Pour une page de son livre privé, Jeanne compose un déplacement aléatoire entre trois lettres A, B et C. Elle voudrait conserver une répartition donnée, mais les propositions de déplacement ne sont pas aussi fréquentes dans les deux sens. Camille prépare une règle qui accepte parfois le changement et refuse parfois de quitter la lettre présente. Elles doivent donc comparer les propositions, les passages effectivement acceptés et les étapes où rien ne change. Tout est créé pour cette feuille. Aucun tirage réel, outil de simulation, comportement d'invité ou procédé de fabrication n'est présenté comme ayant été observé.
La notice 351004 du Met classe l'objet parmi les livres.
La notice 351005 du Met indique également cette catégorie.
La notice 351006 du Met indique aussi un livre.
Ces notices attestent des catégories seulement. Lettres, propositions et fractions sont créées ; aucun procédé des ouvrages n'est appliqué.
La répartition demandée attribue une moitié à A, un tiers à B et un sixième à C. Ces trois nombres totalisent un. Jeanne les nomme les poids cibles. Elle veut une règle telle que, si la lettre présente possède déjà cette répartition, la lettre après une étape possède encore ces mêmes poids. Une étape inclut une proposition et son acceptation ou son refus. En cas de refus, la lettre reste celle du début de l'étape ; l'étape n'est pas supprimée du relevé. Cette demande de conservation ne promet pas que chaque suite particulière aurait exactement ces proportions après un nombre fixé d'étapes.
Une règle d'acceptation dépend aussi de ce qui est proposé
Camille commence par une proposition symétrique : depuis chaque lettre, chacune des deux autres est proposée avec probabilité une moitié. Pour une proposition de i vers j, elle accepte avec le plus petit de un et du poids cible de j divisé par celui de i. Depuis A, B est donc accepté avec deux tiers et C avec un tiers ; depuis B, A l'est toujours et C avec une moitié ; depuis C, les deux propositions sont toujours acceptées. La règle du refus conserve la lettre initiale. Jeanne peut calculer les passages, et pas seulement les nombres inscrits auprès de l'acceptation.
Le passage A vers B vaut une moitié fois deux tiers, donc un tiers. Depuis la répartition cible, son poids vaut une moitié fois un tiers, soit un sixième. Dans le sens B vers A, la proposition une moitié est toujours acceptée ; le poids vaut un tiers fois une moitié, encore un sixième. De même, les passages entre A et C portent chacun un douzième, et ceux entre B et C un douzième. Jeanne peut ainsi associer chaque perte d'une lettre à une arrivée de même poids depuis sa voisine. Les refus complètent chaque ligne à un, sans fournir une destination nouvelle à la masse conservée.
Camille change ensuite la proposition. Depuis A, elle propose B avec trois quarts et C avec un quart. Depuis B, elle propose A avec un quart et C avec trois quarts. Depuis C, elle propose A avec trois quarts et B avec un quart. Chaque ligne contient toujours deux destinations, mais leur sens inverse n'a pas le même poids : A propose B trois fois plus souvent que B ne propose A. Jeanne conserve cette différence dans le nouveau dossier. Elle ne présente pas les trois lignes comme l'ancienne proposition une moitié pour chaque voisine, même si toutes les destinations restent accessibles.
Camille garde pourtant la première règle d'acceptation, fondée seulement sur les poids cibles. Depuis A, les passages acceptés donnent B avec une moitié et C avec un douzième ; le refus laisse A avec cinq douzièmes. Depuis B, ils donnent A avec un quart, C avec trois huitièmes et le maintien B avec trois huitièmes. Depuis C, A garde trois quarts et B un quart, sans maintien. Jeanne écrit ces trois lignes entières avant d'évaluer la conservation. Le fait que chaque acceptation soit une fraction comprise entre zéro et un ne lui donne pas encore la répartition cible après une étape.
