Des miroirs pour une page privée : choisir où le dessin arrive

Images, objets et documents · 16 min de lecture

Nora prépare une page de livre privé avec trois points nommés O, A et B. Camille doit transformer ensemble leurs positions, sans échanger leurs noms. Le dessin est entièrement créé pour cet exercice : O vaut (0,0), A vaut (2,0), B vaut (0,1). Les coordonnées appartiennent à un plan abstrait, sans unité matérielle. Nora demande plusieurs remises distinctes. Elle voudrait d'abord déplacer la figure vers la droite, puis composer une autre version où un repère demeure immobile. Un retournement ne répondra pas forcément aux deux commandes.

Une notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.

Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.

Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.

Ces notices ont été lues pour leurs catégories. Aucune image ni méthode artistique n'est reprise ; nos points et transformations sont stipulés ici.

Une réflexion autour d'une droite conserve chaque point de cette droite et place les autres de l'autre côté, à la même distance perpendiculaire. Dans notre plan, le miroir vertical V0, d'axe x égal à zéro, donne (−x,y). Le miroir V2, d'axe x égal à deux, donne (4−x,y). Un troisième miroir H0, horizontal, donne (x,−y), et celui de la diagonale y égal à x, nommé D, donne (y,x). Ces expressions fixent les gestes autorisés ; Camille les applique aux coordonnées des points nommés.

Deux miroirs parallèles conduisent à une translation précise

Camille commence par V0. O reste (0,0), A devient (−2,0) et B reste (0,1). Elle applique ensuite V2 à ce résultat : O devient (4,0), A devient (6,0), B devient (4,1). Nora avait demandé que O arrive à (4,0), avec A deux positions plus à droite et B une position au-dessus de O. Cette succession répond aux trois destinations. Camille remet les deux listes intermédiaires et la liste finale, afin que la demande ne repose pas seulement sur l'arrivée de O. Les points de l'axe du premier miroir ont bien bougé au second geste.

Pour un point quelconque (x,y), le premier geste donne (−x,y), puis le second (4+x,y). Camille obtient donc une translation de quatre vers la droite. Les deux réflexions n'ont pas fait un simple retour au dessin initial : leurs axes sont distincts. Nora avait proposé de supprimer leurs noms et d'écrire seulement « deux miroirs ». Camille conserve V0 puis V2 dans la commande, car le quatre vient de l'écart entre les deux axes. Refaire deux fois V0 donnerait au contraire (x,y). Ce dernier résultat appartient à une autre succession, que la liste remise n'utilise pas.

Nora inverse pourtant l'ordre sur une seconde feuille. V2 donne d'abord à O, A, B les positions (4,0), (2,0), (4,1). V0 les envoie ensuite en (−4,0), (−2,0), (−4,1). La figure arrive à gauche du départ, alors que la première commande demandait la droite. Camille refuse cette seconde feuille pour cette commande et la conserve comme essai distinct. Pour tout point, le calcul devient (4−x,y), puis (x−4,y). Le même écart entre les axes a donc produit un déplacement de même grandeur et de sens contraire. Les deux étapes ne peuvent être permutées dans la liste destinée à Nora.

Un autre souhait arrive avec la première feuille : Nora voudrait garder un petit repère à sa place pendant toute la transformation finale. Camille pose l'équation d'un point final immobile : il faudrait que x+4 soit égal à x et que y reste égal à y. La première égalité est impossible. Elle ne place donc pas ce repère sur l'axe V0 en espérant qu'il échappe au déplacement : un point de cet axe ne reste immobile qu'au premier geste. Nora retire ce souhait de la commande de translation et le réserve à une nouvelle version. La correction porte sur une condition incompatible avec la transformation entière, plutôt que sur le choix d'un repère plus commode.

