Jeanne classe dix petits emplacements d'une exposition familiale inventée. Pour remettre leurs numéros à Malik, elle dessine chaque chiffre sur une grille de sept traits possibles. La grille est faite sur papier pour cet exercice, et non sur un appareil effectivement mis en service. Un cache peut rendre invisible au plus un même trait pendant toute une série d'empreintes. Malik doit distinguer le chiffre préparé, le dessin effectivement visible et la limite de ce que cette différence permet de conclure.
Les lettres a à g nomment respectivement le trait du haut, ceux de droite haut et bas, celui du bas, ceux de gauche bas et haut, puis celui du milieu. Jeanne fixe elle-même les dessins de zéro à neuf : 0=abcdef, 1=bc, 2=abdeg, 3=abcdg, 4=bcfg, 5=acdfg, 6=acdefg, 7=abc, 8=abcdefg, 9=abcdfg. Un trait masqué disparaît de chaque dessin qui le possédait ; aucun trait supplémentaire n'apparaît. Les lettres sont des repères de sa feuille, pas les spécifications d'un produit.
Adafruit présente une catégorie d'afficheurs. Jeanne n'en déduit ni la panne ni le dessin des chiffres de son exercice.
SparkFun présente notamment une catégorie de composants à sept segments. Malik n'en reprend aucune procédure de diagnostic.
Seeed Studio présente des modules d'affichage. Son catalogue situe le genre d'objet évoqué, sans attester que la feuille de Jeanne fonctionne comme un module réel.
Le même dessin peut avoir deux originaux
Malik reçoit d'abord l'empreinte abcdg. Elle ressemble exactement au 3 non masqué de la grille. Jeanne voudrait inscrire « emplacement trois » dans son index, puisque tous les traits visibles du trois sont présents. Malik refuse cette inférence tant que le cache possible n'est pas connu. Le neuf devait montrer abcdfg ; si le trait f disparaît, il montre lui aussi abcdg. Le dessin reçu ne révèle pas s'il manque un trait qui aurait dû être visible.
Les deux explications ne sont pas une simple façon de prononcer le même numéro. Dans la première, Jeanne avait inscrit trois et le trait f n'entrait pas dans son dessin. Dans la seconde, elle avait inscrit neuf et le trait f était demandé mais caché. Un même relevé visible correspond alors à deux inscriptions différentes. Malik conserve les deux possibilités sur sa fiche et retire l'unique numéro que Jeanne avait attribué sans autre observation. Il ne dit pas que le cache est réellement présent parce que l'exemple le rend plausible.
Jeanne essaie de décider en cherchant seulement si le dessin visible fait partie des dix dessins complets. Ce test est insuffisant dans les deux sens. abcdg est bien un dessin complet possible, mais ne prouve pas que l'original soit trois. À l'inverse, avec f caché, un cinq devient acdg, qui n'est aucun des dix dessins complets inscrits sur la feuille. Refuser ce relevé comme impossible ferait perdre un cinq pourtant compatible avec la règle du cache. Malik remplace le test « ressemble à un chiffre » par un test portant sur les dessins prévus et le trait éventuellement absent.
Pour faire ce test sans transformer une impression en souvenir, il note ce que chaque numéro devait porter avant le cache. Si f est absent, les numéros qui n'utilisent pas f gardent leur apparence ; ceux qui l'utilisent perdent exactement ce trait. Il peut alors lire acdg comme le cinq de ce modèle sans prétendre que acdg serait une nouvelle écriture ordinaire du cinq. Le numéro d'origine et l'apparence sous défaut occupent deux colonnes différentes. Jeanne garde ce relevé conditionnel, plutôt que d'ajouter un onzième chiffre au catalogue.
Un huit connu révèle le cache, mais pas tous les numéros
La famille possède une empreinte d'essai dont l'inscription prévue est certainement huit. Dans le modèle de Jeanne, huit demande les sept traits. Si l'essai montre les sept, aucun trait n'est caché pendant la série, sous l'hypothèse retenue. S'il en manque un seul, la place manquante nomme ce trait : un essai abcdeg révèle l'absence de f. Malik accepte ce contrôle parce que l'original de l'essai est connu indépendamment de son apparence. Il ne tente pas de diagnostiquer le cache avec un chiffre inconnu.
Jeanne propose d'arrêter le travail dès que le trait f est identifié. Malik lui montre pourquoi cela ne suffit pas. Après un essai huit privé de f, une autre empreinte abcdg peut encore venir de trois, qui n'avait pas f, ou de neuf, qui l'avait. Les deux passent le diagnostic du même trait caché. La calibration a réduit l'incertitude sur la règle de transformation ; elle n'a pas rendu la transformation injective sur les dix chiffres. Jeanne garde cette paire comme cas non résolu au lieu de présenter le test huit comme une lecture complète de l'index.
