Un personnage peut préférer une promesse de points à un résultat certain, puis recevoir moins que ce résultat. Cela ne suffit pas à rendre sa décision incohérente. Il faut conserver ce qu'il cherchait, les résultats qu'il pouvait recevoir et les probabilités que la fiction leur attribuait. Nous construirons plusieurs scènes pour distinguer une moyenne, une garantie et une chance d'atteindre un objectif. Chaque scène aboutit à un choix renseigné, parfois modifié par une information reçue avant l'engagement.
Tous les points, les états, les probabilités et les réponses sont créés ici. Aucun jeu réel, tirage physique, mise d'argent ou comportement observé n'est décrit. Les points négatifs d'une dernière scène ne constituent aucune dette réelle. Nous ne recommandons aucune pratique de jeu et ne proposons aucun critère financier. Un état dit équiprobable l'est par une donnée expresse du modèle, jamais parce que sa ligne occupe la même place que les autres sur une feuille. Les calculs servent à vérifier les scènes construites.
Balzac décrit un couvent.
Balzac ouvre sur Paris.
Balzac suit un cavalier sur un chemin montagneux.
Ces trois passages littéraires ont été consultés dans des portées limitées. Ils ne donnent aucune règle pour les probabilités, les gains ou les personnages suivants. Les décisions de cet article appartiennent à nos cas originaux. Aucun calcul ne prétend expliquer une conduite réelle d'un personnage de Balzac, ni établir une propriété psychologique à partir d'un décor. Les scènes peuvent aider à écrire une décision intelligible en conservant ses données ; elles ne sont pas des expériences sur des personnes.
Une moyenne plus haute ne donne pas un résultat minimal plus haut
La première scène propose à Camille un résultat fixe de deux points ou une option X. X possède quatre états, chacun de probabilité un quart : ses gains sont zéro, zéro, quatre et huit. Les deux zéros appartiennent à deux états distincts. Camille ne connaît pas l'état avant de choisir. La règle l'oblige à garder l'option choisie après sa révélation. La moyenne de X vaut trois : douze points répartis selon les quatre probabilités égales. Le fixe garde sa moyenne de deux.
Camille déclare qu'elle veut choisir l'option dont la moyenne est la plus haute dans ce modèle. Elle accepte X et retire le fixe de sa fiche active. L'état révélé dans la scène est le premier, qui donne zéro. Camille reçoit donc zéro, sans que le narrateur lui attribue les trois de la moyenne. Le résultat reçu et le nombre qui avait gouverné son choix remplissent deux fonctions différentes. Nous gardons également les deux points du fixe comme résultat d'une option écartée, sans les lui remettre après coup pour rendre sa décision moins décevante.
Une autre branche donne les mêmes offres à Luc. Sa demande est expressément différente : obtenir au moins un point dans chaque état permis. Il refuse X, puisque les deux premiers états ne donnent rien, et choisit les deux points fixes. Dans la branche racontée, le même premier état aurait donné zéro avec X ; Luc reçoit deux conformément à son engagement. Son choix ne prétend pas améliorer la moyenne. Il répond à une condition que le fixe remplit et que X manque. Le récit a donc une raison précise de lui faire retenir l'offre la moins haute selon l'autre critère.
Le narrateur avait préparé une phrase commune aux deux scènes : les personnages avaient choisi le résultat « le plus avantageux ». Il la retire et distingue leurs réponses. Camille a retenu la moyenne la plus haute ; Luc a retenu le minimum exigé dans tous les états. Cette correction conserve aussi leurs résultats effectifs, zéro et deux. Elle empêche que la mauvaise issue de Camille change silencieusement son objectif initial, ou que le résultat de Luc soit présenté comme la preuve d'une supériorité sous tous les critères. Les deux engagements restent racontables sans prêter aux personnages une préférence jamais donnée.
Deux gains qui se ressemblent peuvent se compenser ou se renforcer
Une seconde proposition utilise deux états de probabilité une moitié chacun. Le gain X vaut zéro dans le premier et six dans le second. Une offre Y peut prendre deux formes expressément données. Dans la première, Y vaut également zéro puis six. Dans la seconde, Y vaut six puis zéro. Un seul état commun détermine X et Y. Il n'y a pas deux tirages indépendants cachés derrière leurs noms. Camille peut choisir l'une de ces deux formes, puis reçoit la somme de X et Y.
