Dans une maison imaginaire, Anaïs dessine une petite mosaïque destinée à une table de lecture. Elle trace quatre rangées et quatre colonnes de cases, puis propose des pièces abstraites qui recouvrent chacune exactement deux cases voisines par un côté. Le dessin ne commande aucune découpe réelle. La question n'est pas de savoir si seize cases ont la même aire, mais si les cases encore présentes peuvent être couvertes une fois chacune, sans chevauchement et sans pièce posée sur un trou.
Galison présente des puzzles.
Cobble Hill présente des puzzles.
Wentworth présente des puzzles.
Ces trois pages servent à identifier une catégorie d'objets seulement. Leurs pièces, leurs dimensions et leurs règles ne définissent pas les rectangles à deux cases du dessin d'Anaïs. Les coordonnées, les trous et les nombres de couvertures ci-dessous sont créés pour la feuille fictive ; ils ne garantissent rien sur un produit commercial.
Anaïs numérote les rangées et les colonnes de zéro à trois. Une case (r,c) touche par un côté seulement les cases dont une seule coordonnée diffère de un. Elle alterne clair et foncé selon la parité de r+c. Toute pièce de deux cases voisines prend alors une case claire et une foncée. Cette convention donne un contrôle nécessaire, pas une recette suffisante. Anaïs conservera séparément le nombre de cases de chaque couleur, la liste des voisins disponibles et un placement complet lorsque l'un existe.
La feuille entière donne une préparation concrète
Sur les seize cases, huit sont claires et huit foncées. Anaïs peut couvrir chaque rangée par les paires de colonnes zéro–un et deux–trois. Les rangées zéro, un, deux et trois reçoivent chacune deux pièces horizontales ; les huit pièces couvrent les seize cases exactement une fois. Elle entoure cette préparation, car l'égalité des couleurs ne lui aurait donné qu'une permission arithmétique. Sans les huit emplacements écrits, un lecteur pourrait confondre le test nécessaire avec une réalisation déjà dessinée.
Paul préfère des pièces verticales et associe, dans chaque colonne, les rangées zéro–un puis deux–trois. Cette seconde préparation conserve huit pièces mais change leurs voisinages. Anaïs ne la traite pas comme une rotation automatique de la première feuille après avoir retiré des cases : une case retirée sur le bord supérieur peut rompre une paire verticale tout en laissant une autre couverture horizontale possible ailleurs. Elle garde les deux placements comme témoins de la feuille intacte seulement. Leurs nombres identiques ne prouvent pas que chaque variante trouée admettra l'un des deux.
Pour contrôler leur inventaire sans le mettre dans la décision de couverture, ils énumèrent tous les placements possibles de la feuille intacte. Leur procédure prend d'abord la case encore libre de plus petit indice, essaie chacun de ses voisins libres, retire les deux, puis recommence. Elle aboutit à trente-six couvertures distinctes. Ce trente-six ne signifie ni trente-six objets nécessaires ni trente-six façons de remettre physiquement une mosaïque ; il compte des couplages de cases dans le dessin. Une seule couverture complète suffisait à leur première décision, mais l'énumération leur servira à vérifier les variantes.
Deux coins de même couleur ne se réparent pas par une rotation
Paul retire les cases (0,0) et (3,3), aux deux coins opposés. Quatorze cases restent, et il propose sept pièces puisqu'une pièce couvre deux cases. Anaïs colore les cases avant de rechercher des placements. Les deux trous ont la même couleur claire : r+c vaut zéro pour le premier et six pour le second. Il reste donc six cases claires et huit foncées. Sept pièces exigeraient exactement sept cases de chaque couleur. La demande est impossible, même si quatorze est divisible par deux.
Paul tente de tourner une pièce au milieu pour rétablir l'équilibre. Anaïs lui fait suivre ses deux cellules : qu'elle soit horizontale ou verticale, elle franchit toujours un côté et passe toujours d'une couleur à l'autre. Changer l'orientation redistribue les voisinages, pas le nombre de cases claires qu'une pièce peut prendre. Il faudrait modifier les trous ou la forme des pièces, ce qui créerait une nouvelle demande. Elle refuse de publier un plan de sept pièces sur ces deux coins ; le verdict « impossible » est attaché exactement aux deux coordonnées retirées.
