Dans une maison inventée, Henri veut attribuer un seul objet de son cabinet. Trois personnes, Ana, Basile et Clara, lui remettent chacune un nombre sous enveloppe. Henri souhaite raconter une décision compréhensible : qui reçoit l'objet, combien cette personne verse selon la convention annoncée et ce qui lui reste entre la valeur qu'elle lui donnait et ce versement. Le plus grand nombre ne répond qu'à la première question. Il ne dit pas, à lui seul, quel prix la règle fera payer.
L'objet, les trois personnes, leurs valeurs privées, les offres et les paiements de cette histoire sont entièrement créés. Ana donne neuf points de valeur à l'objet, Basile sept et Clara quatre. Ces points ne sont ni des monnaies, ni des estimations de marché, ni des descriptions de leurs sentiments réels. Chaque personnage connaît sa propre valeur dans le modèle ; Henri dispose de ces trois valeurs pour que le lecteur puisse contrôler les suites, mais elles ne sont pas dévoilées aux autres personnages avant leurs enveloppes. Une personne qui n'obtient pas l'objet ne verse rien et reçoit zéro point net. Pour celle qui l'obtient, le point net est sa valeur moins le versement.
Christie's, Sotheby's et Phillips présentent des ventes aux enchères. Seule cette identité de catégorie a été lue sur leurs pages. Aucune des trois maisons n'est donnée comme auteur de nos deux conventions ; leurs lots, usages, commissions et règles effectives ne sont pas transposés. Henri prépare une feuille fictive à nombres entiers, avec un seuil de trois et un ordre de départage Basile, Ana, Clara. Une offre inférieure à trois ne peut gagner. Si plusieurs offres admissibles ont le même maximum, la première personne dans cet ordre reçoit l'objet. Une offre retenue et une valeur personnelle demeurent deux rubriques différentes.
La même enveloppe peut désigner le même gagnant et un autre versement
Dans le premier jeu d'enveloppes, Ana inscrit neuf, Basile sept et Clara quatre. Les trois dépassent le seuil. Neuf est le maximum unique : Ana reçoit l'objet sous chacune des deux conventions que Henri va comparer. Il inscrit ce destinataire une fois pour chaque branche, sans additionner deux attributions. Les branches repartent des mêmes enveloppes encore fermées ; le cabinet ne contient pas deux exemplaires de l'objet. Ce contrôle évite de prendre deux calculs de prix pour deux ventes successives.
La première convention demande au gagnant son propre nombre, dit ici « premier prix ». Ana verse donc neuf. Sa valeur personnelle étant neuf, il lui reste zéro point net. Basile et Clara ne versent rien et gardent zéro point net, même si leurs enveloppes portaient sept et quatre. Henri ne transforme pas ces nombres perdants en reçus. Le total effectivement versé dans cette branche est neuf, non neuf plus sept plus quatre.
La seconde convention conserve le gagnant mais prend le plus grand entre le seuil de trois et la deuxième offre la plus haute, dit ici « deuxième prix ». La deuxième offre est sept, celle de Basile. Ana verse donc sept et garde deux points nets sur sa valeur neuf. Clara ne verse toujours rien. Henri écrit sept dans la colonne du versement de cette branche et neuf dans celle de l'offre d'Ana. Effacer le neuf parce qu'il n'est pas le prix ferait disparaître le nombre qui lui a permis de gagner ; inscrire neuf comme reçu confondrait les deux conventions.
Le résultat ne prouve pas que la deuxième convention rapporte toujours moins à Henri. Il compare seulement neuf et sept dans ces trois enveloppes, avec le seuil indiqué. La valeur privée d'Ana ne constitue pas une somme reçue par Henri dans la seconde branche. De même, les deux points qui lui restent ne sont pas une réduction offerte après un paiement de neuf : ils sont la différence calculée directement entre sa valeur et le versement de sept. Garder ces lignes distinctes permet de relire la scène sans attribuer à chaque nombre le même rôle.
