Dans une scène, quelqu’un annonce une chance de réussite. Un autre personnage juge ce nombre trop prudent, un troisième le juge avantageux. Pour écrire leur désaccord, il faut préciser ce que chacun compare. Le nombre donné comme probabilité, le nombre inscrit sur une fiche et les points attribués à cette fiche peuvent diverger. Ils ne deviennent pas trois noms d’une même chose parce qu’ils sont compris entre zéro et un.
Les situations qui suivent sont entièrement créées. Nora reçoit des probabilités expressément données dans chaque modèle ; elle ne les estime pas à partir d’une expérience. Camille organise des échanges de fiches et choisit leurs règles de points. Aucun pronostic, pari, paiement, test psychologique ou événement réel n’est observé. Les résultats particuliers sont eux aussi ajoutés au récit. Les calculs classiques servent à vérifier ces données, sans prétention d’invention mathématique.
Balzac présente un gentilhomme.
Balzac présente une maison.
Balzac décrit des rues.
Ces trois ouvertures ont été consultées textuellement. Elles fournissent seulement les courts repères précédents ; les personnages, probabilités, annonces et règles de la scène sont créés ici. Les romans ne sont pas présentés comme les sources de ces calculs. Aucun examen d’image, lecture intégrale ou résultat sur un comportement humain n’est revendiqué.
Une règle qui rapproche l’annonce de la probabilité
Le premier dossier ne contient que deux résultats : Y vaut un si l’événement arrive, zéro sinon. La probabilité donnée est trois quarts. Nora peut inscrire n’importe quel nombre q entre zéro et un. Camille annonce avant le dépôt que la perte sera le carré de la différence entre q et Y ; une perte plus petite est préférable. Une fiche annonçant trois quarts perd ainsi un seizième si Y vaut un, et neuf seizièmes si Y vaut zéro.
Nora choisit trois quarts. La moyenne de perte correspondant aux deux résultats et à leurs probabilités vaut trois seizièmes. Inscrire un demi donne un quart dans les deux résultats ; inscrire un donne zéro dans le premier et un dans le second, donc encore un quart en moyenne. Nora écarte ces deux annonces pour le critère choisi. Elle ne choisit pas simplement un nombre situé entre leurs valeurs : pour toute annonce q, la moyenne est trois seizièmes plus le carré de la différence entre q et trois quarts. Le terme ajouté ne peut diminuer la perte.
Dans la réalisation ajoutée au récit, Y vaut zéro. La fiche de Nora reçoit neuf seizièmes de perte, au-dessus de sa moyenne de trois seizièmes. Camille conserve le nombre déposé et le résultat obtenu. Il ne remplace pas l’annonce par zéro après avoir appris Y. Cette différence entre moyenne et résultat particulier est une limite du dossier ; elle ne suffit pas, à elle seule, à construire une nouvelle décision.
Changer les points sans changer ce que Nora sait
Camille ouvre un second dossier indépendant avec la même probabilité donnée, mais remplace le carré par la valeur absolue de la différence. Nora examine les nouvelles conséquences avant de déposer sa fiche. Pour une annonce q, la moyenne de perte est trois quarts moins la moitié de q. Elle diminue donc lorsque l’annonce augmente. Nora inscrit un, qui donne un quart de perte moyenne, plutôt que trois quarts, qui en donne trois huitièmes. La décision répond exactement au nouveau critère accepté.
Camille avait préparé une ligne intitulée « probabilité retenue ». Il y inscrit d’abord un, comme si le dépôt avait corrigé la donnée initiale. Nora lui demande de séparer deux lignes. Elle fait maintenir « probabilité donnée : trois quarts » et ajouter « annonce déposée : un ». Camille remet effectivement cette version. Le changement de règle explique le changement d’annonce ; aucune information nouvelle sur l’événement n’a été reçue. Écrire que Nora sait désormais l’événement certain donnerait à son choix une conséquence absente du modèle.
Le résultat créé pour ce second dossier vaut zéro. Nora perd un point sous la règle absolue. Camille lui propose alors de raconter qu’elle avait finalement annoncé trois quarts : cette annonce aurait perdu seulement trois quarts de point dans ce résultat. Nora refuse cette correction rétrospective et lui rend la fiche originale avec son dépôt un et sa perte un. Elle avait préféré un pour la moyenne avant le résultat ; le résultat particulier n’autorise pas à déplacer son annonce dans le passé. Le récit garde donc ensemble une décision conforme au critère initial et une réalisation défavorable.
Un troisième dossier revient à la perte quadratique, toujours avec une probabilité donnée de trois quarts. Camille y ajoute une bonification de un vingtième, soustraite à la perte, pour toute annonce au moins égale à neuf dixièmes. Les pertes nettes négatives sont expressément permises comme points fictifs. Nora compare les deux régions du choix. En dessous de neuf dixièmes, la meilleure annonce reste trois quarts et sa moyenne trois seizièmes. À partir de neuf dixièmes, l’annonce la plus proche de trois quarts est neuf dixièmes ; toute augmentation supplémentaire accroît le carré sans accroître la bonification.
