Léa prépare un jeu de livre privé où une valeur choisie parmi zéro, un, deux, trois et quatre doit être retrouvée en réunissant des fiches. Simon souhaite que deux fiches suffisent, mais qu’une fiche seule ne change pas les chances attribuées à la valeur avant sa lecture. Les personnes, les fiches et les tirages appartiennent à ce modèle fini. Aucun document familial ni dispositif réel n’est mis à l’épreuve. La page doit distinguer la possibilité de reconstruire une valeur, les informations apportées par une fiche isolée et celles que laisserait passer la réunion de deux pages.
Trois notices du Met identifient seulement des catégories d’objets. Leurs images et leurs procédés ne donnent ni les nombres, ni les tirages, ni les règles de reconstruction.
La notice 337229 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337230 donne les catégories dessins, ornement et architecture.
La notice 337231 classe son objet parmi les estampes.
Tous les calculs initiaux gardent le reste après division par cinq. La valeur à transmettre est nommée s. Léa tire aussi un nombre r parmi zéro à quatre, avec une chance sur cinq pour chacun, sans faire dépendre ce tirage de s. Les trois fiches portent des indices un, deux et trois. Celle d’indice x reçoit le reste de s plus r fois x. Son indice demeure attaché à son nombre. Il ne s’agit pas de trois valeurs tirées séparément : un même r intervient dans les trois calculs de cette page.
Pour une issue créée où s vaut deux et r vaut quatre, Léa remplit les fiches. L’indice un reçoit le reste de six, donc un ; l’indice deux reçoit le reste de dix, donc zéro ; l’indice trois reçoit le reste de quatorze, donc quatre. Simon lit les couples indice–nombre : un avec un, deux avec zéro, trois avec quatre. Il conserve la valeur deux sur la feuille de préparation, mais ne la donne pas comme information supplémentaire aux personnages qui doivent retrouver s à partir de leurs seules fiches.
Les deux premières fiches suffisent à reconstruire cette issue. Leurs nombres viennent de s plus r et s plus deux r ; soustraire le premier du second donne r, toujours modulo cinq. Zéro moins un a pour reste quatre. Simon retrouve donc r égal à quatre, puis s comme un moins quatre, de reste deux. Il vérifie ensuite les deux nombres depuis cette paire de paramètres : deux plus quatre donne bien un, et deux plus huit donne zéro. La reconstruction ne choisit pas une valeur seulement parce qu’elle était connue du rédacteur.
Avec les indices un et trois, la différence des nombres vaut deux r. Quatre moins un donne trois ; multiplier ce reste par trois donne quatre, puisque trois est l’inverse de deux modulo cinq. Simon retrouve encore r égal à quatre, puis s égal à deux. Avec les indices deux et trois, la différence donne directement r : quatre moins zéro donne quatre. En retranchant deux r du nombre zéro, il retrouve s égal à deux. Les trois réunions possibles de deux fiches conduisent ainsi à la même valeur, sans traiter leurs indices comme des noms décoratifs.
Cette propriété vaut pour chaque valeur s et chaque issue r, pas seulement pour la feuille préparée. Pour deux indices distincts x et y, la différence des nombres vaut r multiplié par y moins x. Parmi un, deux et trois, cette différence d’indices est non nulle modulo cinq et possède un inverse. Elle fixe donc r, puis une fiche fixe s. Léa a contrôlé les vingt-cinq couples de paramètres et les trois choix de paire. Elle peut annoncer « deux fiches exactes reconstruisent » dans ce modèle, tout en gardant séparée la question de ce qu’apprendrait une personne qui n’en possède qu’une.
Simon regarde seulement la première fiche portant un. La valeur s aurait pu être zéro avec r égal à un ; un avec r nul ; deux avec r égal à quatre ; trois avec r égal à trois ; quatre avec r égal à deux. Les cinq possibilités sont compatibles. Mais ce simple nombre de possibilités ne suffit pas encore à prouver qu’aucune chance n’a changé : il faut regarder leurs poids. Chaque valeur s produit la fiche un avec exactement une des cinq issues équiprobables de r. La chance d’obtenir cette fiche est donc un cinquième, quelle que soit la valeur fixée avant le tirage.