Elle teste le même argument sur les coins (0,0) et (3,0), situés dans la même colonne aux deux extrémités. Leurs sommes de coordonnées sont zéro et trois : les trous ont maintenant des couleurs opposées. Sept cases de chaque couleur demeurent. Cette vérification ne donne pas encore un plan, mais elle retire l'obstacle qui condamnait les coins diagonaux. Anaïs écrit les coordonnées près de la couleur plutôt que « deux coins retirés » : cette étiquette vague aurait fusionné une paire de même couleur et une paire de couleurs opposées dont les décisions doivent rester distinctes.
Pour cette seconde paire de coins, elle construit une couverture : sur les colonnes un, deux et trois, elle forme les paires verticales de rangées zéro–un et deux–trois, soit six pièces ; sur la colonne zéro, les cases (1,0) et (2,0) forment la septième. Les deux trous sont (0,0) et (3,0), et chaque autre case apparaît exactement une fois dans la liste. Paul vérifie qu'aucune pièce ne traverse un trou. L'égalité de couleurs a permis d'essayer ; ce témoin entier clôt le cas particulier sans prétendre que toute paire opposée fonctionnerait.
Deux cases voisines retirées changent les placements sans les abolir
Une autre feuille retire (0,0) et (0,1), deux cases adjacentes de la rangée supérieure. Elles ont des couleurs différentes. Anaïs ne réutilise pourtant pas le plan des deux coins de la colonne zéro : la case (0,1) y faisait partie d'une paire verticale qui n'est plus disponible. Elle doit construire une affectation nouvelle pour les quatorze cases restantes. Son contrôle compte toujours sept pièces, mais le résultat attendu n'est pas une conséquence du seul quotient quatorze divisé par deux.
Elle place d'abord deux pièces verticales sur les colonnes deux et trois entre les rangées zéro et un : (0,2)–(1,2) et (0,3)–(1,3). Elle couvre ensuite (1,0)–(2,0) et (1,1)–(2,1). La dernière zone se résout par (2,2)–(3,2), (2,3)–(3,3) et (3,0)–(3,1). Les sept paires sont voisines par un côté ; leurs quatorze coordonnées sont toutes distinctes et évitent les deux trous. Anaïs donne la liste à Paul plutôt qu'un dessin vaguement rempli, afin que la couverture puisse être vérifiée case par case.
La procédure d'énumération retrouve dix-huit couvertures pour ces deux trous adjacents. Cette pluralité change la marge de choix d'Anaïs : si elle préfère garder libre une frontière pendant la préparation, elle peut chercher une autre couverture sans remettre en question l'existence de la première. Elle n'annonce pas que n'importe quelle première pièce mènera au bout ; certains placements partiels peuvent bloquer. Elle sépare donc « il existe au moins une couverture complète », certifié par les sept paires, de « tout choix local se termine », proposition plus forte qu'elle n'a pas démontrée.
Paul compare les dix-huit à trente-six sur la feuille entière et annonce que deux cases retirées ont simplement divisé les possibilités par deux. Anaïs ne généralise pas cette fraction : les deux coins de même couleur ont donné zéro, et deux autres trous peuvent forcer un nombre différent. Les comptes proviennent des placements disponibles après les retraits précis, pas d'une règle qui soustrairait deux cases et diviserait mécaniquement une collection ancienne. Elle conserve trente-six et dix-huit comme résultats de deux feuilles nommées, chacun avec sa liste de trous.
Un équilibre de couleurs peut cacher une case sans voisin
Anaïs retire ensuite quatre cases : (0,1), (1,0), (2,2) et (3,3). Les deux premières sont foncées, les deux suivantes claires. Il reste donc six cases de chaque couleur, soit douze cases que six pièces pourraient couvrir selon le test arithmétique. Paul déclare la feuille réparable parce que les couleurs sont équilibrées. Anaïs examine avant tout la case (0,0), qui n'a jamais été retirée. Sur le coin, ses seuls voisins possibles sont (0,1) et (1,0), précisément les deux premiers trous.
Aucune pièce de deux cases voisines ne peut couvrir (0,0) sur cette feuille. Les dix autres cases encore accessibles ne créent pas un voisin pour ce coin isolé. Anaïs refuse le plan de six pièces malgré les six claires et six foncées : l'équilibre est une condition nécessaire globale, tandis que chaque case doit posséder au moins une partenaire disponible localement. Elle n'invoque pas un problème de surface commerciale ou de découpe matérielle. Le défaut se vérifie en lisant seulement les deux liens du coin dans la grille qu'elle a fixée.
