Pour une page de son livre privé, Sophie prépare un jeu de lettres réparties entre trois cases. Luc reçoit les règles de remplacement et voudrait calculer seulement combien de fois chacune doit agir pour atteindre la page demandée. Sophie conserve ce bilan, mais veut aussi pouvoir remettre les gestes dans un ordre autorisé. Les lettres, les cases et les remplacements sont créés. Ils ne décrivent ni une matière, ni une réaction chimique, ni une manipulation réellement effectuée. Une lettre produite porte un type ; nous distinguerons plus tard ce type d’une identité individuelle que le premier registre ne conserve pas.
La notice 342101 du Met classe l’œuvre parmi les estampes.
La notice 342102 du Met indique également cette catégorie.
La notice 342103 du Met indique aussi une estampe.
Ces notices attestent des catégories seulement. Lettres et permissions sont créées ; aucun procédé des œuvres n’est appliqué.
Un geste x retire une A et une B, puis ajoute deux C. Un geste y retire une B et une C, puis ajoute deux A. Un geste z retire une C et une A, puis ajoute deux B. Le geste n’est permis que si ses deux lettres d’entrée sont présentes avant de commencer. Il ne peut pas emprunter sa propre production pour remplir son entrée. Chaque geste conserve le nombre total de lettres, mais peut changer leurs types. Nous écrirons les comptes dans l’ordre A, B, C. Aucun geste extérieur n’ajoute ou ne retire de lettre dans la première règle.
Une même classe de bilan ne donne pas un même accès
Sophie commence avec trois A, donc les comptes trois, zéro, zéro. Aucun geste n’est permis : x manque de B, y manque de B et de C, z manque de C. La réserve n’est pas vide et son total vaut trois ; son blocage vient des deux types demandés ensemble par chaque règle. Sophie refuse de faire agir x en promettant une B à la fin d’un autre geste encore impossible. Une règle consomme ce qui existe maintenant. Elle ne transforme pas une entrée manquante en dette implicitement acceptée, car aucun prêt n’appartient encore à cette feuille.
Luc demande pourtant une A, une B et une C à la fin. Il écrit une occurrence de x et une de z. Leurs changements réunis retirent deux A, ajoutent une B et une C : x donne moins une A, moins une B, plus deux C ; z donne moins une A, plus deux B, moins une C. Appliqué au compte initial, ce changement donnerait un, un, un, sans nombre négatif dans le résultat. Les deux nombres de gestes sont entiers et positifs. Sophie garde ce bilan exact, mais refuse de le présenter comme une exécution : ni x ni z ne pouvait être son premier geste. Le calcul final n’a pas fourni les entrées intermédiaires.
Elle cherche un contrôle nécessaire supplémentaire. La différence entre les comptes A et B ne change pas après x. Après y elle augmente de trois ; après z elle baisse de trois. Son reste après division par trois est donc conservé. Les comptes trois-zéro-zéro et un-un-un ont tous deux le reste zéro ; ce contrôle ne les sépare pas. Un départ deux-un-zéro possède au contraire le reste un et ne pourrait jamais arriver à trois-zéro-zéro, de reste zéro, sous ces seuls gestes. Sophie garde deux refus différents : le second manque déjà un invariant nécessaire, tandis que le premier le passe et demeure bloqué par ses entrées.
Parmi les dix dispositions de trois lettres, la classe de reste zéro contient trois-A, trois-B, trois-C et A-B-C. Les trois dispositions d’un seul type n’ont aucun geste permis. A-B-C en possède trois. Ces quatre pages satisfont pourtant les mêmes deux contrôles, total trois et reste zéro. Sophie les met dans quatre cases distinctes de son dessin d’accès. Elle ne joint pas deux pages par une flèche seulement parce qu’elles se trouvent dans une même classe de nombres. Les classes de bilan servent à écarter des destinations ; les flèches doivent encore être fournies par des gestes permis depuis une page précise.
Depuis A-B-C, x produit trois C, y produit trois A et z produit trois B. Les trois gestes sont légaux au départ et conduisent à trois pages bloquées différentes. Sophie doit donc choisir sa destination avant le geste, au lieu d’annoncer qu’elle peut commencer librement et retrouver forcément la même fin. Elle remet y si la demande porte sur trois A. Elle ne qualifie pas les résultats de x et z de mauvaises additions : ils répondent à d’autres choix. Cette bifurcation remplie ne possède pas la propriété d’une procédure où toutes les suites légales termineraient sur la même page stable.