Des axes qui se croisent changent la destination autrement

Pour la version suivante, Nora exige O en (0,0), A en (0,2), B en (−1,0). Camille applique H0 au triangle initial : les positions sont (0,0), (2,0), (0,−1). D échange ensuite les coordonnées et fournit (0,0), (0,2), (−1,0). O est cette fois un point fixe de la transformation entière, pas seulement d'une étape. Camille calcule aussi l'expression générale : après H0, un point vaut (x,−y) ; après D, il vaut (−y,x). Elle identifie cette expression comme un quart de tour autour de O dans le sens qui mène A vers le haut.

Nora réutilise l'idée d'inverser l'ordre, sans changer les trois destinations exigées. D transforme d'abord les points en (0,0), (0,2), (1,0), puis H0 donne (0,0), (0,−2), (1,0). O satisfait encore la demande, mais A et B la manquent tous deux. Camille refuse cette feuille. Son expression générale est (y,−x), quart de tour dans l'autre sens. Le contrôle du seul repère central aurait laissé passer les deux propositions. Nora garde donc les destinations des deux autres noms dans la commande, même si le mot « autour de O » semble déjà situer le mouvement.

Camille vérifie ensuite ce que ces deux réflexions ont fait à l'orientation du triangle nommé. Elle soustrait les coordonnées de O de celles de A et B, puis calcule le déterminant des deux vecteurs dans cet ordre. Au départ, il vaut 2×1−0×0, soit deux. Après H0 seul, les vecteurs (2,0) et (0,−1) donnent moins deux. Après D appliqué à cette première feuille, les vecteurs (0,2) et (−1,0) donnent de nouveau deux. Les deux gestes ont conservé l'orientation finale, malgré l'inversion créée par chacun. Nora ne remplace donc pas leur succession par un seul miroir sous prétexte que le mot retournement lui semblerait suffisant.

La longueur des trois côtés ne départage pourtant pas ces propositions. OA reste de longueur deux, OB de longueur un, et le carré de la longueur AB reste cinq. Camille vérifie les mêmes valeurs sur le triangle obtenu par D seul : O vaut (0,0), A vaut (0,2), B vaut (1,0). Ce dessin possède les mêmes longueurs que le quart de tour retenu, mais son B est à droite plutôt qu'à gauche et son déterminant vaut moins deux. Nora rejette cette substitution pour sa page nommée. Le contrôle des longueurs a bien confirmé une figure congruente ; il n'a pas confirmé les trois destinations ni leur orientation demandée.

Garder un repère décentré impose un autre centre

Nora prépare ensuite une page où le repère C, donné en (0,1), doit rester immobile. Elle souhaite placer O en (0,2), A en (−2,2) et B en (0,1). Camille conserve V0 comme premier miroir, mais choisit pour le second la droite horizontale y égal à un. Ce miroir H1 donne (x,2−y). Après V0 puis H1, les trois points arrivent exactement aux destinations demandées. Le repère C est également B dans cette figure ; Camille conserve cette coïncidence donnée, sans créer un quatrième emplacement pour rendre les noms artificiellement différents.

L'expression composée vaut (−x,2−y). Pour retrouver un point à sa propre place, Camille résout x égal à −x, puis y égal à 2−y. Elle obtient uniquement (0,1). Le mouvement entier est donc un demi-tour autour de C. Les deux axes ont une intersection commune et la composition garde précisément ce point. Nora vérifie aussi les vecteurs depuis C : O se situe d'abord une position en dessous et arrive une position au-dessus ; A, situé deux à droite et une en dessous, arrive deux à gauche et une au-dessus. Ce sont des oppositions complètes autour de C, plutôt qu'une translation réglée pour arrêter seulement O.

Camille avait essayé auparavant le demi-tour autour de l'origine, de formule (−x,−y). Il envoyait B en (0,−1) et manquait le repère imposé. Pour changer le centre, elle ne modifie pas seulement le titre placé au-dessus du dessin : elle applique d'abord la soustraction de C, inverse les deux coordonnées relatives, puis ajoute C. Un point (x,y) devient ainsi (x,y−1), puis (−x,1−y), puis (−x,2−y). Nora choisit cette composition et remet réellement la figure autour du centre décentré. La place finale de B sert de contrôle ; elle ne résulte plus d'une promesse de conserver un repère qu'aucun calcul n'aurait situé.

