Une part peut être proposée pour une personne, réduite par une deuxième, puis réduite encore par une troisième. Pour raconter ce partage, conserver seulement son emplacement final ne suffit pas. Nora doit aussi retrouver qui possède encore la proposition, qui reviendra dans le partage du reste et où les morceaux retirés sont remis. Notre fiction suit ces opérations séparément, afin que la première réduction ne devienne pas une attribution définitive et que la seconde ne fasse pas disparaître ce qui appartient encore à l’ensemble.
Tout notre objet est représenté par un segment de zéro à douze. Les personnes, leurs cartes de points, les limites, les réponses et les remises sont créées. Les valeurs s’additionnent sur des morceaux disjoints selon les cartes données. Elles ne mesurent ni prix, ni sentiments, ni droits. Aucune coupe matérielle ou propriété d’un objet réel n’est validée. La procédure de réduction d’une part est classique ; nous ne revendiquons pas son invention. Les scènes vérifient seulement des décisions avec les permissions explicites de notre dossier.
Le Nid de rossignols ouvre dans un parc.
L’Enfant aux souliers de pain décrit une maisonnette.
La Morte amoureuse commence par une confidence.
Ces ouvertures ont été textuellement consultées. Elles ne fournissent pas les points ni les règles de notre partage. Nous appelons A, B et C les trois personnes de la scène. La demande initiale est que chacune reçoive au moins le tiers des points qu’elle donne à l’objet entier. Dans les cartes qui suivent, chaque total vaut douze : le minimum individuel vaut donc quatre. Cela ne demande pas la même longueur pour tous, et nous ne remplaçons pas ce minimum par une comparaison avec chacune des autres parts.
Une proposition passe avant d’être attribuée
La règle choisie fait proposer une part initiale par A. A la prépare à quatre points sur sa carte. B puis C l’examinent dans cet ordre. Si la part lui vaut plus de quatre, la personne qui l’examine doit la réduire à quatre sur sa propre carte ; sinon, elle la laisse. Les morceaux retirés reviennent au reste. Après le dernier examen, la dernière personne ayant réduit reçoit la part. Si personne ne l’a réduite, A la reçoit. Les deux autres partagent ensuite le reste selon une permission distincte.
Un premier contrôle bref donne à chacun un point par unité du segment entier. A propose zéro à quatre ; B et C y voient également quatre et ne réduisent rien. A reçoit cette part. B prépare deux moitiés du reste, quatre à huit et huit à douze. C choisit la seconde, B reçoit la première. Chacun a finalement quatre sur sa carte. Le contrôle fixe les rôles et les étapes, mais ne prétend pas fournir à lui seul un deuxième développement sur des fractions égales déjà bien connues.
Nora corrige dans cette scène une étiquette qui nommait C comme destinataire de la part parce qu’elle l’avait examinée en dernier. C n’a rien réduit. La permission désigne A lorsque personne ne réduit, et pas la dernière personne qui regarde. Nora remet donc zéro à quatre à A, puis garde B et C dans la division du reste. Elle ne compte pas l’examen de C comme une opération ayant modifié les limites du segment. Ce premier contrôle restera bref dans notre récit : il prépare surtout la différence entre une inspection et une réduction effective.
Le morceau retiré revient dans le reste
Une nouvelle branche conserve les cartes uniformes d’A et de C, un point par unité. B possède une autre carte : deux points par unité entre zéro et six, aucun entre six et douze. Son total demeure douze. A propose encore zéro à quatre, soit quatre sur sa carte. Pour B, cette part vaut huit. B doit donc la réduire à quatre de ses propres points, en gardant son début à zéro et en déplaçant sa fin à deux. C examine ensuite cette part zéro à deux.
C lui donne deux, sous son minimum quatre, et ne la réduit pas. B est donc la dernière personne qui a réellement réduit. Nora lui attribue zéro à deux, qui lui vaut quatre. Elle retire le nom d’A de la ligne du destinataire, mais ne décrit pas A comme ayant perdu sa part déjà reçue : la proposition passait encore entre les trois personnes et n’avait pas été attribuée. B accepte et reçoit la part finale dans cette scène. A et C restent présents pour se partager l’ensemble qui n’a pas rejoint B.
