Une page familiale peut proposer deux quantités à retrouver sans transformer le calcul en devinette. Dans la scène fictive qui suit, Léa prépare une feuille pour Simon. Elle connaît la paire choisie, deux et un, mais décide de ne transmettre que deux combinaisons de ces nombres. Le premier essai emploie des données exactes. Le second introduit une tolérance écrite dès le départ. Ce changement oblige les personnages à préciser ce qu’ils veulent remettre : une paire obtenue par calcul, ou une région qui contient toutes les paires encore compatibles avec leur règle.
Trois notices textuelles du Met servent seulement à identifier des estampes. Leurs images et leurs méthodes ne fournissent ni les équations ni les erreurs du cas inventé.
La notice 337217 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337218 classe également son objet parmi les estampes.
La notice 337219 indique elle aussi la catégorie des estampes.
Léa nomme les quantités inconnues x et y. Sa première donnée, u, vaut x plus y. Sa seconde, v, vaut x plus cent un centièmes de y. Pour la paire choisie, elle écrit u égal à trois et v égal à trois cent un centièmes. La différence entre les deux données vaut donc un centième. Simon soustrait les équations : cette différence est un centième de y, d’où y égal à un ; x vaut alors deux. La feuille exacte ne pose aucune ambiguïté. Deux relations différentes ont permis de retrouver les deux nombres.
Il garde cette soustraction au lieu de passer directement à une calculatrice. Sous forme de recettes, la reconstruction donne y égal à cent fois v moins cent fois u, et x égal à cent un fois u moins cent fois v. Ces coefficients sont grands devant ceux des deux équations de départ. Léa lui propose de les conserver dans la marge : ils vont indiquer comment les erreurs des données entrent dans la réponse. La paire centrale est correcte, mais cette réussite ne dit encore rien sur les paires qu’autoriserait une petite variation des deux nombres transmis.
Sur une seconde feuille, trois et trois cent un centièmes deviennent les centres de deux bandes. La valeur réelle de chaque donnée peut s’en écarter d’au plus un millième. Les deux écarts sont indépendamment autorisés dans cet intervalle ; le mot « indépendamment » décrit ici les combinaisons permises, sans supposer une distribution aléatoire. Simon note les écarts eu et ev. Les erreurs de reconstruction valent alors cent un eu moins cent ev pour x, et cent ev moins cent eu pour y. La tolérance d’entrée a changé l’objet à remettre, même si les centres et la paire centrale sont restés les mêmes.
La règle autorise eu égal à un millième et ev égal à moins un millième. Dans ce coin, l’erreur sur x atteint deux cent un millièmes, tandis que celle sur y vaut moins un cinquième. Le coin opposé inverse ces deux erreurs. Les bornes deux cent un millièmes et un cinquième sont ainsi atteintes, pas seulement majorées par une inégalité prudente. Léa avait demandé que chacune des quantités soit retrouvée à un vingtième près. Cette demande n’est pas satisfaite par les deux bandes actuelles : une paire admise peut déplacer y de quatre fois cette tolérance et x d’un peu plus encore.
Simon calcule aussi les deux coins où les erreurs d’entrée ont le même signe. Avec deux écarts négatifs d’un millième, la paire vaut mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf millièmes pour x et un pour y. Avec deux écarts positifs, elle vaut deux mille un millièmes et un. Les coins de signes opposés valent mille sept cent quatre-vingt-dix-neuf millièmes avec six cinquièmes, puis deux mille deux cent un millièmes avec quatre cinquièmes. Il dessine les quatre points et relie leurs côtés. La région admissible est ce parallélogramme entier, car chaque point de la petite boîte des données se transforme par les mêmes recettes linéaires.