Sur cette page, inverser V0 et H1 ne change pas le résultat : H1 donne d'abord (x,2−y), puis V0 donne (−x,2−y). Nora conserve cette égalité dans sa fiche de contrôle. Elle ne l'étend pas à V0 et V2, dont les deux ordres avaient donné des translations opposées. Les données présentes expliquent l'accord : V0 agit sur la première coordonnée, H1 sur la seconde. Camille remet une liste précise de gestes avec sa vérification, plutôt qu'une règle disant que deux miroirs se permutent toujours ou jamais. Le choix de ce centre est ainsi accompagné d'un calcul qui reste valable pour tous les points de la page.

Nora demande une étape intermédiaire avant le demi-tour autour de C. Elle souhaite deux étapes identiques qui conservent la figure et qui, ensemble, donnent le mouvement déjà retenu. Camille essaie d'abord de prendre pour chaque point la moyenne de son départ et de son arrivée finale. O, entre (0,0) et (0,2), donne (0,1). A, entre (2,0) et (−2,2), donne également (0,1). B était déjà là et y reste. Toute la figure s'effondre donc en C. Les longueurs OA et OB deviennent zéro ; aucun second mouvement appliqué à ce seul point ne peut recréer trois noms en trois places distinctes. Nora refuse ce dessin comme première étape. Le milieu de chaque segment de déplacement ne constitue pas ici la moitié d'une rotation conservant la figure.

Camille choisit alors un quart de tour autour de C, de formule Q(x,y) égale à (1−y,1+x). O arrive en (1,1), A en (1,3), B reste en (0,1). OA a encore une longueur de deux, OB une longueur de un, et le carré de la longueur AB vaut cinq. En appliquant exactement Q à cette première figure, Camille obtient O en (0,2), A en (−2,2), B en (0,1), les destinations du demi-tour. Pour un point quelconque, la seconde application donne (−x,2−y). Nora remet donc deux étapes identiques avec leurs deux listes effectives, plutôt qu'une seule liste de moyennes. Le centre fixe a permis les deux constructions, mais la conservation des distances et la seconde application départagent celle qui répond à sa demande de celle qui détruit la figure avant son arrivée.

Un glissement réfléchi n'a pas de point fixe

Une quatrième commande demande O en (2,0), A en (4,0) et B en (2,−1). Camille constate d'abord qu'une translation de deux vers la droite manquerait B : elle donnerait (2,1). H0 seul inverserait bien la hauteur de B, mais laisserait O et A en (0,0) et (2,0). Nora avait retenu séparément l'arrivée de B et celles de O et A depuis ces deux essais ; Camille refuse de les réunir dans une seule liste comme s'ils venaient d'un même mouvement exécuté. Elle compose effectivement H0, puis la translation horizontale de deux. Tous les points sont soumis à ces deux gestes et les trois destinations concordent.

Cette transformation G s'écrit (x+2,−y). Nora voudrait la présenter comme un miroir dont elle pourrait dessiner l'axe sur la page. Camille cherche plutôt ses points fixes. La première coordonnée exigerait x+2 égal à x ; cette égalité est impossible, quelle que soit la valeur de y. Il n'existe donc aucun point immobile pour G et aucun axe constitué de points fixes. Camille nomme la succession un glissement réfléchi : elle combine la réflexion donnée avec un déplacement parallèle à son axe. La présence d'une inversion de hauteur ne transforme pas toute la succession en un seul miroir. Nora retire l'axe fictif de la légende et conserve les deux opérations écrites.

Camille applique G une seconde fois à la figure obtenue. O passe de (2,0) à (4,0), A de (4,0) à (6,0), B de (2,−1) à (4,1). Pour un point quelconque, le calcul est (x+2,−y), puis (x+4,y). Le second passage n'annule pas le premier : la hauteur est restaurée, mais la première coordonnée a encore avancé. Nora avait proposé de revenir au triangle initial en répétant exactement la commande. Elle refuse désormais cette procédure de retour, puis donne une instruction différente à Camille : retrouver chaque point original par l'opération inverse, sans effacer les destinations de l'aller.