Elle applique cette table à une lettre initiale déjà répartie selon les poids cibles. L'arrivée sur A reçoit une moitié de cinq douzièmes, un tiers d'un quart et un sixième de trois quarts. La somme vaut cinq douzièmes, pas une moitié. L'arrivée sur B reçoit une moitié d'une moitié, un tiers de trois huitièmes et un sixième d'un quart : cinq douzièmes également, pas un tiers. C conserve ici un sixième. Camille retire donc cette table de la remise qui devait conserver la cible. Le défaut existe dès une seule étape partie de la cible ; elles n'ont pas besoin de simuler une longue suite ou de choisir une fluctuation défavorable pour le montrer.
Equilibrer les passages dans leurs deux sens
Jeanne reprend la paire A et B pour trouver ce qui manque. Sous la proposition nouvelle, le poids d'une proposition A vers B, avant acceptation, vaut une moitié fois trois quarts, soit trois huitièmes. Dans le sens B vers A, il vaut un tiers fois un quart, soit un douzième. Si tout le sens peu fréquent est accepté, le sens fréquent doit être réduit pour donner lui aussi un douzième. L'acceptation A vers B vaut donc un douzième divisé par trois huitièmes, soit deux neuvièmes. Le passage A vers B devient trois quarts fois deux neuvièmes, un sixième. Le passage inverse reste un quart. Multipliés par leurs poids cibles, ils donnent maintenant le même un douzième.
La règle correspondante utilise les deux propositions de sens opposés : poids cible d'arrivée fois proposition inverse, divisé par poids cible de départ fois proposition directe, puis limité à un. Pour A vers C, les deux poids proposés valent un huitième ; l'acceptation peut rester entière dans chaque sens. Les passages deviennent un quart et trois quarts, chacun portant un huitième sous la cible. Pour B vers C, le poids proposé direct vaut un quart et l'inverse un vingt-quatrième. L'acceptation directe vaut un sixième ; celle du retour reste entière. Les passages deviennent un huitième et un quart, portant chacun un vingt-quatrième. Jeanne conserve ces trois comparaisons de flux auprès de la règle corrigée.
Camille complète alors les refus. Depuis A, les deux passages sont un sixième et un quart ; leur somme vaut cinq douzièmes, laissant sept douzièmes en A. Depuis B, un quart et un huitième laissent cinq huitièmes en B. Depuis C, trois quarts et un quart totalisent un, donc aucun maintien ne reste. Les refus sont différents selon la lettre présente. Jeanne refuse de leur donner à tous la même moitié parce que cette fraction figurait dans la première proposition symétrique. La table corrigée appartient aux propositions nouvelles et à leurs acceptations effectivement calculées.
Elle vérifie la colonne A de cette table sous la cible. Le maintien reçoit sept vingt-quatrièmes ; l'arrivée depuis B un douzième ; celle depuis C un huitième. La somme vaut douze vingt-quatrièmes, soit une moitié. La colonne B reçoit un douzième, cinq vingt-quatrièmes et un vingt-quatrième : huit vingt-quatrièmes, un tiers. La colonne C reçoit un huitième et un vingt-quatrième : quatre vingt-quatrièmes, un sixième. Camille peut maintenant remettre cette table avec la cible annoncée. Les trois lignes totalisant un et les trois colonnes pondérées donnant la cible sont deux contrôles distincts, tous deux remplis.
Jeanne peut expliquer ce résultat sans demander de recommencer ces sommes à chaque nouvelle cible. Pour une lettre i, le poids perdu vers une voisine j est égal au poids reçu depuis j lorsque la paire est équilibrée. En additionnant ces égalités sur les voisines, le poids total perdu est compensé par le total arrivé. Le maintien garde le reste du poids initial en i. Cette preuve porte sur les flux construits, et ne transforme pas une proposition asymétrique en proposition symétrique. Les passages A vers B et B vers A restent un sixième et un quart : ce sont leurs poids une moitié et un tiers qui rendent les flux égaux.