Baisser son offre n'a pas le même effet dans les deux branches
Ana prépare une autre enveloppe pour une reprise entièrement séparée. Les offres de Basile et Clara restent fixées à sept et quatre, tandis qu'Ana inscrit huit au lieu de neuf. Huit dépasse sept, donc elle obtient encore l'objet. Avec le premier prix, elle verse maintenant huit et garde un point net, au lieu de zéro lorsqu'elle avait écrit neuf. Sa valeur n'a pas changé. Le point supplémentaire vient exclusivement de son nombre inscrit, sous une règle où le versement dépend de ce nombre gagnant.
Ana essaie ensuite sept. L'ordre de départage donne la priorité à Basile entre deux offres égales à sept. Ana perd alors l'objet et garde zéro point net, même si elle lui donnait toujours une valeur de neuf. Une baisse d'un seul point depuis huit lui fait perdre la possibilité qu'elle cherchait à conserver. Dans ce profil précis, huit est le plus petit entier avec lequel Ana bat Basile ; ce constat ne dit pas qu'une offre de huit serait un bon choix contre une offre adverse inconnue. Henri laisse les offres de l'autre branche sur leur propre feuille au lieu d'appliquer rétroactivement le sept d'Ana à la vente déjà racontée.
Sous le deuxième prix, Ana peut inscrire neuf ou huit : elle gagne dans les deux cas et verse sept, fixé par l'offre de Basile et le seuil. Ses deux points nets ne changent pas. Inscrire six, en revanche, la fait perdre contre sept et ramène son point net à zéro. La baisse qui améliorait son résultat au premier prix ne lui donne ici aucun gain supplémentaire tant qu'elle reste gagnante. Elle ne paie pas son huit. Henri ne présente donc pas l'offre huit comme une remise obtenue dans la deuxième convention ; le prix de sept était déjà le même avec neuf.
Ces trois essais ne sont pas trois tours d'une négociation réellement menée. Ils gardent les deux autres enveloppes fixes pour isoler l'effet de la seule offre d'Ana. Si Basile avait remis un autre nombre, l'entier juste suffisant pour gagner au premier prix pourrait changer. Ana n'a pas le droit de supposer qu'il a remis sept dans une situation où les enveloppes sont encore secrètes. Notre lecteur, lui, voit le profil complet stipulé et peut comparer les issues après coup. Cette asymétrie entre décision sous enveloppe et vérification de la fiction fait partie de la scène.
Le seuil payé dépend des autres offres, pas de la valeur annoncée
Henri veut comprendre la deuxième convention sans s'arrêter à trois nombres favorables à Ana. Il fixe provisoirement les offres des autres personnes et appelle leur maximum « le plus fort rival ». Le montant à franchir pour recevoir l'objet dépend de ce rival, du seuil de trois et, à égalité, de l'ordre Basile puis Ana puis Clara. Si Ana gagne, son versement est le plus grand entre le seuil et l'offre rivale la plus haute. Elle ne peut pas diminuer ce versement en retirant un point de sa propre offre tout en restant devant le même rival.
Supposons d'abord que ce montant soit strictement inférieur à la valeur d'Ana. Gagner lui laisse alors une différence positive. Une offre égale à sa valeur lui permet de gagner si cette valeur dépasse le montant rival et le seuil ; offrir moins peut la faire perdre, sans rendre plus grand le point net d'une victoire qu'elle conserverait. Si elle offre davantage, elle n'améliore pas ce point net dans les cas où elle gagnait déjà. Henri compare ainsi deux conséquences vérifiables de chaque déplacement, et non une intention psychologique prêtée à Ana.
Supposons au contraire que le prix qu'elle devrait payer dépasse sa valeur. Recevoir l'objet lui donnerait une différence négative. Une offre égale à sa valeur reste sous ce prix et ne l'expose pas à cette perte ; gonfler son enveloppe assez haut pourrait lui attribuer l'objet pour un versement qu'elle n'accepte pas selon ses propres points. Lorsque le prix égalerait exactement sa valeur, gagner ou perdre donnerait le même point net zéro. Cette égalité explique pourquoi « écrire sa valeur » n'est pas nécessairement la seule offre donnant le meilleur point net, tout en restant un choix qui ne l'abaisse pas dans ces comparaisons à offres rivales fixes.
