Léa prépare pour Simon une page de jeu avec trois pièces dessinées. Elles sont nommées un, deux et trois, de la plus petite à la plus grande. Au départ, elles sont réunies sur le support A, trois au bas, deux au milieu et un au sommet. Simon doit les remettre toutes sur C, dans ce même ordre. Les pièces, les supports et les gestes appartiennent au modèle de cette page ; aucune manipulation matérielle n’a été observée. Léa veut un transfert complet et une raison contrôlable pour le nombre de gestes annoncé.
Trois notices du Met identifient des catégories d’objets. Leurs images et leurs procédés ne fournissent ni les piles ni les déplacements de ce cas créé.
La notice 337226 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337227 classe son objet parmi les livres.
La notice 337228 classe son objet parmi les livres.
La première feuille possède exactement trois supports, A, B et C. Un geste déplace une seule pièce, obligatoirement au sommet de sa pile. Son support d’arrivée doit être vide ou porter au sommet une pièce plus grande. Chaque paire de supports est utilisable dans les deux sens. Une pièce petite peut donc reposer sur une grande, mais pas l’inverse. La méthode classique des tours de Hanoï n’est pas revendiquée comme une invention ; nous contrôlons ici les états et les permissions précis de la page, avec trois pièces et trois autres commandes qui seront ensuite séparées.
Simon refuse d’abord de déplacer trois directement de A à C. C est bien vide, mais trois n’est pas au sommet de A : les deux autres la couvrent. Léa retire ce geste de son brouillon avant de compter une arrivée possible. La règle comporte deux conditions, l’une sur le départ et l’autre sur l’arrivée. Le fait d’avoir choisi une destination vide ne remplit pas la condition du départ. Ils conservent donc A comme pile encore entière et cherchent où placer les deux pièces qui empêchent ce premier transfert.
Il commence par déplacer un de A à C. Deux devient visible au sommet de A ; il la déplace de A à B, qui est vide. Puis un quitte C pour B et se place sur deux. Les deux petites pièces forment maintenant une pile complète sur B, tandis que trois reste seule sur A et C est vide. Ces trois gestes ont préparé un déplacement qui était auparavant interdit : trois peut désormais aller de A à C. Simon inscrit l’état obtenu après le troisième geste, pas seulement les noms des pièces déjà touchées.
Le quatrième geste place trois sur C. Il reste à remettre les deux petites au-dessus. Un quitte B pour A, libérant deux ; deux quitte B pour C et repose sur trois ; un quitte enfin A pour C et repose sur deux. La feuille arrive à la pile complète sur C après sept gestes. Chaque passage a respecté l’ordre : un sur deux, puis deux sur trois, puis un sur deux. Léa peut relire la suite depuis le départ, car le support provisoire de chaque pièce et celui qu’elle libère sont indiqués à chaque étape.
Pour contrôler cette suite, Simon représente un état par trois lettres, dans l’ordre des pièces un, deux et trois. Le départ s’écrit A,A,A ; après les trois premiers gestes, B,B,A ; après le quatrième, B,B,C ; l’arrivée s’écrit C,C,C. Cette écriture ne donne pas l’ordre vertical comme un renseignement supplémentaire à choisir librement : sur chaque support, les pièces présentes doivent toujours se ranger de la plus grande au bas à la plus petite au sommet. La représentation permet donc de vérifier qu’un déplacement proposé porte sur la pièce réellement accessible dans cet état.
Léa demande pourquoi sept serait un minimum plutôt qu’une suite simplement commode. Avant le premier déplacement de trois, les deux petites doivent être réunies sur le seul support qui n’est ni le départ de trois ni son arrivée. Les transférer depuis A vers ce support demande au moins trois gestes : déplacer un, déplacer deux, puis replacer un sur deux. Une fois le dernier déplacement de trois accompli vers C, les deux petites sont encore réunies sur l’autre support disponible. Les remettre au-dessus de trois demande également au moins trois gestes. Au moins un déplacement de trois sépare ces deux préparations : tout transfert complet compte donc au moins sept.
La suite de Simon atteint cette borne avec un seul déplacement de trois. Un projet où trois ferait plusieurs déplacements n’échapperait pas aux trois gestes avant son premier et aux trois après son dernier. Il ajouterait seulement des gestes de la grande pièce entre ces deux parties. Léa accepte donc le minimum sept sans demander de vérifier une longueur maximale de parcours. Ajouter des allers-retours pourrait allonger la suite sans fin ; cela ne produit pas une meilleure réponse à sa demande du plus petit nombre de gestes.
