Une boîte contient trois dés que Jeanne appelle A, B et C. Elle propose à Malik une épreuve précise : chacun annonce un dé, les deux dés sont lancés une fois, et le nombre le plus haut remporte la manche. Elle promet de montrer les faces avant toute décision. Malik entend « le meilleur dé » et imagine qu'il suffira d'en trouver un, comme on choisirait le plus grand nombre sur une carte. Jeanne ne lui demande pas de croire à une propriété d'objets réels. Ses dés sont des listes de six faces dans un modèle ; leur tirage uniforme et leur indépendance sont des règles écrites pour cette partie.
GameScience présente notamment des dés à six faces. Cette identification de catégorie ne dit rien de la régularité d'un dé particulier ni de la fréquence de ses résultats. Les six nombres de A, B et C ci-dessous sont inventés pour l'épreuve de Jeanne.
Gamegenic propose aussi des ensembles de dés D6. Sa page sert ici seulement à situer le mot « dé » dans une catégorie de jeu. Aucun dessin de face, procédé de fabrication ou résultat de lancer n'en est déduit.
Norse Foundry présente des dés dans son catalogue. Les calculs de cette histoire ne mesurent pas ses produits. Ils portent exclusivement sur les listes annoncées par Jeanne et sur les probabilités qu'elle a stipulées.
Jeanne écrit A : 2, 2, 4, 4, 9, 9 ; B : 1, 1, 6, 6, 8, 8 ; C : 3, 3, 5, 5, 7, 7. Les deux copies de chaque nombre restent des faces distinctes. Si A montre son premier 2 ou son second 2, il y a deux issues physiques dans le modèle, même si le score lu est le même. Pour comparer deux dés, il faut donc regarder trente-six couples de faces équiprobables, six choix pour l'un et six pour l'autre. Une victoire n'est pas un chiffre lu isolément : elle est la relation entre deux chiffres du même couple.
Malik additionne les faces avant de comparer les couples. A donne 2+2+4+4+9+9=30 ; B donne 1+1+6+6+8+8=30 ; C donne 3+3+5+5+7+7=30. Chaque moyenne est cinq. Cette égalité est une vérification utile, mais elle ne répond pas à la question de Jeanne. La moyenne de chaque score prédit l'écart moyen entre deux scores indépendants : cinq moins cinq fait zéro. Elle ne dit pas combien de couples placent le premier score au-dessus du second. Une minorité de grandes marges peut compenser une majorité de petites victoires.
Le tableau A contre B ne laisse aucune face implicite
Pour A contre B, Malik classe les trente-six couples en trois lignes de valeurs de A, chacune comptée deux fois. Quand A vaut 2, il bat les deux faces 1 de B et perd devant les quatre faces 6 ou 8 : deux victoires par face 2, donc quatre. Quand A vaut 4, le même partage donne encore quatre victoires. Quand A vaut 9, il bat les six faces de B ; les deux faces 9 donnent douze victoires. Le total est vingt. Aucun nombre des deux listes n'est commun, donc les seize autres couples sont des défaites et il n'y a aucune égalité.
Malik voudrait traduire vingt victoires sur trente-six par « A est meilleur que B ». Jeanne lui fait préciser le verbe. Si le règlement paie une unité pour une manche gagnée et ne regarde que le nombre de manches, choisir A contre B donne une fréquence de victoire de 20/36, soit 5/9. Ce n'est pas une garantie : sur seize couples, B gagne. Si le règlement paie la différence des nombres affichés, le calcul change de question. Les marges positives des vingt victoires totalisent soixante-quatre points ; les marges des seize défaites totalisent aussi soixante-quatre en valeur absolue. La différence moyenne vaut zéro.
La première petite ligne du tableau explique ce décalage. Les faces 2 et 4 de A gagnent contre 1 de B, parfois d'un point, parfois de trois. Les faces 6 et 8 de B l'emportent souvent sur ces petites faces de A avec des marges qui s'additionnent. Les deux 9 de A remportent toute leur ligne, mais cela ne change pas l'égalité des deux moyennes. La fréquence compte les cases gagnées ; le score signé compte la distance à l'intérieur de chaque case. Ces opérations emploient les mêmes trente-six couples et produisent deux réponses différentes sans contradiction.
