Dans une maison inventée, Nora prépare trois cahiers de travail, A, B et C, à partir d'une page de départ R. Une flèche signifie que le cahier à son arrivée reprend directement l'état de la page à son départ. Le dessin ne décrit aucune installation ni aucune transmission réellement observée. Paul voudrait choisir, pour chaque cahier, l'entrée portant le plus petit score. Nora doit remettre un plan dans lequel R peut effectivement atteindre les trois cahiers en suivant le sens des flèches. Le désaccord porte sur la possibilité de partir de R, et non seulement sur l'addition des trois scores.
Chaque cahier A, B et C reçoit exactement une flèche choisie ; R n'en reçoit aucune. Les flèches disponibles et leurs scores sont créés pour ce dossier. Une fois les trois choix effectués, Nora suit les parents d'un cahier en sens inverse : cette chaîne doit finir à R, sans tourner indéfiniment. C'est sa manière de vérifier que l'état du cahier provient réellement de la page racine. Une flèche qui arrive à B depuis A ne permet pas de remonter de A vers B. Les scores comparent des dessins de papier, sans unité monétaire ni coût de matériel.
Les pages officielles consultées servent seulement à identifier des catégories de carnets. Elles ne donnent aucune flèche, aucun score et aucune règle de copie du dossier fictif. Nora sépare ces lectures de sa table inventée avant de faire un calcul.
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Trois arrivées à choisir, mais un seul départ commun
Le catalogue de Nora offre pour A les flèches R vers A de score cinq, B vers A de score un et C vers A de score quatre. Pour B, il offre R vers B de score six, A vers B de score un et C vers B de score quatre. Pour C, il offre R vers C de score huit, A vers C de score trois et B vers C de score deux. Il y a trois possibilités pour chacune des trois arrivées, soit vingt-sept choix de parents à examiner avant le contrôle du départ. Ce nombre compte des dessins complets, pas des trajets effectués par trois lecteurs.
Paul prend B vers A pour un, A vers B pour un et B vers C pour deux. Son total vaut quatre, le plus petit que l'on puisse obtenir en additionnant séparément les minima des trois colonnes. Mais la chaîne de A remonte vers B puis revient à A ; celle de B fait le même tour en sens décalé. C remonte à B et entre aussi dans ce circuit. Aucune de ces chaînes n'atteint R. Paul peut avoir minimisé chaque colonne et échoué à fournir le moindre cahier issu de la page racine.
Nora ne corrige pas cette liste en traçant simplement R à côté du circuit. Une flèche de R doit être choisie à la place d'une des trois entrées, puisque chaque cahier n'en reçoit qu'une. Elle remplace B vers A par R vers A, garde A vers B et B vers C. Le score devient cinq plus un plus deux, soit huit. Depuis R, la suite A, B, C existe dans le bon sens ; chacun possède une entrée et la chaîne inverse de chacun atteint R. Elle remet ces trois flèches, avec la flèche remplacée barrée, pour que le lecteur voie précisément quelle économie locale a été abandonnée.
Paul propose de conserver B vers A et d'ouvrir plutôt R vers B. Il doit alors enlever A vers B, sans quoi B aurait deux entrées et le circuit resterait. R vers B, B vers A et B vers C donnent six plus un plus deux, soit neuf. Ce second dessin est admissible : R atteint B, puis A et C. Nora ne le refuse pas parce qu'il est orienté autrement. Elle le garde comme plan de remplacement, mais son score neuf ne bat pas le plan de huit sous le catalogue initial.
Pour établir un minimum et pas seulement montrer deux essais, Nora classe les réalisations selon la première flèche venue de R. Si R entre dans A, cette flèche coûte au moins cinq ; B coûte au moins un et C au moins deux. Huit est donc une borne inférieure, et son plan R vers A, A vers B, B vers C la réalise. Si R entre dans B sans entrer dans A, les trois coûts sont au moins six, un et deux, donc neuf. Si R entre seulement dans C, le seul score de cette entrée vaut huit et les deux autres entrées ne peuvent coûter moins d'un chacune : une réalisation de cette classe coûterait au moins dix, même avant de vérifier les circuits. Aucun de ces départs uniques ne descend sous huit.