Simon reconnaît dans sa préparation deux transferts de la pile des petites pièces. Le premier va de A vers B en trois gestes, en utilisant C ; le second va de B vers C en trois gestes, en utilisant A. Le support qui sert d’attente n’est donc pas le même dans les deux parties. Les appeler toutes deux « déplacer les petites » sans donner leur départ et leur arrivée aurait caché une partie de la recette. Léa garde leurs trois gestes respectifs autour du déplacement de trois, pour que la reprise du même petit problème conserve ses nouveaux supports.
Une autre version de la page supprime B et ne laisse que A et C. Simon peut encore déplacer un de A à C. Il ne peut ensuite envoyer deux sur C, puisque un s’y trouve au sommet. Il ne peut pas déplacer trois, encore couverte par deux. Le seul geste suivant serait de ramener un de C à A. Le jeu retrouve alors exactement son état initial. Les deux seuls états atteignables sont ainsi la pile entière sur A et l’état où un est seule sur C. La pile entière sur C n’est pas dans cette liste.
Cette impossibilité ne dépend pas d’un mauvais ordre choisi parmi plusieurs essais. Au départ, un est la seule pièce accessible ; après son départ, la pièce suivante n’a aucune destination autorisée. Léa ne remplace donc pas sept par un nombre plus grand pour promettre un transfert qui finirait un jour. Elle remet la version à deux supports comme demande impossible sous ces règles. Le support B ne servait pas seulement à rendre la suite plus courte : il donnait une place aux petites pièces pendant que la grande devait changer de support.
Dans une troisième commande, Léa ajoute au contraire un support D et demande de réunir les pièces sur D. Chaque paire de supports reste utilisable dans les deux sens. Simon commence par placer un de A à B, puis deux de A à C. Trois est alors seule sur A et D est vide ; elle peut aller directement de A à D. Deux rejoint ensuite D depuis C, puis un rejoint D depuis B. Les trois pièces arrivent dans l’ordre voulu après cinq gestes. Les deux petites ont attendu sur des supports différents, au lieu de former une pile qui aurait dû être redéfaite pour libérer deux.
Le minimum cinq se justifie sans supposer que les sept gestes précédents pourraient être raccourcis au hasard. Trois doit bouger au moins une fois pour quitter A et rejoindre D. Chacune des petites doit quitter A avant le premier déplacement de trois, puis rejoindre D après le dernier : elle ne peut rester sur le départ ou l’arrivée de la grande lors de ce geste. Chaque petite doit donc bouger au moins deux fois. Cela impose au moins deux plus deux plus un gestes. La suite de Simon atteint ces cinq, avec un support d’attente distinct pour chacune des deux petites.
Léa confronte ce résultat à la feuille à trois supports. Si elle y copiait le début un vers B puis deux vers C tout en donnant C comme destination de trois, deux occuperait précisément l’arrivée souhaitée de la grande. Elle ne pourrait pas déplacer trois dessus. Sur la feuille à quatre supports, D était encore vide ; c’est cette place supplémentaire qui autorisait le troisième geste. Léa garde donc les listes de supports avec les deux suites. Le cinq n’est pas une meilleure découverte dans le même jeu à trois supports : il répond à une permission de stockage différente.
Simon ouvre ensuite une variante qui possède de nouveau seulement A, B et C. Cette fois, les seuls déplacements entre supports suivent A vers B, B vers C et C vers A. Le retour direct est interdit dans chaque cas. La règle de taille et de sommet reste inchangée. La cible demeure la pile complète sur C depuis A. Simon retire immédiatement le premier geste de sa suite à sept, un de A à C : ce passage va à l’encontre du sens donné. Les pièces et la destination n’ont pas changé, mais le menu des gestes ne permet plus l’ancienne réalisation.
La petite pièce doit d’abord aller de A à B. Le seul geste permis ensuite est encore celui de un, de B à C. Deux ne peut aller de A à B tant que un s’y trouve ; trois reste couverte. Après ces deux gestes, deux va de A à B. Un poursuit de C à A, libérant C ; deux va alors de B à C. Enfin un fait A vers B puis B vers C. La pile des deux petites atteint C en sept gestes, tandis que trois est restée sur A. Toutes les destinations suivent le sens imposé, même quand un doit franchir deux passages pour rejoindre le support voulu.
Trois peut maintenant aller de A à B, au huitième geste. Pour son prochain déplacement vers C, il faut libérer C sans remettre les petites sur B, où elle se trouve. Simon les transfère donc de C à A. Un va de C à A, puis de A à B ; deux va de C à A ; un va de B à C, puis de C à A. Les deux petites forment maintenant une pile sur A, trois est seule sur B et C est vide. Cette partie prend cinq gestes, parce que C vers A est un passage direct dans la convention cyclique.
Au quatorzième geste, trois va de B à C. Les deux petites doivent encore rejoindre C depuis A. Simon reprend exactement leur transfert en sept gestes : un A vers B puis B vers C, deux A vers B, un C vers A, deux B vers C, puis un A vers B et B vers C. Elles terminent au-dessus de trois. La suite complète comporte sept gestes de préparation, un geste de trois, cinq gestes pour libérer sa deuxième arrivée, un second geste de trois, puis sept gestes de remise. Le total est vingt et un.
