Camille prépare une page abstraite de seize cases. Nora veut retrouver une case depuis deux indications, appartenant à deux alphabets distincts. Camille propose de répéter chaque alphabet une fois dans chaque ligne et dans chaque colonne. Nora lui demande de vérifier aussi les couples formés dans les cases. Leur page, ses indications et les demandes de lecture sont entièrement créées ; aucune archive ou édition familiale réelle n'est examinée.
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Ces notices identifient seulement une catégorie. Aucune composition ou méthode des œuvres ne fournit les alphabets, les grilles ni leurs règles de superposition.
Le premier alphabet porte les quatre noms A0, A1, A2, A3 ; le second B0, B1, B2, B3. Dans les calculs, nous écrivons seulement les deux indices : le couple (0,1) signifie A0 avec B1. Les rangées et colonnes sont numérotées de zéro à trois. Nous appelons grille latine une grille où chaque symbole apparaît une fois par rangée et par colonne. Deux grilles sont orthogonales lorsque leurs couples superposés apparaissent chacun une seule fois. Ces notions classiques ne sont pas des inventions de cet exercice.
Deux contrôles locaux n'empêchent pas la répétition des couples
Camille remplit un premier alphabet avec les rangées 0123, 1230, 2301 et 3012. Dans chaque rangée, les quatre indices sont présents. Les colonnes donnent les mêmes quatre suites dans un autre départ : elles contiennent également chaque indice une fois. Nora accepte cette première grille pour ses contrôles de ligne et de colonne. Camille lui superpose cependant une seconde grille portant exactement les mêmes indices dans les mêmes cases, en conservant les noms B pour ce deuxième alphabet.
Les seize cases ne portent alors que quatre couples distincts : (0,0), (1,1), (2,2), (3,3). Chacun se rencontre quatre fois. La ligne zéro possède bien les quatre couples différents, mais les autres lignes les répètent dans un autre ordre. Nora demande (0,0) et obtient les cases (0,0), (1,3), (2,2), (3,1). Les coordonnées d'une case et les indices de son couple sont donc deux listes différentes, malgré l'écriture commune par deux nombres. Camille ne peut pas répondre à la demande par une adresse unique en invoquant les huit contrôles de rangées et colonnes, tous déjà réussis.
Une permutation globale des noms B ne suffit pas à corriger cette préparation. Camille remplace partout B0 par B1, B1 par B2, B2 par B3 et B3 par B0. Les couples deviennent (0,1), (1,2), (2,3), (3,0), encore présents quatre fois chacun. Nora refuse cette réponse comme réparation de l'unicité. La permutation a changé le nom de la seconde indication reçue ; elle n'a pas séparé les quatre cases qui portaient auparavant le même couple. Camille garde la nouvelle grille comme une préparation différente, sans la déclarer complète pour seize couples.
Avec deux symboles, la permission demandée est impossible
Pour tester une petite version, Nora limite chaque alphabet aux indices zéro et un sur une grille de deux rangées et deux colonnes. Une première rangée 01 impose 10 au-dessous : chaque colonne doit contenir les deux indices. L'autre grille latine possible commence par 10 et se termine par 01. Il existe donc seulement ces deux grilles. Camille les superpose de toutes les façons permises. Deux grilles identiques donnent les couples (0,0) et (1,1), chacun deux fois ; deux différentes donnent (0,1) et (1,0), également deux fois.
Nora refuse donc une page de quatre couples uniques sous cette permission. Le problème ne vient pas d'un mauvais départ choisi parmi de nombreuses grilles encore inexplorées : les deux possibilités de chaque alphabet viennent d'être données et les quatre superpositions sont contrôlées. Camille pourrait abandonner la contrainte par colonne ou ajouter des symboles, mais ces actes créeraient une autre commande. Elle ne change pas les noms des cases pour transformer deux occurrences d'un couple en deux couples distincts. Les deux alphabets doivent eux-mêmes fournir les indications qu'un lecteur pourra recevoir.