Malik vérifie d'autres paires pour que l'échec ne paraisse pas exceptionnel. Si a est masqué, un et sept ont la même apparence bc. Si b est masqué, cinq et neuf coïncident, de même que six et huit. Si e est masqué, cinq et six coïncident, ainsi que huit et neuf. Si g est masqué, zéro et huit coïncident. Sous c ou d masqué, les dix apparences restent différentes dans cette grille précise. Ce sont des résultats d'énumération de la feuille choisie, non une assertion sur tout afficheur.
La liste des collisions change la décision pratique. Jeanne ne peut pas simplement bannir neuf, puisque d'autres masques feraient entrer des paires différentes. Malik ne peut pas non plus attribuer un « numéro de remplacement » fixe à chaque dessin reçu sans savoir quel trait manque. L'essai huit renseigne d'abord le masque ; la feuille de collisions indique ensuite quels numéros exigent une information supplémentaire. Les numéros déjà séparés demeurent lisibles sous leur masque connu, tandis que les paires fusionnées attendent un autre signe.
Un jour, la fiche de l'essai huit manque dans le dossier familial. Jeanne possède en revanche deux inscriptions d'essai dont les originaux zéro et trois sont attestés séparément. Malik ne les traite pas comme un huit déguisé : zéro demande les six traits abcdef et ne montre jamais g, tandis que trois demande abcdg et montre ce trait central. Ensemble, leurs demandes couvrent les sept places. Si l'unique trait absent appartient au dessin de zéro, il y manque ; s'il ne lui appartient pas, c'est nécessairement g, et son absence apparaît sur le trois. Les deux essais connus nomment donc encore le cache commun.
La famille avait d'abord offert zéro et un. Malik refuse cette paire pour la même tâche : zéro n'emploie pas g, un non plus. Si g est invisible, les deux essais ont exactement leurs apparences normales, comme si aucun trait n'était caché. Jeanne ne pourrait pas distinguer ces deux états avant de lire le numéro inconnu. Elle choisit zéro et trois, conserve les deux originaux attestés et ajoute une seconde empreinte de calibration à la remise. Le coût en feuilles augmente d'une, mais l'information sur g devient effectivement observable.
Cette alternative ne raccourcit pas le message du numéro : elle remplace un essai huit par deux essais dont l'union des traits demandés couvre la grille. Aucun dessin individuel parmi zéro à sept ou neuf n'utilise les sept traits, puisque huit seul les rassemble dans la liste fixée. Sans huit connu, un essai unique ne peut donc révéler la disparition d'un trait que son dessin ne demandait jamais. Malik nomme la portée de sa preuve : il identifie le cache par l'union des deux demandes attestées, puis applique au numéro et à son reste le contrôle déjà calculé.
Une répétition du numéro n'est pas l'information manquante
La sœur de Jeanne suggère d'imprimer deux fois le même chiffre. Sous le même cache, cette répétition reproduirait deux fois l'ambiguïté : trois et neuf continueraient tous deux à produire abcdg, abcdg lorsque f est absent. Malik refuse de compter la seconde empreinte comme une observation indépendante. Elle confirme la stabilité de la règle imaginée, mais n'ajoute aucun caractère capable de distinguer les deux inscriptions d'origine. La famille a besoin d'une autre relation au numéro, pas seulement d'une copie de sa forme visible.
Jeanne propose alors un second chiffre qui dépend du premier. Pour le numéro n, elle écrit son reste après division par un petit entier m, puis dessine ce reste sur la même grille. Malik recevra donc deux apparences : celle de n et celle du reste, après passage sous le même cache. L'essai connu huit précède ces deux empreintes. La proposition conserve le numéro d'origine dans la première place ; la deuxième ne le remplace pas par un simple ordre de ligne, elle apporte un contrôle calculable de cette première place.
Avec un reste modulo deux, la paire trois-neuf demeure confondue sous f : les deux numéros sont impairs et leur second chiffre est un. Le masque n'affecte pas le dessin bc de un dans cet exemple, mais deux bc identiques n'aident pas à distinguer abcdg. Sous a, un et sept ont également le même reste un. Malik retire donc le reçu qui promettait une solution avec « pair ou impair ». Le contrôle n'est pas jugé à la seule présence d'un second signe ; il doit séparer chaque paire qui se confond réellement.