Camille exige cette fois au moins cinq points dans chaque état. Avec la première forme, les sommes seraient zéro puis douze ; avec la seconde, elles seraient six puis six. Elle retient donc la seconde et retire la première de la préparation. L'état commun révélé est le premier : X donne zéro, Y six, et Camille reçoit six. Nous ne lui donnons pas douze en ajoutant deux résultats favorables pris dans des états incompatibles. Le choix rempli porte sur l'association des gains à un même état, puis sur le résultat réellement attribué par cet état.
Les deux offres avaient pourtant la même moyenne de somme, six. Un brouillon les avait appelées équivalentes après ce seul calcul. Camille demande la correction : elles sont égales pour la moyenne, mais la première peut manquer entièrement son exigence minimale. Le narrateur conserve le nombre six dans la comparaison des moyennes et le place aussi comme résultat constant de la seconde offre, en expliquant pourquoi il possède ici cette deuxième fonction. Aucun de ces deux usages ne permet de transformer zéro et douze en deux gains de six dans la première forme.
Luc accepte ensuite une demande différente, dans une branche indépendante : pouvoir recevoir douze dans au moins un état, même si un autre peut donner zéro. Il choisit la première forme. Le second état est donné comme réalisé dans cette branche et Luc reçoit douze. Camille garde sa somme de six dans sa propre scène. Ces réponses ne sont pas deux étapes d'une même partie où Y changerait après révélation. La forme choisie reste engagée avant l'état, et les personnages ont accepté des conditions différentes. Les conséquences montrent pourquoi le récit doit conserver l'association choisie, au-delà de la liste isolée des gains possibles.
Une information peut changer les poids sans rendre les états restants égaux
La troisième scène donne trois états de probabilités une moitié, un tiers et un sixième. L'option X y rapporte respectivement un, cinq et neuf points. Camille compare X à un fixe de quatre, avec l'objectif expressément maintenu de choisir la moyenne la plus haute. La moyenne initiale de X vaut onze tiers, soit moins de quatre. Nous posons ensuite une information vraie, susceptible d'être reçue avant le choix : l'état appartient aux deux derniers. La scène précisera le moment où cette information arrive.
Dans la branche où Camille doit choisir sans ce message, elle retient quatre. Le narrateur donne ensuite le troisième état comme révélé : X aurait rapporté neuf, mais Camille reçoit les quatre auxquels elle s'était engagée. Elle conserve son premier choix sur la feuille de cette branche. Le message tardif ne modifie pas les probabilités disponibles lorsqu'elle avait décidé, et le neuf non reçu ne devient pas son résultat. Il est possible d'écrire sa surprise devant l'autre issue sans transformer son choix initial en une décision prise avec une information qu'elle ne possédait pas encore.
L'autre branche livre le message avant l'engagement. La probabilité initiale réunie des deux états restants est une moitié. Leurs poids relatifs deviennent donc deux tiers pour le gain cinq et un tiers pour le gain neuf. La moyenne de X dans cette nouvelle situation vaut dix-neuf tiers, davantage que quatre. Camille choisit X et retire le fixe de la fiche de cette branche. Nous donnons le second état comme ensuite révélé : elle reçoit cinq. Sa décision a changé avant d'être exécutée ; son gain effectif ne prend pas pour autant la valeur de sa nouvelle moyenne.
Le brouillon attribuait une moitié à chacun des deux états restants et annonçait sept comme moyenne. Camille refuse cette ligne, parce que le message a écarté un état sans effacer la différence entre les probabilités des deux autres. La fiche conserve deux tiers et un tiers, puis le gain cinq effectivement reçu. Le calcul erroné aurait également fait choisir X ici, mais une conclusion identique ne rend pas ses données correctes. Le narrateur corrige donc la raison chiffrée du choix, même lorsque le nom de l'option retenue ne change pas. Il ne raconte pas une nouvelle révélation du troisième état pour justifier artificiellement sept.
Savoir avant de choisir et savoir après l'engagement donnent deux scènes
Une autre proposition possède deux états de probabilités égales. L'action U rapporte huit dans le premier, zéro dans le second ; V rapporte zéro dans le premier, six dans le second. Sans indice avant l'engagement, leurs moyennes sont quatre et trois. Un indice exact peut nommer l'état. Le modèle distingue sa réception avant le choix et sa réception après un choix irrévocable. Ce renseignement ne change ni les gains de U et V ni la probabilité attribuée à chaque état au départ.