Trois symboles permettent une construction remplie
Nora donne ensuite trois indices sur trois rangées et trois colonnes. Camille choisit pour A les rangées 012, 120 et 201 ; pour B, 021, 102 et 210. Chaque ligne et colonne de chaque grille possède bien les trois indices. Les couples de la première rangée sont (0,0), (1,2), (2,1). Ceux de la deuxième sont (1,1), (2,0), (0,2) ; ceux de la troisième (2,2), (0,1), (1,0). Les neuf couples possibles figurent donc chacun une fois. Nora reçoit une réalisation qui remplit l'exigence refusée dans la petite version, avec une taille et des alphabets expressément changés.
Camille peut retrouver une adresse sans chercher visuellement toutes les cases. Dans cette construction, A vaut r+c et B vaut r+2c, en conservant leurs restes modulo trois. Pour des indications a et b, elle trouve c=b−a et r=2a−b, toujours modulo trois. Nora demande le couple (0,1). Camille obtient c=1, r=2 et remet la case (2,1), dont les deux grilles donnent effectivement zéro et un. La deuxième formule utilise aussi le premier indice ; elle ne traite pas l'indication B comme si elle était déjà un numéro de colonne.
Cette résolution montre l'unicité de toutes les réponses dans la construction choisie. Les deux indications fixent une seule colonne, puis une seule rangée, parmi les trois restes autorisés. Camille ne doit pas conserver une réponse située à une rangée négative : moins un modulo trois devient deux. Nora garde les deux formules avec les listes des neuf couples. L'énumération vérifie la page entière ; les formules répondent ensuite à une demande particulière. Aucun de ces contrôles n'ajoute une dixième case à une grille qui en possède neuf.
Réutiliser la même recette avec quatre indices laisse des collisions
Camille veut maintenant revenir aux seize cases et essaie les expressions r+c pour A et r+3c pour B, modulo quatre. Chacune fournit une grille latine, puisque ajouter un à r ou parcourir les multiples de trois dans une rangée parcourt les quatre restes. Pourtant les couples ne sont pas uniques. Les cases (0,0) et (2,2) portent toutes deux (0,0) : pour A, deux plus deux vaut zéro modulo quatre ; pour B, deux plus six vaut également zéro. Nora refuse cette page, malgré deux contrôles latins corrects.
La collision se reproduit pour chaque case quand on ajoute deux à sa rangée et à sa colonne modulo quatre. A augmente alors de quatre et B de huit, sans changer leurs restes. Les seize cases se regroupent donc par deux sous les mêmes indications. Camille trouve huit couples distincts, pas seize. Nora demande (0,1) et reçoit une autre difficulté : ce couple n'apparaît pas du tout, car B−A vaut 2c et ne peut avoir le reste un. La fiche possède à la fois des demandes ambiguës et des demandes sans réponse ; elle n'est pas un simple catalogue complet avec une adresse doublée par erreur.
Camille voudrait seulement remplacer B par une autre grille latine tout en gardant A=r+c. Nora lui fait chercher un obstacle à cette permission précise. Si les seize couples étaient tous présents, les quatre cases où B vaut zéro devraient rencontrer les quatre indices A distincts. Ces cases occuperaient chacune une rangée et une colonne, parce que B est latine. La somme de leurs indices de rangée vaut six et celle de leurs colonnes également six. Dans A, la somme des quatre valeurs aurait donc le même reste que douze, soit zéro modulo quatre.
Or quatre indices A distincts seraient exactement zéro, un, deux et trois, de somme six et de reste deux modulo quatre. Les deux restes zéro et deux sont incompatibles. Nora peut donc refuser tout second alphabet latin orthogonal à cette première grille cyclique, sans accuser seulement le choix r+3c. Elle suspend la préparation qui devait garder A intacte. Le contrôle porte sur les quatre cases d'un symbole B, pas sur une préférence de disposition. Pour obtenir seize indications uniques sous les deux règles latines, elle doit autoriser aussi un changement de la première grille.
Une autre opération sur quatre indices donne une page complète
Nora autorise ce changement. Camille écrit chaque indice sur deux bits : zéro est 00, un 01, deux 10, trois 11. Elle utilise l'opération XOR, qui donne un bit un lorsque les deux bits rencontrés sont différents. Le premier indice de la case vaut désormais r XOR c. Les rangées d'A sont 0123, 1032, 2301 et 3210. Elles diffèrent de celles de la grille cyclique ; Nora garde les deux propositions séparées. XOR n'est pas ici un autre nom pour l'addition modulo quatre : un XOR un vaut zéro, tandis qu'un plus un modulo quatre vaut deux.