B bat C alors que C bat A
Jeanne demande ensuite à Malik de comparer B à C sans transposer le premier tableau. Les deux faces 1 de B ne battent aucune face de C. Chaque face 6 bat les deux 3 et les deux 5, soit quatre victoires ; les deux faces 6 en donnent huit. Chaque face 8 bat les six faces de C ; les deux 8 en donnent douze. B gagne donc vingt couples et en perd seize, sans égalité. Le total des marges gagnantes vaut cinquante-deux et celui des marges perdantes vaut aussi cinquante-deux. La moyenne cinq de chaque dé annonçait cet écart signé nul, pas le décompte vingt-seize.
Pour C contre A, les deux faces 3 de C battent les deux 2 de A : quatre couples. Chaque face 5 bat les deux 2 et les deux 4, donc les deux faces 5 apportent huit autres couples. Chaque 7 bat également ces quatre petites faces de A ; les deux 7 apportent huit couples. Quatre plus huit plus huit font vingt. Les deux 9 de A prennent douze des seize couples perdants de C ; les quatre autres sont les rencontres des deux 3 de C avec les deux 4 de A. Ici encore, aucune égalité entre les listes et les marges positives et négatives de C totalisent chacune cinquante-deux. Le troisième tableau ferme un cycle, au lieu de confirmer un classement.
Malik dessine trois flèches sur le papier : A vers B, B vers C, C vers A. Chaque flèche signifie exactement « gagne dans vingt couples sur trente-six », rien de plus. Suivre deux flèches ne crée pas une quatrième relation. Si A est opposé à C, c'est C qui a vingt victoires. Chercher une liste ordonnée A, B, C dans laquelle toutes les flèches montent serait demander à trois comparaisons binaires de produire un ordre qu'elles ne possèdent pas. Jeanne laisse visibles les trente-six cases de chaque duel : le cycle est une propriété du règlement et de ces trois listes, non une maxime sur tous les dés.
Le chiffre vingt n'est pas non plus une performance de chaque face. A peut montrer un 9 et gagner quel que soit le nombre de B, mais ses deux faces 2 ne battent que les 1. B possède deux 8 qui battent tout C, alors que ses 1 perdent toujours. C possède deux 7 qui battent les petites faces de A, mais perd contre les deux 9. À chaque passage, des faces favorables à un duel changent de rôle dans le suivant. La relation porte sur les deux distributions prises ensemble ; aucun nombre isolé ne porte la flèche à lui seul.
Le moment où l'on choisit change le privilège
Jeanne propose une première procédure. Malik annonce A, B ou C, et Jeanne voit cette lettre avant d'annoncer la sienne. Si Malik prend A, Jeanne répond C ; s'il prend B, elle répond A ; s'il prend C, elle répond B. Chaque réponse possède vingt couples gagnants sur trente-six. Jeanne n'a pas découvert un dé supérieur aux trois autres : elle a reçu le droit de choisir après avoir vu le choix adverse. Son avantage est conditionnel à une information et à un ordre d'annonce. En inversant les rôles, Malik pourrait appliquer les mêmes trois réponses.
Le choix tardif n'autorise pourtant pas Jeanne à promettre la victoire de chaque manche. Quand elle prend C contre A, seize couples la font perdre ; il en va de même pour les deux autres réponses. Un billet annonçant « je choisis toujours le dé qui gagne » confondrait une chance de 5/9 avec une certitude. Jeanne écrit donc sur le billet : « je choisis une réponse favorable en fréquence, puis un couple de faces est tiré ». Les deux verbes désignent deux moments distincts. Aucune stratégie de sélection ne remplace le tirage que les règles maintiennent indépendant.