Léa n’a pas besoin de rendre s équiprobable pour ce résultat. Si une valeur avait auparavant deux fois plus de chance qu’une autre, la lecture de cette seule fiche multiplie les deux poids par le même un cinquième ; leur rapport reste le même. La fiche ne rend donc pas les cinq valeurs également probables par magie. Elle conserve les chances antérieures, quelles qu’elles aient été, sous le tirage indépendant de r réellement donné. Simon retire une légende qui affirmait « chaque valeur a maintenant une chance sur cinq » sans avoir reçu cette règle préalable sur s.
Les deux autres indices possèdent la même propriété. Multiplier r par deux ou par trois permute les cinq restes, puis ajouter s les permute encore. Pour chaque valeur s, chacun des cinq nombres de fiche apparaît une fois quand r parcourt ses cinq issues. Une personne détenant seulement la fiche deux ou seulement la fiche trois reçoit donc aussi une observation de même chance pour toutes les valeurs possibles de s. Cela n’interdit pas la reconstruction par deux fiches : leur réunion conserve le lien créé par le même r, que la distribution d’une fiche prise séparément ne décrit pas.
Une variante où Léa fixerait toujours r à zéro n’aurait pas cette propriété. Chaque fiche afficherait alors s, quel que soit son indice. Les deux fiches permettraient encore de la retrouver, mais la première suffirait déjà. Simon laisse donc le tirage équiprobable indépendant dans la règle choisie. La formule écrite seule n’impose pas la distribution du nombre qu’elle utilise. Il ne peut pas remplacer ce tirage par une constante tout en conservant la conclusion sur la fiche isolée, même si les vingt-cinq lignes du premier tableau restent disponibles dans un autre dossier.
Une autre préparation choisit expressément s avec une chance sur cinq pour chaque valeur, puis donne à r exactement la même valeur que s. Le nombre r est donc lui aussi uniforme, mais n’est pas choisi indépendamment. À l’indice un, la fiche contient deux fois s modulo cinq. Ses cinq nombres possibles sont encore équiprobables : les valeurs zéro, un, deux, trois et quatre de s produisent zéro, deux, quatre, un et trois. Léa pourrait recopier le même histogramme uniforme que dans la première préparation. Simon lui demande pourtant de retrouver s depuis une seule fiche de cette variante.
Il multiplie le nombre reçu par trois, inverse de deux modulo cinq. Une fiche portant quatre donne ainsi s égal à deux. Toute fiche de l’indice un permet cette reconstruction, puisque la multiplication par deux est une permutation. La distribution uniforme du nombre affiché ne prouve donc pas que sa lecture serait sans information sur s. Dans cette variante, connaître s fixe précisément le nombre affiché, au lieu de lui donner cinq chances égales. Léa refuse la préparation r égal à s pour la condition initiale : le tirage marginalement uniforme de r avait conservé ses cinq valeurs, mais perdu l’indépendance dont la première preuve avait besoin.
Elle teste aussi une information extérieure à la fiche dans la préparation initiale. Cette branche choisit s uniformément, r uniformément et indépendamment, puis communique à Simon si r appartient au groupe zéro, deux, quatre ou au groupe un, trois. La fiche d’indice un porte un, et la mention reçue indique le premier groupe. Les issues r égal à zéro, deux ou quatre imposent alors respectivement s égal à un, quatre ou deux. Les cinq possibilités que la fiche un laissait seule ne demeurent donc pas toutes compatibles avec sa réunion à cette mention. Léa garde les trois couples de valeurs qui satisfont simultanément les deux renseignements.
Chacun de ces trois couples avait une chance sur vingt-cinq avant lecture, parce que les deux tirages étaient indépendants et uniformes. Après la fiche un et la mention du premier groupe, les trois valeurs de s ont donc chacune une chance sur trois ; zéro et trois sont exclues. Avec la mention de l’autre groupe, les deux issues r égal à un ou trois auraient au contraire laissé s nul ou égal à trois, chacune avec une chance sur deux. Simon ne prétend pas avoir appris r exactement. Une information partielle sur ce tirage a pourtant suffi à changer les chances de s lorsque la fiche était déjà connue. La remise limite donc sa première garantie à la fiche isolée, sans l’étendre à toute observation supplémentaire sur son tirage.
