Camille prépare une page fictive dont une marque a disparu d'un dessin de travail. Elle possède des nombres attachés à des repères, et veut savoir ce qu'ils permettraient de reconstruire. Elle ne retrouve aucune trace matérielle dans une archive : les positions et les lectures sont entièrement données pour cet exercice. Nora lui demande une page qui distingue une position certaine, plusieurs positions possibles et des lectures incompatibles. Le nombre de cases remplies sur la fiche ne doit pas décider à lui seul de la légende qu'elles remettront.
Les trois notices servent ici aux seules catégories. Aucun contour, emplacement ou calcul ne provient des œuvres.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
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P est fixé en (0,0), Q en (4,0) et S en (0,4). La marque inconnue est notée X=(x,y). Les nombres de notre fiche sont les carrés des distances ordinaires vers ces repères. Nous les appelons a pour P, b pour Q et c pour S. Ils ne sont donc ni des longueurs directement inscrites ni des noms de personnes. Les repères gardent leurs coordonnées dans chaque proposition, sauf modification annoncée. Une reconstruction doit satisfaire les nombres ensemble ; une lecture approximative recevra plus loin une autre règle, explicitement distincte des égalités exactes.
Deux lectures exactes peuvent laisser deux marques symétriques
Camille reçoit d'abord a=5 et b=13. Le premier nombre impose x²+y²=5 ; le second (x−4)²+y²=13. Soustraire la première égalité de la seconde donne 16−8x=8, donc x=1. En revenant dans la première, Camille obtient y²=4. Les positions possibles sont ainsi (1,2) et (1,−2). Elle inscrit les deux sur sa feuille. La soustraction a fixé une coordonnée, mais elle n'a pas choisi le signe de l'autre. Nora retire une première légende qui annonçait (1,2) comme résultat unique de ces seuls nombres.
Les deux possibilités sont réellement vérifiées : chacune possède un carré de distance cinq vers P et treize vers Q. La seconde n'est pas une solution que l'on pourrait écarter au motif que son ordonnée est négative ; aucun domaine n'avait interdit le bas du plan. Les deux repères sont sur la même horizontale, et la réflexion par rapport à cette ligne conserve leurs distances. Camille donne cette symétrie avec les deux contrôles numériques. Elle ne place pas la marque au milieu des deux possibilités, en (1,0), qui aurait un carré de distance un vers P au lieu des cinq reçus.
Nora ajoute une condition à une branche : la marque appartient au demi-plan supérieur, ordonnée au moins zéro. Camille choisit alors (1,2) et retire (1,−2) de la liste active. Cette décision est exacte sous la condition nouvelle, mais la fiche à deux distances demeure ambiguë lorsqu'elle est présentée seule. Nora joint donc la condition de domaine à la page retenue. Elle ne raconte pas que le troisième nombre a été retrouvé, puisque aucun troisième nombre n'a encore été donné dans cette branche. Une permission sur les positions possibles et une lecture supplémentaire sont deux renseignements différents.
Une troisième lecture peut répéter l'information des deux premières
Une autre branche conserve seulement les deux lectures exactes et ajoute T=(2,0), avec un carré de distance annoncé égal à cinq. Camille teste les deux positions : (1,2) et (1,−2) sont chacune à un écart horizontal de un et vertical de deux depuis T. Leur carré de distance est cinq dans les deux cas. Cette troisième case ne sépare donc pas les deux possibilités. Nora conserve deux marques candidates dans la page de cette branche ; elle refuse de remplacer leur liste par une position unique simplement parce qu'une fiche possède maintenant trois lectures.
La redondance se contrôle sans reconstruire chaque fois les deux positions. La moyenne de a et b vaut x²+y²−4x+8, tandis que le carré de distance vers T vaut x²+y²−4x+4. La lecture en T doit donc être (a+b)/2−4. Avec cinq et treize, cette expression donne cinq. Elle peut vérifier une cohérence du troisième nombre, mais n'apporte aucune équation indépendante pour choisir le signe de y. Les trois repères sont alignés sur la même horizontale. La fiche possède trois valeurs, dont l'une se déduit obligatoirement des deux autres dans ce domaine.