Nora découvre alors un autre défaut dans sa préparation. Elle avait gardé seulement quatre à douze comme reste, en reprenant la fin de la proposition initiale d’A. Cette ligne laissait deux à quatre hors des deux parts : B ne l’avait pas reçue et les autres ne pouvaient plus la recevoir. Nora la retire. Le morceau deux à quatre, retiré par B, est réuni avec quatre à douze. Le reste à partager est donc deux à douze, de longueur dix. Cette réunion ne constitue pas un objet ajouté ; elle remet dans le reste un morceau de l’objet initial qui n’appartient pas à la part attribuée.
A propose de diviser ce reste à sept. Deux à sept et sept à douze valent chacun cinq sur sa carte uniforme, ainsi que sur celle de C. C choisit sept à douze ; A reçoit deux à sept. Nora effectue les trois remises et transmet les segments effectivement reçus : B zéro à deux, A deux à sept, C sept à douze. Les points reçus sont quatre pour B, cinq pour A et cinq pour C. Aucune partie de zéro à douze n’est absente ni attribuée deux fois. Les deux cinq proviennent précisément du retour de deux à quatre dans le partage du reste.
Une ancienne fiche avait laissé quatre à huit à A et huit à douze à C. Ces deux parts auraient donné quatre chacun, mais abandonné deux à quatre. Nora ne la conserve donc pas comme une autre réalisation de la même règle, même si chacun y atteignait le minimum quatre. La demande présente inclut le retour des morceaux retirés et le partage de tout le reste. A et C acceptent les nouvelles parts de cinq. Le contrôle des points ne réhabilite pas une destination absente : Nora garde également les bornes qui montrent où chaque morceau de l’objet a été remis.
Une deuxième réduction change la personne qui reçoit
Nous conservons A uniforme et B donnant deux par unité de zéro à six. C reçoit cette fois quatre points par unité de zéro à trois, puis zéro jusqu’à douze. Son total vaut toujours douze. A propose zéro à quatre ; B réduit à zéro à deux, comme auparavant. Mais C donne huit à cette part. Elle la réduit donc à zéro à un, qui vaut quatre sur sa propre carte. Cette nouvelle réduction a lieu après celle de B et avant toute attribution de la proposition.
Nora remplace B par C dans la ligne du destinataire final. Elle lui remet zéro à un, quatre sur la carte de C. B avait porté la part à quatre sur sa propre carte, mais la règle lui laissait encore passer l’examen suivant. Nora refuse donc sa première préparation qui donnait zéro à deux à B et zéro à un à C. Ces parts se chevaucheraient et doubleraient l’attribution du début de l’objet. B ne reçoit pas une part réservée par le seul fait qu’il a effectué une réduction intermédiaire ; il revient avec A dans le partage du reste.
Le reste réunit désormais un à deux, retiré par C, deux à quatre, retiré par B, et quatre à douze, qui se trouvait déjà hors de la proposition. Nora les garde dans leur ordre et obtient un à douze. Elle remplace donc la ligne « reste deux à douze » de la préparation précédente. Le retour d’un à deux change la longueur disponible et les points que B peut encore y trouver. Nora transmet la part zéro à un à C et le reste un à douze aux deux personnes encore concernées, sans supprimer les deux réductions qui expliquent ce nouvel état.
A prépare les deux moitiés de ce reste selon sa carte uniforme : un à six et demi, puis six et demi à douze. Elles valent chacune cinq et demi pour A. B choisit la première. Entre un et six, elle lui donne dix ; le demi supplémentaire après six ne lui donne rien. A reçoit donc six et demi à douze, cinq et demi. Les remises sont accomplies dans cette branche et Nora garde quatre pour C, dix pour B, cinq et demi pour A. Elle ne complète pas B avec la part zéro à deux de sa réduction antérieure : ses dix viennent de la part qu’il a choisie dans le reste.