Nora calcule alors une moyenne nette de quatre vingt-cinquièmes pour neuf dixièmes. Elle est inférieure aux trois seizièmes de l’annonce trois quarts. Elle dépose neuf dixièmes et reçoit le résultat créé Y égal à un : la perte brute de un centième, diminuée de un vingtième, donne une perte nette de moins un vingt-cinquième. Camille avait mis les fiches par ordre de nombre annoncé et qualifié celle-ci de « mieux renseignée ». Nora fait retirer ce libellé et le remplace par « choisie sous la bonification ». La probabilité donnée reste trois quarts ; la règle supplémentaire a modifié l’intérêt du dépôt, pas la connaissance disponible.
Ces deux dossiers ne permettent pas de déduire la probabilité connue par Nora à partir de son seul nombre annoncé. Un sous la règle absolue et neuf dixièmes sous la règle bonifiée résultent de critères différents appliqués à la même donnée. Les fiches remises à Camille portent donc chacune leur règle et leur date de dépôt. Leur lecture n’exige plus de supposer une information nouvelle chaque fois que le nombre change.
Trois issues et une annonce admissible
Camille prépare ensuite un dossier à trois résultats exclusifs qui épuisent les possibilités. Leurs probabilités données sont un demi, un quart et un quart. Nora doit annoncer trois nombres positifs ou nuls dont la somme est un. La perte quadratique additionne les carrés des trois différences : l’indicateur du résultat réalisé vaut un, les deux autres zéro. Cette obligation de somme fait partie de la règle créée pour ce dossier ; elle n’est pas appliquée à trois événements qui pourraient arriver ensemble.
La première fiche de Nora comporte un demi à chaque ligne. Camille la refuse avant le dépôt parce que son total vaut un et demi. Il propose de diviser les trois nombres par leur total, ce qui donnerait trois tiers égaux. Nora distingue le problème d’admissibilité du choix sous les points : cette opération produirait bien une annonce autorisée, mais pas la meilleure annonce pour la donnée reçue. Elle dépose finalement un demi, un quart, un quart. Camille retire la fiche aux trois demis du lot des annonces déposées et la garde séparément comme brouillon refusé.
La perte moyenne de la fiche choisie vaut cinq huitièmes. Celle des trois tiers vaut deux tiers. La différence vient de la distance entre chaque annonce et la probabilité correspondante : à la perte minimale cinq huitièmes s’ajoute la somme des trois carrés de ces distances. Dans le résultat créé où la deuxième issue arrive, la fiche choisie perd sept huitièmes ; la fiche égale aurait perdu deux tiers. Camille conserve malgré cela le choix déposé et note ce résultat. Il ne transforme pas le brouillon égal en ancienne meilleure annonce parce qu’il aurait mieux servi cette réalisation précise.
Garder les couples annonce et résultat
Le dossier suivant contient quatre annonces anciennes et leurs quatre résultats, dans cet ordre : un, un, zéro, zéro. Les nombres effectivement déposés avant ces résultats sont neuf dixièmes, un dixième, neuf dixièmes, un dixième. Camille remarque que la moyenne des annonces vaut un demi, comme la fréquence des résultats un. Il prépare une appréciation favorable sur la seule égalité de ces deux moyennes. Nora refuse de signer cette appréciation et lui demande de remettre les quatre couples originaux sur la même fiche.
Les pertes quadratiques des quatre couples sont un centième, quatre-vingt-un centièmes, quatre-vingt-un centièmes et un centième. Leur total vaut quarante et un vingt-cinquièmes. Une série qui aurait toujours annoncé un demi aurait perdu un quart à chaque ligne, donc un au total. Sous le critère donné, la série effectivement déposée fait moins bien que cette série constante malgré sa moyenne identique. Nora fait remplacer l’appréciation par ces totaux et maintient les dates ainsi que l’identité de chaque dépôt. Les deux fortes erreurs ne disparaissent plus dans l’égalité globale des moyennes.
Camille propose une autre série : neuf dixièmes, neuf dixièmes, un dixième, un dixième. Elle comporte exactement les mêmes nombres que l’ancienne, mais associés différemment aux résultats. Son total de pertes serait un vingt-cinquième. Nora accepte de la faire figurer comme comparaison séparée, avec un libellé indiquant qu’elle n’a pas été déposée dans le dossier ancien. Elle refuse de trier les anciennes annonces pour les faire correspondre aux résultats connus. Le changement d’association produit bien un autre total, mais n’est pas une correction d’écriture neutre : il remplace les pronostics qui avaient précédé les quatre résultats.