Si la lecture ajoutée en T était six, Camille refuserait cette fiche exacte. La formule impose cinq quel que soit le signe de y, et aucune autre position ne satisfait déjà les deux premières égalités. Elle ne chercherait pas une troisième marque légèrement déplacée pour obtenir six tout en continuant d'annoncer cinq et treize exacts. Nora peut demander plus tard une tolérance ou une correction attestée de la fiche, mais elle ne les donne pas implicitement dans cette proposition. Le contrôle redondant n'avait pas levé l'ambiguïté ; il peut néanmoins révéler une incompatibilité effective.
Un repère hors de l'alignement choisit le côté
Camille reprend a=5 et b=13, puis reçoit cette fois c=5 vers S=(0,4). La différence de c avec a vaut 16−8y. Cinq moins cinq vaut zéro, donc y=2. Avec l'abscisse un déjà obtenue, la position proposée est (1,2). Son carré de distance vers S vaut bien un plus quatre, soit cinq. La position (1,−2) aurait un carré de distance trente-sept vers S et est écartée. La troisième lecture a cette fois une conséquence que celle en T n'avait pas : elle distingue réellement les deux côtés de la ligne P-Q.
Camille remet (1,2) avec les trois repères nommés. Elle conserve les deux premiers cercles comme étapes du calcul, puis S comme renseignement qui a choisi une des intersections. Nora ne présente pas S comme une préférence pour le haut du dessin. Son nombre exact a imposé une ordonnée, et l'autre intersection manque ce nombre. La reconstruction dépend donc de la disposition des repères autant que du nombre de lectures. Ajouter un repère non aligné a fermé l'ambiguïté dans ces données, sans transformer toute fiche future de trois nombres en une fiche nécessairement réalisable.
Pour des nombres a, b et c quelconques, les soustractions imposent x=(16+a−b)/8 et y=(16+a−c)/8. Ces expressions donnent au plus une position lorsque P,Q,S restent ceux de notre fiche. Il reste pourtant à vérifier x²+y²=a. Camille écrit cette vérification comme une condition de reconstruction, au lieu de valider automatiquement les deux coordonnées issues des soustractions. Les équations soustraites ont perdu la contrainte de longueur qui était commune aux trois lectures. La retrouver décide si la position proposée correspond vraiment à une marque ou seulement à deux différences compatibles.
Des lectures compatibles deux à deux peuvent manquer une marque commune
Une nouvelle fiche porte cinq vers P, treize vers Q et six vers S. Les soustractions donnent x=1 et y=15/8. Leur somme des carrés vaut 1+225/64=289/64, alors que cinq vaut 320/64. L'écart est trente et un sur soixante-quatre. Camille refuse cette position comme reconstruction exacte des trois nombres. Elle n'affirme pas qu'elle aurait trouvé une erreur de calcul dans les soustractions : celles-ci sont correctes. C'est leur résultat qui ne respecte pas l'une des trois égalités originales, donc pas la fiche entière.
Nora avait proposé de contrôler seulement chaque paire de lectures. Les cercles centrés en P et Q se coupent, comme dans la première fiche. Ceux centrés en P et S se coupent également : leurs rayons sont racine de cinq et racine de six, dont la somme dépasse quatre et dont la différence absolue reste inférieure à quatre. Enfin, les cercles centrés en Q et S, séparés par racine de trente-deux, se coupent aussi. Leur somme de rayons racine de treize plus racine de six dépasse cette distance, et leur différence reste plus petite. Chaque paire possède donc des intersections, mais la position imposée aux trois échoue au contrôle précédent.