Il reste les dessins où R fournit deux entrées, voire trois. Avec R vers A et R vers B, les deux flèches coûtent déjà onze et la moins chère entrée de C vaut deux : treize au minimum. Avec R vers A et R vers C, la borne vaut cinq plus huit plus un, soit quatorze ; avec R vers B et R vers C, elle vaut six plus huit plus un, soit quinze. Les trois entrées directes totalisent dix-neuf. Ces bornes suffisent à exclure un concurrent de score inférieur à huit. Nora n'invoque pas la règle d'un arbre non orienté : elle compare les classes d'entrées réellement permises dans le sens reçu.
Elle vérifie aussi l'unicité de huit. Pour l'atteindre avec R vers A seul, B doit prendre son entrée à un, A vers B, et C son entrée à deux, B vers C. Toute autre entrée de B ou de C augmenterait le score. Une flèche supplémentaire de R dépasse déjà les bornes précédentes. Le plan remis n'est donc pas simplement le premier résultat d'un tri ; sous les neuf flèches et leurs scores initiaux, aucun autre dessin admissible ne possède le même total huit.
Une liaison retirée appelle une autre racine effective
Un feuillet ultérieur interdit A vers B, sans changer les huit autres flèches. Nora ne conserve pas son ancien plan en écrivant « liaison indisponible » à côté : B y perdrait son unique entrée. Elle reprend la liste admissible qu'elle avait mise de côté : R vers B, B vers A, B vers C. Les trois cahiers sont atteints, B reçoit la page racine, et le score est neuf. La correction déplace l'entrée de R vers B ; elle ne se contente pas de remplacer le score un de A vers B par un autre un inexistant.
Paul cherche un plan de huit malgré l'interdiction. Si R entre dans A pour cinq, B ne peut plus recevoir l'entrée A vers B à un. Son entrée autorisée la moins chère est C vers B à quatre, et C coûte au moins deux : le total est déjà onze avant le contrôle de la chaîne. Si R entre dans B pour six, A coûte au moins un et C au moins deux, borne neuf atteinte par la liste de Nora. Si R entre dans C pour huit, A et B coûtent au moins un chacun, borne dix, et les entrées à un forment précisément le circuit A–B. Plusieurs entrées directes de R coûtent davantage. Neuf est ainsi le minimum de la nouvelle demande.
Nora date les deux listes comme deux réponses à deux permissions différentes. Le plan de huit demeure correct pour la feuille initiale ; le plan de neuf devient celui à remettre après le refus de A vers B. Elle ne traite pas l'ancien plan comme une erreur de calcul rétroactive. Sa limite était une flèche désormais interdite, clairement nommée. La personne qui lit les deux feuilles peut savoir pourquoi le score augmente et quel cahier reçoit désormais directement R.
Une autre modification, indépendante de cette interdiction, garde A vers B mais retire B vers C. Le plan initial perd alors l'entrée de C. Nora prend R vers A, A vers B et A vers C, de scores cinq, un et trois : neuf. C est atteint directement depuis A, pendant que B continue d'être atteint depuis A. La réparation ne demande pas à C de remonter une flèche C vers B dans le mauvais sens. Paul voulait conserver le coût huit en laissant B vers C inscrit « pour mémoire » ; Nora distingue une liaison historique mentionnée dans la note d'une liaison autorisée dans le plan courant.
Avec B vers C retiré, une entrée de R dans A impose au moins cinq pour A, un pour B et trois pour C, donc neuf, que Nora réalise. Une entrée de R dans B coûterait six, puis au moins un pour A et trois pour C, donc au moins dix. Une entrée de R dans C coûterait huit, puis au moins un pour chacun des deux autres, et les choix à un refermeraient leur circuit. Deux entrées de R dépassent aussi neuf. Nora conserve cette preuve auprès du remplacement précis B vers C par A vers C : les deux retraits possibles ont donné le même total neuf, mais pas le même dessin ni le même cahier directement lié à R.
Un score changé peut départager les deux entrées de R
Paul ne retire maintenant aucune flèche ; il propose seulement de porter le score de R vers A de cinq à six. Le vieux dessin R vers A, A vers B, B vers C vaut désormais neuf. Le dessin R vers B, B vers A, B vers C vaut aussi neuf, sans utiliser la flèche modifiée. Nora fournit les deux listes. Elle ne désigne pas arbitrairement le second comme seul optimum parce qu'il n'a pas subi la hausse. Le chiffre identique vient de deux réalisations qui respectent encore toutes les entrées et la racine.