L’hôte avait prévu de faire choisir C dans cette deuxième division parce que C avait également choisi dans la scène précédente. Nora refuse cette reprise de rôle. C a déjà reçu la part finale de la première étape ; les deux personnes demeurant dans la division sont maintenant A et B. L’hôte accepte la feuille avec B comme personne qui choisit les deux moitiés proposées par A. Le choix de B y produit sa part de dix. La règle ne fixe donc pas une seule personne choisissant éternellement le reste : sa composition dépend de la dernière réduction réellement effectuée.
Réduire davantage peut faire manquer la garantie
Une alternative revient au passage d’A vers B avec les mêmes trois cartes. A propose zéro à quatre. B prépare cette fois zéro à un au lieu de zéro à deux. Il n’a pas reçu le pouvoir de changer sa carte : cette part lui vaut deux, et non quatre. C, qui voit quatre points dans zéro à un, l’inspecte ensuite sans la réduire. Nous gardons cette alternative avec ses limites exactes, au lieu de supposer qu’une réduction plus importante devrait automatiquement améliorer la conformité de la procédure.
Nora retire l’annonce que les trois personnes ont reçu au moins leur tiers. Si elle suivait jusqu’au bout cette préparation, B serait la dernière personne ayant réduit et recevrait zéro à un, deux sur sa carte. Son minimum quatre manquerait. C ne devient pas destinataire simplement parce que cette part lui vaut exactement quatre : elle ne l’a pas réduite. Nora refuse la remise préparée avant qu’elle soit effectuée, conserve le défaut sur la ligne de B et demande une correction à l’étape où son choix peut encore changer. Elle n’attribue pas les quatre de C à la part que B devait recevoir.
B accepte de corriger son extrémité à deux avant l’inspection de C dans une nouvelle réalisation. Zéro à deux vaut quatre sur sa carte. C reçoit alors la proposition corrigée, y trouve huit et la réduit à un, qui vaut quatre pour elle. Cette fois, C devient effectivement la dernière personne ayant réduit et reçoit zéro à un. B rejoint A pour le partage du reste un à douze. Nora garde ces trois actes dans leur ordre : correction de B, inspection puis réduction de C, attribution à C. La correction n’a pas donné directement zéro à deux à B.
A et B choisissent ensuite la division précédemment décrite, avec A proposant les moitiés à six et demi et B recevant un à six et demi. Ils effectuent les remises, B conservant dix et A cinq et demi. Nora transmet cet état corrigé au lieu de la préparation qui aurait laissé B à deux. Elle conserve toutefois l’ancienne réduction à un comme proposition refusée, car sa fin coïncidait avec celle de la part reçue ensuite par C. Le même segment zéro à un avait un destinataire possible B dans l’état fautif, puis un destinataire effectif C après la suite corrigée ; les nombres seuls n’indiquaient pas cette différence de parcours.
Changer celui qui prépare les moitiés du reste
Après l’attribution correcte de zéro à un à C, le reste vaut onze pour A, qui donne un par unité, mais dix pour B, qui trouve ses points entre un et six. Ils choisissent maintenant une permission distincte : B prépare deux parts égales selon sa carte du reste, et A choisit. Cette permission remplace celle où A préparait les deux moitiés. Elle ne réattribue pas la part déjà reçue par C. Le minimum initial quatre pour chacun reste conservé dans cette nouvelle comparaison.
B avait préparé une limite à trois, en expliquant qu’il s’agissait de la moitié des six unités qui portaient ses points dans l’objet entier. Nora retire cette préparation : le début zéro à un est déjà chez C. Entre un et trois, B ne trouverait que quatre ; entre trois et douze, il trouverait six. Il doit partager les dix du reste, pas les douze de l’objet initial. B corrige donc sa limite à trois et demi : un à trois et demi contient deux unités et demie valorisées à deux, soit cinq. Trois et demi à douze contient également cinq sur sa carte.
A choisit trois et demi à douze, qui vaut huit et demi sur sa carte uniforme, tandis que l’autre part vaut deux et demi. B reçoit un à trois et demi et garde cinq. Nora effectue les deux remises et conserve C avec zéro à un, quatre sur sa carte. L’état ne reprend donc pas les dix de B et les cinq et demi d’A de l’autre rôle de préparation. Les nouvelles parts viennent d’un autre choix expressément autorisé, avec B égalisant ses deux côtés et A retenant celui qu’elle évalue davantage. Aucun des deux nombres reçus dans l’autre branche ne s’ajoute à ceux-ci.