Le reste modulo trois échoue encore. Un et sept ont tous deux le reste un, précisément la paire fusionnée lorsque a manque. Trois et neuf ont tous deux le reste zéro, tandis que le masque f les confond en première place. Jeanne avait cité une troisième classe de restes comme garantie suffisante ; Malik lui remet ces deux contre-exemples et retire cette garantie. Il ne change aucun dessin du catalogue pour sauver la proposition. L'échec dépend des différences entre les numéros en conflit et du diviseur choisi.
Le reste modulo quatre règle ces deux paires, mais pas toute la feuille. Sous b manquant, cinq et neuf dessinent la même première empreinte ; leurs restes modulo quatre valent tous deux un. Sous g manquant, zéro et huit dessinent la même première empreinte et ont tous deux le reste zéro. Malik retrouve donc deux collisions du couple complet. La famille ne conclut pas que quatre classes sont « presque assez » pour une remise certaine : deux emplacements différents peuvent encore recevoir exactement les mêmes deux apparences dans un état autorisé du cache.
Le reste modulo cinq sépare chaque paire après calibration
Jeanne essaie enfin le reste modulo cinq. Dans la liste des collisions sous a, un et sept donnent les restes un et deux. Sous b, cinq et neuf donnent zéro et quatre, six et huit donnent un et trois. Sous e, cinq et six donnent zéro et un, huit et neuf trois et quatre. Sous f, trois et neuf donnent trois et quatre. Sous g, zéro et huit donnent zéro et trois. Malik vérifie les dessins de ces restes sous le masque correspondant : dans chacune de ces paires, les deux seconds dessins restent différents.
Les états c, d et « aucun trait caché » n'avaient déjà aucune paire de numéros fusionnée en première place. Ils n'introduisent donc pas une ambiguïté nouvelle lorsque Malik ajoute le reste. Pour les autres cinq états, la vérification vient d'être faite paire par paire. Les huit états permis et les dix numéros sont couverts. Malik peut écrire une règle de décodage conditionnelle : lire le trait manquant grâce au huit connu, puis chercher l'unique numéro dont le dessin et le reste modulo cinq ont les deux apparences effectivement reçues.
Pour neuf avec f invisible, la première empreinte est abcdg. Son reste modulo cinq vaut quatre ; le dessin de quatre, bcfg, devient bcg après disparition de f. Pour trois sous ce même masque, la première empreinte est également abcdg, mais son reste trois garde abcdg. Le couple abcdg puis bcg désigne donc neuf, et abcdg puis abcdg désigne trois, une fois f établi. Jeanne remplit ces deux lignes avant de déclarer la paire résolue.
Le cas zéro-huit sous g donne une autre décision. Le zéro devient abcdef, tout comme le huit privé de son trait central. Le reste de zéro est zéro, dont l'empreinte sous g reste abcdef. Le reste de huit modulo cinq est trois ; abcdg privé de g devient abcd. Le deuxième signe sépare les deux, sans confondre le chiffre huit d'essai avec le numéro inconnu huit qui peut apparaître ensuite. Malik conserve les trois rôles : essai connu, numéro et reste.
La famille demande si cinq est seulement un choix commode ou le premier diviseur qui marche dans cette série. Malik ne prétend pas avoir épuisé toutes les façons possibles d'ajouter de l'information. Il a toutefois testé exactement la famille proposée des restes modulo deux, trois, quatre et cinq. Les contre-exemples précédents éliminent les trois premiers ; l'énumération sous les huit états valide cinq. Dans cette famille précise, cinq est donc le plus petit diviseur parmi ceux essayés qui sépare tous les numéros après calibration. Ce résultat n'est pas une optimalité universelle des messages de deux chiffres.
Sans l'essai connu, le couple peut encore tromper
Malik retire une phrase de la notice de Jeanne : « le numéro et son reste suffisent toujours ». Elle oubliait l'essai huit. Sous un cache c, trois perd le trait c et donne abdg; son reste modulo cinq est encore trois, donc le deuxième dessin est aussi abdg. Sous un cache e, deux perd e et donne abdg; son reste vaut deux et produit la même seconde apparence abdg. Les deux couples reçus sont identiques, malgré des numéros d'origine différents.
L'essai huit les distingue sans supposer de comportement supplémentaire. Sous c manquant, l'essai connu ne montre pas c ; sous e manquant, il ne montre pas e. Malik reçoit donc une observation différente avant les deux apparences abdg. Il associe le couple au bon état du cache, puis à l'unique numéro compatible dans cet état. Jeanne réécrit sa promesse en trois empreintes ordonnées sur la même grille, dont la première possède un original connu. Elle ne renomme pas le couple seul comme preuve complète.