Luc choisit U lorsque l'indice n'est pas encore disponible, conformément à son objectif de moyenne. Le second état est ensuite annoncé. U lui donne zéro. Un premier brouillon faisait passer Luc à V à cet instant et lui attribuait six, en conservant pourtant la règle d'engagement irrévocable. Le narrateur retire ce changement : l'indice est exact, mais il arrive après le moment où l'action pouvait être remplacée. Luc garde donc U et zéro dans la scène achevée. Aucune action suivante n'est engagée pour récupérer six ; elle demanderait une nouvelle offre et une nouvelle décision.
La branche renseignée reçoit au contraire l'indice avant l'engagement. Luc accepte une règle de choix complète : U si le premier état est annoncé, V si le second l'est. Le second état est donné comme annoncé dans cette branche ; Luc choisit V puis reçoit six. La scène diffère de la précédente dès l'ordre des événements. Le narrateur ne lui fait pas commencer U avant de revenir sur son action. L'indice exact lui permet ici de sélectionner une action encore disponible, et son résultat provient de V dans l'état effectivement nommé.
La moyenne des résultats de cette règle complète vaut sept : huit dans la première possibilité, six dans la seconde, chacune pondérée par une moitié. Ce nombre appartient à la règle qui utilise l'indice avant chaque choix ; il n'appartient à aucune action fixe seule. Le narrateur refuse donc la ligne « Luc choisit V, qui vaut sept en moyenne ». V garde sa moyenne initiale de trois. Dans la scène racontée, l'information lui a fait retenir V pour recevoir six, tandis que l'autre état aurait fait retenir U. La correction garde ensemble le moment du renseignement et les deux réponses que la règle prévoit, au lieu d'attribuer leur moyenne à la seule réponse exécutée.
Une probabilité moins renseignée ne fournit pas une moyenne unique
Dans une cinquième scène, X peut donner six ou zéro. La probabilité p de six n'est pas entièrement donnée : elle se situe entre un quart et trois quarts. Le fixe offre deux. Camille accepte expressément un critère particulier pour cette scène : comparer les plus petites moyennes compatibles avec les données disponibles et choisir la plus haute. Ce critère appartient à son engagement fictif. Nous ne le présentons pas comme une règle universelle de prudence ni comme une recommandation pour une décision réelle.
La moyenne de X peut aller d'un et demi à quatre et demi. Le fixe garde deux dans toute la plage. Camille choisit donc le fixe sous le critère accepté, puisque sa plus petite moyenne est deux contre un et demi pour X. Elle retire la ligne « X donne trois en moyenne » du brouillon : trois correspondrait à p égal à une moitié, valeur permise mais non déterminée par l'intervalle. La fiche choisie conserve l'intervalle entier et le résultat fixe de deux. Elle ne transforme pas le milieu de la plage en un renseignement reçu.
Une branche nouvelle fournit avant l'engagement la précision p égal à trois quarts. Le même critère peut maintenant utiliser une moyenne unique de quatre et demi pour X. Camille accepte X et écarte les deux fixes. Le gain zéro est donné comme effectivement réalisé dans cette branche ; Camille le reçoit. Le narrateur garde quatre et demi comme moyenne de l'offre renseignée, sans la confondre avec un minimum de gain. La précision sur p a modifié le choix accepté, mais n'a pas supprimé l'état qui donne zéro. Cette issue reste compatible avec une probabilité positive d'un quart.
La première branche reste attachée à l'intervalle, et la seconde à la valeur nouvelle. Camille refuse de réécrire sa première décision comme si trois quarts avait déjà été connu lorsqu'elle avait retenu deux. Elle refuse également d'appeler le zéro de la seconde une violation de son ancien critère : ce critère porte sur la plus petite moyenne disponible, et non sur un gain garanti à chaque réalisation. Le récit garde donc deux données distinctes, une probabilité renseignée et un résultat reçu. Cela suffit à rendre compréhensible le changement de choix sans inventer chez Camille un goût soudain pour le risque.