L’hôte compare ces deux états avant de choisir lequel raconter. Dans la première permission, A préparait et B choisissait : A recevait cinq et demi, B dix. Dans la seconde, B prépare et A choisit : A reçoit huit et demi, B cinq. Il choisit de conserver la seconde comme état actif pour la suite. Nora remplace donc les destinataires et les extrémités sur cette feuille, puis garde la première dans la comparaison des propositions. Les mêmes cartes du reste ont donné deux répartitions remplies ; le changement de rôle a modifié les actions accessibles et les parts obtenues, sans corriger artificiellement les points des personnes.
Une demande après les remises n’agit pas avant elles
La suite active donne déjà zéro à un à C, un à trois et demi à B et trois et demi à douze à A. B possède cinq points et A huit et demi. Une réponse nouvelle demande que B obtienne au moins six points, en maintenant quatre pour les deux autres personnes. Cette demande arrive après le choix et les remises, sans autorisation de recommencer la division entière. Nous conservons donc d’abord les parts reçues, plutôt que de déplacer leur limite dans le récit pour faire croire que la nouvelle demande y était déjà satisfaite.
Nora refuse sa première correction qui remplaçait simplement trois et demi par quatre dans la fiche de B. Le morceau trois et demi à quatre appartient déjà à A. Le déplacer dans une ligne ne le remet pas à B dans la scène. Nora garde cinq sur sa part présente et demande à A un transfert supplémentaire précis. La demande nomme le morceau et sa nouvelle destination, sans toucher à celui de C. B reçoit la proposition comme une suite encore à accomplir, et pas comme la révélation d’une valeur six que son premier choix aurait conservée depuis le début.
A accepte de remettre trois et demi à quatre à B. Le transfert est effectué. Ce demi vaut un pour B, dont les deux points par unité s’appliquent encore ici, et un demi pour A. B reçoit désormais un à quatre, six sur sa carte. A garde quatre à douze, huit sur la sienne ; C demeure à quatre dans zéro à un. Nora transmet donc les trois nombres quatre, six et huit avec les parts actuelles. La demande nouvelle est remplie par un acte nouveau. Les cinq et huit et demi restent associés aux remises précédentes, qui avaient réellement eu lieu avant ce transfert.
Nora ne décrit pas la nouvelle limite quatre comme celle que B avait utilisée pour égaliser les deux moitiés du reste. À cette limite, un à quatre lui aurait valu six et quatre à douze quatre : les deux moitiés n’auraient pas été égales sur sa carte. L’hôte accepte de présenter la fin comme une division suivie d’un transfert accepté. Il retire la légende qui attribuait six au seul choix de B dans les moitiés égales. Le résultat actuel conserve cette histoire différente, au lieu de réviser le protocole antérieur pour lui donner une garantie qu’il n’avait pas fournie.
Un retrait avant attribution peut changer la demande sur la part proposée
Une branche indépendante revient au début avec A uniforme, B donnant deux par unité de zéro à six et C uniforme. A propose zéro à quatre ; B réduit à zéro à deux. Avant que C inspecte et avant toute attribution de cette proposition, C retire sa participation. A et B restent donc seuls, mais leur part temporaire zéro à deux existe encore. Ils choisissent une demande nouvelle : chacun doit recevoir au moins la moitié des douze points de sa carte initiale, soit six. C ne reçoit aucune part dans cette branche de retrait préalable.
Nora refuse d’attribuer immédiatement zéro à deux à B sous le nouveau titre « moitié pour chacun ». Cette part lui vaut quatre, ce qui atteignait son tiers dans le projet à trois, mais pas sa moitié dans le projet à deux. A pourrait conserver dix en recevant deux à douze ; cela ne corrigerait pas les deux points manquants pour B. Nora maintient donc la proposition sans attribution et présente précisément le changement de demande. La disparition d’une personne de la liste n’a pas allongé matériellement le segment déjà préparé pour une autre, ni changé ses points.