Léa avait proposé de reprendre à rebours les trois gestes de la petite pile du jeu ordinaire. Simon contrôle un de ces retours avant de l’utiliser : un passage B vers A serait maintenant interdit. Renverser une suite correcte dans un jeu réversible ne donne pas automatiquement une suite autorisée dans le jeu orienté. Il conserve donc les deux préparations effectivement vérifiées : sept gestes pour deux petites de A vers C, cinq pour deux petites de C vers A. Leur différence ne porte pas sur un nombre de pièces ; elle porte sur la direction entre leurs supports de départ et d’arrivée.
Pour fermer le minimum vingt et un, Simon contrôle les états du jeu à trois pièces. Chacune peut se trouver sur A, B ou C ; les vingt-sept triplets donnent des piles dont l’ordre vertical est déterminé. Depuis chaque triplet, il garde seulement les gestes portant sur une pièce au sommet, allant dans le sens cyclique et arrivant au-dessus d’une pièce plus grande ou sur un support vide. Il examine les états atteints après zéro geste, puis un, puis deux, sans redonner une longueur plus grande à un état déjà atteint. La première arrivée au triplet C,C,C se trouve à la longueur vingt et un.
Le contrôle exhaustif donne aussi un trajet à quinze gestes si l’arrivée demandée est B,B,B. Simon ne remplace pas vingt et un par quinze sur sa feuille destinée à C : B est le support suivant depuis A, tandis que C demande à la grande de franchir deux passages. Le quinze confirme que le sens compte même pour deux cibles constituées de la même pile complète. La méthode générale de recherche par distances avait déjà servi ailleurs ; Léa ne la présente pas comme une opération inventée pour cette page. Elle conserve ici les états et la suite qui vérifient précisément la cible C.
La construction à vingt et un montre deux déplacements de la grande pièce, et non un. Aller directement de A à C était impossible dans cette variante. La grande passe par B, mais ce passage ne clôt pas le jeu : les petites doivent encore libérer C, puis rejoindre la grande après elle. Léa note les états C,C,A, C,C,B, A,A,B, A,A,C et C,C,C aux fins des phases réellement suivies, et retire une liste qui avait donné B,B,A comme fin de la première phase orientée. Cette première phase termine en C,C,A, pas en B,B,A comme la préparation ordinaire.
Simon reçoit aussi un état différent dans la feuille réversible à trois supports. Le premier geste a déjà envoyé un de A à B, alors que sa suite minimale depuis le départ commençait par un vers C. La page n’est pas à recommencer en effaçant ce geste reçu : l’état présent est B,A,A. Simon peut faire un de B à C, puis suivre les six derniers gestes de sa première solution. Il atteint C,C,C en sept gestes supplémentaires, donc huit au total depuis le départ initial. Le premier geste n’a pas rendu le but impossible, mais il a changé le meilleur compte de la suite entière.
Ramener un de B à A avant de reprendre les sept gestes complets donnerait neuf au total : le premier geste reçu, son retour, puis sept. Le passage direct B vers C atteint le même état que le premier geste de la suite optimale en seulement deux gestes depuis le tout début. Léa choisit cette continuation plutôt que l’annulation suivie d’un redémarrage. Le contrôle des vingt-sept états confirme que l’état B,A,A est à sept gestes de la cible. La remise conserve donc son départ présent et son reste minimal, au lieu de lui attribuer les sept gestes d’un état qui n’est plus celui reçu.
Cette comparaison se limite au jeu réversible. Si Simon recevait le même triplet B,A,A dans le jeu cyclique, il ne pourrait pas employer le retour B vers A pour annuler la première étape. Ce refus ne prouve pas que l’état reçu serait bloqué : le passage B vers C reste permis à la petite pièce. La suite à vingt et un de cette variante commence précisément par A vers B puis B vers C. Léa retrouve donc un préfixe correct du parcours orienté dans ce qui avait été un mauvais départ pour l’optimum réversible. Un état seul ne porte pas son verdict de bon ou mauvais départ sans le menu qui lui est associé.
Une dernière commande interdit de déplacer deux fois de suite la même pièce. Simon vérifie d’abord ses remises réversibles. Dans la suite ordinaire à sept gestes, les pièces déplacées sont un, deux, un, trois, un, deux, un : deux noms voisins ne sont jamais identiques. Avec quatre supports, la suite à cinq déplace un, deux, trois, deux, un et respecte également l’interdiction. Ces deux transferts complets restent donc possibles sans modifier leurs chemins. Léa ne traite pas l’interdiction comme un supplément abstrait au nombre de gestes ; elle la vérifie sur les successions effectivement remises.