Le passage de cinq à six est le point précis où les deux plans se rejoignent. Tant que R vers A vaut cinq, son prolongement à un puis deux coûte huit contre neuf par R vers B. À six, les deux coûtent neuf. À sept, le premier vaut dix et le second reste neuf. Nora peut donc décrire ce changement sans refaire les vingt-sept listes comme si leur sens avait varié : les parents admissibles n'ont pas changé, seules les sommes des listes qui emploient R vers A ont pris une ou deux unités.
Elle contrôle néanmoins une objection. Paul suggère R vers C, C vers A, A vers B, pensant éviter R vers A à sept et profiter de A vers B à un. Son dessin est admissible, mais vaut huit plus quatre plus un, soit treize. Une autre liste depuis C, R vers C, C vers B, B vers A, vaut aussi treize. Aucun accès par C ne concurrence le neuf depuis B. Ne pas utiliser la flèche renchérie ne suffit pas à rendre bon marché n'importe quel autre départ ; la suite entière de parents doit être additionnée.
Nora garde la feuille à score cinq comme état reçu, et les feuilles à six puis sept comme hypothèses distinctes. L'égalité à six ne contamine pas la note initiale « unique à huit » ; la préférence à sept ne prouve pas que l'entrée B était toujours préférable. Son formulaire donne la valeur de R vers A en tête de chaque résultat. Cette donnée permet au lecteur de refaire les trois additions plutôt que de deviner quel tarif a servi à produire une phrase disant « le meilleur plan ».
Exiger une copie directe de C change l'objet de la remise
Une destinataire veut ensuite que C reçoive directement R, sous les scores initiaux. Nora n'essaie pas de justifier cette demande par le seul fait que C était atteint dans son plan de huit. R, A, B, C est un chemin ; sa dernière flèche vient de B. Elle écrit R vers C comme entrée obligatoire de C, de score huit. Puis elle cherche comment A et B peuvent être atteints depuis C ou par d'autres entrées de R. Le coût du lien direct est compté dans le nouveau total.
Elle trouve R vers C, C vers B, B vers A. Les scores huit, quatre et un donnent treize, et le trajet R, C, B, A suit bien les flèches. Elle trouve aussi R vers C, C vers A, A vers B, de scores huit, quatre et un. Dans le second, A reçoit C puis transmet à B ; dans le premier, B reçoit C puis transmet à A. Nora remet l'un comme dessin actif et l'autre comme alternative égale. Le total treize ne rend pas interchangeables leurs deux chaînes de transmission.
Paul reprend les deux entrées localement minimales pour A et B, B vers A et A vers B, et ajoute R vers C. Son addition vaut huit plus un plus un, soit dix. Pourtant R ne franchit jamais le circuit A–B : la flèche depuis C vers l'un d'eux manque. C reçoit une entrée directe parfaite pour la nouvelle demande, mais A et B restent coupés de cette copie. Nora refuse ce dix avant de discuter son coût. Elle rappelle ainsi que l'obligation sur C ne dispense pas du contrôle de provenance des deux autres cahiers.
Avec R vers C seul, rompre le cycle A–B impose que C fournisse une entrée à A ou à B. Chacune de ces flèches vaut quatre ; l'autre cahier peut ensuite recevoir l'entrée à un depuis le premier. Le total ne peut donc descendre sous huit plus quatre plus un, soit treize, et les deux plans réalisent cette borne. Ajouter R vers A coûterait au moins huit plus cinq plus un, quatorze ; ajouter R vers B au moins huit plus six plus un, quinze. Nora a vérifié la nouvelle condition, pas simplement trouvé deux dessins séduisants.
La destinataire choisit le plan passant par C puis B puis A, car elle veut que B annonce la copie à A. Cette préférence créée pour la scène départage les deux plans de score treize, mais elle ne réécrit pas le calcul en « unique minimum ». Nora remet la préférence avec son auteur et la borne avec ses deux témoins. Une lectrice qui ne partage pas cette préférence pourrait prendre l'autre chaîne en conservant la même obligation R vers C et le même total.
Deux entrées directes de R ne signifient pas deux racines
Une dernière commande exige que R transmette directement à A et à B. Elle n'ajoute pas une seconde page racine ; R reste le seul point de départ. Nora garde R vers A à cinq et R vers B à six. C doit encore recevoir une seule entrée. Parmi celles du catalogue, B vers C coûte deux, A vers C trois et R vers C huit. Elle choisit B vers C et remet les trois flèches de score treize. Depuis R, A est atteint directement et C par B ; le fait que A n'ait pas d'enfant ne le rend pas inaccessible.