La permission initiale permettait aux inspections successives de réduire la proposition, mais pas de l’agrandir. Déplacer sa fin de deux à trois ne serait pas une réduction supplémentaire. Nora demande donc une autorisation distincte avant attribution. A et B acceptent d’agrandir la part temporaire à zéro à trois pour cette nouvelle division à deux. B la reçoit : ses trois unités valorisées à deux donnent six. A reçoit trois à douze, neuf sur sa carte uniforme. Nora effectue les deux remises et conserve C comme personne retirée avant toute part, sans lui transférer zéro à un de la branche où elle avait participé.
Nora transmet la fin trois avec la réponse autorisant l’agrandissement. Elle ne la présente pas comme le résultat d’une dernière réduction par C. C n’a pas inspecté dans cette branche et n’y a posé aucune extrémité. B avait réduit à deux sous le projet à trois ; le nouveau projet à deux a reçu un acte différent après son retrait. Les six de B et les neuf d’A sont ainsi liés aux nouvelles remises effectuées, tandis que la préparation à trois conserve sa propre part temporaire et ses inspections dans les autres scènes. La demande changée n’a pas effacé l’étape déjà accomplie.
Raccourcir une part sans en réduire les points demande une autre permission
Une branche indépendante garde A et C uniformes, mais change la carte de B : deux points par unité de zéro à deux, zéro entre deux et six, deux par unité de six à dix, puis zéro. Son total vaut douze. A propose zéro à quatre. Cette part vaut quatre pour B : le morceau deux à quatre ne lui ajoute aucun point. La règle initiale exige de réduire seulement quand la part dépasse quatre sur la carte de la personne qui inspecte ; dans le cas contraire, elle doit la laisser.
B propose de ramener la fin à deux, puis de recevoir la part comme dernière personne ayant réduit. Nora refuse ce projet sous la permission présente. Il ne répond pas au cas où B devait ramener plus de quatre à quatre : B avait déjà exactement quatre dans la proposition reçue. B laisse donc zéro à quatre intacte. C l’inspecte, y trouve également quatre et la laisse. Nora attribue zéro à quatre à A, conformément au cas sans réduction. Le désir de retirer un morceau sans points pour B ne lui a pas donné, à lui seul, le pouvoir de devenir destinataire de la proposition.
B et C partagent le reste quatre à douze selon la permission où B prépare deux parts égales sur sa carte. Ce reste lui vaut huit, tous situés entre six et dix. Il place donc la limite à huit : quatre à huit et huit à douze valent chacune quatre pour lui. C voit quatre unités dans chaque part et, selon une convention de cette scène annoncée avant son choix, retient celle de gauche en cas d’égalité. C reçoit quatre à huit, B huit à douze, A garde zéro à quatre. Nora effectue les remises et inscrit quatre pour chacun sur sa carte, sans attribuer à B le début zéro à deux qu’il n’avait pas été autorisé à réclamer.
Une autre réalisation reçoit expressément une permission différente avant l’inspection : B peut raccourcir une part valant exactement quatre en conservant ces quatre points, et cet acte lui donne alors le statut de dernière personne ayant réduit. B ramène effectivement la fin de quatre à deux. C voit deux dans cette nouvelle part et ne la réduit pas ; B reçoit zéro à deux, quatre sur sa carte. A et C divisent le reste deux à douze à sept, chacun obtenant cinq. Nora accomplit ces nouvelles remises. B conserve le même nombre quatre que dans l’autre réalisation, mais reçoit un autre segment ; A et C reçoivent cinq au lieu de quatre, sous une permission et une suite effectivement changées.
Nos parts de papier gardent donc leurs personnes, leurs extrémités et leurs moments. Une inspection, une réduction, une attribution, un partage du reste et un transfert ultérieur sont des actes distincts. Les cartes donnent leurs conséquences dans notre seul objet représenté ; elles ne certifient aucun partage réel. Le relevé permet de retrouver la part effectivement remise et la règle sous laquelle chaque personne l’a reçue, sans fabriquer une attribution ancienne pour expliquer une fin obtenue plus tard.