Nora prépare une illustration pour deux présentations d'un livre privé inventé. L'image n'est pas une photographie examinée : nous la définissons comme un rectangle de 1 200 unités de largeur et 800 de hauteur. Deux éléments dessinés doivent pouvoir y rester entiers. Nous leur donnerons des positions et des dimensions, puis nous déplacerons des fenêtres sur ce rectangle. Ces unités servent au calcul de l'exercice ; elles ne mesurent ni un tirage réel ni la résolution d'un appareil. Aucun fichier photographique n'est modifié pendant cette préparation.
Le Louvre nomme Lisa Gherardini. Le Met présente un autoportrait de Van Gogh. La National Gallery nomme le Temeraire de Turner. Notices textuelles seulement ; aucune géométrie empruntée.
Définir ce qui doit rester dans la fenêtre
Notre repère commence au coin supérieur gauche de l'image. La position horizontale augmente vers la droite, de zéro à 1 200 ; la position verticale augmente vers le bas, de zéro à 800. L'élément A occupe le rectangle compris entre les positions horizontales 100 et 350, et entre les positions verticales 150 et 650. L'élément B s'étend horizontalement de 700 à 1 100 et verticalement de 100 à 500. Ces limites sont stipulées. Nous ne déduisons pas d'une silhouette réelle où un visage, une main ou un vêtement commencerait : les quatre bords de chaque élément font partie des données de Nora.
Nora demande que chaque élément conservé soit entier, y compris ses bords. Une fenêtre qui en montre seulement le centre ne satisfera pas cette demande. La largeur de A vaut 250 et sa hauteur 500 ; B mesure 400 sur 400. Leur différence de taille n'autorise pas à remplacer le contrôle de leurs bords par un contrôle de leur centre. A a pour centre horizontal 225, B 900. Une fenêtre peut contenir ces deux points et couper pourtant un bord de chacun. Nous commencerons justement par une proposition qui donne ce résultat.
La première présentation demande un carré de 800 sur 800, rempli par une portion de l'image. Comme l'image a elle-même une hauteur de 800, cette fenêtre prend toute sa hauteur. Elle peut seulement se déplacer horizontalement. Nous appelons x la position de son bord gauche ; son bord droit est alors x plus 800. Pour rester à l'intérieur de l'image, x peut aller de zéro à 400. Nora n'est donc pas libre de déplacer le carré au-delà de 400 pour rattraper un élément à droite, ni à une valeur négative pour laisser une marge à gauche.
Elle place d'abord le carré au milieu, avec x égal à 200. La fenêtre couvre les positions horizontales 200 à 1 000. Les centres 225 et 900 sont à l'intérieur. Pourtant, A commence à 100 : sa partie allant de 100 à 200 est coupée. B finit à 1 100 : sa partie de 1 000 à 1 100 est coupée aussi. Nora retire donc l'annotation « les deux sujets sont conservés » de cette proposition. Elle peut dire que leurs deux centres sont visibles, mais cette réussite porte sur deux points, alors que sa demande porte sur deux rectangles entiers.
Deux conditions valides séparément peuvent être incompatibles
Pour conserver A entier, le bord gauche de la fenêtre doit se trouver à 100 ou plus à gauche. Son bord droit doit atteindre au moins 350, ce qui est déjà assuré avec une largeur de 800 et un départ non négatif. Parmi les positions autorisées de zéro à 400, toutes celles de zéro à 100 conviennent donc à A. Nora essaie x égal à 100. A entre tout juste par son bord gauche, sans être coupé. La fenêtre finit à 900 ; elle montre seulement la moitié gauche de B, qui s'étend jusqu'à 1 100.
Pour B, le bord droit doit atteindre 1 100. Comme il vaut x plus 800, il faut que x atteigne au moins 300. Le bord gauche reste assez à gauche pour B dans toute la plage autorisée jusqu'à 400. Les positions de 300 à 400 conviennent donc à cet élément. Avec x égal à 300, Nora conserve B entier. Mais A n'est plus visible que de 300 à 350, sur ses 250 unités de largeur. Le carré a donné deux préparations réussies séparément, l'une pour A, l'autre pour B ; aucun de leurs deux réglages ne conserve les deux éléments.