Le sens des flèches importe ensuite. La flèche d’A-B-C vers trois A existe, mais trois A ne possède pas sa flèche inverse. Luc proposait de lire le dessin comme un regroupement où toutes les pages reliées seraient interchangeables. Sophie retire cette lecture. Les trois pages uniformes peuvent être atteintes depuis la page mélangée ; elles ne peuvent pas rendre ce mélange sous la première règle. Pour retrouver la page de départ, il faudrait une nouvelle permission ou une autre opération. Le bilan x-z déjà calculé ne répare pas la flèche manquante depuis trois A, dont aucune entrée mixte n’est disponible.
Une autre classe peut tourner sans atteindre un blocage
Sophie prend maintenant deux A et une B. Seul x est permis. Il donne une A et deux C, où seul z est permis. Celui-ci donne deux B et une C, où seul y est permis. y rend deux A et une B. Elle dessine les trois flèches dans cet ordre, x puis z puis y. Aucun état de ce tour n’est bloqué, et aucune décision entre deux boutons n’a été nécessaire dans ces trois pages. La classe de reste un contient exactement ces trois dispositions de total trois. Depuis l’une, on peut atteindre chacune des deux autres, puis revenir au départ ; cette fois le regroupement possède réellement les chemins orientés que le premier regroupement n’avait pas.
Si la commande exige de poursuivre tant qu’un geste est permis, cette classe ne peut pas remettre une page bloquée. Après chaque passage, la même situation de choix revient : il y a un geste permis, dont le résultat est la suivante des trois pages. Sophie ne choisit pas un nombre élevé de tours pour raconter qu’un blocage finira par apparaître. Le dessin complet de la classe contient seulement ce cycle. Elle peut accepter une autre commande qui autorise à s’arrêter sur une page nommée ; ce serait une permission de pause, pas une preuve que toutes les règles de remplacement sont devenues inapplicables à cette page.
Luc souhaite employer une fois chaque geste, en écrivant x, y, z. Le bilan cumulé des trois vaut zéro : chaque type reçoit exactement ce que les autres gestes lui retirent. Mais depuis deux A et une B, x conduit à une A et deux C ; y manque alors de B. La liste x-y-z est refusée à sa deuxième position. La liste x-z-y, elle, effectue le tour effectivement dessiné et revient au départ. Les cinq autres ordres des trois lettres échouent : ceux commençant par y ou z manquent une entrée dès le début, et x-y-z est celui déjà contrôlé. Sophie remet x-z-y avec son ordre, sans appeler tout ordre des mêmes comptes une exécution du tour.
Cette vérification ne lui permet pas de remplacer l’entrée d’un geste par la somme des entrées sur le tour entier. Dans x-z-y, la B disponible au premier x est consommée ; les deux B utilisées plus tard ne sont produites qu’après z. y peut alors en consommer une. La page initiale n’avait pas à fournir simultanément une réserve séparée pour chacun des trois gestes, mais chaque page intermédiaire devait fournir les deux lettres de son geste suivant. Sophie conserve cette différence dans la trace. Les comptes disent combien de remplacements ont été effectués ; ils ne disent pas à quel moment leurs productions sont devenues disponibles.
Un compte qui baisse à chaque geste ne peut pas expliquer ce tour
Sophie compare cette procédure avec une autre, dissipative, où un compte pondéré pouvait diminuer à chaque geste. Elle essaie ici de donner un poids fixe à A, un à B et un à C, afin que tout geste permis fasse strictement baisser leur somme pondérée. Le tour x-z-y fournit déjà une obstruction : il revient au même compte de lettres, donc au même score, après trois gestes. Trois baisses strictes ne peuvent produire cette égalité. Elle refuse de reprendre un certificat de fin provenant d’une autre règle simplement parce que les deux pages emploient trois cases et des nombres entiers.
L’obstruction se lit aussi directement dans les trois changements. La baisse calculée pour x, plus celle de y, plus celle de z, serait le poids appliqué à leur changement cumulé nul. Leur somme vaut donc zéro pour n’importe quels poids fixes. Elle ne peut être strictement négative dans les trois termes. Sophie ne choisit pas des poids encore plus grands pour résoudre cette contradiction. Des poids pourraient distinguer certaines étapes, mais aucun compte linéaire fixe ne certifie une baisse stricte pour ces trois gestes. Cette impossibilité concerne le certificat proposé ; la trace légale du tour atteste séparément qu’une poursuite infinie est effectivement possible dans cette classe.
