Dans un jeu de salon entièrement imaginé, Nora cache un billet portant un nombre entier. Elle ne remet pas immédiatement le nombre à Camille : elle lui donne des fiches indiquant ce qui reste lorsqu’on le partage en groupes de tailles fixées. Une réponse peut réduire la liste des billets possibles sans suffire à désigner le bon. La scène dépend donc autant de la plage des numéros autorisés que des trois restes. Il ne s’agit ni d’un protocole de sécurité ni d’une règle empruntée à un jeu vendu.
Les billets disponibles portent les numéros de zéro à cinquante-neuf, bornes comprises. Le billet choisi par Nora est le cinquante-trois. Camille, qui ne connaît pas ce choix, reçoit d’abord deux fiches, puis une troisième. Chaque fiche donne un diviseur positif et un reste compris entre zéro et ce diviseur exclu. Un reste de deux après partage par trois signifie que le numéro est de la forme trois fois un entier, plus deux. Cette convention évite de traiter le quotient ou la taille physique d’un tas de billets comme un indice qu’on n’aurait pas donné.
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Ces pages situent uniquement une catégorie de loisirs. Les billets, les nombres et les calculs qui suivent sont créés pour cette scène ; aucune règle ni qualité de ces éditeurs n’est utilisée pour établir la réponse.
Deux fiches réduisent la liste sans fermer la recherche
La première fiche dit que le reste par trois vaut deux. Camille écrit, dans la plage annoncée, deux, cinq, huit, onze et ainsi de suite jusqu’à cinquante-neuf. Elle n’annonce pas un total à partir de la seule formule : elle note que deux est le premier numéro recevable, que chaque suivant ajoute trois et que cinquante-neuf est le dernier de la plage ayant ce reste. Il y a vingt inscriptions. Cette liste est plus petite que les soixante billets possibles, mais elle ne révèle nullement lequel Nora a choisi.
La deuxième fiche donne un reste de un par quatre. Camille peut faire une nouvelle liste, un, cinq, neuf, treize et ainsi de suite jusqu’à cinquante-sept, puis garder les numéros inscrits sur les deux feuilles. Elle trouve cinq, dix-sept, vingt-neuf, quarante et un, cinquante-trois. Elle vérifie chaque ligne : cinq partagé par trois laisse deux et partagé par quatre laisse un ; dix-sept, vingt-neuf, quarante et un, cinquante-trois ont les mêmes deux restes. Aucun sixième numéro de la plage ne satisfait les deux fiches.
Pour justifier cette dernière limite sans énumérer deux colonnes entières, Camille part de cinq. Si un autre numéro a le même reste par trois, leur différence est un multiple de trois. S’il a également le même reste par quatre, cette différence est un multiple de quatre. Comme trois et quatre n’ont aucun facteur commun supérieur à un, la différence doit être un multiple de douze. Dans la plage, partir de cinq et ajouter douze donne exactement dix-sept, vingt-neuf, quarante et un, cinquante-trois ; ajouter encore douze dépasse cinquante-neuf.
Le pas de douze explique également ce que Camille ne peut pas faire. Les deux fiches ne l’autorisent pas à choisir la plus grande inscription sous prétexte que Nora aurait préféré un billet proche de la fin du paquet. Elles n’autorisent pas davantage à choisir cinq parce que c’est le premier de la liste. Le personnage garde les cinq candidats sur sa feuille et demande la troisième fiche. Nora, qui connaît le cinquante-trois, ne transforme pas sa connaissance privée en une conclusion que Camille aurait pu tirer avant de recevoir cet indice.
Une troisième fiche sélectionne, dans la plage annoncée
La troisième fiche dit que le reste par cinq vaut trois. Camille n’a plus besoin de tester les soixante billets : elle confronte les cinq inscriptions restantes à cette condition. Cinq laisse zéro, dix-sept laisse deux, vingt-neuf laisse quatre, quarante et un laisse un, cinquante-trois laisse trois. Une seule ligne survit. Elle remet cinquante-trois comme résultat du croisement des trois fiches avec la plage de zéro à cinquante-neuf, et Nora ouvre le billet pour confirmer que son choix caché était bien celui-là.
La vérification sur le billet ne sert pas à remplacer le calcul. Avant l’ouverture, Camille pouvait déjà prouver qu’aucun autre numéro autorisé ne donne ce triplet de restes : les deux premières fiches ne laissaient que cinq nombres, et la troisième leur donnait cinq restes différents. Après l’ouverture, elle peut confirmer que la fiche de Nora correspond à son objet créé. Elle sépare ainsi l’unicité déduite sous les règles annoncées et la conformité de l’objet qu’une personne avait réellement caché dans la fiction.