Les plages de positions expliquent pourquoi chercher une valeur intermédiaire ne résoudra pas le problème. A demande x au plus égal à 100 ; B demande x au moins égal à 300. Il n'existe aucune valeur répondant simultanément à ces deux conditions. Nora ne passe pas une heure supplémentaire à déplacer le cadre dans cette plage fermée. Elle peut changer le format, accepter une coupure ou conserver l'image entière avec une marge extérieure. Chacune de ces possibilités modifie une condition du projet. Aucune ne doit être décrite comme la découverte tardive du carré de 800 qui aurait tout conservé.
Nora mesure aussi ce que le cadre central de x égal à 200 conservait réellement. A y garde 150 unités de largeur sur 250, avec toute sa hauteur : 60 % de son rectangle. B en garde 300 sur 400, avec toute sa hauteur : 75 %. Ces deux proportions ne sont pas des probabilités de reconnaître quelqu'un dans une photographie. Elles désignent des surfaces dans notre modèle rectangulaire. Nora les emploie pour comparer la coupure avec sa demande d'éléments entiers, pas pour affirmer qu'une personne réelle serait encore identifiable à 60 %.
Un format plus large peut donner une solution unique
Nora essaie maintenant une fenêtre de 1 000 sur 800, de rapport cinq pour quatre. Son bord gauche peut aller de zéro à 200. Pour conserver A, il doit toujours rester à 100 ou à gauche. Pour B, le bord droit x plus 1 000 doit atteindre 1 100, donc le bord gauche doit être au moins à 100. Les deux conditions se rejoignent exactement en x égal à 100. La fenêtre couvre alors de 100 à 1 100 : A touche son bord gauche et B son bord droit. Les deux rectangles sont entiers dans cette nouvelle présentation.
Cette solution unique n'est pas le centrage d'un sujet choisi au hasard. Le centre de la fenêtre est 600, qui est aussi celui de l'image complète, mais les contraintes auraient pu donner une autre position avec d'autres bords stipulés. Nora garde le calcul des deux inégalités plutôt que la consigne générale « centrez l'image ». En déplaçant ici la fenêtre à 90, elle coupe dix unités à droite de B ; en la déplaçant à 110, elle coupe dix unités à gauche de A. Un petit déplacement a des conséquences opposées, parce que la solution retenue n'a aucune réserve de place à ces deux extrémités.
Camille lui demande justement dix unités de vide entre chaque élément et le bord de la fenêtre. La position x doit désormais être au plus égale à 90 pour laisser cette marge à gauche de A. Pour laisser dix unités à droite de B, x plus 1 000 doit atteindre 1 110, donc x doit être au moins égal à 110. La fenêtre de 1 000 ne suffit plus. Nora ne se contente pas de préciser que les éléments « ne sont pas coupés » : Camille a ajouté une distance positive à une condition d'inclusion qui autorisait auparavant le contact avec le bord.
Une fenêtre de 1 020 sur 800 rétablit la possibilité avec ces marges. Son bord gauche reste à 90 et son bord droit atteint 1 110. Il y a dix unités avant A et dix après B. La largeur de l'enveloppe horizontale des deux éléments était 1 000, de 100 à 1 100 ; les deux marges ajoutent vingt. Nora inscrit ce nouveau format comme une proposition distincte. Elle ne change pas clandestinement la largeur de la fenêtre demandée de 1 000 pour faire passer son contrôle. Camille doit choisir entre son format de cinq pour quatre et la marge supplémentaire qu'elle vient de demander.