Pour B, Camille transforme d'abord les indices de colonne par la permutation T : zéro devient zéro, un devient deux, deux devient trois, trois devient un. Elle prend ensuite r XOR T(c). Les rangées de B sont 0231, 1320, 2013 et 3102. Chaque rangée est une permutation des quatre indices. Chaque colonne fixe T(c) et fait parcourir les quatre indices r, donc possède aussi les quatre résultats distincts. Nora vérifie ainsi les règles latines des deux nouvelles grilles avant de compter leurs couples ; l'opération binaire n'est pas acceptée sur la seule apparence de ses lignes.
La première rangée porte (0,0), (1,2), (2,3), (3,1). La deuxième porte (1,1), (0,3), (3,2), (2,0). La troisième porte (2,2), (3,0), (0,1), (1,3) et la quatrième (3,3), (2,1), (1,0), (0,2). Camille coche chacun des seize couples possibles dans une liste séparée. Aucun ne manque et aucun ne revient. Nora accepte cette page pour sa demande de seize indications uniques. La grille refusée n'est pas devenue valide par une nouvelle légende : ses cases ont été remplacées par deux constructions effectivement différentes.
Camille donne également une résolution directe. Avec a=r XOR c et b=r XOR T(c), l'indice a XOR b vaut c XOR T(c). Pour c égal à zéro, un, deux, trois, ces résultats sont respectivement zéro, trois, un, deux. Ils sont tous distincts. Les deux indications déterminent donc c, puis r=a XOR c. Nora demande (0,1) ; le résultat a XOR b vaut un, ce qui choisit c=2, puis r=2. Elle remet la case (2,2) et vérifie A0 avec B1 sur les deux listes. La nouvelle réponse existe et est unique, contrairement à celle demandée dans la grille cyclique.
Les deux alphabets gardent leurs rôles dans une demande
Nora reçoit ensuite seulement A0. Les cases possibles sont (0,0), (1,1), (2,2), (3,3). La première grille est latine et présente donc A0 quatre fois sur la page entière. Camille ne donne pas (0,0) comme réponse forcée parce que ce nom ressemble aux deux coordonnées. Lorsque B1 arrive, seule (2,2) reste. Nora choisit de transmettre les deux indications ensemble pour la commande où une case unique est nécessaire, tout en conservant la demande à une seule indication comme une sélection de quatre cases. La propriété de la page complète n'avait pas rendu le premier alphabet seul suffisant.
Camille inverse par erreur les deux indications de la commande. Elle cherche A1 avec B0, au lieu d'A0 avec B1. La résolution donne encore c=2, mais r=3 ; elle remet (3,2), une autre case. Nora refuse cette adresse et rétablit les rôles des deux alphabets sur le billet. Elle peut aussi décider d'échanger les alphabets dans toute la page ; il faudrait alors échanger également les indications de chaque demande. Elle ne conserve pas les anciens noms A et B après ce changement en espérant que l'unicité suffise à rendre les adresses identiques.
Une modification locale peut conserver les lignes et perdre les couples
Camille veut corriger seulement le carré des deux premières rangées et deux premières colonnes d'A. Il contenait 01 au-dessus de 10. Elle le remplace par 10 au-dessus de 01, sans changer les douze autres cases ni B. Chaque rangée conserve les mêmes deux indices dans ce petit carré. Chaque colonne aussi ; le reste de la grille est inchangé. A modifiée reste donc latine, avec les rangées 1023, 0132, 2301, 3210. Nora ne peut refuser cette modification en invoquant une répétition dans une ligne ou une colonne : ces huit contrôles restent effectivement conformes.
