Pour une page de son livre privé, Léa dispose trois feuillets fictifs numérotés. Maud voudrait remettre leurs numéros dans l'ordre, mais chaque feuillet possède aussi une face à conserver. Le geste autorisé retourne ensemble tous les feuillets d'un début de la liste. Il renverse donc leur ordre et change leurs faces. Nous remplissons ce modèle classique sur papier, sans retourner un livre réel ni mesurer une manipulation. Les numéros et les faces sont créés ; ils ne décrivent aucune propriété des ouvrages cités. La remise devra conserver la suite de gestes qui obtient effectivement l'état demandé.
La notice 351007 du Met classe l'objet parmi les livres.
La notice 351008 du Met indique également cette catégorie.
La notice 351009 du Met indique aussi un livre.
Ces notices attestent des catégories seulement. Ordre, faces et retournements sont créés ; aucun procédé des ouvrages n'est appliqué.
Une liste se lit de gauche à droite. Nous écrivons un numéro positif pour la face demandée, un numéro négatif pour l'autre. Le numéro absolu reste l'identité du feuillet, quel que soit son signe. La cible est un, deux, trois, tous positifs. Un geste de longueur k retourne les k premiers feuillets : leur ordre s'inverse et chacun change de signe. Les autres restent exactement à leur place et gardent leur signe. Les longueurs permises sont d'abord un, deux et trois. Aucun feuillet ne peut être extrait du milieu ou retourné seul quand il n'est pas le premier.
Un ordre de numéros ne dit pas quelles faces sont remises
Léa commence avec moins trois, moins deux, moins un. Un retournement des trois donne un, deux, trois, tous positifs. Maud aurait pu voir seulement les numéros trois, deux, un et préparer plusieurs petits gestes pour les classer. Les faces renseignées fournissent ici une réponse plus directe : retourner le bloc entier inverse en même temps l'ordre et les trois signes. Léa remet un geste de longueur trois, et non trois retournements individuels. Elle garde toutefois les signes du départ auprès de cette ligne : la même longueur appliquée à trois, deux, un positifs donnerait moins un, moins deux, moins trois, qui n'est pas la cible.
Sur ce second départ positif, Léa remplit une autre suite : deux, trois, deux, trois, deux. Les états deviennent moins deux, moins trois, un ; puis moins un, trois, deux ; puis moins trois, un, deux ; puis moins deux, moins un, trois ; enfin un, deux, trois. Le contrôle fini des quarante-huit états possibles donne cinq comme minimum pour ce départ, contre un pour le premier. Les mêmes numéros absolus et le même ordre initial n'ont donc pas reçu la même fiche. Maud retire celle qui annonçait un seul geste pour les deux, parce qu'elle avait supprimé les faces avant de choisir le retournement.
Un, deux, moins trois fournit un autre contrôle. Les numéros sont déjà dans l'ordre, mais le dernier feuillet n'a pas la face demandée. Léa ne peut pas le retourner seul dans sa troisième place. Elle retourne d'abord les trois, donnant trois, moins deux, moins un ; puis le premier seul, donnant moins trois, moins deux, moins un ; puis les trois de nouveau. La cible est atteinte en trois gestes. Maud conserve le détour par les feuillets qui étaient initialement corrects. Elle ne lui substitue pas « changer le signe du dernier », qui utiliserait précisément l'opération absente de la permission.
Fixer le grand numéro donne une méthode, sans donner un minimum
La nouvelle liste est un, moins trois, deux. Léa essaie de placer d'abord le numéro trois correctement à la fin. Elle retourne les deux premiers et obtient trois, moins un, deux. Le trois est désormais au début, mais sa face positive deviendrait négative en retournant toute la liste. Elle retourne donc le premier seul, obtenant moins trois, moins un, deux, puis retourne les trois. L'état devient moins deux, un, trois. Le dernier est maintenant définitivement correct dans cette méthode. Maud garde les trois gestes distincts : l'étape d'une longueur un sert à préparer la face que le grand retournement produira, pas à déplacer le numéro trois vers une autre place.
Léa traite ensuite le début moins deux, un, sans toucher au trois final. Un retournement des deux donne moins un, deux, trois ; un retournement du premier donne un, deux, trois. La méthode a donc employé cinq gestes : deux, un, trois, deux, un. Elle a réussi à conserver le dernier feuillet après l'avoir fixé, parce que ses deux derniers gestes ne dépassaient plus les deux premières places. Maud accepte cette trace comme réalisation valide, mais retire la mention « la plus courte » qui avait été ajoutée sans contrôle. Fixer un suffixe correctement à chaque phase ne compare pas cette préparation aux méthodes qui acceptent de le déplacer plus tard.