La deuxième procédure cache les lettres jusqu'à ce que les deux choix soient fixés. Le cycle ne permet alors plus à une personne de suivre automatiquement l'autre. Jeanne suggère que chacun tire indépendamment une des trois lettres avec probabilité 1/3, puis lance le dé choisi. Pour une lettre donnée en face, il y a une lettre qu'elle bat, une qui la bat et la même lettre. Ces trois rencontres sont équiprobables si l'autre choisit uniformément. Il faut encore calculer la rencontre avec la même lettre : déclarer une égalité dès que deux personnes ont choisi A oublierait que leurs faces sont tirées séparément.
A contre A produit trente-six couples de faces. Les deux 2 rencontrent les quatre faces 4 ou 9 et perdent huit fois ; les deux 4 battent les deux 2 quatre fois et perdent contre les deux 9 quatre fois ; les deux 9 battent les quatre petites faces huit fois. Le compte symétrique est douze victoires et douze défaites. Les douze autres couples ont le même nombre des deux côtés, car chaque valeur apparaît deux fois sur chaque dé. B contre B et C contre C ont la même structure de trois valeurs répétées deux fois. La lettre identique ne rend donc pas chaque manche nulle : elle donne douze égalités sur trente-six.
Pour une lettre fixée, les trois cas de choix adverse fournissent trente-six couples chacun. Face à sa victime dans le cycle, elle gagne vingt fois ; face à sa gagnante, seize ; face à sa propre lettre, douze. Sur les cent huit couples combinant le choix adverse et les faces, elle gagne quarante-huit fois, perd quarante-huit fois et fait douze égalités. La probabilité de gagner est 48/108=4/9, celle de perdre aussi 4/9, celle d'égalité 12/108=1/9. Le fait que l'une des trois rencontres soit favorable ne suffit plus à reproduire 5/9 : la procédure d'annonce a changé.
Jeanne répète le calcul en imaginant que Malik tire lui aussi sa lettre uniformément, sans lui révéler le résultat. Cela ne modifie pas les 4/9, 4/9 et 1/9 de Jeanne : ces fractions étaient déjà les mêmes pour A, B et C fixés. La symétrie des choix n'est pas une preuve qu'un lancer donné finira égal. Elle exprime l'absence d'avantage de victoire avant le tirage des lettres dans cette procédure. Un observateur qui ne connaît que les lettres tirées peut ensuite revenir à la fraction 5/9 ou 16/36 pour le duel distinct réellement choisi ; son information plus précise ne change pas les faces à venir.
Deux façons de payer la même manche
Malik propose un paiement de plus un jeton pour une victoire, moins un pour une défaite et zéro pour une égalité. Quand Jeanne a répondu au premier choix et s'est placée dans le sens d'une flèche, son gain moyen est (20−16)/36=1/9 jeton par manche. Cette espérance n'est ni 5/9 jeton ni une prédiction du jeton de la prochaine manche. Le 5/9 est la probabilité de recevoir le jeton positif ; le 1/9 soustrait le risque du jeton négatif de même taille. Pour les choix simultanés et uniformes, les quarante-huit gains compensent exactement les quarante-huit pertes.
Jeanne remplace ensuite le paiement par la différence des nombres affichés, positive ou négative. Même dans le duel favorable A contre B, la somme des écarts positifs, soixante-quatre, est annulée par la somme des écarts négatifs, également soixante-quatre. Pour B contre C et C contre A, les deux sommes sont cinquante-deux. L'espérance signée vaut zéro dans les trois directions. Ce résultat peut aussi se démontrer sans parcourir chaque marge : l'espérance du nombre de son dé vaut cinq et celle du nombre adverse vaut cinq ; la différence vaut zéro. Le tableau reste nécessaire pour connaître la fréquence des victoires, que cette égalité ne livre pas.
Le règlement pourrait encore attribuer deux jetons à une victoire et retirer trois jetons à une défaite. Sur une flèche favorable sans égalités, vingt gains de deux donnent quarante jetons ; seize pertes de trois en enlèvent quarante-huit. Le solde sur les trente-six couples est moins huit. Jeanne gagnerait plus souvent qu'elle ne perdrait et perdrait pourtant des jetons en moyenne. Malik peut vérifier cette conclusion sans reclasser les trente-six couples, mais seulement parce que le règlement garde les mêmes événements gagnants et perdants. Changer la définition d'une victoire obligerait à refaire le tableau.