Sophie garde également la limite de cette conclusion. L’absence de ce certificat ne signifie pas que toutes les pages tournent. Trois A ne peut même pas commencer ; A-B-C mène à une des trois pages bloquées après un seul geste. Le dessin d’accès complet fournit ces comportements différents sous les mêmes règles. Elle remet donc la classe de départ avec la commande de fin. Un choix de poids est une tentative d’explication globale, pas un remplacement du contrôle des états que la demande autorise. Ni une page bloquée ni un tour ne devient l’histoire de toutes les autres pages par la présence d’une même formule de score.
Un prêt de catégorie ouvre une exécution qui n’existait pas
Une nouvelle feuille autorise enfin Sophie à ajouter provisoirement une B au départ trois-A, puis exige de rendre une B avant la remise. La dette porte seulement sur le type B, non sur une lettre physique identifiée. Cette permission est ajoutée explicitement ; elle ne rend pas le premier x légal dans la feuille qui n’avait aucun prêt. Avec l’ajout, le compte devient trois, un, zéro. Le premier x peut maintenant consommer une A et la B disponible. Sophie ouvre une autre trace et conserve à côté le refus de la page sans prêt, avec son compte initial trois, zéro, zéro.
Après x, la réserve contient deux A et deux C : deux, zéro, deux. z est alors permis et donne une A, deux B et une C : un, deux, un. Sophie rend une B et remet un, un, un. Le total a été quatre pendant les deux remplacements, puis trois après le retour ; le compte de dette est passé d’une B à zéro. Elle a effectivement atteint le mélange souhaité avec x puis z, mais depuis le départ augmenté. Elle ne recopie pas cette trace dans le dossier de départ sans ajout pour prétendre que les mêmes deux gestes y étaient finalement possibles. L’entrée que le premier x attendait a été fournie par la nouvelle permission.
Luc voudrait appeler ce prêt un geste dont le bilan serait invisible. Sophie le garde pourtant dans une colonne distincte : plus une B avant les remplacements, moins une B à la fin. Les deux mouvements s’annulent dans le bilan général, mais leur emplacement a ouvert la première entrée. Si elle avait promis de rendre B avant x, les trois A seraient restées seules et x aurait été refusé. Le retour ne peut donc être déplacé librement dans la liste au seul motif qu’il retire la même quantité ajoutée. Sophie inscrit la dette pendant toute la portion où la B extérieure rend la transformation possible, puis son extinction effective avant la remise.
La feuille ne peut pas promettre de rendre la même B individualisée. Pour le voir, Sophie lui donne provisoirement un identifiant B-prêtée. C’est la seule B présente avant le premier x ; ce geste la retire et crée deux nouvelles C. z retire ensuite une de ces C avec une A et crée deux B nouvelles. Une de celles-ci est rendue, mais aucune ne porte encore l’identité de l’entrée retirée. Sophie accepte le retour d’une unité de catégorie B et refuse la formule « le même objet revient intact ». Son registre de types remplit la première demande ; il ne transporte pas un identifiant individuel à travers des remplacements qui détruisent les lettres d’entrée et créent celles de sortie.
Ajouter une A au lieu d’une B n’aurait pas ouvert la page : quatre A restent un état d’un seul type, sans entrée mixte pour x, y ou z. Sophie garde ce petit essai refusé à côté du prêt retenu. Elle ne présente pas un total quatre comme une permission suffisante de commencer. Le type fourni et son moment de présence font partie de la réparation. Nous ne multiplions pas les quantités de prêt pour en tirer une autre décision chiffrée : une B déjà autorisée suffit à remplir la trace de deux remplacements et le retour décrit, tandis que le départ sans permission reste conservé comme refusé.
La page remise A-B-C possède encore des gestes permis. Le succès de cette trace signifie qu’elle a atteint la disposition demandée et rendu la dette, pas qu’elle a stabilisé toutes les règles. Si le destinataire exigeait aussi une page sans aucun geste applicable, A-B-C échouerait à cette demande supplémentaire. Sophie conserve le libellé « remettre une lettre de chaque type après retour » sur cette feuille. Elle ne joint pas le mot « bloqué » de son ancien état trois-A au mélange maintenant obtenu. Les comptes de la page finale et la condition de fin sont remis ensemble, au lieu d’emprunter leurs propriétés à deux traces différentes.