Paul propose de commencer à poser des pièces loin du coin et de revenir à (0,0) quand le reste sera mieux ordonné. Anaïs montre pourquoi l'ordre ne change rien ici : aucun des deux voisins absents ne réapparaît après un placement. Une réorganisation des onze autres cases ne peut donner à (0,0) une cellule orthogonalement adjacente. Elle conserve « impossible par isolement » comme motif de refus, distinct de « impossible par inégalité des couleurs » pour les deux coins diagonaux. Dans les deux cas le nombre final de plans est zéro, mais les modifications qui pourraient les réparer ne sont pas les mêmes.
Elle vérifie aussi la portée de son témoin négatif. Si seule (0,1) redevenait disponible, le coin (0,0) pourrait au moins être couplé horizontalement ; cela ne prouverait toujours pas que le reste se couvre. Restaurer un voisin supprime l'obstacle local observé, pas tous les obstacles possibles. Anaïs refuse d'écrire « réparation garantie » avant d'avoir contrôlé les autres cases. Sa feuille garde le motif précis de blocage afin qu'une correction future puisse être testée contre lui sans transformer une condition nécessaire en certificat suffisant.
Déplacer un seul trou produit cette fois un témoin unique
Pour une nouvelle version de la feuille à quatre trous, Anaïs garde (0,1), (2,2) et (3,3), mais déplace le trou (1,0) vers (1,2). Deux cases foncées et deux claires restent retirées. La différence essentielle n'est donc pas un bilan de couleurs amélioré : ce bilan était déjà égal. La case (0,0) retrouve maintenant (1,0) comme voisin disponible. Paul peut dire que la raison du premier refus a disparu ; il ne peut encore annoncer une couverture tant que les dix autres cases présentes n'ont pas trouvé leurs paires.
Anaïs essaie six pièces : (0,0)–(1,0), (0,2)–(0,3), (1,1)–(2,1), (1,3)–(2,3), (2,0)–(3,0) et (3,1)–(3,2). Elles évitent exactement les quatre trous nouveaux. Chacune couvre deux cases voisines, et aucune case n'apparaît deux fois. Le témoin remplit les douze cases restantes. La correction du trou n'est plus seulement l'absence d'un défaut local : une liste complète existe réellement et peut être remise comme solution de la version modifiée.
Paul voudrait annoncer seulement « il existe une solution » comme sur la feuille des deux trous adjacents. L'énumération exacte de cette version trouve une seule couverture. Anaïs garde ce résultat plus fort pour le choix du dessin : une demande d'orienter autrement l'une de ses six pièces ne laisse pas simplement dix-sept autres plans à essayer. La première paire du coin est forcée, puisque (0,0) n'a que (1,0) ; les autres contraintes se propagent jusqu'à la liste complète. Le compte un a été contrôlé sur les cases restantes, pas deviné parce que la première paire semblait évidente.
Elle compare alors les deux versions à quatre trous. Elles ont toutes deux douze cases, six de chaque couleur et la même règle de pièce. La première donne zéro couverture parce que le coin est isolé ; la seconde donne exactement une couverture après le déplacement d'un trou. Le changement ne porte ni sur la quantité de papier restant ni sur un attribut de puzzle du commerce. Il porte sur les voisinages qui restent possibles à la coordonnée (0,0), puis sur la chaîne des choix forcés dans toute la grille. Anaïs conserve les deux listes de trous avec leurs verdicts contradictoires en apparence.
Deux réparations équilibrées n'offrent pas le même choix
Paul garde encore (0,1), (2,2) et (3,3) comme trous, mais place le quatrième en (2,3) au lieu de (1,2). Il déplace toujours le trou initial (1,0), une case foncée, vers une autre case foncée : l'égalité des six cases de chaque couleur est identique à celle de la réparation précédente. La case (0,0) retrouve dans les deux versions son seul voisin (1,0). Anaïs ne lui accorde donc pas automatiquement la même unicité. La réparation de l'isolement répondait à une question d'existence ; le nombre de couvertures dépend encore des cases retirées ailleurs.
Le nouveau dessin admet deux couvertures complètes. Toutes deux prennent (0,0)–(1,0), (1,1)–(2,1), (2,0)–(3,0) et (3,1)–(3,2). Dans la zone supérieure droite, Anaïs peut choisir (0,2)–(1,2) avec (0,3)–(1,3), ou bien (0,2)–(0,3) avec (1,2)–(1,3). Les quatre paires communes plus les deux paires choisies couvrent les douze cases restantes sans chevauchement. Les deux possibilités se distinguent par l'orientation de deux pièces, pas par un trou oublié ou un second emploi d'une case.
