Mina dessine six pièces sur une feuille pour préparer une visite imaginaire. On entre par E, quatre pièces A, B, C et D forment un circuit, et F est au bout d'une porte issue de C. La commande porte sur les portes franchies, pas sur les pièces simplement aperçues : chacune des six portes de son dessin doit servir au moins une fois. Une même porte peut être franchie dans les deux sens et, si besoin, plusieurs fois. Mina voudrait annoncer le plus petit nombre de franchissements pour trois consignes distinctes. Elle conserve les consignes séparément, car changer le lieu de sortie change la réponse.
Les lettres et leurs liaisons sont entièrement créées. Elles ne décrivent ni un plan réel, ni des issues autorisées, ni un dispositif de sécurité. Toutes les portes du modèle sont utilisables dans les deux sens et chaque franchissement vaut une unité abstraite. Les six portes, et seulement elles, sont E–A, A–B, B–C, C–D, D–A et C–F. Il n'existe ni E–F ni A–C cachée dans la feuille. Les calculs portent sur ce dessin donné ; aucune propriété d'une vraie maison ou d'un équipement n'en est déduite.
HOPPE présente des poignées de portes. Cette identité d'objet donne une catégorie de contexte, sans règle de parcours pour notre maison inventée.
ASSA ABLOY présente des solutions d'accès et des portes. Mina n'en tire ni permission d'ouvrir une porte réelle ni résultat sur leur usage.
dormakaba présente du matériel de porte et des systèmes d'entrée. Aucun geste ni performance de ces matériels n'est transféré au dessin.
Arriver en F après avoir contrôlé les six portes
Mina écrit une première consigne : partir de E et finir en F, après avoir franchi chacune des six portes. Elle essaie d'abord E–A–B–C–F. Cette suite atteint F, mais elle ne touche ni C–D ni D–A. Une arrivée à la bonne pièce ne certifie donc pas une inspection de toutes les liaisons. Elle retire cette suite de la fiche de visite, tout en gardant son début pour un parcours corrigé. Elle ne complète pas la liste des portes en prétendant que la vue sur D depuis C équivaut à traverser C–D.
Le dessin donne une manière précise de contrôler l'erreur. E ne possède qu'une porte, vers A : un parcours parti de E peut y franchir E–A une seule fois et ne jamais revenir en E. F n'a également qu'une porte, vers C, et peut recevoir le dernier passage C–F. Entre ces extrémités, Mina doit couvrir les quatre portes du circuit A–B–C–D–A. Elles forment une boucle. Si elle entre en A par E–A et veut sortir de cette boucle en C pour rejoindre F, elle doit répéter au moins une partie de la boucle : une simple traversée de ses quatre portes la ramènerait en A.
Mina ne se contente pas de cette image de boucle. Elle marque le nombre de portes attachées à chaque pièce : E en a une, F une, A trois, C trois, B deux, D deux. A touche E, B et D ; C touche B, D et F. Le nombre impair de passages disponibles en A et C explique la difficulté quand E et F sont imposées comme extrémités. Dans une marche qui commence en E et finit en F, chaque entrée dans A ou C doit être suivie d'une sortie. Leurs passages effectivement utilisés doivent donc se ranger par paires. Franchir chaque porte une fois laisserait au contraire trois occurrences à chacune.
Pour rendre pairs les passages en A et C, Mina cherche une chaîne de portes à refaire qui a une extrémité en A et l'autre en C. Deux portes suffisent : A–B puis B–C, ou A–D puis D–C. Une seule porte ne relie pas A à C dans le dessin. Toute correction par répétitions devra donc ajouter au moins deux franchissements aux six obligatoires. Mina précise que « deux » compte les passages répétés, non deux portes nouvelles à construire. Aucun trait nouveau ne s'ajoute au plan ; les huit passages de la réponse utilisent exclusivement les six traits inscrits.