Camille prend pour ce retour un point final (u,v) et lui applique (u−2,−v). Depuis les trois positions données, elle retrouve (0,0), (2,0), (0,1). Elle vérifie la composition entière : partant de (x,y), G donne (x+2,−y), puis le retour donne (x, y). Le retour ne change pas seulement le sens d'un nom dans la légende ; il soustrait le déplacement que l'aller ajoutait. Nora conserve ainsi deux commandes distinctes, celle qui produit la page demandée et celle qui reconstitue ses coordonnées de départ. Son premier essai répétait le mauvais glissement et arrivait quatre à droite ; le nouvel essai rend effectivement la figure initiale.

Deux destinations ne déterminent pas la troisième

Pour simplifier un dernier contrôle, Nora propose de ne conserver que les arrivées de O et A. Camille compare alors deux transformations qui les laissent tous deux à leur place : l'identité et H0. La première garde B en (0,1), la seconde le met en (0,−1). O et A appartiennent à l'axe horizontal du miroir ; leurs deux accords ne permettent donc pas de savoir quelle feuille Camille a livrée. Nora garde le troisième point dans le contrôle final. Elle ne le remplace pas par la longueur AB, qui vaut encore racine de cinq dans les deux versions, et remet les coordonnées nommées de B pour distinguer les deux résultats.

Camille examine toutefois une autre possibilité de simplification dans une famille expressément fixée. Une transformation affine de ce plan possède six coefficients : la première coordonnée vaut ax+by+c, la seconde dx+ey+f. Pour la déterminer sur tout le plan, elle utilise les trois points non alignés O, A, B. L'arrivée de O donne c et f. L'arrivée de A, après retrait de celles de O, donne deux a et deux d. Celle de B donne b et e après le même retrait. Les six coefficients sont ainsi fixés par les trois destinations. Nora autorise ce certificat pour une formule affine annoncée, sans prétendre qu'un contrôle de trois points suffirait pour toute règle imaginable.

Sur la commande du glissement réfléchi, les trois destinations sont (2,0), (4,0), (2,−1). Camille obtient c égal à deux, f égal à zéro ; la différence A−O donne (2,0), donc a égal à un et d égal à zéro ; B−O donne (0,−1), donc b égal à zéro et e égal à moins un. La formule reconstruite est précisément (x+2,−y). Nora accepte alors les trois contrôles accompagnés de la déclaration affine. Elle peut confronter cette formule à G sans énumérer chaque point du plan. Le troisième point n'est plus seulement un exemple supplémentaire qui rassure : il détermine une direction indépendante que les deux premiers ne renseignaient pas.

Une proposition différente conserve ces trois arrivées en ajoutant xy à la première coordonnée : elle vaut (x+2+xy,−y). Le terme ajouté est nul en O, A et B, mais en (1,1) il vaut un. La formule donne alors (4,−1), tandis que G donne (3,−1). Camille rejette cette proposition pour la commande affine et conserve son essai avec le point où l'écart apparaît. Nora ne sauve pas le certificat en choisissant seulement trois nouveaux points qui lui conviendraient mieux : elle garde la famille fixée et refuse le terme qui en sort. La preuve limitée aux transformations affines lui permettait de déterminer six coefficients ; elle ne contrôlait pas un produit de coordonnées ajouté après cette détermination.

Nora remet finalement des pages séparées : la translation vers la droite, le quart de tour dans le sens retenu, le demi-tour autour de C et le glissement réfléchi. Chaque page donne les destinations des trois noms et la formule qui les produit. Le repère immobile appartient seulement aux commandes qui en possèdent un ; la commande inverse accompagne le glissement quand un retour est demandé. Les essais rejetés restent attachés à leur écart précis : ordre inversé, troisième destination manquée, centre erroné ou terme non affine. Aucun nouveau triangle n'est compté pour adoucir ces refus. Camille conserve le dessin stipulé et change ce qu'elle exécute pour répondre à chacune des demandes.