Choisir une fin selon la permission de la rouvrir
Luc propose une autre commande depuis A-B-C : choisir d’abord une page bloquée, mais garder la possibilité de retrouver A-B-C plus tard. Pour cette reprise future, seule une B de catégorie pourra être empruntée et rendue ; aucun autre type extérieur ne sera disponible. Sophie compare les trois gestes du départ avec cette permission précise. Le choix z donnerait trois B. En ajoutant encore une B, elle aurait quatre B, où aucune règle ne possède ses deux types d’entrée. Aucun remplacement ne peut commencer, donc aucune reprise n’atteint le mélange avant retour. Sophie retire z de cette commande qui doit rester réouvrable par un prêt B.
Le choix y donne trois A, dont la reprise par prêt B vient d’être remplie. Le choix x donne trois C ; avec une B ajoutée, les comptes sont zéro, un, trois. y peut consommer une B et une C et donner deux, zéro, deux. z donne ensuite un, deux, un ; rendre une B retrouve A-B-C. Les deux destinations trois-A et trois-C peuvent donc être rouvertes sous le même type de prêt, avec des premières règles différentes. Sophie garde ces premières règles dans les deux traces : x pour la reprise de trois-A, y pour celle de trois-C. Elle ne reçoit pas la règle x dans la page de trois-C, qui ne possède aucune A pour l’exécuter.
Pour la remise retenue, elle choisit y depuis A-B-C et présente trois A, une page réellement bloquée. Sa note de reprise autorisée indique alors l’ajout B, x, z et le retour B, dans cet ordre. Elle laisse trois B hors de la sélection réouvrable, même si cette autre destination était parfaitement légale et bloquée au premier geste. Le choix de fin dépend maintenant d’une intervention future autorisée, et pas seulement de l’absence immédiate de geste. Sophie ne donne pas un prêt C à trois B pour sauver ce choix : ce type n’appartient pas à la permission reçue pour cette commande.
Le dossier garde donc les refus sans prêt, les chemins de la classe tournante et les destinations effectivement choisies. Les traces à dette se distinguent des traces fermées par leurs ajouts et leurs retours enregistrés. La règle de reprise ne change pas les anciens accès : elle fournit une intervention nouvelle, attachée à une fin précise et à un type disponible. Sophie remet les comptes et ces permissions sans les transformer en une loi sur des matières ou des outils réels. Les pages ne promettent ni que tout bilan final possède un chemin ni que tous les chemins possèdent la même fin.
Les notices d’estampes n’attestent aucun remplacement ni prêt de lettres. Leurs catégories restent leur seule contribution au cas créé.
Une reprise possible ne donne pas une commande commune
Une seconde remise change maintenant l’information disponible. Sophie reçoit une boîte fermée contenant soit trois A, soit trois C ; une fiche garantit ces deux possibilités, sans dire laquelle a été retenue. Le prêt autorisé reste une seule B, à rendre après la reprise. Luc voudrait inscrire une suite de gestes sur la fiche avant d’ouvrir la boîte, puis appliquer cette même suite dans les deux cas. Les deux reprises précédentes réussissent pourtant chacune avec cette B. Sophie vérifie une exigence supplémentaire avant de promettre cette commande commune : son premier geste doit être légal dans chacune des deux situations possibles. Après l’ajout B, les comptes possibles sont trois, un, zéro et zéro, un, trois. Dans le premier, seul x peut commencer ; dans le second, seul y peut commencer. z manque de C dans le premier et d’A dans le second. L’intersection des gestes permis est donc vide. Aucun premier geste commun n’existe, et une suite vide ne produit le mélange dans aucune des deux boîtes. Luc retire sa fiche uniforme : deux chemins existants ne lui donnent pas un chemin exécutable sans connaître le départ.
Sophie ajoute alors une permission d’observation, distincte du prêt : ouvrir la boîte et constater si elle contient des A ou des C avant de choisir la première règle. Elle remplit les deux branches de la nouvelle fiche. Si elle trouve trois A, elle ajoute B, applique x, puis z et rend B ; si elle trouve trois C, elle ajoute B, applique y, puis z et rend B. Les deux branches passent par deux, zéro, deux, puis un, deux, un avant le retour, mais leur première règle reste différente. Elle teste la branche erronée au départ trois-C : x n’a aucune A et échoue avant tout changement. Le constat initial sert donc réellement à sélectionner un geste, même si les deux traces se rejoignent ensuite. Luc remet une fiche conditionnelle avec cette ouverture autorisée, plutôt qu’une suite fixe. Si la boîte doit rester fermée, Sophie refuse la même commande sous cette autre contrainte ; elle ne transforme pas une observation interdite en connaissance disponible. Le prêt règle ici une entrée matérielle manquante dans le jeu, tandis que l’ouverture règle le choix entre deux entrées possibles. Elle inscrit les deux permissions séparément.
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