L'ordre de départage demande une vérification au bord. Si Ana donne sept à l'objet et que Basile offre sept, une enveloppe d'Ana portant sept perd contre lui. Une enveloppe portant huit la ferait gagner, mais elle paierait sept et garderait zéro. La modification change le destinataire, sans améliorer le point net d'Ana. Henri ne déduit pas d'une indifférence numérique qu'il s'agit de la même attribution. Son relevé distingue le choix de la personne et l'intérêt chiffré qu'Ana pouvait en tirer dans notre exercice.
Départager deux maxima ne revient pas à départager deux prix
Henri ouvre une branche où Ana donne de nouveau neuf points de valeur à l'objet, mais inscrit sept ; Basile inscrit sept et Clara quatre. Sous l'ordre annoncé, Basile obtient l'objet. La deuxième offre vaut sept elle aussi, si bien que Basile verse sept et conserve zéro point net sur sa propre valeur sept. Le fait que l'enveloppe d'Ana porte le même nombre ne divise pas ce versement par deux. Elle a perdu le départage, ne verse rien et conserve zéro ; l'objet ne peut être partagé entre deux personnes parce que leurs nombres coïncident.
Pour isoler le rôle de la priorité, Henri inverse seulement l'ordre des deux premiers noms dans une feuille contrefactuelle : Ana avant Basile, puis Clara. Les trois enveloppes et les valeurs privées demeurent inchangées. Ana reçoit maintenant l'objet, paie sept et garde deux points nets. Le montant reçu par Henri reste sept, tandis que le destinataire et le point net de chacun changent. Henri ne présente pas cette inversion comme une correction rétroactive de la première attribution ; c'est une autre règle appliquée aux mêmes données, qui donne un résultat distinct vérifiable.
Dans un nouveau profil, Ana écrit huit. Si Basile voulait garder l'objet en écrivant huit lui aussi, l'ancienne priorité lui donnerait encore la victoire, mais le deuxième prix serait huit, puisque l'autre enveloppe porte huit. Avec sa valeur sept, il subirait un point net de moins un. La priorité ne lui assure donc pas une bonne affaire : elle tranche l'égalité des offres, puis le versement se calcule séparément. Il aurait été préférable pour lui, dans ce profil fixé et selon ses propres points, de ne pas forcer une victoire à huit. Henri garde cette perte sur la ligne de Basile au lieu d'attribuer automatiquement au gagnant un avantage positif.
Une réserve peut empêcher une attribution malgré trois enveloppes
Changeons ensemble le profil rival dans une nouvelle branche : Basile inscrit deux, Clara un, et Ana conserve sa valeur neuf. Sous le deuxième prix, si elle inscrit neuf elle est seule au-dessus du seuil trois. Elle reçoit l'objet et paie trois, non deux. Sa différence est six. Le deuxième nombre placé dans une enveloppe existe toujours, mais la convention demande le maximum entre ce nombre et la réserve. Henri ne retranche pas le deux de la valeur d'Ana comme si le seuil avait été oublié après la désignation du gagnant.
Ana pourrait inscrire trois dans cette même branche : elle gagnerait encore, étant la seule offre admissible, et paierait toujours trois. Si elle inscrivait deux, toutes les offres seraient inférieures à la réserve et aucun objet ne partirait, malgré une égalité possible avec Basile. Les trois enveloppes seraient pourtant présentes. La condition « une personne a écrit le plus grand nombre » ne remplace pas la condition « une offre atteint le seuil ». Henri indique explicitement « aucune attribution, aucun versement » au lieu d'inventer un prix de deux pour remplir sa fiche.