Une chance d'atteindre un seuil peut conduire à s'arrêter malgré une moyenne plus haute
La sixième scène comporte deux étapes. La première donne zéro ou six, chacune avec une probabilité une moitié. Si Camille poursuit après avoir vu ce gain, la seconde ajoute moins huit ou douze, chacune avec une probabilité une moitié, indépendamment de la première par stipulation. Les quatre couples ont donc une probabilité un quart. Camille peut aussi s'arrêter après la première et conserver son gain. Elle accepte comme objectif de maximiser la probabilité d'un résultat final au moins égal à six. Aucune fréquence de parties réellement jouées n'est donnée.
Camille compare d'abord deux règles fixes. Toujours poursuivre donne comme résultats moins huit, douze, moins deux et dix-huit : deux sur les quatre atteignent le seuil. Sa moyenne finale est cinq. Toujours s'arrêter garde zéro ou six ; sa chance d'atteindre le seuil est également une moitié, et sa moyenne trois. Camille refuse pourtant de choisir automatiquement la poursuite après ce seul contraste de moyennes. Elle avait accepté l'objectif du seuil, pour lequel les deux règles fixes restent égales. Le narrateur conserve leurs deux comparaisons au lieu de remplacer son objectif pendant le calcul.
Elle examine alors une règle qui dépend du premier gain : poursuivre s'il vaut zéro, s'arrêter s'il vaut six. Après zéro, s'arrêter manquerait certainement le seuil ; poursuivre l'atteint dans la possibilité où douze est ajouté. Après six, s'arrêter conserve certainement le seuil, tandis que poursuivre peut le perdre avec moins huit. Camille accepte donc cette règle complète avant la première révélation. Les résultats finaux qu'elle prévoit sont moins huit, douze, six et six dans les quatre couples du modèle. Trois de ces quatre possibilités atteignent l'objectif. Sa moyenne finale vaut quatre, inférieure aux cinq de la poursuite systématique.
Le premier gain effectivement révélé dans notre scène est six. Camille s'arrête et conserve six. Aucune seconde opération n'a lieu ; aucun résultat de la seconde étape n'est observé. Le narrateur retire une phrase qui lui faisait connaître ensuite le moins huit « évité », comme s'il avait été tiré pendant cette exécution. Moins huit reste l'une des possibilités d'une poursuite non effectuée, mais la scène achevée n'a livré que six puis la décision d'arrêt. La conséquence remplie est la clôture à six, sous l'objectif qu'elle avait accepté, sans bilan artificiel d'une deuxième étape inexistante.
Luc reçoit la même proposition dans une branche séparée et accepte cette fois l'objectif de moyenne finale la plus haute. La première étape y donne également six. Pour lui, poursuivre conserve une moyenne supplémentaire de deux, contre zéro s'il s'arrête : il accepte donc la poursuite. Nous donnons ensuite douze comme réellement ajouté dans sa branche. Luc termine à dix-huit, tandis que Camille est restée à six dans la sienne. Cette différence n'annule pas la chance de trois quarts de sa règle à elle. Les deux récits ont exécuté des décisions différentes sous des objectifs différents ; les gains finaux ne sont pas les deux preuves d'une seule préférence universelle.
Un renseignement peut être exact sans justifier le prix de son accès
Nous reprenons U et V avec leurs deux états de probabilités égales, dans une branche indépendante. Un renseignement exact peut être acheté avant le choix contre deux points, retirés du résultat final. Luc cherche la moyenne nette la plus haute. Sans achat, U garde sa moyenne de quatre. Avec le renseignement, la règle U dans le premier état et V dans le second garde sa moyenne brute de sept. L'achat est facultatif et doit être accepté avant que l'indice soit délivré ; aucun coût réel ni paiement n'est décrit.
Luc accepte le coût de deux : les résultats nets prévus sont six dans le premier état et quatre dans le second, avec une moyenne de cinq. Cette moyenne dépasse les quatre de U sans achat. Le second état est effectivement révélé par l'indice acheté ; Luc choisit V, reçoit six bruts et conserve quatre après le retrait des deux convenus. Le narrateur garde cet achat comme une action accomplie. Luc ne reçoit pas six nets au motif que l'information lui a permis de choisir la bonne action. Son bénéfice de renseignement et son coût appartiennent à la même offre qu'il avait acceptée.