Camille veut aussi intituler la comparaison « annonces parfaitement vérifiées ». Nora fait retirer cette deuxième appréciation. Dans la série alternative, les deux annonces neuf dixièmes sont suivies de deux résultats un, soit une fréquence un ; les deux annonces un dixième sont suivies de deux zéros, soit une fréquence zéro. Ces fréquences ne sont pas respectivement neuf dixièmes et un dixième. Un faible total de perte sur quatre lignes n’établit donc pas cette égalité supplémentaire. La fiche remise conserve le bon total de la comparaison, sa portée de quatre lignes et l’absence de dépôt ancien ; elle ne lui attribue pas un résultat plus large.
Cette scène exige de garder les liens entre fiches et résultats. Ni la moyenne d’un ensemble ni la liste de ses nombres ne suffit à reconstituer les quatre couples. L’appréciation retirée concernait cette perte précise ; le dossier ne déclare pas que quatre résultats permettraient de certifier toutes les propriétés d’un auteur de pronostics.
Deux critères devant une probabilité encore ouverte
Dans un nouveau dossier binaire, Nora ne reçoit plus une probabilité unique. Elle sait seulement qu’elle est comprise entre trois cinquièmes et neuf dixièmes. Aucune distribution sur cet intervalle n’est donnée. Camille conserve la perte quadratique et lui propose de choisir une annonce qui minimise la plus grande perte moyenne compatible avec l’intervalle. Les annonces restent possibles de zéro à un. Le critère porte ici sur les moyennes correspondant aux probabilités possibles, et non sur la plus grande perte d’un résultat isolé.
Nora choisit trois cinquièmes. Pour une annonce supérieure à un demi, la moyenne de perte diminue lorsque la probabilité augmente : le pire cas de l’intervalle est donc trois cinquièmes. La meilleure annonce pour ce pire cas est précisément trois cinquièmes, avec une perte moyenne de six vingt-cinquièmes. Les annonces au plus égales à un demi ne peuvent faire mieux : leur pire cas est neuf dixièmes et leur meilleur bord, un demi, perd un quart. Nora dépose sa fiche trois cinquièmes ; Camille renonce à utiliser le milieu de l’intervalle comme une probabilité moyenne, puisqu’aucun poids sur les valeurs possibles n’a été fourni.
Une seconde proposition, indépendante de la première, demande de minimiser le plus grand excès de perte par rapport à la meilleure annonce si la probabilité était connue. L’excès est le carré de la différence entre l’annonce et cette probabilité. Nora choisit alors trois quarts, à égale distance des deux extrémités : trois vingtièmes de chaque côté, donc un maximum de neuf quatre-centièmes. Une annonce trois cinquièmes aurait un excès de neuf centièmes à l’autre extrémité. Camille accepte ce critère et reçoit effectivement une seconde fiche trois quarts, identifiée comme une autre branche de décision.
La donnée ajoutée plus tard dans la première branche est neuf dixièmes. Camille demande à Nora de remplacer son dépôt trois cinquièmes par trois quarts, au motif que cette annonce aurait mieux tenu face à cette valeur. Nora maintient le dépôt déjà accompli. À neuf dixièmes, sa perte moyenne vaut neuf cinquantièmes, contre neuf centièmes pour une annonce qui aurait connu cette probabilité à l’avance. L’excès vaut donc neuf centièmes. Elle remet ces nombres à Camille avec la règle du premier choix, sans emprunter après coup la fiche de la seconde branche.
Dans la branche où trois quarts a réellement été déposé sous le critère d’excès, la même précision tardive donne une perte moyenne de neuf quatre-vingtièmes et un excès de neuf quatre-centièmes. Camille garde les deux dossiers séparés. Trois quarts aurait une plus mauvaise borne de perte moyenne que trois cinquièmes avant la précision, mais une meilleure borne d’excès par rapport à une annonce informée. Les deux choix ne sont pas deux calculs concurrents d’un même objectif : le dossier indique quel objectif a été accepté avant chacun d’eux.
Ce que le formulaire permet d’annoncer
Le dernier dossier revient à une probabilité connue de trois quarts et à la perte quadratique sans bonus. Cette fois, le formulaire n’autorise que zéro, un demi ou un. Une annonce trois quarts ne peut pas y être déposée. Les annonces un demi et un donnent toutes deux un quart de perte moyenne ; zéro donne trois quarts. Camille fixe avant le choix une règle de départage en faveur du plus petit nombre. Nora remet donc un demi, et Camille enregistre cette annonce avec le menu limité et la règle de départage.