Léa veut remplacer ce dessin par deux lignes plus faciles à imprimer : x entre 1,799 et 2,201 ; y entre 0,8 et 1,2. Simon accepte ces bornes comme des informations séparées, mais refuse de les traiter comme une nouvelle règle complète. Elles décrivent les projections du parallélogramme sur les deux axes. Un lecteur qui prendrait librement une valeur de chaque ligne pourrait former une paire qui n’a jamais été autorisée. La simplification typographique aurait ajouté des possibilités. Ils gardent donc les intervalles dans la marge et les deux bandes initiales comme critère de validation d’une paire proposée.
Pour rendre le problème visible, Simon choisit précisément le maximum de chaque ligne : x égal à 2,201 et y égal à 1,2. Ces deux coordonnées, prises séparément, sont bien dans leurs intervalles. Leur somme vaut pourtant 3,401, et la seconde combinaison vaut 3,413. Elles manquent largement les centres trois et 3,01 avec une tolérance d’un millième. Au contraire, la paire 2,201 et 0,8 passe les deux bandes : les extrêmes ne sont pas disponibles avec n’importe quel partenaire. Léa ajoute ce contre-exemple à côté des intervalles, pour que le dessin conserve une conséquence vérifiable et ne soit pas une décoration.
Une autre fiche arrive avec la paire un et deux. Simon vérifie les données produites par cette proposition. La première vaut exactement trois ; la seconde vaut 3,02. L’écart à la seconde donnée centrale est seulement un centième, alors que chacune des coordonnées s’est éloignée d’une unité de la paire deux et un. Ce résidu paraît petit si on le lit seul. Il dépasse toutefois la bande admise d’un millième. La proposition est donc rejetée par la règle effective, et non parce que Simon connaît la réponse cachée. Le rejet garde sa raison écrite : une des deux données reconstruites sort de sa bande.
Léa envisage alors une validation plus souple, avec un centième de tolérance sur la seconde donnée. Simon lui montre ce qu’elle achèterait réellement : la paire un et deux entrerait dans cette nouvelle règle, sans devenir proche de deux et un à un vingtième près. Une tolérance sur les données et une tolérance sur les coordonnées sont deux demandes différentes. Ils ne corrigent pas le résidu pour faire réussir une fiche choisie. Ils décident que la page annoncera d’abord la précision voulue sur x et y, puis vérifiera si les bandes disponibles la garantissent. La proposition rejetée sert ainsi à empêcher un échange silencieux des critères.
Pour supprimer les décimales dans la deuxième équation, Léa multiplie celle-ci par cent. Elle écrit désormais cent x plus cent un y égal à trois cent un. Le déterminant des coefficients vaut maintenant un, alors qu’il valait un centième avant cette multiplication. Simon n’y voit pas encore une amélioration. Il reprend aussi la bande de la seconde donnée : son rayon d’un millième doit devenir un dixième. Les deux écritures décrivent exactement les mêmes paires. Changer les unités d’une ligne a agrandi son déterminant et son erreur dans le même mouvement ; aucune observation supplémentaire n’est entrée sur la feuille.
Ils font le contrôle dans les deux sens. Une paire qui produit une seconde donnée v à moins d’un millième de 3,01 produit cent v à moins d’un dixième de trois cent un. Réciproquement, une paire admise par cette dernière bande retrouve la première après division par cent. Si Léa gardait par erreur un millième comme rayon autour de trois cent un, elle aurait remplacé la contrainte par une bande cent fois plus étroite. Ce serait une nouvelle exigence sur l’information disponible, et non une conséquence de la mise en page. Simon barre cette version avant de composer le tableau final.
La vérification lui permet aussi de reprendre les recettes sans chiffres décimaux. Si V désigne la donnée multipliée par cent, y vaut V moins cent u, et x vaut cent un u moins V. L’erreur de V est maintenant dix fois plus grande qu’un centième : elle peut atteindre un dixième. Combinée au dixième d’erreur possible de cent u, elle retrouve le cinquième pour y. Les coefficients plus modestes devant V n’ont rien sauvé, puisqu’ils agissent sur une erreur exprimée autrement. Léa conserve une seule version dans le corps de la feuille et place l’autre en contrôle, avec son rayon converti explicitement.