Conserver la cible ne décrit pas chaque départ
Jeanne part ensuite d'une lettre C effectivement connue, sous la table corrigée. Après une seule étape, A possède trois quarts et B un quart, tandis que C possède zéro. Ce n'est pas la cible une moitié, un tiers, un sixième. Camille retire la phrase qui promettait cette cible après toute première étape, quelle que soit la lettre choisie. La conservation vérifiée commençait avec une lettre déjà répartie selon la cible ; elle n'annonçait pas que tout départ serait remplacé immédiatement par cette répartition. Jeanne garde le départ C auprès de sa ligne, sans le mélanger au contrôle des colonnes pondérées par la cible.
Une autre proposition ne permet qu'un sens circulaire : A propose B, B propose C et C propose A, chacun avec certitude. Aucun sens inverse n'est proposé. Jeanne conserve les poids cibles positifs et applique expressément la règle d'équilibrage des deux propositions. Pour A vers B, la proposition inverse B vers A vaut zéro, donc l'acceptation directe vaut zéro ; il en va de même pour B vers C et C vers A. Toutes les étapes restent sur leur lettre initiale. La table est l'identité. Jeanne ne prétend pas que le retour indirect B-C-A remplacerait la proposition inverse absente dans le rapport de cette règle : celui-ci concerne une proposition directe, pas une suite future de propositions.
L'identité conserve pourtant la cible, comme elle conserve toute autre répartition initiale. Depuis un C connu, elle reste toujours en C. Camille refuse donc cette proposition pour sa demande supplémentaire de quitter effectivement le départ par des passages acceptés. Une règle peut répondre à la conservation de la cible tout en ne réalisant aucun changement. Jeanne rétablit la proposition asymétrique à deux destinations et la table corrigée pour cette remise, où les passages calculés sont positifs. Elle ne donne pas le défaut de la proposition circulaire à toutes les règles asymétriques : les trois flux de son autre construction montrent précisément que celle-ci ne reste pas bloquée.
Effacer les étapes refusées change le relevé
Maud, nouvelle lectrice de la fiche, veut noter seulement les changements de lettre. Elle retire les étapes où A, B ou C restent sur place. Jeanne calcule la table de ce relevé avant de lui transmettre la cible. Depuis A, la chance de quitter la lettre à une étape vaut cinq douzièmes ; parmi les départs effectivement acceptés, B représente donc un sixième divisé par cinq douzièmes, deux cinquièmes, et C trois cinquièmes. Depuis B, la chance de départ vaut trois huitièmes ; A représente deux tiers des départs et C un tiers. Depuis C, chaque étape quitte déjà la lettre : A et B restent à trois quarts et un quart. Les trois lignes sans maintien ne sont donc pas les lignes de la table initiale laissées simplement plus courtes.
Maud annonce néanmoins une moitié de A dans son relevé, parce que ce poids était conservé aux étapes ordinaires. Jeanne lui présente une autre répartition : cinq douzièmes pour A, un quart pour B et un tiers pour C. Elle la fait passer par la table des changements. La colonne A reçoit un quart de deux tiers, puis un tiers de trois quarts : un sixième plus un quart, cinq douzièmes. B reçoit cinq douzièmes de deux cinquièmes, puis un tiers d'un quart : un sixième plus un douzième, un quart. C reçoit cinq douzièmes de trois cinquièmes, puis un quart d'un tiers : un quart plus un douzième, un tiers. Cette nouvelle répartition est conservée aux instants de changement, tandis que la cible initiale ne l'est pas.
Jeanne relie les deux comptages. Sous la cible aux étapes ordinaires, les départs de A portent une moitié fois cinq douzièmes, soit cinq vingt-quatrièmes. Ceux de B portent un tiers fois trois huitièmes, un huitième ; ceux de C un sixième fois un, un sixième. Le total des départs vaut une moitié. En rapportant chacun à ce total, on obtient cinq douzièmes, un quart et un tiers, précisément les poids du relevé sans refus. Une lettre où l'on reste plus longtemps fournit moins de départs par étape de présence. Maud conserve les refus dans le relevé destiné à montrer la cible initiale, ou transmet la nouvelle répartition si elle veut vraiment ne garder que les changements.