Anaïs inscrit donc « un plan » pour le trou déplacé en (1,2) et « deux plans » pour celui déplacé en (2,3). Si l'hôte veut une disposition entièrement déterminée par les trous, elle retient la première version ; s'il veut pouvoir choisir l'orientation de la petite zone de droite, elle retient la seconde et joint les deux listes. Ces demandes prennent autant de cases, les mêmes couleurs et la même règle de pièce, mais elles ne livrent pas la même liberté de décision. Paul ne peut réduire leur différence à une nouvelle phrase sur la parité ; il doit montrer les deux paires alternatives.
Des trous au centre laissent une autre liberté
Pour contrôler que l'unicité de la feuille réparée n'est pas une propriété de toute paire de trous voisins, Anaïs retire plutôt les cases centrales (1,1) et (1,2) d'une feuille intacte. Elles sont adjacentes et de couleurs opposées, comme les deux trous (0,0) et (0,1), mais elles ne sont pas sur le même bord. Quatorze cases restent. La procédure exacte trouve six couvertures, et non dix-huit. La couleur autorise les deux feuilles ; leur position retire des paires différentes et change le nombre de plans disponibles.
Paul propose de transporter les sept paires écrites pour les deux trous de bord vers cette feuille centrale. Anaïs lit la liste : elle utilisait (1,1) dans la paire avec (2,1), alors que (1,1) est maintenant absent. La preuve d'existence d'une version n'est donc pas une preuve par copie pour l'autre. Elle reprend l'énumération sur le nouveau masque de cases et conserve le compte six. Une couverture complète est attestée par cette énumération, tandis que les anciennes sept paires restent l'archive de la feuille du bord seulement.
Elle ne présente pas dix-huit contre six comme une mesure de difficulté physique. Les deux nombres comptent des configurations abstraites selon une règle fixée ; ils ne mesurent ni temps d'assemblage, ni aisance des mains, ni nombre de pièces dans une boîte. Pour décider quel dessin conserver sur la table fictive, Anaïs préfère la feuille réparée à quatre trous parce que son unique liste correspond à la disposition qu'elle veut remettre. Paul peut préférer une feuille avec plus de choix, mais il doit alors changer le dossier de trous et joindre le nouveau témoin.
Une pièce déjà placée ferme des branches sans changer les trous
Avant de fixer leur plan, Paul pose sur papier la paire (0,2)–(0,3) de la feuille réparée à quatre trous. Elle appartient à l'unique couverture attestée ; les cinq autres paires de cette couverture restent possibles. Anaïs accepte donc ce geste initial comme compatible avec le résultat un. Elle ne compte pas « une pièce posée » comme preuve de toutes les autres, et conserve la liste restante. Le certificat est l'ensemble de six paires, pas la première paire isolée qu'ils auraient pu choisir sans vérifier la suite.
Sur la feuille des deux trous de bord, Paul place plutôt une paire compatible avec une couverture existante, puis voudrait effacer cette décision pour employer une autre disposition. Anaïs distingue le plan encore au crayon d'une pose déclarée irréversible dans leur fiction. Si elle garde la possibilité de réviser, elle peut choisir parmi les dix-huit couvertures complètes ; si une pièce a été fixée, seules les couvertures qui la contiennent restent admissibles. Elle refuse de déduire le nombre de ces dernières du seul dix-huit sans filtrer les listes par cette paire précise.
Une première paire possible ne protège pas un second geste
Sur la feuille des deux trous (0,0) et (0,1), Anaïs examine la première case disponible dans la rangée supérieure, (0,2). Elle peut la coupler avec (0,3) ou avec (1,2), et les deux choix respectent la règle locale. En fixant (0,2)–(0,3), l'énumération trouve encore onze couvertures complètes des douze autres cases. En fixant (0,2)–(1,2), elle en trouve sept. Onze plus sept retrouve les dix-huit couvertures de cette feuille, parce que toute couverture doit choisir exactement l'une de ces deux voisines pour (0,2). Paul voit une différence réelle entre deux premiers gestes tous deux admissibles.
Il décide alors de fixer (0,2)–(1,2), puis (1,3)–(2,3). Les deux pièces sont séparément des paires voisines et ne partagent aucune case. Pourtant (0,3) reste libre avec ses deux seuls voisins, (0,2) et (1,3), désormais occupés. Le nombre de prolongements complets de ces deux gestes vaut zéro. Anaïs ne peut pas sauver ce choix en réarrangeant les autres pièces seulement : elle doit reprendre au moins une des deux paires déjà fixées. La preuve ne vient ni d'un compte de couleurs débalancé ni d'une forme commerciale ; elle tient à la case libre devenue sans partenaire.