Camille commence à lui demander pourquoi sa probabilité est descendue de trois quarts à un demi. Nora lui montre la case qui conserve la donnée trois quarts et la ligne du dépôt autorisé un demi. Il corrige sa question et ouvre, avant une nouvelle remise, un menu ajoutant un quart et trois quarts. Nora choisit alors trois quarts et dépose cette nouvelle fiche, dont la perte moyenne revient à trois seizièmes. Camille retire la restriction du nouveau dossier, mais conserve celle de l’ancien. La première fiche n’est pas renommée « erreur corrigée » : elle répondait au menu alors disponible et au départage accepté.
Le résultat ajouté à cette dernière branche vaut un. La nouvelle fiche reçoit un seizième de perte, tandis que l’ancienne annonce un demi aurait reçu un quart dans ce même résultat. Camille n’applique pas le nouveau menu à la date ancienne et ne transforme pas la deuxième remise en duplicata de la première. Il remet à Nora les deux fiches avec leurs règles distinctes. Le nombre connu n’a pas changé ; le droit de l’inscrire a changé entre deux actes. C’est cette différence que la scène rend visible par les documents effectivement gardés.
Revenir de l’annonce à la donnée
Camille reçoit enfin deux fiches portant chacune six septièmes. Dans cette nouvelle situation, les auteurs sont expressément définis comme ayant choisi l’annonce qui minimise exactement leur perte moyenne avec la probabilité qui leur a été donnée. Les fiches proviennent de dossiers distincts ; aucune autre motivation ou erreur de calcul n’est ajoutée. La première applique la perte quadratique ordinaire. La seconde multiplie par deux la perte du résultat un et laisse inchangée celle du résultat zéro. Camille ne connaît d’abord ni cette différence de règle ni les deux probabilités données.
Il veut réunir les fiches sous la mention « même probabilité reçue ». Nora refuse cette réunion et demande les règles avant de produire cette mention. Les deux documents arrivent effectivement. Sous la première règle, l’annonce qui minimise la moyenne égale la probabilité donnée : six septièmes permet donc de retrouver six septièmes dans ce modèle expressément défini. Sous la seconde règle, la moyenne est deux p fois le carré de un moins q, plus un moins p fois le carré de q. L’annonce qui la minimise vaut deux p divisé par un plus p. Six septièmes correspond alors à une probabilité donnée de trois quarts.
Camille corrige le document remis : les annonces sont égales, les probabilités données différentes, et les règles expliquent cette coexistence. Il maintient six septièmes sur les deux fiches anciennes. Il ne corrige pas le second dépôt en trois quarts pour rapprocher visuellement les annonces des données retrouvées : ce dépôt répondait à une autre pondération. Le document envoyé à Nora porte maintenant, pour chaque auteur, la probabilité reconstituée sous les conditions expressément données et la règle permettant cette reconstitution. La seconde fiche n’est plus prise pour un duplicata de la première.
Une troisième fiche, indépendante, a annoncé un sous la perte absolue. Camille possède cette fois la règle et la condition de choix exact de la moyenne. Il voudrait en déduire une probabilité unique comme dans les deux dossiers précédents. Nora lui présente les deux données encore possibles dans cette scène : trois quarts ou neuf dixièmes. Avec chacune, la moyenne de perte absolue diminue quand q augmente ; l’annonce optimale vaut un dans les deux cas. Obtenir la règle a donc résolu la différence précédente, mais ne résout pas cette nouvelle ambiguïté. Camille retire sa proposition d’inscrire automatiquement un comme probabilité reçue.
Nora demande directement laquelle des deux données a été fournie à l’auteur. La réponse créée arrive : neuf dixièmes. Camille complète cette ligne et conserve l’annonce ancienne un. Dans une branche distincte où cette réponse directe ne peut pas être obtenue, Nora propose un nouveau dépôt sous la perte quadratique ordinaire, avec la même donnée reçue et la même condition de choix exact. L’auteur accepte et remet neuf dixièmes. Camille retrouve alors la donnée dans cette nouvelle fiche et garde la première annonce un à côté, sans prétendre qu’elle permettait déjà de départager les deux possibilités.
Ces deux voies ne sont pas additionnées dans un même historique : la réponse directe ferme une branche, la nouvelle remise ferme l’autre. Le second dépôt n’est pas effectué dans la branche où la donnée a déjà été communiquée. Chaque document final distingue ce qui avait été annoncé, ce qui restait compatible avec cette annonce et l’acte supplémentaire qui a réellement apporté la précision. La possibilité de reconstituer un nombre dépend ainsi des conditions du dossier, même lorsque le choix de l’auteur y est défini sans hésitation.
Pour relire ces échanges, on peut suivre la donnée reçue, la règle proposée avant le dépôt, le nombre effectivement inscrit et le résultat ajouté ensuite. Ces quatre éléments permettent de vérifier les choix remplis sans leur attribuer une information, une permission ou une performance qu’ils n’ont pas reçue. Ils restent les éléments d’une fiction calculable, dont les points ne certifient aucun comportement réel.