Une autre offre demande quatre points pour le même renseignement, toujours avant le choix. Luc refuse cette fois l'achat : sa moyenne nette serait trois, contre quatre avec U sans indice. Il retient U. Dans cette branche, le second état n'est annoncé qu'après l'engagement, et Luc reçoit zéro. La scène conserve son refus du renseignement à quatre, même si l'issue aurait été meilleure avec cet achat particulier. Sous l'objectif accepté, la comparaison avait utilisé les deux états pondérés avant leur annonce. Le narrateur ne transforme pas le regret devant zéro en une acceptation rétroactive du coût refusé.
Un troisième contrat propose le prix de deux, mais livre l'indice seulement après un engagement irrévocable entre U et V. Luc refuse également cet achat et retient U sans coût. Le renseignement ne pourrait plus commander le choix alternatif qui donnait une moyenne brute de sept. Avec U déjà choisi, ses gains bruts resteraient huit et zéro, et le retrait de deux donnerait six et moins deux, de moyenne deux. Le même prix accepté dans le premier contrat est donc refusé dans celui-ci pour une raison différente du prix de quatre : son moment empêche d'exécuter la règle qui avait justifié l'achat. Aucun contrat n'est remplacé par un autre après la révélation.
Combiner des offres sous une limite de probabilité donnée
Une dernière proposition offre X avec zéro ou huit, chacun de probabilité une moitié, et un fixe de deux. Camille peut choisir une règle intermédiaire : une sélection préliminaire retient X avec une probabilité t, et le fixe avec la probabilité restante. Si X est retenu, son état est ensuite déterminé indépendamment de cette sélection par stipulation. Le modèle donne à Camille le choix de t entre zéro et un. Elle accepte deux conditions : limiter la probabilité d'un gain nul à un quart, puis maximiser la moyenne parmi les règles qui respectent cette limite.
La probabilité de zéro vaut t divisé par deux. La limite d'un quart exige donc t au plus égal à une moitié. La moyenne finale vaut deux plus deux fois t : elle augmente avec t dans la plage permise. Camille choisit une moitié. Les probabilités finales sont alors un quart pour zéro, un quart pour huit et une moitié pour deux, avec une moyenne de trois. La sélection préliminaire effectivement donnée dans cette branche retient le fixe, et Camille reçoit deux. Le récit garde la règle combinée comme son choix initial, même si cette réalisation utilise l'offre fixe qu'elle aurait également pu choisir seule.
L'hôte propose ensuite, dans une branche distincte, une limite de gain nul réduite à un huitième. Camille l'accepte avant la sélection et conserve l'objectif de moyenne. La nouvelle limite exige t au plus égal à un quart ; elle choisit un quart. Les probabilités finales deviennent un huitième pour zéro, un huitième pour huit et trois quarts pour deux. La moyenne vaut deux et demi. La sélection retient X dans cette branche, puis son état donne huit ; Camille reçoit huit. La règle moins exposée au zéro a donc produit ici un gain plus haut, mais cette réalisation ne fait pas remonter sa moyenne à trois ni sa probabilité de zéro à un quart.
Une autre demande exigerait l'absence de zéro dans chaque état possible. Camille accepte expressément cette condition dans une troisième branche. Elle retire alors toute sélection de X : t vaut zéro, le fixe est toujours retenu et le résultat est deux. Les deux règles combinées précédentes ne satisfaisaient pas cette demande, puisque chacune conservait une probabilité positive de zéro. Le narrateur maintient trois fiches : la limite d'un quart, celle d'un huitième et l'exclusion complète du zéro. Le choix d'une combinaison devient ainsi une décision renseignée sur une chance autorisée ; il ne se confond pas avec la garantie que Luc demandait dans la première scène.
Garder le choix et sa réalisation sur la même ligne de récit
Les décisions construites conservent un objectif, une offre et un moment où l'engagement devient effectif. Les moyennes ne remplacent pas les gains reçus ; un renseignement tardif ne répare pas silencieusement un choix irrévocable. La fiction peut faire évoluer une demande, annoncer un état ou compléter une probabilité, à condition de donner ces changements comme des événements. Le lecteur pourra alors suivre ce que le personnage pouvait choisir et ce qu'il a effectivement reçu, sans prendre les nombres du modèle pour la validation d'un jeu ou d'une conduite réelle.