Dans une autre branche, la valeur d'Ana est seulement deux ; Basile offre un et Clara zéro. L'objet conserve la réserve de trois. Avec une enveloppe d'Ana portant sa valeur deux, aucun personnage n'atteint la réserve. Si Ana écrivait trois pour obtenir malgré tout l'objet, elle paierait trois et subirait un point net de moins un. Le fait qu'elle ait été la plus proche de la réserve ne rend pas cette différence positive. Henri ne transporte pas sa valeur neuf de la branche précédente vers ce profil nouveau pour annoncer un gain qui n'y figure pas.
La réserve agit aussi quand un rival dépasse déjà trois. Si Basile écrit cinq, Clara un et Ana conserve sa valeur neuf, une offre d'Ana de neuf gagne et lui fait verser cinq ; la réserve ne s'ajoute pas au cinq. Sa différence vaut quatre. Elle pourrait écrire six et conserver ce même versement, ou quatre et perdre sans versement. Cette branche empêche une mauvaise règle de calcul : « deuxième offre plus réserve » donnerait huit alors que la convention stipulée prend le maximum des deux. Les cinq sont attachés au rival, les trois à la condition minimale, et un seul montant est effectivement payé.
Une offre rivale trop élevée ferme l'intérêt de surenchérir
Henri pose une dernière confrontation avec la valeur d'Ana revenue à neuf : Basile inscrit dix, Clara quatre. Si Ana écrit neuf, Basile gagne. Ana ne reçoit rien, ne verse rien et garde zéro. Elle pourrait écrire onze pour dépasser Basile, mais sous la deuxième convention elle paierait dix et sa différence deviendrait moins un. Le onze inscrit ne rend pas l'objet plus précieux à ses yeux. Une offre plus haute change ici l'attribution dans un sens défavorable pour celle qui l'a écrite.
Si les personnages utilisaient le premier prix dans cette confrontation, écrire onze ferait payer onze à Ana, soit deux points nets de moins que zéro. La comparaison est propre à cette reprise et à sa règle de versement. Henri ne fusionne pas le moins un de la seconde convention et le moins deux de la première dans une perte cumulée. Ana ne participe qu'à une convention à la fois dans nos branches, et les personnages n'ont aucun dommage chiffré lorsqu'ils perdent selon les prémisses posées.
Le seuil rival permet une preuve limitée mais plus solide qu'une collection d'exemples. Sous la deuxième convention, pour chaque ensemble fixé d'offres d'autrui, le prix d'une victoire ne varie pas avec l'offre propre de la gagnante. Lorsque sa valeur dépasse ce prix, manquer une victoire possible ne peut améliorer sa différence positive ; lorsqu'elle est en dessous, provoquer une victoire ne peut améliorer zéro ; à égalité, les deux issues donnent zéro. Écrire sa valeur conserve donc un meilleur point net ou un point net égal face à chaque profil rival fixé. Henri ne transforme pas cette conclusion en garantie de recevoir l'objet, de gagner strictement plus, ou de prévoir les enveloppes des autres.
Cette preuve ne s'applique pas telle quelle au premier prix. Dans la reprise avec neuf, sept et quatre, écrire neuf donnait à Ana zéro, tandis qu'écrire huit donnait un. Sa propre enveloppe changeait le versement. Henri n'affirme pas pour autant qu'elle devrait toujours écrire huit. Si Basile écrivait huit à la place de sept, l'ordre de départage lui donnerait l'objet sur une égalité à huit ; Ana devrait écrire au moins neuf pour gagner avec des entiers. Un nombre apparemment prudent dans le premier profil deviendrait insuffisant dans le second. Le récit garde cette dépendance au rival, au lieu de vendre une consigne générale tirée d'un seul exemple.
