait rien : trois y figure déjà. Il faudrait une observation qui rattache effectivement deux repères reconnaissables à ce trois.
Camille imagine une autre feuille possible, qui aurait consigné les cinq intervalles entre repères consécutifs, sans garder leur ordre. Pour la première famille, ces intervalles sont un, trois, six, deux et cinq ; triés, ils donnent un, deux, trois, cinq, six. Pour la seconde, ils sont un, sept, trois, deux et quatre, donc un, deux, trois, quatre, sept. Un tel relevé, s’il provenait bien de la même bande, distinguerait les familles sans nommer la gauche : chaque reflet garde les mêmes intervalles voisins en ordre inverse. Il ne choisirait toutefois pas entre un plan et son propre reflet.
Jeanne insiste sur le mot « consécutifs ». Les quinze distances initiales contiennent notamment quatre, cinq, six et sept, mais ne signalent pas lesquelles reliaient des voisins. Trier seulement cinq valeurs après les avoir choisies comme on veut dans le grand sac fabriquerait une prétendue feuille nouvelle à partir de l’ancienne. Pour que la comparaison soit indépendante, quelqu’un devrait avoir identifié matériellement les cinq paires voisines avant de perdre leurs noms. Camille laisse donc cette table au rang de protocole de vérification possible. Leur dossier ne possède qu’une liste anonyme et un croquis attribué, pas ce second relevé rêvé.
Ils choisissent pour l’exposition une opération plus honnête. Sous chaque reconstruction, une mince ligne montre toutes les quinze distances communes ; une autre couleur montre seulement les positions auxquelles un témoignage ou un croquis donne un nom. Le visiteur peut vérifier que l’accord des distances n’est pas une preuve d’identité des positions. Jeanne laisse visible la seconde famille même lorsque le croquis favorise la première. Elle n’expose pas l’alternative pour créer un suspense artificiel, mais pour séparer le calcul démontré de la liaison documentaire encore discutable.
Le soir de l’ouverture, leur cousine apporte une précision : la flèche du croquis désignait le bord proche de la porte, mais elle ignore si la bande avait été déplacée avant le dessin. Jeanne inscrit cette phrase comme un témoignage, sans la convertir en nouvelle coordonnée. Elle ne rebat pas les quinze nombres. Elle note que l’orientation du croquis est mieux décrite, tandis que l’identité de la bande reste à établir. Antoine comprend qu’un renseignement peut réduire une ambiguïté et en laisser une autre entière.
Ils arrêtent une version de cartel en deux phrases. La première dit que les quinze distances admettent, sur le quadrillage fixé, deux dispositions distinctes à retournement près. La seconde dit qu’un croquis attribué à la tante privilégie l’une d’elles sous réserve qu’il concerne cette même bande et que ses marques soient fidèles. Jeanne ne nomme aucun objet réel, aucune date de fabrication et aucune prouesse instrumentale. Les cartons restent mobiles : si une preuve directe relie un repère nommé à la feuille, ils pourront réviser la seconde phrase sans effacer la première.
Antoine glisse finalement les deux pochettes derrière le cartel. L’une contient la disposition retenue sous condition et son reflet ; l’autre conserve la solution que les distances seules n’excluent pas. Le visiteur peut voir pourquoi une liste complète de nombres n’était pas une histoire complète des positions. Jeanne n’a pas gagné la certitude en choisissant un dessin : elle a gagné une manière précise de dire ce qui changerait son choix, et de laisser le reste ouvert tant que cette preuve manque.
Deux transcriptions incompatibles ne font pas une preuve moyenne
Le lendemain, Camille apporte une copie de la liste faite pour un autre rangement familial. Quatorze lignes concordent avec la feuille de Jeanne ; à la quinzième, la copie porte quatorze là où la première feuille portait dix. Aucun original matériel ne permet de trancher quelle main a transcrit le bon chiffre. Jeanne suspend donc l'impression du cartel qui privilégiait la première famille. Elle ne remplace pas discrètement dix par quatorze dans son calcul précédent : ce serait transformer un désaccord entre pièces en correction acquise. Elle classe la première transcription et la copie comme deux hypothèses documentaires incompatibles, puis relance la même énumération de mille huit cent vingt placements pour chacune. La première laisse quatre listes orientées, deux familles à reflet près. Avec quatorze à la place de dix, seules zéro, un, huit, douze, quatorze, dix-sept et son reflet zéro, trois, cinq, neuf, seize, dix-sept satisfont les quinze valeurs. Ce n'est aucune des deux familles initiales. Le conflit n'est donc pas une hésitation sur le bord gauche ; il change l'ensemble des reconstructions admissibles.
Jeanne effectue aussi le contrôle qui manque souvent à une comparaison de copies : elle retire provisoirement la seule ligne contestée des deux transcriptions, sans choisir sa valeur. Les quatorze autres distances laissent six placements orientés, soit les quatre de la première feuille et les deux de la seconde ; aucune autre liste n'en possède toutes les valeurs avec les mêmes multiplicités. Réintroduire dix rend les quatre premiers, réintroduire quatorze rend les deux derniers. Le croquis attribué à la tante ne tranche pas ce conflit : ses traits nommés à un et quatre sont réunis dans la première liste orientée, mais dans aucune des deux listes issues de la seconde transcription. Si Camille prétendait que les trois pièces concernent sûrement une seule bande et sont toutes exactes, leur intersection serait vide. Jeanne choisit donc deux pochettes de calcul et un signalement explicite du chiffre litigieux, plutôt qu'un emplacement unique des cartons. Elle garde le croquis comme condition à vérifier, sans en faire un arbitre de la transcription. Une nouvelle attestation sur la ligne disputée pourra fermer une pochette ; tant qu'elle manque, la différence demeure visible.