Pour une flèche favorable, le seuil de paiement apparaît directement : si chaque gain rapporte g et chaque perte coûte p, le solde agrégé est 20g−16p. Il est positif seulement lorsque g/p dépasse 4/5, à condition que p soit positif. Ce seuil dit quelque chose de ce règlement, pas de la valeur intrinsèque d'A, de B ou de C. Il disparaît si l'on paie les écarts de faces au lieu d'un montant constant. Jeanne conserve les trois comptes — vingt/seize, marges équilibrées, gain signé du jeton — dans des colonnes séparées afin qu'aucune unité ne soit glissée dans une autre.
La fréquence égale laisse des écarts inégaux
Jeanne ajoute une demande qui ne se trouve pas dans le premier règlement : elle veut choisir, parmi les trois confrontations orientées dans le sens favorable, celle qui risque le moins de produire un écart d'au moins six points sur une seule manche. Elle ne change pas le gagnant d'une case et ne promet pas de modifier les faces après les avoir vues. Son critère compte les couples dont la différence absolue atteint six, qu'il s'agisse d'une victoire ou d'une défaite. Les trois tableaux donnent tous vingt victoires, seize défaites et une différence signée moyenne nulle ; ces anciens totaux ne suffisent donc pas à répondre à sa nouvelle demande.
Malik revient aux marges de A contre B. Quand A vaut 2 et B vaut 8, la différence absolue est six : deux faces 2 rencontrent deux faces 8, soit quatre couples. Quand A vaut 9 et B vaut 1, l'écart est huit : deux faces 9 rencontrent deux faces 1, soit quatre autres couples. Aucune autre différence de ce duel n'atteint six ; les autres valeurs absolues sont un, deux, trois ou quatre. A contre B présente donc huit couples sur trente-six au seuil demandé, et vingt-huit en dessous. La proportion 8/36 porte sur la taille de l'écart, pas sur la fréquence des victoires de A.
Pour B contre C, les quatre couples où B vaut 1 et C vaut 7 donnent un écart de six. Les grandes victoires de B sont ses 8 contre les 3 de C : quatre couples d'écart cinq, qui restent sous le seuil de six. Les autres écarts sont encore plus petits. Il y a donc quatre couples au seuil sur trente-six, et trente-deux en dessous. Le tableau C contre A a également quatre couples au seuil : les 3 de C face aux 9 de A. Sous le critère que Jeanne vient réellement d'écrire, B contre C et C contre A conviennent aussi bien, tandis que A contre B expose deux fois plus de couples à l'écart d'au moins six.
Elle vérifie ce choix par une seconde mesure, sans la confondre avec un nouveau fait sur des dés vendus. La somme des carrés des trente-six écarts vaut six cent vingt-quatre pour A contre B, mais quatre cent huit pour B contre C et pour C contre A. Les moyennes correspondantes sont 52/3 et 34/3 points carrés. Le carré donne davantage de poids aux grands écarts : il explique pourquoi l'égalité des moyennes signées ne garantissait pas une dispersion égale. Jeanne retient B contre C pour cette manche à seuil ; elle pourrait retenir C contre A sous le même critère. Si elle revenait au seul taux de victoire, les trois confrontations resteraient à 20/36, et sa préférence nouvelle n'aurait plus cette justification.
Une moyenne commune ne fixe pas la fréquence
Pour tester la phrase « même moyenne, même chance de gagner », Malik ajoute un quatrième dé fictif D dont les six faces portent 5. Sa moyenne est encore cinq. Face à B, chaque face 5 bat les deux 1 mais perd contre les quatre faces 6 ou 8. D gagne douze des trente-six couples et en perd vingt-quatre, sans égalité. La différence moyenne de nombres reste pourtant zéro : les victoires contre 1 ont quatre points de marge, tandis que les défaites contre 6 ou 8 ont un ou trois points de marge. La moyenne ne détermine ni la fréquence ni la taille de chaque issue.