Elle choisit la correction par B et inscrit la suite complète E–A–B–C–D–A–B–C–F. Elle part de E, passe par A et B, entre en C, continue vers D puis A, reprend B et C, et termine en F. La vérification porte par porte donne E–A une fois, A–B deux, B–C deux, C–D une, D–A une et C–F une. La somme est huit. Mina barre la version courte qui avait omis D et remet cette liste de neuf pièces successives ; neuf noms de pièces dans une suite indiquent huit franchissements, pas neuf portes différentes.
Une autre fiche propose E–A–D–C–B–A–D–C–F. Elle couvre aussi les six portes avec huit passages, en répétant A–D et D–C plutôt que A–B et B–C. Mina la garde comme variante correcte, mais ne mélange pas son segment répété avec la première liste. La borne inférieure de huit et les deux réalisations montrent que le minimum est atteint sans imposer une suite unique. Si une personne lit la variante par D tout en cochant « B–C deux fois », elle fabrique un reçu faux : cette porte n'y est franchie qu'une fois.
Mina confronte ensuite un raccourci allégué à la fiche. On lui suggère de compter six, puisqu'il existe six portes et qu'une visite idéale devrait chacune les traverser exactement une fois. Dans un trajet ouvert, seuls le départ et l'arrivée peuvent avoir un nombre impair de franchissements : tous les autres passages s'apparient en entrée et sortie. Ici quatre pièces du dessin ont un nombre impair de portes. Choisir E et F comme extrémités laisse A et C de trop. Le six prétend réunir une contrainte satisfaite par certaines pièces avec un état impossible des deux autres. Mina inscrit la répétition A–B–C dans le reçu, au lieu d'annoncer une économie qui n'existe pas.
Revenir à E après la même vérification
Une deuxième demande arrive : Mina doit sortir de E, contrôler toutes les portes et revenir en E. Ce n'est plus la visite dont F est le terme. La porte C–F doit être franchie en allant vers F puis en revenant, car F n'offre aucune autre sortie. De même, le parcours devra revenir à E par E–A ; E n'a pas de seconde porte. Ces deux répétitions ne sont pas un choix décoratif d'itinéraire. Elles découlent de la consigne de retour et des deux pièces terminales du dessin.
Elle examine les passages pièce par pièce pour ne pas croire que ces deux répétitions suffiraient par hasard. À E et F, ajouter une occurrence sur leur unique porte rend leur nombre de passages pair. La répétition de E–A ajoute aussi une occurrence en A ; celle de C–F ajoute aussi une occurrence en C. A et C deviennent donc pairs, alors que B et D l'étaient déjà. Les six portes obligatoires et les deux répétitions forment une marche fermée possible. La même quantité huit apparaît que pour E vers F, mais les portes répétées ne sont plus les mêmes et la destination n'est plus F.
Mina rédige la marche E–A–B–C–F–C–D–A–E. Elle traverse E–A, A–B, B–C, C–F, revient par F–C, prend C–D puis D–A, et revient par A–E. Chaque porte du circuit a été utilisée une fois ; les deux portes terminales E–A et C–F ont été utilisées chacune deux fois. La fiche contient huit franchissements, part et finit en E, et montre à quel moment le contrôle de F a réellement eu lieu. Mina ne remplace pas la seconde traversée de C–F par une simple note « F vérifiée » : elle doit ressortir de F pour accomplir la consigne.
La borne de huit pour cette demande se prouve sans reprendre la preuve destinée à E vers F mot pour mot. Les six portes doivent être utilisées. E et F étant terminales du dessin, leurs portes doivent être prises une seconde fois dans toute marche fermée qui les couvre. Il y a donc au moins deux traversées de plus. La liste de Mina atteint exactement ce plancher, sans autre détour. Si elle terminait en F après huit passages, elle pourrait éviter le second E–A et le second C–F, mais elle devrait répéter un chemin entre A et C. Ce serait la première demande, avec un autre reçu de portes.