Ces contrôles de somme ne demandent pas un arrondi de racines pour être décidés. Pour P et S, le carré de la somme est onze plus deux fois racine de trente, supérieur à seize ; le carré de la différence est onze moins cette quantité, inférieur à seize. Pour Q et S, la somme au carré est dix-neuf plus deux fois racine de soixante-dix-huit, supérieure à trente-deux puisque racine de soixante-dix-huit dépasse treize demis. La différence au carré est inférieure à trente-deux. Camille garde donc les trois succès des tests de paires tout en refusant la reconstruction commune. Elle ne les efface pas pour rendre le refus plus facile à raconter.
Le critère complet peut s'écrire sans chercher un point à tâtons : soixante-quatre fois a doit être égal à (16+a−b)²+(16+a−c)². C'est exactement l'égalité x²+y²=a après multiplication par soixante-quatre. Si elle tient, les coordonnées données par les soustractions satisfont aussi les deux autres lectures, puisqu'elles respectent leurs différences avec a. Si elle manque, aucune position ne satisfait la fiche. Nora utilise ce critère pour accepter cinq, treize, cinq, puis refuser cinq, treize, six. La page donne ainsi une condition nécessaire et suffisante pour ses trois repères fixés, pas seulement une condition nécessaire sur chaque paire.
Une quatrième case peut contrôler une relation déjà imposée
Dans une fiche complète, U est fixé en (4,4) et possède une lecture d. Ses coordonnées donnent une relation simple : d=b+c−a. On la retrouve en développant les quatre carrés ; les termes x²+y² sont comptés une fois et les deux termes linéaires se réunissent. Pour a=5, b=13 et c=5, la lecture d doit donc être treize. Camille vérifie directement (1,2) vers U, avec neuf plus quatre. Une quatrième lecture treize n'ajoute pas une autre position à celle déjà reconstruite, mais fournit un contrôle de la nouvelle case.
Une version qui annonce quatorze vers U est refusée sous les quatre égalités exactes. Elle ne devient pas une seconde possibilité à côté de la marque (1,2), puisque les trois premières lectures imposaient déjà cette marque. Nora conserve la version cinq, treize, cinq, quatorze dans le dossier des fiches incompatibles et ne moyenne pas treize avec quatorze pour fabriquer une lecture intermédiaire. La page choisie reste attachée aux nombres reçus, ou reçoit une correction expressément donnée avant la remise ; le calcul seul n'autorise pas à choisir quelle case aurait été mal recopiée.
Des lectures privées de leurs noms permettent plusieurs attributions
La nouvelle proposition donne les quatre repères du carré, mais a perdu les noms attachés aux lectures. Elle conserve seulement deux cinq et deux treize. Camille doit donc examiner les attributions des valeurs à P,Q,S,U avant de chercher la position. Les deux occurrences de cinq ne sont pas deux nombres distincts que l'on pourrait permuter pour multiplier les résultats. Il y a six façons de choisir les deux repères recevant cinq ; les deux autres reçoivent treize. Nora ne garde pas d'avance l'ordre cinq, treize, cinq, treize de sa fiche précédente.
En attribuant cinq à P et S, treize à Q et U, Camille retrouve (1,2). En attribuant cinq à Q et U, elle retrouve (3,2). Cinq en P et Q donne (2,1), tandis que cinq en S et U donne (2,3). Chacune de ces quatre positions fournit effectivement la collection reçue, deux cinq et deux treize, avec les valeurs affectées à des repères différents. Camille donne ces quatre vérifications nominatives plutôt que quatre points sans fiche. La position du nom sur la lecture faisait partie de ce qui avait rendu la première reconstruction unique.