La logique de cette méthode peut être poursuivie sur un préfixe restant. Pour placer son plus grand numéro à sa dernière place, Léa l'amène au début si nécessaire, ajuste sa face au début si nécessaire, puis retourne tout ce préfixe. Les feuillets déjà corrects après lui ne sont touchés par aucun de ces gestes. La longueur un reste indispensable à cette construction lorsque la face du grand numéro au début est positive avant le dernier retournement. Lorsque le préfixe ne contient plus qu'un feuillet, son seul ajustement éventuel termine la remise. Léa conserve cette justification de réussite, tout en laissant ouverte la comparaison des quantités de gestes.
Une autre trace réunit des morceaux que la première avait séparés
Repartant de un, moins trois, deux, Maud propose les longueurs trois, un, deux, trois. Le premier geste donne moins deux, trois, moins un. Le second donne deux, trois, moins un. Le troisième donne moins trois, moins deux, moins un. Le dernier retourne ce bloc entier et donne la cible. Il y a quatre gestes, un de moins que dans la méthode précédente. Le trois n'a pas été fixé au fond avant de traiter les autres : après la deuxième étape, deux et trois se suivent correctement mais moins un demeure à la fin. La nouvelle trace conserve cette liaison avant de réunir finalement les trois feuillets.
Léa ne choisit donc pas la première méthode seulement parce qu'elle immobilisait tôt le plus grand numéro. Elle peut accepter les déplacements provisoires de cette seconde trace pour remettre quatre gestes. Dans l'état deux, trois, moins un, le retournement des deux premiers garde leur relation sous une autre orientation : moins trois, moins deux. Le dernier geste les rétablira ensemble en deux, trois. Maud ne corrige pas leurs deux signes séparément après l'avant-dernière étape, car elle ajouterait des gestes et détruirait le rôle rempli du retournement final. La fiche conserve les états intermédiaires avec leurs faces, au lieu de garder seulement la liste des numéros absolus.
Compter les coupures qui restent à réparer
Pour prouver que quatre est réellement le minimum de ce départ, Léa ajoute un repère fictif quatre après la dernière place. Il ne peut pas être retourné. Elle appelle bonne une liaison entre deux voisins lorsque le second nombre signé vaut le premier plus un. Ainsi deux suivi de trois est bon, mais moins trois suivi de moins deux l'est également. La liaison avec le repère final utilise la même règle. Dans la cible, les trois liaisons sont bonnes. Inversement, si elles sont toutes bonnes, celle qui arrive sur quatre force trois juste avant lui, puis deux avant trois et un avant deux : c'est bien la cible entière.
À l'intérieur d'un bloc retourné, les anciens voisins a puis b deviennent moins b puis moins a. Leur différence orientée reste b moins a, puisque moins a moins moins b donne ce même nombre. Une bonne liaison reste donc bonne, et une mauvaise reste mauvaise. Après le bloc, les liaisons sont inchangées. Seule la coupure entre le bloc retourné et ce qui le suit peut changer de statut ; si les trois feuillets sont retournés, c'est la liaison avec le repère quatre. Un geste peut donc faire disparaître au plus une mauvaise liaison. Léa n'a pas compté toutes les paires de feuillets, seulement ces trois voisinages orientés.
Au départ un, moins trois, deux, les trois liaisons sont mauvaises. Le premier retournement d'une longueur un donne moins un, moins trois, deux : toujours trois mauvaises. Celui d'une longueur deux donne trois, moins un, deux : encore trois. Celui d'une longueur trois donne moins deux, trois, moins un : trois également. Aucun premier geste ne peut diminuer ce compte. Après ce geste obligatoire qui ne répare encore aucune coupure, au moins trois autres sont donc nécessaires, puisqu'un geste répare au plus une coupure. Toute remise à la cible demande ainsi au moins quatre gestes. La trace déjà remplie atteint cette borne.