Le préparateur avait conservé le total huit sur deux fiches et recopié la même liste de portes répétées sur les deux. Mina corrige les listes plutôt que les totaux. Sur la première, A–B et B–C figurent deux fois ; sur la seconde, E–A et C–F figurent deux fois. Le chiffre commun ne prouve pas une identité de parcours. Elle inscrit sur chaque fiche son point d'arrivée et les occurrences par porte. La correction produit deux instructions exécutables dans le modèle : la première laisse Mina en F, la seconde la ramène effectivement en E.
Elle vérifie aussi une proposition de six franchissements qui ferait E–A au départ et C–F à l'arrivée tout en annonçant un retour à E. Après C–F, Mina est en F ; aucune porte autre que F–C ne peut l'en faire sortir. Cette proposition n'est pas seulement trop courte : sa dernière pièce contredit la consigne écrite. À l'inverse, effacer la visite de F pour raccourcir le retour laisserait C–F sans traversée. Mina conserve donc le détour terminal sur la fiche fermée et ne traite pas l'oubli d'une porte comme une optimisation de la même visite.
Partir de A et remettre la visite en C
Le lendemain fictif, un nouveau départ est annoncé en A et la remise doit se faire en C. Toutes les six portes restent obligatoires, y compris E–A et C–F. Mina ouvre une troisième fiche au lieu de remplacer seulement les lettres E et F de la première. Les pièces qui ont un nombre impair de portes dans le dessin sont toujours E, A, C et F. Cette fois A et C peuvent être les deux extrémités impaires du trajet. Il faut rendre pairs E et F par des traversées supplémentaires. Les anciennes répétitions entre A et C ne répondent pas à ce besoin.
E et F sont deux feuilles du dessin : toute visite de E commencée depuis A impose A–E puis E–A avant d'aller ailleurs ; toute visite de F avant une arrivée finale en C impose C–F puis F–C. Comme les six portes obligatoires en comprennent déjà une occurrence chacune, ces contraintes semblent annoncer deux répétitions. Mina vérifie leur effet complet : ajouter E–A et C–F rend E et F pairs, mais modifie aussi A et C. Or A et C doivent rester impairs comme départ et arrivée. Deux répétitions ne peuvent donc pas produire la troisième fiche. Il faut une connexion supplémentaire entre A et C pour restaurer leur parité voulue.
Mina cherche la plus courte chaîne entre E et F dont la répétition inverserait uniquement la parité de ces deux pièces. E ne joint que A, et F ne joint que C. Entre A et C il faut encore deux portes, par B ou par D. E–A–B–C–F possède quatre portes ; E–A–D–C–F également. Il n'existe pas de chaîne de trois portes, car A–C manque. Refaire les quatre portes d'une de ces chaînes ajoute quatre aux six obligatoires : la borne devient dix franchissements. La chaîne entière, plutôt que les deux seules queues E–A et C–F, explique le supplément que Mina doit annoncer.
Elle choisit le passage par B et inscrit A–E–A–B–C–F–C–D–A–B–C. La première excursion A–E–A contrôle la porte terminale E–A sans abandonner le départ fixé en A. Elle prend ensuite A–B–C, entre en F puis revient en C, gagne D et A, et termine par A–B–C. Son relevé comporte E–A deux fois, A–B deux, B–C deux, C–F deux, C–D une et D–A une. Dix passages sont bien présents. La dernière lettre est C, et aucune porte obligatoire n'a été seulement « vue » depuis une pièce voisine.
Une collègue propose A–E–A–D–C–F–C–B–A–D–C. Mina en vérifie les occurrences : E–A et C–F sont prises deux fois, A–D et D–C deux fois, tandis que C–B et B–A le sont une fois. Le total est encore dix et le terme encore C. Elle accepte cette autre réalisation de la borne, mais garde la route par B pour la remise active. Le choix entre B et D ne change ni l'obligation de ressortir des deux feuilles ni la longueur minimale du segment de connexion. Il change exactement quelles deux portes du circuit sont répétées.