Les deux attributions restantes ne donnent pas de marque. Si cinq est attaché à P et U, tandis que treize va à Q et S, les soustractions imposent (1,1), dont le carré de distance à P est deux, pas cinq. Si cinq est attaché à Q et S, tandis que treize va à P et U, elles imposent (3,3), dont le carré de distance à P est dix-huit, pas treize. Nora retire ces deux candidats après contrôle. Elle ne conserve pas six possibilités au seul motif que six attributions de nombres avaient été examinées. Une attribution complète de valeurs peut encore être géométriquement incompatible.
Le frère affirme ensuite que la lecture cinq provenait de P. Deux positions restent alors possibles, (1,2) et (2,1), avec cinq vers P. Il précise que S portait également cinq. Camille garde seulement (1,2), puisque (2,1) donne treize vers S. Les deux renseignements sont consignés dans cet ordre avant la nouvelle remise. Nora ne dit pas que le premier nom retrouvé avait déjà choisi la position ; elle donne deux candidates après P, puis une après S. Aucun repère n'a bougé et aucune lecture nouvelle n'a été calculée comme si elle avait été reçue : ce sont les noms rétablis sur les valeurs qui ont fermé l'ambiguïté.
Une tolérance produit des conditions liées, pas un rectangle de marques automatiquement permises
Une dernière fiche reprend les trois repères P,Q,S et les valeurs centrales cinq, treize, cinq, mais autorise un écart d'au plus un quart dans chaque carré de distance. Elle ne donne aucune distribution de probabilité à ces écarts. Une marque est permise si son carré de distance à P est entre dix-neuf quarts et vingt et un quarts, celui à Q entre cinquante et un quarts et cinquante-trois quarts, celui à S entre dix-neuf quarts et vingt et un quarts. Camille traite ces trois intervalles comme des exigences simultanées, sans présenter leurs centres comme trois valeurs exactes nouvellement observées.
Les différences imposent des bornes nécessaires aux coordonnées. L'abscisse est un plus l'écart entre les erreurs de a et b divisé par huit ; elle se situe donc entre quinze seizièmes et dix-sept seizièmes. L'ordonnée est deux plus l'écart entre les erreurs de a et c divisé par huit ; elle se situe entre trente et un seizièmes et trente-trois seizièmes. Camille trace le rectangle correspondant comme une limite extérieure du domaine possible. Nora lui demande encore de vérifier que toute marque proposée dans ce rectangle satisfait les trois lectures ; les deux coordonnées utilisent la même erreur de a et ne résultent pas de choix entièrement indépendants.
Le coin supérieur droit, (17/16,33/16), se trouve dans le rectangle. Son carré de distance à P vaut (289+1089)/256, soit 689/128. La borne supérieure autorisée pour a, vingt et un quarts, vaut 672/128. Le coin la dépasse et doit être retiré des positions permises. Camille conserve pourtant les quatre bornes du rectangle comme nécessaires : le contre-exemple ne les rend pas fausses. Il montre qu'elles ne suffisent pas à décrire la région commune aux trois intervalles de distances. Nora refuse donc une page qui colorierait tout ce rectangle comme ensemble de marques admises.
Deux positions distinctes sont réellement permises. (1,2) donne exactement cinq, treize, cinq. (1,65/32) donne respectivement 5249/1024, 13441/1024 et 4993/1024. Chacune de ces valeurs reste dans son intervalle d'un quart autour du nombre central : les écarts sont 129/1024, 129/1024 et moins 127/1024. Nora conserve donc au moins ces deux candidates, après avoir refusé le coin du rectangle. La tolérance n'a pas produit une position unique, mais elle n'a pas non plus rendu toutes les positions voisines admissibles. Les trois contrôles sont effectués sur chaque marque, avec les mêmes repères.
Une permission de corriger une seule case demande de la désigner
Nora reprend la fiche exacte cinq, treize, cinq, quatorze vers P,Q,S,U. Elle autorise désormais une seule lecture fausse, les trois autres restant exactes, et demande de retrouver cette case si une solution unique existe. Les repères demeurent fixés. Camille ne reçoit pas le droit de corriger plusieurs nombres pour rapprocher la fiche d'un dessin souhaité. Elle doit tester les quatre possibilités de case fausse, puis vérifier les distances du point reconstruit. Cette nouvelle permission concerne la fiche entière et précède la correction qui sera réellement remise.