Maud contrôle les comptes le long de cette trace de quatre. Le premier geste laisse trois mauvaises liaisons ; le second, sur moins deux, trois, moins un, donne deux, trois, moins un et laisse seulement deux mauvaises. Le retournement des deux produit moins trois, moins deux, moins un : ses deux voisinages intérieurs sont bons, et seule la liaison avec quatre reste mauvaise. Le dernier fait disparaître cette dernière coupure. La suite des comptes vaut donc trois, trois, deux, un, zéro. Le minimum ne vient pas d'une baisse à chaque geste : il comprend expressément un premier plateau que la preuve avait rendu inévitable.
Retirer le geste d'un seul feuillet peut fermer tout accès
Une commande nouvelle n'autorise plus que les longueurs deux et trois. Maud voudrait reprendre la trace minimale en supprimant simplement son geste d'une longueur un. Léa examine d'abord tous les états accessibles sous cette permission. Chaque retournement est son propre inverse : refaire immédiatement la même longueur ramène à l'état précédent. Dans une suite utilisant seulement deux et trois, les répétitions voisines identiques peuvent donc être retirées. La suite restante alterne les deux longueurs. Cette réduction ne donne pas encore la cible à tous les départs ; elle limite la forme des gestes que Léa doit effectivement comparer.
Elle regroupe une longueur deux suivie d'une longueur trois en une opération c. Sur une liste a, b, d, cette paire donne moins d, a, b. Trois répétitions donnent moins a, moins b, moins d ; six ramènent exactement le départ avec ses trois faces. Depuis la cible, les six résultats de c sont un, deux, trois ; moins trois, un, deux ; moins deux, moins trois, un ; moins un, moins deux, moins trois ; trois, moins un, moins deux ; deux, trois, moins un. Ils sont distincts. Les numéros et les signes voyagent ensemble ; le retour après six ne serait pas le même contrôle si l'on avait omis les faces dans les résultats intermédiaires.
Les suites alternées d'une longueur impaire peuvent également se réduire à un retournement deux, suivi de répétitions de c, en utilisant les mêmes annulations. Cette seconde famille, depuis la cible, donne moins deux, moins un, trois ; moins trois, moins deux, moins un ; un, moins trois, moins deux ; deux, un, moins trois ; trois, deux, un ; moins un, trois, deux. Les douze résultats des deux familles ferment donc tous les états accessibles depuis la cible avec les seules longueurs deux et trois. Comme les gestes sont inversibles, un départ peut atteindre la cible exactement lorsqu'il appartient à cette même liste, et pas seulement lorsqu'il ressemble à l'un de ses numéros absolus.
Un, moins trois, deux n'y figure pas : l'état voisin un, moins trois, moins deux a la dernière face différente. Léa refuse donc la commande qui garde ce départ et retire la longueur un. Elle ne cherche pas une suite plus longue pour corriger cette absence, puisque toute suite autorisée reste dans les deux familles déjà fermées. En revanche, trois, deux, un appartient à la seconde famille et peut encore rejoindre la cible par deux, trois, deux, trois, deux. Le geste supprimé ne rend pas toutes les remises impossibles. La fiche retenue doit garder le départ signé auprès de la permission, plutôt que promettre une réparation uniforme par les seules deux grandes longueurs.
Une tarification peut préférer une trace plus longue
Une dernière remise reprend toutes les longueurs permises, mais pose des prix en points : quatre pour le retournement d'un seul feuillet, un pour chacune des longueurs deux et trois. Ce sont des unités créées, sans durée ni effort réel mesuré. Le nouveau départ est trois, moins un, deux. La vérification des quarante-huit états donne quatre comme nombre minimal de gestes. Parmi les quatre-vingt-une suites de quatre longueurs possibles, une seule mène ce départ à la cible : un, trois, deux, un. Maud doit pourtant calculer son prix avant de la qualifier de réponse à la nouvelle demande.
Le premier retournement donne moins trois, moins un, deux ; le deuxième moins deux, un, trois ; le troisième moins un, deux, trois ; le dernier la cible. La trace comporte deux gestes d'une longueur un, à quatre points chacun, et deux autres à un point : total dix. La preuve de quatre gestes n'interdisait pas une autre trace de prix plus faible. Léa conserve dix auprès de ce minimum en nombre, sans présenter le prix d'un geste comme sa longueur. Une longueur trois coûte ici moins qu'une longueur un, parce que la commande a fixé ainsi ses unités abstraites.