Léa prépare ensuite deux pages différentes, avec des valeurs s₁ et s₂. Pour aller plus vite sur sa feuille fictive, elle propose de réutiliser le même r dans les deux pages. La personne qui possède l’indice un reçoit alors s₁ plus r sur la première et s₂ plus r sur la seconde, modulo cinq. Chaque nombre pris seul conserve la distribution uniforme précédente. Simon lui demande pourtant de soustraire le premier du second. Le même r disparaît, laissant exactement s₂ moins s₁. Une relation entre les deux valeurs devient accessible sans réunion de deux indices d’une même page.
Dans l’issue remplie où les valeurs sont deux et quatre et r vaut quatre, les nombres visibles sur les deux premières fiches sont un et trois. Leur différence vaut deux modulo cinq. Une personne qui savait déjà que la première valeur était deux pourrait donc retrouver quatre sur la seconde ; sans cette connaissance, elle sait au moins que la seconde dépasse la première de deux dans ce calcul de restes. Les valeurs elles-mêmes ne sont pas affichées dans les fiches isolées. C’est leur relation qui a traversé la réunion des deux observations.
Pour chaque paire fixée de valeurs, le r partagé ne produit que cinq couples possibles de nombres, parmi les vingt-cinq couples de restes. Tous possèdent la même différence. Les couples obtenus pour une autre différence de valeurs appartiennent à une autre liste, disjointe. Léa retire donc la promesse selon laquelle les deux fiches d’un même indice ne renseigneraient rien sur les deux pages ensemble. Elle conserve le résultat de chacune prise seule, qui demeure vrai, et corrige la conclusion sur leur réunion. Deux observations individuellement uniformes ne sont pas pour autant sans relation avec les valeurs qu’elles réunissent.
Dans la préparation retenue pour deux pages, elle donne au contraire deux tirages r₁ et r₂ indépendants, chacun équiprobable parmi les cinq restes. Pour une paire de valeurs fixée et un couple de nombres observés à l’indice un, la première équation impose une unique issue r₁ et la seconde une unique issue r₂. Le couple possède donc une chance sur vingt-cinq pour toute paire de valeurs. Tous les couples observables apparaissent avec ce même poids. Simon peut maintenant conserver les chances antérieures de chaque paire de valeurs, sans devoir supposer que ces valeurs auraient elles-mêmes été choisies indépendamment ou uniformément.
Léa garde les deux tirages avec leurs pages plutôt que seulement deux cases contenant le même nombre dans une issue particulière. Deux tirages indépendants pourraient donner accidentellement le même r ; cela ne signifie pas que la procédure l’a imposé. Inversement, le r partagé de la proposition refusée n’était pas devenu indépendant parce que les deux fiches avaient des nombres différents. La correction de leur règle a changé les couples possibles et leurs poids. Elle ne réécrit pas les nombres déjà donnés dans l’issue un et trois pour faire disparaître la relation que l’ancienne procédure permettait de lire.
Simon examine ensuite une copie de la formule qui garde les restes modulo six au lieu de cinq. Léa maintient dans cette branche le tirage uniforme de r, désormais parmi zéro à cinq. À l’indice deux, la contribution deux r prend seulement les restes zéro, deux et quatre. Le nombre de fiche possède donc la même parité que s. Si s est pair, aucun nombre impair ne peut apparaître sur cette fiche ; si s est impair, aucun nombre pair ne le peut. Une fiche seule peut ainsi retirer une moitié des valeurs possibles. Le changement de base a détruit une propriété qui reposait sur la permutation des restes par chaque indice.
La reconstruction par deux indices peut aussi échouer. Avec les indices un et trois modulo six, Simon reçoit les nombres un et trois. Leur différence deux exige deux r égal à deux modulo six. Deux issues conviennent : r égal à un, ou r égal à quatre. La première donne s nul, la seconde s égal à trois. Les deux produisent les nombres reçus aux indices un et trois. Simon conserve ces deux origines au lieu de diviser deux par deux comme si cette division choisissait un reste unique dans la base six.
La fiche d’indice deux les départagerait : la paire s nul, r un y produit deux, tandis que s trois, r quatre y produit cinq. Avec les indices un et deux exacts, la différence d’indices vaut un et retrouve effectivement r. Léa ne conclut donc pas que toutes les paires de la copie modulo six seraient inutilisables. Elle refuse précisément sa promesse initiale « n’importe quelles deux, aucune seule » : certaines paires reconstruisent, une autre laisse deux valeurs, et une fiche d’indice deux révèle déjà une parité. La feuille active conserve modulo cinq et ses indices donnés.