Un portrait peut conserver un élément sans conserver l'autre
Pour une autre page, le projet prévoit un cadre de 600 sur 800. Le bord gauche peut se trouver entre zéro et 600. A reste entier lorsque x est entre zéro et 100. Pour B, il faut que x plus 600 atteigne 1 100 ; x doit être au moins égal à 500. Les positions de 500 à 600 conviennent alors à B. Le portrait peut donc présenter chacun séparément, mais ses deux plages de positions ne se rejoignent pas. Nora prépare une proposition A et une proposition B au lieu de laisser croire qu'une même petite vue conserve leur relation entière.
Elle compare deux portraits précis. Le premier couvre horizontalement de 100 à 700 : A y reste entier, tandis que B ne commence qu'au bord droit. Le second couvre de 500 à 1 100 : B est entier et A se trouve complètement à gauche, hors de la fenêtre. Les deux vues ne sont pas seulement deux agrandissements du même centre. Elles portent sur des portions différentes de la source. Si le texte de la page décrit les deux éléments ensemble, Nora devra changer cette présentation ou accepter que la page ne montre plus ce que son texte annonce. Elle choisit le format large pour la scène commune.
Réduire toute l'image conserve autre chose que recadrer
Nora revient au carré de 800, mais change le mode d'installation. Elle veut cette fois y faire entrer l'image entière sans modifier son rapport largeur sur hauteur. Pour faire passer sa largeur de 1 200 à 800, le facteur est deux tiers. La hauteur de 800 devient alors 1 600 tiers, soit 533 et un tiers. Le carré possède donc un espace vertical restant de 800 tiers, soit 266 et deux tiers. Si Nora place l'image au milieu, chaque bande vide, au-dessus et au-dessous, mesure 400 tiers, soit 133 et un tiers. A et B restent entiers parce qu'aucune portion de la source n'a été retirée.
Les bandes ne sont pas des parties retrouvées de l'image. Nora peut leur donner la couleur de la page ou les laisser blanches dans son modèle, mais elle ne peut pas les compter comme du dessin supplémentaire. Le carré de présentation et le rectangle occupé par l'image n'ont plus les mêmes limites. Camille accepte ces bandes pour le livre de lecture et conserve le recadrage large pour une autre page. Le choix garde ici les deux éléments au prix d'une surface de présentation incomplètement occupée par l'image ; il ne prétend pas remplir le carré tout en gardant exactement le même contenu.
Une troisième proposition remplit le carré en ramenant séparément la largeur à 800 et la hauteur à 800. Elle applique le facteur deux tiers horizontalement et le facteur un verticalement. Tout le contenu reste présent, mais les proportions des formes changent. Dans notre image créée, Nora ajoute pour le contrôle un cercle de rayon 50. La transformation lui donne un rayon horizontal de cent tiers et un rayon vertical de 50. Le cercle devient une ellipse. Le contrôle « rien n'a été coupé » est vrai ; le contrôle « les formes gardent leurs proportions » est faux. Nora retire cette proposition lorsque Camille demande de satisfaire les deux.
À l'inverse, la réduction uniforme de facteur deux tiers donne au même cercle deux rayons égaux de cent tiers. Le cercle reste un cercle dans le modèle. Ce calcul ne certifie pas la netteté d'une image réellement réduite, qui n'a pas été examinée. Il établit seulement la relation géométrique que Nora avait promis de conserver. Elle distingue ainsi trois décisions : couper une portion avec un cadre, réduire uniformément avec des bandes, ou étirer différemment les deux directions. Le résultat peut occuper le même carré final, sans que l'opération ni la conservation demandée soient les mêmes.
Une annotation doit changer de repère avec son image
Camille veut mettre une petite flèche vers le coin supérieur gauche de A. Dans la source, ce coin est à la position 100 horizontalement et 150 verticalement. Pour la fenêtre large choisie, dont le bord gauche est à 100, il devient zéro horizontalement et 150 verticalement avant tout changement d'échelle. Nora doit retirer la position de départ de la fenêtre pour exprimer le point dans le repère du recadrage. Si elle garde 100 comme coordonnée dans la nouvelle vue, sa flèche se décale de cent unités à droite de l'endroit demandé. Le point source n'a pourtant pas changé.