Fixer une réserve avant l'ouverture de deux dossiers possibles
Henri doit maintenant choisir une réserve avant de connaître les enveloppes. Sa feuille prévoit exactement deux dossiers possibles, chacun avec une chance sur deux dans cette fiction. Le premier contient les offres neuf, sept et quatre, déjà calculées. Le second contient cinq, deux et un ; Ana reçoit l'objet si son offre atteint la réserve. La convention du deuxième prix et l'ordre de priorité restent ceux de la feuille. Henri compare le versement attendu pour lui, en attribuant zéro à un objet qui reste dans le cabinet. Ce zéro est une règle de son calcul, pas une valeur marchande observée. Il inscrit la réserve sur une carte fermée avant que le dossier possible soit choisi ; il ne pourra pas corriger le chiffre en regardant les enveloppes.
Avec la réserve trois, le premier dossier verse sept et le second verse trois : la moyenne vaut cinq. En plaçant la réserve à cinq, Henri reçoit toujours sept dans le premier, car la deuxième offre y dépasse cinq ; dans le second, Ana offre cinq et paie cinq, car cette réserve dépasse l'autre offre de deux. La moyenne devient six. La comparaison ne consiste donc pas à choisir la réserve la plus basse pour assurer la vente dans les deux cas. Le nombre cinq conserve les deux attributions et augmente seulement le versement de celle qui aurait payé trois. Ana, dont l'offre vaut cinq dans le second dossier, n'y garde plus de différence positive, mais ne paie pas davantage que son propre nombre.
Henri vérifie qu'une réserve plus haute ne donne pas automatiquement un meilleur résultat. À six ou sept, l'offre maximale du second dossier, cinq, ne suffit plus : ce dossier ne verse rien, tandis que le premier verse sept, pour une moyenne de trois et demi. À huit, puis neuf, seul le premier dossier part et paie respectivement huit, puis neuf ; les moyennes sont quatre et quatre et demi. À dix ou davantage, aucune offre ne satisfait le seuil. Pour les réserves entières au plus deux, le premier dossier verse sept et le second deux, soit quatre et demi en moyenne ; entre trois et cinq, le premier reste à sept et le second paie exactement la réserve. Ces intervalles épuisent tous les entiers possibles. Cinq donne donc le maximum six pour la demande précise d'Henri, sans qu'il ait besoin d'inventer un troisième profil favorable.
Si Henri attendait l'ouverture, il pourrait réclamer neuf dans le premier dossier et cinq dans le second, pour une moyenne de sept. Ce serait un autre jeu : la réserve serait choisie après la révélation des offres, contrairement à la carte fermée qu'il a remise. La différence entre sept et six mesure ici l'avantage arithmétique de connaître le dossier avant de décider ; elle n'est pas un revenu que la règle initiale lui permet de prendre. Camille lui fait signer le chiffre cinq avant l'ouverture, puis place les deux recettes possibles à côté de cette carte. Le choix de la personne qui reçoit l'objet, son paiement et la décision antérieure d'Henri ont désormais trois moments distincts ; changer l'un après coup ne serait pas simplement recalculer le deuxième prix.
Remettre une décision, un prix et une limite au même objet
Pour la branche initiale, Henri retient une seule convention au moment de la remise. S'il retient le deuxième prix, Ana reçoit l'objet, verse sept et garde deux points nets selon sa valeur neuf ; Basile et Clara ne le reçoivent pas. Le premier prix aurait donné la même destinataire avec neuf versés et zéro point net, mais reste une comparaison contrefactuelle inscrite séparément. Les enveloppes neuf, sept et quatre sont conservées dans le dossier pour que l'on puisse retrouver les deux calculs. L'objet n'est promis qu'une fois dans la branche choisie.
Henri transmet également les limites de cette feuille. Ses valeurs privées et son ordre de départage sont stipulés ; aucun des sites cités n'établit qu'une personne réelle leur aurait accordé ces points. Les trois maisons d'enchères ne sont pas le cadre d'une vente observée. Le modèle explique précisément pourquoi un destinataire identique peut payer neuf ou sept, pourquoi une réserve peut laisser l'objet en place et pourquoi une offre onze peut nuire à une personne dont la valeur reste neuf. Ces conclusions appartiennent aux règles et aux enveloppes écrites ici ; elles n'annoncent ni prix futur ni conduite à suivre dans une vente réelle.