Une nouvelle commande revient au modèle modulo cinq, mais autorise une fiche fausse parmi les trois nombres reçus. Simon lit un, deux et quatre aux indices un, deux et trois. Les deux premiers définissent s nul et r un ; ils attendraient trois sur la dernière fiche. Les indices un et trois définissent s deux et r quatre ; ils attendraient zéro sur la fiche deux. Enfin les indices deux et trois définissent s trois et r deux ; ils attendraient zéro sur la fiche un. Chaque origine corrige exactement une des trois fiches, mais les trois valeurs s sont différentes.
Léa connaissait la première origine dans la création de cette branche. Simon refuse pourtant d’annoncer s nul à partir du reçu seul. Rien dans ses trois nombres et la permission d’une faute unique ne désigne laquelle des trois paires est intacte. Le fait de pouvoir reconstruire depuis deux fiches exactes ne dit pas quelles deux sont exactes lorsqu’une faute peut se trouver n’importe où. Il conserve donc zéro, deux et trois comme valeurs encore possibles. Les corrections calculées restent attachées aux paires qui les autorisent, plutôt qu’à une préférence pour les deux premiers indices.
La famille fournit ensuite une quatrième fiche, d’indice quatre, sous la même limite d’une seule faute dans l’ensemble des quatre. Cette fiche porte quatre. L’origine s nul et r un donne les nombres un, deux, trois, quatre : elle concorde avec les indices un, deux et quatre et demande seulement de corriger la troisième fiche de quatre à trois. Les deux autres origines ne conviennent plus. Celle qui avait s deux et r quatre annonce trois à l’indice quatre ; celle qui avait s trois et r deux y annonce un. Elles manquent donc chacune une deuxième fiche du reçu.
Simon ne se contente pas d’éliminer ces deux anciennes candidates. Il cherche toutes les origines dont au moins trois des quatre nombres concordent. Deux origines affines différentes modulo cinq ne peuvent coïncider à deux indices distincts : la soustraction de leurs égalités fixerait la même pente, puis la même constante. Elles concordent au plus en un indice. Or deux listes de trois indices parmi quatre possèdent au moins deux indices communs. Si deux origines concordaient chacune avec trois nombres reçus, elles se rencontreraient donc en deux indices et seraient la même origine. Le reçu à quatre fiches admet au plus une reconstruction sous la limite donnée.
L’origine s nul, r un fournit justement trois concordances, donc l’existence est vérifiée en même temps que l’unicité. Léa accepte cette reconstruction et nomme la correction de la fiche trois. Le quatrième nombre n’avait pas simplement augmenté un inventaire de fiches ; il a rendu impossible le maintien d’une autre origine corrigeant une seule case. Simon a également contrôlé tous les vingt-cinq couples s,r, avec aucune faute ou une substitution à l’une des quatre places. Les quatre cent vingt-cinq réceptions ainsi créées retrouvent chaque fois leur unique origine par trois concordances. Ce contrôle porte sur cette limite de faute et ces quatre indices.
La remise ne prétend pas corriger deux fiches fausses avec le même argument. Deux origines pourraient alors avoir seulement deux concordances chacune, dont les listes ne se croiseraient qu’en un indice ou pas du tout. La condition utilisée pour les réunir en une seule origine manquerait. Léa ne prolonge donc pas automatiquement le résultat de trois fiches exactes vers une réception dont elle aurait changé la limite. Elle garde les nombres effectivement reçus, la faute unique autorisée et la fiche corrigée à côté de s nul, sans effacer le reçu un, deux, quatre, quatre.
Le livre distingue finalement les trois demandes. Deux fiches exactes de la page modulo cinq retrouvent s ; une fiche seule conserve les chances antérieures grâce au tirage uniforme indépendant ; quatre fiches dont une seule peut être fausse retrouvent une origine unique par trois concordances. Pour deux pages, les tirages sont indépendants afin que leurs fiches d’un même indice ne révèlent pas une différence par réemploi de r. Léa remet les indices, les nombres et les règles avec chaque résultat. Les reconstructions et les chances appartiennent à ce jeu fini, sans attribuer à une simple fiche uniforme la conclusion réservée à sa réunion avec d’autres.
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