Elle prépare ensuite dix lignes identiques portant chacune la première donnée trois, avec la même incertitude d’un millième. Simon examine leur intersection. Chacune demande que x plus y reste dans le même intervalle ; la dixième ligne n’en retire aucun point. Le modèle n’affirme ni tirages indépendants ni erreurs centrées dont une moyenne améliorerait la précision. Les dix copies pourraient toutes partager le même écart permis. Il ne divise donc pas le rayon par dix, ni par une racine carrée. Les lignes répétées restent un seul renseignement géométrique, même si la page montre dix emplacements remplis.
Léa peut demander un renseignement différent : x seul, autour de deux, toujours à un millième près. Elle choisit cette demande plutôt qu’une onzième copie de la somme. Cette fois, une troisième bande coupe le parallélogramme. Elle impose x entre 1,999 et 2,001 et ne permet plus les deux coins éloignés en x. Simon ne remplace pas pour autant la région restante par un point. Il cherche jusqu’où y peut encore aller lorsque les trois renseignements doivent être vrais ensemble. La nouvelle observation a apporté une direction de contrainte, tandis que la simple répétition n’avait rien changé.
Pour maximiser y, il combine la borne inférieure x égal à 1,999 avec la borne supérieure de la seconde donnée, 3,011. Cela donne y égal à cinq cent six sur cinq cent cinq. Il vérifie la première somme, qui vaut environ 3,000980 : elle reste dans sa bande. Pour minimiser y, il prend x égal à 2,001 et la seconde donnée égale à 3,009 ; y vaut cinq cent quatre sur cinq cent cinq, et la somme environ 2,999020 est encore permise. Ces deux paires réalisent les bornes. Les fractions exactes accompagnent les décimales pour que l’arrondi de présentation ne devienne pas une contrainte différente.
La borne sur y est donc un sur cinq cent cinq autour de un, légèrement inférieure à deux millièmes. La borne sur x reste un millième. Les deux respectent maintenant la demande d’un vingtième. Si Simon n’utilisait que la somme et la nouvelle bande sur x, il obtiendrait pour y l’intervalle de 0,998 à 1,002. Cet intervalle serait sûr, mais un peu plus large que le résultat obtenu avec la troisième relation conservée. Il n’abandonne donc pas la seconde donnée parce que son rôle initial avait été fragile. Dans l’intersection actuelle, elle resserre encore les deux extrémités possibles de y.
Pour la page remise à un autre lecteur, Léa prépare deux propositions concrètes. La paire x égal à deux et y égal à 1,002 satisfait la nouvelle bande sur x et produit une somme de 3,002, qui dépasse la limite supérieure admise de 3,001. Elle échoue donc sans même utiliser v. La paire x égal à 1,999 et y égal à cinq cent six sur cinq cent cinq satisfait les trois bandes, comme leur contrôle précédent l’a établi. Le lecteur ne reçoit pas seulement des rayons annoncés : il peut reproduire un refus et une admission à partir des conditions imprimées, sans connaître une réponse secrète.
Avant de fermer la feuille, Simon rencontre une règle différente que Léa avait écrite au brouillon : les deux données auraient le même écart e, plutôt que deux écarts librement combinables. Il la teste comme un autre cas. Avec eu égal à ev, la différence des données reste exactement un centième. La recette de y annule le bruit commun et donne un ; celle de x laisse deux plus e. Si e reste borné par un millième, seule x peut varier de cette quantité. La région est alors un segment, plus petit que le parallélogramme indépendant. Cette réduction vient de la relation entre les erreurs, pas de leurs rayons pris séparément.