Nora réduit ensuite cette fenêtre de 1 000 sur 800 à une présentation de 500 sur 400. Le facteur est un demi dans les deux directions. Le coin de A, devenu zéro et 150 dans le cadre, se trouve donc à zéro et 75 dans la présentation. Le coin supérieur droit de B, à 1 100 et 100 dans la source, devient 1 000 et 100 dans le cadre, puis 500 et 50 après réduction. Nora contrôle ces deux points aux deux extrémités de la fenêtre. Elle ne réduit pas d'abord la coordonnée source puis soustrait une origine qui serait restée dans l'ancienne unité.
Pour voir l'erreur, elle effectue volontairement ce mauvais calcul sur le coin de A : la moitié de 100 donne 50, puis elle retire encore 100 et obtient moins 50. La flèche sortirait du cadre alors que le coin de A se trouve exactement sur son bord gauche. Nora remplace l'opération par la moitié de la différence entre 100 et 100, qui donne zéro. Une autre façon correcte aurait été de réduire aussi l'origine, puis de calculer 50 moins 50. Les deux calculs valides expriment le même changement de repère dans la même unité ; le calcul refusé mélangeait les unités de deux étapes.
Dans la vue entière réduite au carré de 800 avec les bandes, le même point source reçoit encore une autre position. Ses 100 unités horizontales deviennent 200 tiers ; ses 150 verticales deviennent 100, auxquels il faut ajouter la bande supérieure de 400 tiers. La position verticale finale est donc 700 tiers, soit 233 et un tiers. Le centre de l'image, à 600 et 400 dans la source, devient 400 et 400 dans le carré. Nora vérifie ce centre pour contrôler l'ajout de la bande. Elle ne réutilise pas les coordonnées du recadrage large pour annoter la vue entière.
Une position précise peut résister mal à un arrondi
La flèche de Nora ne suffit pas à prouver que tous les bords de A sont conservés. Dans le format large sans marge, A touche exactement le bord gauche et B le bord droit. Camille demande une sortie où les positions sont enregistrées en unités entières après une réduction de facteur un tiers. La largeur de la fenêtre devient 333 et un tiers ; son origine source 100 devient 33 et un tiers dans un repère réduit de la source entière. Nora garde d'abord ces fractions, afin de vérifier l'inclusion avant de choisir une représentation arrondie.
Si elle arrondit l'origine réduite vers le haut, à 34, et la largeur au plus proche, à 333, le bord gauche avance de deux tiers et le bord droit reste à 367. Or A commence à 33 et un tiers dans ce repère ; B finit à 366 et deux tiers. B reste dedans, mais une petite portion de A est coupée. Arrondir l'origine vers le haut et la largeur au plus proche n'a pas préservé la condition d'inclusion. Nora refuse d'appeler ce résultat équivalent au cadre exact parce que l'écart serait petit. La demande portait sur la conservation entière, et le premier bord montre précisément la différence.
Une enveloppe entière allant de 33 à 367 conserve les deux éléments réduits. Sa largeur vaut 334, non 333. Elle n'a plus exactement le rapport du cadre initial réduit ; elle est une enveloppe de contrôle un peu plus large. Nora la garde comme option si le projet permet cette modification et conserve les fractions si le rapport exact est obligatoire. Elle ne peut pas satisfaire simultanément des valeurs entières, le rapport exact et une largeur arbitrairement fixée sans vérifier leur compatibilité. La décision d'arrondi devient une condition du format, pas un simple nettoyage invisible à la fin du travail.
Le livre de lecture retient finalement l'image entière dans le carré avec ses bandes ; la page commune aux deux éléments retient la fenêtre de 1 000 sur 800 à x égal à 100, sans la marge demandée puis abandonnée. Le portrait de B reste une proposition séparée. Nora conserve pour chaque présentation la portion de source, l'échelle et l'origine des annotations. Ces décisions chiffrées n'identifient aucune personne dans une photographie et ne garantissent aucun rendu imprimé. Elles permettent de refaire les contrôles de contenu et de position que le projet avait effectivement choisis.
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