Maud choisit plutôt deux, trois, un, deux, trois. Le premier geste transforme le départ en un, moins trois, deux, le cas déjà résolu en quatre gestes. Les quatre suivants reprennent sa trace minimale : moins deux, trois, moins un ; deux, trois, moins un ; moins trois, moins deux, moins un ; puis la cible. Cette remise comporte un seul geste d'une longueur un et quatre gestes d'un point. Son prix vaut huit. Léa accepte donc cinq gestes pour respecter un budget de huit, alors que la seule trace de quatre en demandait dix. Elle ne raccourcit pas le prix en retirant un retournement qui n'aurait plus sa place dans la suite.
Pour établir le minimum de prix, elle reprend la liste des douze états accessibles sans longueur un. Trois, moins un, deux n'y figure pas ; toute trace réussie doit donc utiliser au moins une longueur un et payer au moins quatre pour celle-ci. Les traces de trois gestes ou moins sont impossibles, et la seule de quatre en utilise deux, donnant dix. À partir de cinq gestes, même avec une seule longueur un, le prix est au moins quatre plus quatre, soit huit. Les traces plus longues ne peuvent payer moins, puisque chaque geste supplémentaire coûte au moins un. La trace de cinq déjà remplie atteint huit ; la borne et la remise choisie coïncident ainsi réellement.
Camille conserve finalement deux fiches pour ce départ. Si sa demande porte seulement sur le nombre de gestes, elle reçoit un, trois, deux, un avec quatre et le prix dix. Si elle impose le budget de huit, elle reçoit deux, trois, un, deux, trois avec cinq et le prix huit. Les faces initiales, les longueurs autorisées et la tarification restent visibles sur chacune. Léa ne leur donne pas le même mot sous deux étiquettes de coût : c'est précisément la trace choisie qui a changé. Le livre garde ces préparations remplies, sans recommander aucune manipulation de feuillets ou mesure de travail réel.
Les notices de livres ne fournissent aucune face, coupure ou tarification du modèle. Leur catégorie reste leur seule contribution au cas créé.
Reprendre les contrôles pour une cible signée différente
Une autre commande repart de un, moins trois, deux, mais demande cette fois deux, moins trois, un. Léa ne doit plus classer les numéros dans leur ordre numérique avec toutes les faces positives. Elle donne à chaque feuillet un rang dans la cible et une face de référence pour ce rang. Le deux positif reçoit le rang un positif ; le trois négatif reçoit le rang deux positif ; le un positif reçoit le rang trois positif. Leurs faces opposées reçoivent les mêmes rangs avec un signe négatif. Ainsi le départ se traduit par trois, deux, un positifs, et la cible par un, deux, trois. Maud retire l'ancienne trace de quatre qui finissait sur les numéros un, deux, trois : elle aurait effectivement atteint l'ancienne cible, pas celle que la nouvelle fiche nomme.
Le changement de rang doit respecter le geste, et pas seulement faire apparaître une liste ordonnée à la fin. Léa vérifie que changer la face avant le changement de rang donne toujours le signe opposé au rang obtenu sans changement de face. La traduction satisfait donc cette égalité : le rang du numéro signé opposé est l'opposé du rang du numéro signé présent. Inverser un préfixe puis changer ses signes peut alors être fait avant ou après la traduction, avec le même résultat. Sur les deux premiers feuillets du départ, le retournement donne trois, moins un, deux ; leur traduction donne moins deux, moins trois, un. Retourner directement les deux premiers de la liste traduite trois, deux, un donne précisément moins deux, moins trois, un. Une traduction qui utiliserait seulement les numéros absolus manquerait cette vérification des faces.
Léa peut ainsi reprendre la fiche canonique de trois, deux, un, dont le minimum était cinq, et appliquer ses longueurs deux, trois, deux, trois, deux aux identités originales. Les états deviennent trois, moins un, deux ; moins deux, un, moins trois ; moins un, deux, moins trois ; trois, moins deux, un ; puis deux, moins trois, un. La nouvelle cible est atteinte. La traduction est bijective : on retrouve une seule identité signée originale depuis chaque rang signé. Toute trace plus courte vers la nouvelle cible donnerait donc, avec les mêmes longueurs, une trace plus courte de trois, deux, un vers la cible canonique, impossible dans le contrôle déjà fermé. Maud remet les cinq gestes avec cette table de rangs et de faces, sans demander de les remplacer physiquement sur les feuillets. Elle a réutilisé une vérification exacte sous une traduction qui conserve les opérations, plutôt que réutilisé le résultat final de l'ancienne demande.
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