Camille refait le chemin à l’envers pour découvrir une erreur possible dans une annonce trop rapide. Dire « le reste par cinq est trois, donc le billet est cinquante-trois » oublierait les deux fiches précédentes et la plage. Dans les seuls numéros de zéro à cinquante-neuf, trois, huit, treize et bien d’autres laissent aussi trois par cinq. La troisième fiche n’est décisive qu’appliquée à la liste déjà réduite. Nora conserve sur le compte rendu le nombre de candidats après chaque réception : soixante, vingt, cinq, puis un.
La borne fait partie de la réponse
Camille propose ensuite une autre boîte de billets, de zéro à cent dix-neuf, avec exactement les mêmes trois fiches. Elle ne peut pas recopier « unique » dans la nouvelle boîte. Cinquante-trois satisfait toujours les trois conditions, mais cent treize les satisfait également : soixante sépare les deux numéros, et soixante est divisible par trois, quatre et cinq. Leur partage par chacun de ces trois diviseurs produit donc le même reste. Les fiches désignent maintenant deux billets compatibles dans la boîte agrandie.
Le même argument montre pourquoi il n’y en a pas un troisième sous cent vingt. Un numéro partageant les trois restes avec cinquante-trois doit différer de lui d’un multiple de chacun des trois diviseurs. Trois, quatre et cinq étant deux à deux sans facteur commun supérieur à un, le premier pas positif commun vaut soixante. En descendant de soixante depuis cinquante-trois, on passe sous zéro ; en montant deux fois de soixante, on dépasse cent dix-neuf. Camille inscrit donc cinquante-trois et cent treize comme ensemble complet, sans inventer une préférence pour le billet initial.
Si Nora annonçait seulement que le numéro est inférieur à cent vingt, sans dire qu’il n’est pas négatif, Camille devrait encore préciser quelle convention porte le mot « billet ». Dans notre boîte, les étiquettes commencent explicitement à zéro et finissent à cent dix-neuf. C’est cette propriété créée, et non la seule opération sur les restes, qui écarte les entiers négatifs. Une étiquette portant un nombre hors du paquet ne devient pas admissible parce qu’elle partage les trois restes. Le personnage lit la borne sur la même feuille que les indices avant d’affirmer combien de billets restent.
Camille teste aussi un paquet réduit, de zéro à quarante-neuf. Les deux premières fiches y laissent cinq, dix-sept, vingt-neuf et quarante et un. Le cinquante-trois n’y est plus. Aucun des quatre ne laisse trois par cinq ; la troisième fiche donne alors une intersection vide. Cela ne signifie pas que le numéro caché est un mystérieux cinquième billet dans ce paquet. Cela signifie que l’ensemble des affirmations, y compris la nouvelle plage, ne décrit aucun billet qui s’y trouve. Nora doit changer la plage ou l’une des fiches, et signaler lequel de ces éléments était erroné, avant de réclamer une réponse.
Une autre réduction, de vingt à cinquante-neuf, conserve vingt-neuf, quarante et un et cinquante-trois après les deux premières fiches, puis seulement cinquante-trois après la troisième. Ce résultat ne prouve pas que le premier billet de la boîte initiale n’a jamais compté : il décrit un autre ensemble de départ. Camille garde sur chaque feuille sa propre plage, plutôt qu’une suite de candidats sans en-tête qu’on pourrait remettre sous une borne différente. Quand elle compare les deux boîtes, elle compare les résultats avec leurs conditions et non deux chiffres dépouillés de leur domaine.
Un diviseur nouveau peut répéter une information ancienne
Nora prépare une quatrième fiche portant cette fois le reste de cinq par six. Camille la confronte à la fiche « deux par trois » et à celle « un par quatre ». Puisque tout numéro laissant cinq par six laisse aussi deux par trois, la nouvelle fiche répète cette partie de l’information. La condition par quatre impose déjà que le numéro soit impair. Or les entiers qui laissent deux par trois sont alternativement pairs et impairs ; parmi eux, les impairs laissent cinq par six. Les cinq candidats déjà trouvés restent donc tous en place.
Camille contrôle la répétition sur la liste : cinq, dix-sept, vingt-neuf, quarante et un et cinquante-trois laissent chacun cinq par six. Elle refuse de dire qu’une quatrième fiche doit forcément rapprocher d’une réponse. Il existe bien une inscription nouvelle, avec un autre diviseur, mais elle n’a retiré aucun candidat dans ce domaine. Nora la conserve comme constat de compatibilité, sans la faire entrer une deuxième fois dans le compte de progrès qui avait fait passer de vingt à cinq.