La preuve du minimum est courte parce que deux entrées sont imposées : elles coûtent déjà onze, et C ne peut recevoir moins que deux. Treize est atteint. Paul voulait conserver en plus A vers B, car cette flèche avait servi dans le plan initial. B recevrait alors R et A à la fois, contrairement à la règle « une entrée par cahier ». Supprimer R vers B pour conserver A vers B violerait l'obligation nouvelle de copie directe. Nora retire donc l'ancienne flèche de la liste active et ne la laisse pas passer comme un simple souvenir sans effet.
Les deux commandes récentes donnent chacune treize, mais l'une exige R vers C et permet un seul autre chemin, tandis que l'autre exige R vers A et R vers B. Les réponses ne peuvent être fusionnées sans changer la demande : prendre toutes les flèches des deux listes donnerait plusieurs entrées à des cahiers. Nora joint les deux feuilles avec leurs intitulés exacts, plutôt qu'un unique encadré « réseau à treize ». Ce nombre égal est une propriété de deux calculs, pas une autorisation d'échanger leurs permissions.
Ce que Nora remet
Le document principal conserve R vers A, A vers B, B vers C et son score huit sous les neuf flèches initiales. Il montre la proposition locale à quatre refusée pour circuit, puis le plan alternatif à neuf. Les feuilles suivantes portent chacune la condition qui les a produites : A vers B retirée, B vers C retirée, score de R vers A porté à six ou sept, C directement relié à R, deux copies directes depuis R. Nora ne raconte pas ces feuilles comme autant d'événements qui seraient tous arrivés à la maison ; elles sont des demandes séparées et leurs réponses réalisées sur le papier.
Pour chaque feuille remise, elle garde les trois parents, le total, et une chaîne depuis R vers chacun des cahiers. Un total sans parents pourrait cacher le circuit de Paul ; trois parents sans leur score ne répondraient pas à la question du choix minimal. Les trois champs réunis permettent de distinguer le dessin autorisé de l'addition seule. Ils ne prouvent ni qu'un produit commercial transmet une copie, ni qu'un trajet matériel aurait le score du catalogue. La décision du récit est de publier un plan vérifiable dans ses propres règles, avec la permission qui le rend valable.
Contracter le circuit sans perdre l'entrée qui le rompt
Nora essaie une feuille de calcul plus courte pour les mêmes neuf flèches. Elle prend d'abord, séparément, l'entrée la moins chère de chaque cahier : B vers A pour un, A vers B pour un, B vers C pour deux. Leur somme quatre n'est pas un plan ; A et B tournent en circuit. Elle réunit provisoirement A et B dans une case X, mais garde sur le bord de cette case l'identité de la flèche qui serait remplacée par une arrivée extérieure. Sans cette identité, un nombre ajouté à X ne permettrait plus de reconstruire trois parents. La base de quatre reste écrite comme borne comptable, pas comme résultat livrable.
R vers A remplace B vers A : son supplément à la base est cinq moins un, soit quatre. R vers B remplace A vers B : supplément cinq. Une arrivée de C dans A ou B remplace l'une des entrées à un par une entrée à quatre : supplément trois. Pour C, conserver B vers C ne demande aucun supplément ; choisir A vers C ajoute un, et R vers C ajoute six par rapport à son entrée à deux. Paul sélectionne les deux suppléments apparemment les plus petits, C vers X pour trois et X vers C pour zéro : la case X et C se renvoient alors la parenté, sans chemin depuis R. Le score sept de cette addition n'est pas un arbre. Contracter le petit circuit A–B n'autorise pas à ignorer le circuit plus grand X–C.
Nora impose donc un départ de R dans la feuille contractée. Entrer dans X par A coûte quatre de supplément et conserver X vers C par B ne coûte rien de plus : quatre de base plus quatre donne huit. Elle développe X en supprimant B vers A, garde A vers B et B vers C, et retrouve exactement R vers A, A vers B, B vers C. Entrer dans X par B donnerait au moins neuf. Si R entre d'abord dans C, son supplément six doit s'accompagner d'une entrée de C dans X, supplément trois : au moins treize. Deux entrées de R coûtent davantage. Cette feuille ne crée aucun score nouveau ; elle permet de rejeter sept avant de l'annoncer et de reconstruire huit avec les parents précis. Camille conserve ce procédé pour contrôler une addition locale qui aurait autrement dissimulé un second circuit.