Malik ne conclut pas que D est « le pire » des quatre. Il n'a comparé D qu'à B, selon deux paiements. Pour classer D contre A et C, il faudrait calculer ces deux nouveaux tableaux et préciser si le classement porte sur la victoire fréquente, le jeton signé ou l'écart de faces. Cette retenue empêche une démonstration locale de se déguiser en jugement universel. Le contre-exemple D sert à isoler une proposition fausse, pas à lancer une deuxième intrigue dont les chiffres resteraient supposés.
Jeanne met maintenant trente-six jetons carrés sous le tableau A contre B et marque les vingt cases où A gagne. Elle ne peut pas retirer les seize autres cases pour exposer sa conclusion : elles représentent des issues tout aussi autorisées. Elle peut en revanche montrer comment les répétitions de face produisent les poids : deux 9 de A multipliés par six faces de B donnent douze cases, même si la ligne écrite ne montre qu'une valeur « 9 ». Cette mise en cases permet à Malik de contrôler un résultat sans croire qu'une probabilité annoncée est un effet des objets du catalogue.
Malik demande si le cycle se conserverait après dix lancers effectivement observés. Jeanne répond que dix résultats sont une suite, pas les trente-six couples équiprobables de chaque duel. Une suite peut contenir sept défaites de A contre B sans effacer les vingt cases gagnantes dans le modèle. Pour estimer quelque chose sur un vrai dé, il faudrait définir et observer une autre expérience ; aucune des trois pages de catalogue ne l'a faite ici. Dans le jeu stipulé, la probabilité est calculée à partir des faces et des règles, tandis que le relevé de dix lancers serait une donnée distincte.
Elle donne pourtant un relevé fictif d'une manche pour vérifier la chronologie. Malik annonce B. Jeanne, ayant droit de répondre après lui, inscrit A. Le premier tirage montre 4 pour A et 6 pour B : elle perd cette manche. Elle n'efface ni sa réponse favorable ni cette perte. Elle note « A répond à B, 20 couples gagnants possibles sur 36 ; couple réalisé 4–6, perte ». Si elle avait écrit « A bat B » sans ces deux niveaux, Malik aurait pu lire une promesse contredite par la première observation.
À la manche suivante, Jeanne perd son privilège d'annonce tardive. Chacun écrit une lettre sous un papier avant de la révéler. Malik a choisi C et elle a choisi A. La lettre C est celle qui bat A en vingt couples ; Jeanne se trouve du côté à seize victoires. Elle ne change pas sa lettre après avoir vu le papier. Si les faces donnent 9 pour A et 7 pour C, elle gagne cependant cette manche défavorable en fréquence. Les deux manches croisées montrent pourquoi « réponse favorable », « duel favorable » et « issue gagnante » doivent rester trois descriptions distinctes.
Ce que le tableau permet de décider
Le papier d'annonce tardive procure à son détenteur une réponse gagnante dans 5/9 des couples contre toute lettre annoncée. Il ne procure pas une lettre à conserver quoi que fasse l'autre : la réponse tourne A, C, B suivant la lettre reçue. Le papier simultané retire cette information ; choisir uniformément donne, contre un choix uniforme indépendant, 4/9 de victoires et 1/9 d'égalités après tirage des faces. Ces nombres valent pour les règles écrites, l'indépendance supposée et les six identités de face. Ils ne sont pas une propriété transférée à des dés que Jeanne ou Malik pourraient acheter.
Avant de fermer la boîte, Malik regarde les trois tableaux et barre l'expression « le meilleur dé ». Il inscrit à la place les questions qu'il aurait dû poser : meilleur contre quelle lettre, pour quelle chance de gagner, avec quel paiement, et après quelle annonce ? Jeanne n'exige pas qu'il retienne seulement le cycle. Elle lui laisse les vingt, seize et zéro de chaque duel distinct, les douze égalités d'un duel identique et le solde des marges. Ainsi, s'il change une règle, il saura précisément quel compte doit être refait et lequel peut encore servir.