La raison du pas conservé peut être écrite sans la liste. Les conditions « un par quatre » et « cinq par six » ont en commun le numéro cinq. Leur différence entre deux solutions est multiple de quatre et de six ; le premier pas positif commun est douze, non vingt-quatre. Comme la condition par six contient déjà le reste deux par trois, l’ensemble est encore cinq plus les multiples de douze. Une fiche de plus n’a pas changé la période. Camille évite ainsi de multiplier tous les diviseurs lus comme s’ils étaient indépendants : quatre fois six ferait vingt-quatre et éliminerait à tort un candidat sur deux.
Nora change ensuite seulement le reste annoncé par six et écrit quatre. Un numéro laissant quatre par six est pair, tandis qu’un numéro laissant un par quatre est impair. Aucun entier ne peut satisfaire les deux fiches à la fois, dans une petite boîte ou dans une boîte arbitrairement grande. L’absence de solution est ici une incompatibilité entre les restes eux-mêmes ; elle ne dépend pas de la borne de cinquante-neuf. Camille ne cherche pas un billet assez éloigné pour que la contradiction disparaisse, car ajouter six à un nombre pair le laisse pair.
Sur le registre de la scène, Nora avait conservé la version portant cinq par six. La nouvelle inscription quatre provenait d’une copie préparée pour l’essai contradictoire, non d’une observation supplémentaire du billet. Elle remet à Camille les deux versions avec leur statut. Camille peut alors écarter la copie d’essai et reprendre la fiche attestée, cinq par six. Si Nora ne pouvait pas montrer quelle version avait été réellement remise, l’incompatibilité seule ne dirait pas laquelle corriger : on pourrait aussi retirer ou modifier la fiche par quatre. Le calcul découvre une collision de données, mais n’invente pas leur provenance.
Une copie fautive ne désigne pas automatiquement sa propre correction
Camille garde les trois fiches initiales et examine une transcription fautive de la troisième : elle y lit maintenant « quatre par cinq » au lieu de « trois par cinq ». Parmi les cinq candidats des deux premières fiches, c’est vingt-neuf qui laisse quatre par cinq. Le calcul donne un résultat net pour la nouvelle feuille, mais ce résultat n’est pas le billet de Nora. Une opération arithmétique exécutée correctement sur une fiche mal copiée n’authentifie pas cette fiche. Camille note « vingt-neuf selon la copie », sans annoncer que Nora aurait changé son billet caché.
Nora ajoute un relevé indépendant disant que le billet laisse quatre par sept. Parmi les cinq candidats, cinq laisse cinq, dix-sept laisse trois, vingt-neuf laisse un, quarante et un laisse six et cinquante-trois laisse quatre par sept. Le nouveau relevé rejoint donc le cinquante-trois et contredit le vingt-neuf sélectionné par la copie. Cette confrontation signale au moins un problème dans les fiches si elles étaient censées porter sur le même billet. Elle n’établit pas encore, par la seule majorité des nombres, que la copie par cinq est l’unique faute possible.
Camille imagine en effet deux dossiers possibles. Dans le premier, la fiche originale « trois par cinq » et le relevé par sept sont exacts, la copie « quatre par cinq » est fautive, et le billet est cinquante-trois. Dans le second, on pourrait soutenir une autre histoire de transmission dans laquelle le relevé par sept est fautif et la copie est celle remise par Nora ; vingt-neuf redeviendrait compatible avec les deux premières fiches et celle par cinq. Avant de choisir entre ces dossiers, Camille doit obtenir la fiche d’origine ou une règle de confiance annoncée pour les relevés. Le fait qu’une ligne donne un numéro unique ne lui révèle pas qui l’a écrite correctement.
Nora produit alors la fiche d’origine conservée : elle porte bien « trois par cinq ». Camille ne la confond pas avec un quatrième reste nouveau ; il s’agit de la même indication dont la copie avait perdu la valeur. Elle compare les deux textes, signale la différence trois contre quatre, maintient le relevé par sept tel qu’il avait été donné et ferme le dossier sur cinquante-trois. La correction a ici une pièce identifiable, une ancienne copie erronée et une valeur restaurée. Sans cette pièce, la conclusion raisonnable aurait été « conflit à instruire », non « erreur réparée ».
Dans la boîte de zéro à cent dix-neuf, le relevé par sept sépare aussi les deux candidats cinquante-trois et cent treize : le premier laisse quatre, le second laisse un. Il fournit donc une information réelle dans cette branche agrandie, contrairement à la fiche « cinq par six » qui répétait les deux premières. Camille ne mélange pas ces effets. Pour la petite boîte, les trois premiers restes suffisaient et la vérification par sept contrôlait une copie. Pour la grande boîte, il réduit effectivement deux candidats à un, sous la condition qu’il porte sur le même billet et que sa provenance soit attestée.