La formule « deux visites aux feuilles, donc deux passages en plus » apparaît sur une ébauche. Mina l'écarte en reprenant un relevé de huit passages qui répéterait seulement E–A et C–F. Un tel relevé aurait E et F pairs, certes, mais A et C pairs aussi. Une marche continue dont les deux bouts sont A et C exige un passage impair en chacune de ces deux pièces. Les quatre répétitions de la route acceptée réparent simultanément le retour hors des feuilles et les deux extrémités. Ce n'est pas une pénalité ajoutée arbitrairement à la preuve ; elle se lit dans les ports d'entrée et de sortie que la fiche exige.
Mina refuse également de transposer la route fermée de E à cette demande en supprimant son premier et son dernier E. La route restante commencerait en A et finirait en A, car on a ôté E–A aux deux bouts. Elle ne finirait pas en C. Ajouter un simple A–B–C pour atteindre C donnerait certes un trajet, mais il faut alors recompter les occurrences et vérifier si le total atteint la borne dix. Le bout d'une liste de lieux ne se déplace pas par une opération typographique sans effet sur les portes franchies. Mina garde la troisième fiche avec sa suite complète vérifiée.
La directrice demande si l'on pourrait bâtir une porte A–C et annoncer ensuite neuf passages. Mina ne l'inscrit pas comme une correction du dossier : le dessin confié contient exactement six portes et aucune A–C. Dans un nouveau dessin avec cette porte, les degrés et les portes obligatoires changeraient ensemble ; il faudrait une autre preuve, et la porte ajoutée devrait elle-même être contrôlée. Son coût de construction n'est pas représenté par une unité de franchissement. La réponse à la commande présente reste dix avec les portes existantes, non un total inventé après modification silencieuse du plan.
Ce que Mina peut effectivement remettre
Mina garde trois reçus distincts. E vers F demande huit franchissements avec A–B et B–C répétés dans la route choisie. E vers E demande huit franchissements avec E–A et C–F répétés. A vers C demande dix franchissements avec E–A, A–B, B–C et C–F répétés. Chacun des reçus donne aussi sa suite de pièces, car un simple total ne vérifie ni le lieu d'arrivée ni la présence de chaque porte. Les autres routes minimales découvertes par D restent des variantes explicites, pas des morceaux ajoutés à la suite retenue.
Avant la remise, la directrice distingue l'exercice d'un relevé matériel. Si l'une des portes avait un sens unique, si une issue devait rester fermée ou si la visite devait éviter une pièce, le dessin à six liaisons réversibles ne serait plus le bon état du problème. Mina ne dit pas qu'une poignée, une serrure ou un système d'entrée autorise ces parcours. Les trois pages consultées n'ont servi qu'à nommer la catégorie des portes. La vérification des huit et dix passages est une propriété du cas créé et de ses contraintes déclarées ; elle ne recommande aucune tournée dans une maison réelle.
Mina choisit finalement la première consigne pour la scène : elle part de E, accomplit E–A–B–C–D–A–B–C–F, et remet en F la feuille où chacune des six portes a été cochée au passage effectif. Le double trait sur A–B et B–C correspond aux deux franchissements qu'elle a réellement ajoutés. La fiche de retour reste disponible si la destination est de nouveau E ; celle qui part de A ne sert qu'à la demande A vers C. La visite racontée se termine en F. Ce terme, autant que la liste des portes, empêche de confondre trois preuves correctes portant sur trois commandes différentes.
Un départ en B et une arrivée en D changent les pièces à raccorder
Une quatrième demande écrite plus tard part de B et doit aboutir en D. Les six portes du même dessin restent à contrôler, mais Mina n'emploie aucune des trois listes précédentes en changeant seulement leurs première et dernière lettres. B et D avaient chacun deux portes dans le dessin ; les deux bouts d'une marche doivent au contraire posséder un nombre impair de franchissements effectifs. E et F, qui ne sont plus des bouts, ont chacun une porte et doivent recevoir un nombre pair de franchissements. A et C, initialement impairs, doivent aussi devenir pairs. Les six pièces ont donc une correction de parité à recevoir, avec B et D de nature différente des quatre autres.