Paul retire sa seconde paire et garde seulement (0,2)–(1,2). Sept couvertures redeviennent disponibles, dont la décision précise reste à prendre. Anaïs note ce retrait comme une correction de plan encore révisable. S'il avait déclaré les deux pièces collées et impossibles à déplacer dans leur fiction, elle aurait dû refuser la couverture complète sous cet historique, tout en conservant l'existence de dix-huit couvertures sur la feuille vierge. Les trous n'ont pas changé ; c'est l'ensemble des placements autorisés après les gestes déjà accomplis qui a changé. Elle accompagne donc chaque chiffre du stade auquel les paires ont été fixées.
Anaïs revient enfin au refus de la feuille équilibrée avec le coin isolé. Aucun ordre de pose, révisable ou définitif, ne couvre ce coin tant que ses deux voisins demeurent des trous. L'étape temporelle importe seulement après avoir établi qu'une couverture complète existe sur la version retenue. Elle ne transforme pas un obstacle structurel en simple problème d'ordre des gestes. Sur la feuille réparée, le placement complet précède la fixation ; sur la feuille refusée, elle arrête la préparation avant qu'une pièce ne soit annoncée comme solution.
Changer de plan sans jamais découvrir la feuille
Anaïs demande enfin une autre décision que le choix d’une couverture : une fois les sept pièces inscrites pour les trous (0,0) et (0,1), peut-elle atteindre un autre dessin en ne retournant à chaque geste que deux pièces d’un même carré de deux rangées et deux colonnes ? Deux horizontales deviennent deux verticales, ou l’inverse ; les quatre cases restent couvertes avant et après chaque geste. Il n’est pas permis d’ôter une pièce ailleurs puis de laisser momentanément une case nue. Le nombre dix-huit ne répond pas à cette question : il compte des dessins complets, sans dire lesquels communiquent par un geste admissible. Les pièces sont abstraites et la feuille reste une feuille de papier, pas une promesse de manipulation d’un puzzle vendu.
Elle prend un premier dessin où (0,2) est uni à (0,3), (1,0) à (2,0), (1,1) à (1,2), (1,3) à (2,3), (2,1) à (2,2), (3,0) à (3,1) et (3,2) à (3,3). Il ne possède qu’un seul carré retournable : les deux paires horizontales des rangées un et deux en colonnes un et deux deviennent (1,1)–(2,1) et (1,2)–(2,2). Ce premier pas préserve les deux trous et les sept pièces. Dans le dessin obtenu, un second carré devient disponible en colonnes deux et trois des rangées un et deux ; le retourner donne (1,2)–(1,3) et (2,2)–(2,3). Un geste local modifie donc les prochains gestes possibles : choisir d’emblée la disposition finale ne décrit pas un chemin de transition.
Anaïs construit alors un graphe dont les dix-huit sommets sont les couvertures complètes et dont chaque arête est exactement un retournement de carré. Elle visite ce graphe à partir du premier dessin, niveau par niveau : les dix-huit sommets sont atteints, avec un seul au niveau zéro, un au niveau un, deux au niveau deux, quatre aux niveaux trois et quatre, trois au niveau cinq, deux au niveau six et un au niveau sept. Le dessin le plus éloigné exige donc au moins sept gestes ; une chaîne de sept retournements l’atteint effectivement. Son avis devient opérationnel : si l’hôte exige une couverture continue pendant une révision de ce premier plan, tout autre dessin reste accessible, mais celui du septième niveau ne peut être promis en six gestes. Ce minimum ne sort ni du nombre de pièces ni de la simple existence des dix-huit plans ; il dépend des transitions autorisées entre plans complets.
Le dossier remis contient donc quatre décisions contrôlées : deux coins de même couleur rendent le plan impossible, deux trous voisins sur le bord admettent un témoin parmi dix-huit, quatre trous équilibrés peuvent isoler une case, et déplacer un trou précis donne une couverture unique. Anaïs joint les coordonnées et les paires à chaque verdict. Elle ne promet aucune caractéristique de puzzle commercial ni une technique de fabrication ; la mosaïque reste un calcul sur papier. La règle commune de deux cases ne remplace jamais les preuves locales qui distinguent les versions.