Mais les quatre couples modifiés sont désormais (1,0), (0,2), (0,1), (1,3). Chacun existait déjà ailleurs dans la page, respectivement en (3,2), (3,3), (2,2), (2,3). Il ne reste que douze couples distincts. Les couples (0,0), (1,2), (1,1), (0,3) ont disparu. Nora demande de nouveau (0,1) et obtient cette fois deux cases, (1,0) et (2,2). Le changement local a donc conservé les règles d'A tout en détruisant l'accès unique qui utilisait A avec B. Camille retire la coche « page complète inchangée » de la fiche de correction.
Nora demande s'il suffirait de refaire B en gardant cette A modifiée. Camille énumère les grilles latines d'ordre quatre : chaque rangée est l'une des vingt-quatre permutations, et les quatre rangées retenues doivent aussi donner quatre indices distincts dans chaque colonne. Parmi les vingt-quatre puissance quatre listes initiales, cinq cent soixante-seize passent ce contrôle. Elle superpose chacune à A modifiée et cherche seize couples distincts. Aucune ne convient. Cette vérification exhaustive porte sur les quatre indices et les quatre rangées de cette commande ; elle ne prétend pas résoudre toute taille de grille imaginable.
Nora choisit alors de retirer la correction locale et de rétablir A avec ses rangées 0123, 1032, 2301, 3210. Camille garde B inchangée et retrouve les seize couples uniques. La décision ne consiste pas à renommer les quatre couples manquants sur la page modifiée : cela aurait changé les indications elles-mêmes, sans respecter leur production par deux grilles latines. Si Nora conservait la correction, elle devrait abandonner une des exigences de la commande. Elle conserve au contraire l'accès unique à tous les couples et retire expressément la modification qui l'empêchait.
Trois alphabets peuvent être compatibles sans laisser une place au quatrième
Nora ouvre une commande distincte où le lecteur doit pouvoir employer n'importe quelle paire parmi plusieurs alphabets. La page possède toujours seize cases. Garder l'unicité pour A avec B ne certifierait pas A avec un troisième alphabet ni B avec celui-ci. Camille doit remettre toutes les grilles demandées et vérifier chaque paire. Les coordonnées de ligne et de colonne restent celles de la même page ; ajouter un alphabet n'autorise ni une nouvelle rangée ni plusieurs marques sous une même adresse.
Camille propose C=r XOR c XOR T(c), avec les mêmes indices et la même permutation T. Ses rangées sont 0312, 1203, 2130 et 3021. Chaque rangée et colonne possède les quatre indices. Pour A avec C, annuler r dans le XOR des deux indications laisse T(c), qui parcourt les quatre indices ; pour B avec C, il reste c directement. Les deux indications fixent donc c, puis r, dans chacune de ces paires. A avec B était déjà contrôlée. Nora retient les trois alphabets : une demande portant sur A et C peut ainsi remplacer celle portant sur A et B sans perdre une adresse unique. Elle inscrit les trois résolutions, au lieu d'inventer une préférence obligatoire pour les deux premiers alphabets.
Nora voudrait enfin ajouter un quatrième alphabet latin, unique avec chacun des trois autres. Camille fixe une case de référence. La même rangée contient trois autres cases ; la même colonne, trois autres, sans rencontre entre ces deux groupes. Pour chacun des alphabets, trois autres cases partagent le symbole de la case de référence. Ce groupe ne rencontre ni la rangée ni la colonne, car la grille est latine. Il ne rencontre pas le groupe d'un autre alphabet, car deux symboles identiques réunis dans une seconde case répéteraient leur couple. Quatre alphabets exigeraient donc six groupes disjoints de trois autres cases : dix-huit, alors que quinze seulement existent hors de la référence. Nora refuse le quatrième alphabet sous cette demande. Trois en exigent exactement quinze et sont réellement fournis par A, B, C : la limite est atteinte sur la page choisie.
Le catalogue remis garde ses deux grilles
Pour la page privée, Camille remet donc les deux grilles binaires choisies, la liste des seize couples et la résolution des deux indications. Elle conserve la préparation cyclique et la correction locale dans leurs dossiers refusés. Une ligne correcte, une colonne correcte et une adresse unique étaient trois contrôles différents. Nora peut maintenant retrouver une case depuis son couple sans attribuer à une seule indication, ou à une modification locale conforme, une garantie qui appartenait au plan complet.
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