Deux billets compatibles demandent une relation entre eux
Nora ouvre une préparation différente : elle cache cette fois deux billets distincts dans la même boîte de zéro à cinquante-neuf. Chacun laisse deux par trois et un par quatre. Camille ne cherche plus un entier unique ; elle doit choisir deux éléments distincts parmi cinq, dix-sept, vingt-neuf, quarante et un, cinquante-trois. Nora donne une information portant sur la paire entière : les deux numéros totalisent soixante-dix. Une fiche de reste attribuée à chaque billet et une somme attribuée au couple ne jouent pas le même rôle. Camille écrit les paires sans ordre avant de regarder quel billet est à gauche.
Elle peut fermer la liste des paires de somme soixante-dix sans essayer arbitrairement dix combinaisons. Si le premier candidat est cinq, son partenaire devrait être soixante-cinq, hors de la boîte. Avec dix-sept, le partenaire cinquante-trois est disponible. Avec vingt-neuf, le partenaire quarante et un l'est aussi. Repartir de quarante et un ou de cinquante-trois ne crée que les mêmes paires inversées. Il reste donc {dix-sept, cinquante-trois} et {vingt-neuf, quarante et un}. La somme a relié deux inconnues et ramené dix choix de paire à deux, mais elle ne dit toujours pas laquelle Nora a cachée.
Nora ajoute que l'écart absolu entre les deux étiquettes est trente-six. La première paire a bien cinquante-trois moins dix-sept égal trente-six ; la seconde a quarante et un moins vingt-neuf égal douze. Camille choisit alors la première paire. Elle vérifie aussi par le calcul direct que deux entiers de somme soixante-dix et d'écart trente-six sont dix-sept et cinquante-trois : le plus grand vaut la moitié de cent six, le plus petit la moitié de trente-quatre. Ce second chemin contrôlerait la paire même avant la liste des cinq candidats ; les restes et la boîte attestent ensuite que ses deux nombres sont admissibles.
La paire ne donne pas encore l'ordre sur le plateau. Si Nora a placé dix-sept à gauche et cinquante-trois à droite, échanger les deux billets conserverait les restes individuels, la somme et l'écart absolu. Nora avait toutefois inscrit sur sa fiche de préparation « le plus petit est à gauche », avant la remise. Camille peut donc donner gauche dix-sept et droite cinquante-trois sans inventer une propriété des nombres qui distinguerait les côtés. Sans cette phrase, elle remettrait la paire et laisserait les deux placements possibles ouverts. L'information de position remplit une autre demande que la recherche de deux valeurs.
Camille teste enfin ce que ferait la fiche « trois par cinq » si elle était désignée pour le billet de droite plutôt que pour un billet non nommé. Avant la fiche d'écart, les deux paires candidates auraient eu à droite, sous l'ordre croissant annoncé, cinquante-trois et quarante et un. Seul cinquante-trois laisse trois par cinq ; cette fiche sélectionnerait déjà la première paire. Après l'écart trente-six, elle ne réduit plus la liste : elle contrôle le billet droit obtenu. Une même valeur de reste peut ainsi être décisive ou redondante selon la relation et le côté auxquels elle est réellement rattachée, sans devenir une quatrième propriété mystérieuse du billet initial.
Remettre un résultat avec ses conditions
Camille remet à Nora une feuille où figurent la plage de zéro à cinquante-neuf, les restes deux par trois, un par quatre et trois par cinq, la liste intermédiaire de cinq numéros et le cinquante-trois final. Elle annexe séparément la copie « quatre par cinq » barrée avec la référence à l’original restauré ; elle ne la supprime pas du récit comme si la mauvaise valeur n’avait jamais été communiquée. La fiche « cinq par six » reste marquée compatible mais redondante, tandis que l’essai « quatre par six » reste classé contradictoire.
Le lecteur peut ainsi refaire la sélection sans avoir accès à la pensée privée de Nora. Il peut vérifier les cinq lignes après les deux premières fiches, tester leur reste par cinq, puis constater que la borne du paquet empêche un second numéro distant de soixante. Il peut aussi reconnaître les deux situations où aucun résultat unique ne doit être annoncé : une boîte assez grande pour contenir cent treize, ou des fiches incompatibles dont on ne sait pas laquelle est erronée. Les restes ont fourni des contraintes ; la provenance et la plage ont fixé ce que Camille pouvait réellement conclure.
Le billet est fictif et ne constitue pas une méthode de contrôle d’authenticité. Nora n’a pas testé des composants de jeu vendus, ni créé une garantie de détection de toutes les erreurs de copie. Son résultat est plus précis et plus limité : dans une plage annoncée, trois restes compatibles sélectionnent un entier ; modifier la plage, répéter une contrainte ou présenter une copie contradictoire change le statut de la réponse. La remise garde ces changements visibles au lieu de transformer chaque nouveau chiffre en preuve automatique.