Si d est faux, les trois premières lectures retrouvent (1,2), puis imposent d=13 : cette réparation convient. Si a est faux, la relation d=b+c−a impose a=4 ; les soustractions donnent (7/8,15/8), dont le carré de distance à P vaut 137/32, différent de quatre. Si b est faux, il faudrait b=14 ; le point (7/8,2) a un carré de distance à P égal à 305/64, différent de cinq. Si c est faux, il faudrait c=6 ; le point (1,15/8) redonne 289/64 vers P, également différent de cinq. Camille élimine donc ces trois réparations par la condition quadratique, après leur réussite à la seule relation linéaire entre les quatre cases.
Nora accepte la réparation unique de d, quatorze remplacé par treize, puis remet la fiche et la marque (1,2). Camille conserve les trois autres hypothèses refusées avec leurs contrôles ; elle ne présente pas d comme faux parce qu'il était la dernière case ajoutée dans le récit. Chacune des quatre cases avait été autorisée comme candidate à la faute. Le choix vient de la compatibilité de trois lectures exactes avec une marque, et de la quatrième reconstruite sous cette hypothèse. Sans cette permission de faute unique, la fiche initiale serait demeurée incompatible ; le nouveau résultat garde donc sa règle de correction.
Un décalage commun est un autre modèle de lecture
Une dernière proposition annonce que chacune des trois lectures peut contenir le même nombre k ajouté au vrai carré de distance. Ce nombre est inconnu mais doit être positif ou nul ; il n'est pas trois erreurs choisies indépendamment. Les lectures reçues sont six, quatorze et six vers P,Q,S. Camille peut encore les soustraire : k disparaît des différences, qui donnent x=1 et y=2. Les vrais carrés sont alors cinq, treize et cinq. Chacune des trois lectures dépasse sa valeur reconstruite de un. Camille retrouve donc k=1 et remet (1,2) avec ce décalage commun.
La fiche cinq, treize, six, refusée sous les égalités sans décalage, possède une autre issue sous cette permission. Les différences imposent (1,15/8). Son carré de distance vers P est 289/64, et cinq le dépasse de 31/64. Ses autres carrés valent 801/64 vers Q et 353/64 vers S ; ajouter le même 31/64 donne treize et six. Camille accepte cette reconstruction dans une branche expressément attachée au décalage commun inconnu. Elle ne retire pas le refus de la fiche exacte : le nombre ajouté n'était pas une donnée permise par l'ancien modèle. Les deux décisions conservent les mêmes lectures et des relations différentes avec la marque.
Les lectures trois, onze, trois donneraient encore (1,2) par leurs différences, mais demanderaient k=−2 puisque les vrais carrés restent cinq, treize et cinq. Nora refuse cette troisième proposition sous la condition k positif ou nul. Le fait que trois différences soient cohérentes ne ferme donc pas la validation du paramètre ajouté. Camille garde sa valeur et son signe sur le relevé, au lieu d'annoncer que tout écart commun peut être absorbé. La reconstruction doit conserver ensemble la position, la permission de décalage et la plage que cette permission lui donne.
Les pages distinguent ainsi plusieurs réponses complètes : deux marques symétriques sous deux lectures, une position sous trois lectures exactes compatibles, des candidates sous une tolérance, puis une correction unique ou un décalage sous leurs permissions propres. Camille remet chaque marque avec les nombres et les noms qui l'autorisent. Le livre construit garde également les fiches refusées, sans les transformer en mesures observées ni en dessins retrouvés matériellement. Une position calculée reçoit la portée du modèle effectivement choisi, pas celle d'une autre page qui aurait seulement partagé ses nombres.
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