Léa avait seulement noté deux fois « un millième » sur la feuille transmise. Cette égalité des rayons n’atteste pas l’égalité des écarts. Les coins opposés qui donnaient l’erreur maximale sont encore permis tant qu’une règle commune ne les interdit pas. Elle sépare donc les deux versions : dans l’une, les deux erreurs peuvent choisir librement leurs signes ; dans l’autre, elles doivent être identiques. Pour les départager, elle ne demande pas une troisième décimale dans les centres. Elle demande quelle relation entre les erreurs a réellement été stipulée pour l’exercice. La réponse change le domaine des possibilités, même lorsque les nombres affichés sont inchangés.
Une dernière carte de contrôle remplace seulement la troisième donnée par x autour de 2,3, toujours à un millième près. Simon vérifie les renseignements deux par deux. La somme centrale trois et cette nouvelle valeur de x sont compatibles avec y égal à 0,7. La seconde donnée centrale 3,01 et x égal à 2,3 sont compatibles avec y égal à soixante et onze sur cent un. Les deux anciennes bandes sont, elles aussi, compatibles entre elles : leur paire centrale reste deux et un. Chacun des trois contrôles par paires réussit, mais pas avec les mêmes valeurs de y. Léa demande donc une paire qui satisferait les trois cartes ensemble.
Simon reprend la borne de x obtenue à partir des deux bandes anciennes : elle ne dépasse jamais 2,201. La nouvelle carte impose au contraire x au moins égal à 2,299. L’écart entre ces deux limites prouve que l’intersection des trois bandes est vide. Il n’y a plus une région large à préciser, mais un ensemble de conditions incompatibles. Ils ne valident pas la dernière carte au motif que chaque couple de cartes avait trouvé une solution. Léa la range comme essai refusé, avec les trois centres et leurs rayons intacts ; la version remise reste celle où x est annoncé autour de deux. Le contrôle collectif a changé la décision que les trois succès séparés auraient suggérée.
Ils essaient aussi de conserver les deux premières observations avec des rayons réellement plus petits : un cinq millième, soit 0,0002, pour chacune. La même formule donne au plus 0,0402 d’erreur sur x et 0,04 sur y. Ces bornes atteignables respectent un vingtième. Léa peut ainsi proposer deux moyens différents pour réussir sa demande : obtenir cette information plus précise sur les deux combinaisons, ou conserver les anciennes bandes et ajouter le renseignement sur x. La feuille ne proclame pas que l’un coûterait moins cher ou serait matériellement plus facile. Aucun dispositif de mesure réel n’a été observé dans ce cas créé.
Simon compare ce dernier cas au bruit commun. Les deux donnent une garantie suffisante pour la demande choisie, mais pour des raisons différentes. Le rayon réduit garde des erreurs librement opposables, donc un parallélogramme raccourci. Le bruit commun interdit précisément cette opposition, même avec le rayon ancien. Un lecteur qui copierait seulement le résultat « précision suffisante » perdrait la condition qui l’autorise. Léa remet sous chaque résultat sa règle complète : deux bandes indépendamment permises et plus étroites, ou deux erreurs forcées égales. Elle refuse de fusionner ces deux explications dans une note où « petites erreurs » remplacerait les hypothèses effectives.
Pour terminer l’exercice, ils choisissent la version à trois bandes, parce que c’est celle dont chaque donnée autorisée est explicitement disponible sur la feuille fictive. La paire centrale deux et un reste affichée comme solution des centres ; les limites sur les quantités sont données à côté, avec les fractions de y. Le contre-exemple du rectangle et la conversion de la ligne multipliée restent des contrôles séparés. Simon remet cette feuille à Léa, qui n’a plus besoin de reconnaître une paire préparée : elle peut juger une nouvelle proposition en calculant ses trois données, puis en les comparant aux trois bandes effectivement retenues.
Les Éditions privées donnent une forme aux voix, aux archives et aux histoires que vous souhaitez transmettre.
Découvrir Codex de Maison →