Sur la feuille cyclique partie de A,A,A, la même interdiction bloque en revanche le jeu dès le second geste. Un va nécessairement de A à B en premier. À cet instant, deux est au sommet de A, mais sa seule destination permise B porte un, plus petite ; trois reste couverte. La seule pièce qui pourrait encore bouger est un, de B à C. Or la nouvelle commande interdit précisément de répéter son nom immédiatement. Il n’existe donc aucun second geste admissible. Simon refuse cette demande réunie, plutôt que chercher une très longue suite qui éviterait une obligation déjà rencontrée après le premier geste.
Léa conserve ce refus séparément du minimum vingt et un. Ce minimum concernait la variante cyclique où une même pièce pouvait agir deux fois de suite ; sa première phase utilisait justement deux passages consécutifs de un. Les suites à sept et à cinq respectent une interdiction supplémentaire que la suite orientée ne peut supporter depuis son état initial. La nouvelle impossibilité n’est donc pas un défaut de taille dans les trois pièces ni une absence de cible dans le modèle précédent. Elle vient de la réunion du sens obligatoire et de l’interdiction portant sur deux gestes voisins.
Léa ouvre enfin une autre permission dans le jeu réversible à trois supports. Une fois seulement pendant le transfert, Simon pourra déplacer ensemble les deux pièces un et deux, si elles forment les deux pièces du sommet d’un même support. Leur ordre doit rester conservé pendant le geste ; l’arrivée doit être vide ou porter une pièce plus grande que deux. Tous les autres gestes déplacent une pièce seule. Cette permission ne concerne pas une paire quelconque et n’est pas une propriété des pièces dessinées. Elle change expressément l’unité d’action autorisée sur cette seule feuille.
Simon utilise cette permission au début : il place ensemble un et deux de A à B, puis déplace trois de A à C. La permission commune est maintenant consommée. Pour terminer, il déplace un de B à A, deux de B à C, puis un de A à C. Le transfert compte cinq gestes, dont un seul porte sur la paire. Léa garde la position de ce geste dans la liste, afin que la remise ne puisse pas déplacer une deuxième fois la paire de B à C en annonçant trois. Cette seconde translation aurait précisément dépassé la permission unique donnée.
Le minimum cinq conserve un contrôle adapté au menu. Trois bouge toujours seule. Avant son premier déplacement et après son dernier, les deux petites doivent être transférées comme dans la preuve initiale. L’un de ces deux transferts peut employer le geste de paire et se réduire à un déplacement ; l’autre doit garder ses trois déplacements individuels. Avec au moins un déplacement de trois, cela impose cinq gestes. Simon peut aussi réserver sa permission pour la fin : trois gestes individuels mettent les petites sur B, trois rejoint C, puis la paire rejoint C en un geste. Ce second chemin atteint la même borne, mais sa permission est employée au cinquième geste, pas au premier.
Une dernière feuille élargit cette permission unique à n’importe quelle paire de pièces adjacentes au sommet. Simon ne lui copie pas automatiquement le minimum cinq. Il déplace un seule de A à B. Les pièces deux et trois deviennent alors les deux pièces du sommet de A ; il les déplace ensemble de A à C, arrivée vide, en consommant la permission. Enfin un va de B à C et se place sur deux. Trois gestes suffisent. Cette fois la paire autorisée contient la grande pièce, ce qui supprime les deux transferts séparés des petites autour d’un déplacement individuel de trois. La preuve du minimum cinq ne décrit donc plus ce menu.
Deux gestes ne pourraient pas suffire dans cette dernière feuille. Le premier geste déplacerait soit un seule, soit la paire un–deux, seules parties accessibles du départ. Si la paire arrive directement sur C, trois ne peut ensuite aller au-dessus d’elle ; si elle arrive sur B, un second geste de trois vers C laisse la paire ailleurs. Si un seule bouge d’abord, déplacer ensuite deux–trois vers C laisse encore un sur son premier support ; placer un sur C dès le départ empêcherait au contraire l’arrivée de la paire plus grande. Chaque possibilité manque la pile complète après deux gestes. Simon remet donc trois comme minimum, avec sa seule paire deux–trois effectivement déplacée.
Le livre retient finalement la feuille à trois supports réversibles et son transfert en sept gestes. Léa garde aussi la feuille à quatre supports, la variante cyclique, le départ déjà modifié et le refus sans répétition consécutive. Chaque remise possède ses supports, son menu, son état initial et sa cible. Simon peut refaire les passages à partir de ces données sans attribuer cinq au jeu initial à trois supports, sept au jeu cyclique ou vingt et un à une demande qui ne permet aucun second geste. Les nombres comptent des déplacements autorisés de ce modèle de papier, sans promettre une procédure pour des objets réels.
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