Jeanne vérifie alors ce que signifie « même grille ». Si l'essai huit est fait sur une première grille et les deux numéros sur une autre dont le cache peut différer, l'essai ne renseigne pas nécessairement la perte des deux dernières empreintes. La démonstration précédente suppose un seul trait invisible, partagé tout au long de cette série. Malik marque ce lien sur le relevé. Il ne cite pas le nom d'un fournisseur comme garantie de stabilité entre trois dispositifs matériels qui n'ont jamais été essayés ici.
Une autre proposition montrerait les trois dessins simultanément sur trois petites fenêtres, chacune susceptible de perdre un trait différent. Malik la laisse hors du résultat. Il faudrait alors connaître séparément les états des fenêtres ou inventer un autre contrôle ; l'essai huit placé seulement dans la première ne diagnostique pas les deux autres. Jeanne retire la phrase qui appliquait l'énumération d'un cache commun à ces trois fenêtres indépendantes. Elle conserve la version séquentielle sur une seule grille comme la préparation effectivement vérifiée.
La liste entière peut départager une place sans réparer son dessin
Jeanne ajoute une règle qui n'était pas dans le décodeur des empreintes : les dix emplacements doivent recevoir chacun une fois, et une seule, les numéros de zéro à neuf. Sous le masque f déjà reconnu par l'essai huit, neuf emplacements ont livré des couples lisibles et distincts que Malik a décodés en zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept et huit. Au dernier emplacement, seule la première empreinte abcdg reste lisible ; le dessin du reste a été perdu. Prise isolément, cette empreinte pourrait être trois ou neuf. Dans cette série précisément, trois est déjà attribué à une autre place et neuf est le seul numéro encore disponible. Malik inscrit neuf par élimination dans la colonne de l'inventaire, mais laisse la colonne du second dessin vide : la liste complète ne lui a pas fait voir un bcg qu'il n'a pas reçu.
Une autre série montre la limite de cette permission supplémentaire. Huit couples lisibles attribuent zéro, un, deux, quatre, cinq, six, sept et huit. Aux deux places restantes, le premier dessin vaut abcdg et le second dessin est illisible. L'inventaire dit seulement qu'il reste trois et neuf. Placer trois à la première et neuf à la seconde, ou faire l'inverse, satisfait aussi bien les deux premiers dessins sous le même masque f. Malik refuse donc de remettre un numéro par place sur la seule foi de la liste des dix. Une seule nouvelle lecture du second dessin de l'une des deux places suffirait : abcdg y désignerait trois, bcg neuf ; l'autre place suivrait alors par élimination. Jeanne demande cette lecture précise au lieu de recopier deux fois une attribution arbitraire.
Le contrôle d'inventaire ne transforme pas non plus une paire contradictoire en preuve. Si les neuf premières places sont décodées de zéro à huit et que la dernière montre abcdg puis bc sous le masque f, neuf reste le seul numéro libre, mais son second dessin attendu serait bcg. Trois demanderait abcdg comme second dessin et a déjà été utilisé. Aucun des deux originaux compatibles avec la première empreinte ne donne la paire reçue. Malik conserve le numéro manquant comme déduction de liste et marque séparément la paire observée comme incohérente ; il demande une nouvelle lecture avant de prétendre que la dernière inscription a été reconnue sur ses deux traits de preuve.
Le verdict s'arrête à la faute permise
Si l'essai huit présente deux traits absents, Malik ne choisit pas l'un des deux pour continuer comme si l'autre n'existait pas. Son calcul ne couvre que zéro ou un trait invisible. De même, un trait allumé en plus n'est pas expliqué par la disparition d'un trait. Jeanne inscrit ces observations comme « hors modèle » et demande une autre vérification. L'index n'attribue pas un numéro à toute forme reçue simplement parce qu'il possède dix numéros possibles dans son catalogue.
La mère de Jeanne préfère garder l'empreinte brute même lorsque le contrôle réussit. Malik place donc côte à côte le huit d'essai, le dessin du numéro, le dessin du reste, le trait reconnu comme invisible et le numéro reconstruit. Pour le reçu abcdg puis bcg sous f, il inscrit neuf sans effacer les deux formes lues. Une personne qui relira la fiche pourra voir pourquoi trois a été écarté. Le numéro corrigé ne se fait pas passer pour un chiffre visiblement intact.
La remise finale ne garantit aucune fiabilité d'un afficheur réel. Elle livre une règle vérifiable sur les dessins que Jeanne a définis : un essai connu identifie le cache commun ; le second chiffre modulo cinq départage les collisions qui subsistent sous ce cache ; une observation hors des huit états autorisés reste sans verdict. Malik garde aussi les propositions modulo deux, trois et quatre avec leurs contre-exemples. L'index familial peut ainsi conserver ses dix numéros sans présenter une apparence trompeuse comme une lecture certaine.