Redonner aux changements le poids des séjours
Pour comparer le relevé réduit à celui des étapes, Jeanne affecte à chaque passage une durée moyenne créée par la règle. En A, la chance de quitter vaut cinq douzièmes à chaque nouvelle étape sous la même condition ; l'attente moyenne avant départ vaut donc douze cinquièmes. En B, elle vaut huit tiers ; en C, un. Maud multiplie les poids du relevé des changements par ces trois valeurs. Cinq douzièmes fois douze cinquièmes donne un ; un quart fois huit tiers donne deux tiers ; un tiers fois un reste un tiers. La somme vaut deux. En divisant chacun par deux, elle retrouve une moitié, un tiers et un sixième.
Cette correction ne réinscrit pas un nombre de refus réellement observés entre deux changements particuliers. Les séjours moyens ne disent pas que chaque visite en A aurait duré exactement douze cinquièmes d'étape. Jeanne les conserve comme pondérations calculées pour retrouver la loi des étapes à partir de celle des changements. Maud retire une fiche qui ajoutait deux refus à chaque A parce que son attente moyenne dépassait deux. Ni ce nombre entier ni une attente garantie n'avait été donné. Le relevé réduit peut être comparé à la cible avec les pondérations exactes, sans devenir pour autant la trace d'une suite particulière où les étapes supprimées auraient toutes été retrouvées.
Ralentir partout ou seulement dans une lettre ne conserve pas la même cible
Camille propose maintenant, dans chaque lettre, une moitié de chance supplémentaire de ne même pas effectuer la proposition. Dans l'autre moitié, elle utilise la table corrigée telle quelle. Tous les passages vers une autre lettre sont donc divisés par deux ; les maintiens complètent encore chaque ligne à un. Les flux d'une paire restent égaux, car leurs deux sens ont été divisés par le même nombre. Jeanne garde la cible initiale. Aux instants de changement, les lignes sont également inchangées : chaque passage divisé par deux est rapporté à une chance totale de départ elle aussi divisée par deux. Les séjours moyens, eux, doublent. Maud peut donc avoir la même cible et la même table de changements avec une autre quantité d'étapes conservées.
Une autre commande ajoute cette chance de pause seulement en A. Les passages A vers B et C deviennent un douzième et un huitième, et le maintien A dix-neuf vingt-quatrièmes. Les lignes de B et C restent celles de la table corrigée. Les flux sous l'ancienne cible ne sont plus égaux : A vers B porte un vingt-quatrième, tandis que B vers A porte toujours un douzième. Jeanne ne conserve donc pas une moitié pour A. Elle prend deux tiers pour A, deux neuvièmes pour B et un neuvième pour C. Les flux A-B valent maintenant chacun un dix-huitième ; A-C chacun un douzième ; B-C chacun un trente-sixième. Cette répartition totalise un et reste conservée par la nouvelle table.
Maud retrouve pourtant la même table des changements après cette pause locale. Depuis A, les deux passages ont été divisés par deux et leur somme aussi : le partage deux cinquièmes et trois cinquièmes reste identique. Les autres lignes n'ont pas changé. Le relevé sans refus garde donc ses poids cinq douzièmes, un quart et un tiers, même si le relevé des étapes donne maintenant deux tiers à A. Jeanne joint le séjour moyen de A, devenu vingt-quatre cinquièmes, avec les anciens huit tiers et un. Les produits valent deux, deux tiers et un tiers, somme trois ; leur normalisation donne deux tiers, deux neuvièmes et un neuvième. Les changements seuls ne révèlent donc pas la pause locale ajoutée ; leurs séjours doivent accompagner la nouvelle cible.
Les notices de livres ne fournissent aucun poids cible, proposition ou règle d'acceptation. Leur catégorie reste leur seule contribution au cas créé.
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