Pour éviter de se tromper en cherchant un raccourci, Mina répète d'abord E–A et C–F. E et F ont désormais deux franchissements chacun, ce qui permet d'entrer puis de ressortir de ces pièces terminales. Ces répétitions rendent également pairs A et C, déjà touchés par une troisième porte dans la liste initiale. Elles ne suffisent cependant pas : B et D demeurent pairs alors qu'ils doivent être les deux extrémités. Toute correction restante doit donner une occurrence supplémentaire à B et à D, sans rendre de nouveau impaire une pièce intérieure. Mina cherche donc un chemin de répétitions entre B et D, non entre A et C comme sur la première fiche.
Il n'existe pas de porte directe B–D. Les deux chemins les plus courts sont B–A–D et B–C–D, chacun de deux portes. Répéter l'un ajoute une occurrence aux deux bouts B et D ; dans A ou C, les deux passages du chemin arrivent et repartent ensemble et préservent une parité paire. Une seule porte supplémentaire ne saurait modifier les deux extrémités, puisqu'aucune ne joint B à D. Les queues E–A et C–F doivent de toute façon être reprises une fois chacune. Le plancher est donc de quatre franchissements en plus des six obligatoires, soit dix. Une répétition plus longue ne peut réduire le compte de ces deux queues.
Mina choisit d'abord B–A–D comme raccord et écrit B–C–F–C–D–A–E–A–B–A–D. Elle contrôle B–C en quittant B, C–F en entrant en F puis en sortant, C–D en repartant de C, D–A en rejoignant A, E–A en allant à E et en en revenant, enfin A–B en retrouvant B avant le dernier A–D. Le relevé exact donne E–A deux fois, C–F deux, A–B deux et D–A deux ; B–C et C–D une fois. Il contient dix franchissements, commence en B et s'arrête en D. La présence de D au milieu n'a pas clos la visite : seule sa dernière occurrence est la destination donnée.
Le raccord B–C–D produit une autre liste de dix : B–A–E–A–D–C–F–C–B–C–D. Les deux passages répétés du circuit sont cette fois B–C et C–D, tandis que A–B et D–A n'apparaissent qu'une fois. Les queues E–A et C–F restent doublées comme l'imposaient les deux pièces terminales intérieures au parcours. Mina vérifie que les six portes sont prises au moins une fois dans les deux listes. Elle n'appelle pas les deux choix « le même trajet » sous prétexte qu'ils ont le même total : leurs doubles passages dans le circuit sont différents, et chacun possède son propre enchaînement continu.
Une consigne supplémentaire interdit maintenant de reprendre A–B dans la visite B vers D. La première liste n'est plus autorisée, car elle franchit A–B deux fois. Mina retient alors la seconde, qui ne franchit A–B qu'une fois, et la suit dans cette branche de l'exercice. Si l'on interdisait également de reprendre B–C, aucune marche B vers D ne pourrait remplir les six portes du dessin : B n'a que ces deux portes, et chacune aurait alors exactement une occurrence. Ses deux passages effectifs resteraient pairs, alors que le départ B d'une marche terminée ailleurs en exige un nombre impair. Mina refuse cette double interdiction au lieu d'inventer une sortie B–D cachée.
La fiche remise pour cette branche porte la permission précise : A–B une seule fois, B–C deux fois, E–A et C–F deux fois, C–D deux fois, D–A une fois. Elle raconte le départ en B, le contrôle de E et de F, puis l'arrivée en D suivant la seconde liste. Les dix franchissements n'établissent aucune règle de circulation dans un bâtiment réel ; ils attestent seulement une solution du dessin avec ses deux bouts et son interdiction déclarée. Si la demande revient à E vers F, Mina ressortira sa première feuille à huit passages, sans y transporter les répétitions imposées par le départ B.