Camille crée une page de livre privé avec huit repères fictifs. Les coordonnées ne désignent aucun lieu mesuré : O vaut (0,0), A (4,0), B (4,3), C (0,3), D (1,1), E (2,1), F (3,2) et G (2,0). Nora souhaite tracer autour d'eux la plus petite région convexe qui les contient tous. Convexe signifie ici que le segment entre deux points de la région reste entièrement dans cette région. La demande ne consiste ni à relier les repères dans l'ordre de leurs lettres, ni à présenter toute position intérieure comme un repère déjà inscrit.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Ces notices ont été lues pour leurs catégories. Aucune image ni méthode artistique n'est reprise ; les points et les demandes sont stipulés ici.
Les huit repères constituent une liste finie de positions nommées. Le contour proposé sera un polygone fermé avec des segments droits, et la région comprendra son bord. Nora veut un certificat de la région minimale, pas seulement un tracé qui paraîtrait proche des points. Elle accepte que certains repères ne soient pas des sommets de ce contour. Ils devront toutefois rester dans sa liste : retirer un nom de la liste des sommets ne donnera pas la permission de supprimer son repère de la page ou du dossier qui l'accompagne.
Les quatre coins imposent déjà une région entière
Camille commence par O, A, B et C et propose le rectangle dont x va de zéro à quatre et y de zéro à trois. Tous les autres repères sont dedans ou sur son bord : D, E et F sont intérieurs, tandis que G appartient au côté O-A. Nora accepte ce premier contrôle de contenance, mais demande encore pourquoi une région convexe plus petite ne pourrait pas suivre D ou E pour enlever une partie vide. Camille garde cette question ouverte plutôt que donner douze, l'aire du rectangle, comme preuve suffisante de son choix.
Toute région convexe contenant O et A doit contenir leur segment horizontal. Elle doit aussi contenir le segment C-B, puisque ses deux extrémités sont données. Pour une abscisse x comprise entre zéro et quatre, les deux segments donnent les points (x,0) et (x,3). La région convexe doit alors contenir tout le segment vertical entre eux. En faisant varier x sur cet intervalle, Camille retrouve chaque point du rectangle proposé. Aucune région convexe contenant les quatre coins ne peut donc retrancher un morceau de ce rectangle. Comme le rectangle lui-même est convexe et contient les huit repères, il est bien la région minimale demandée.
Nora avait tracé à la place la suite O-A-E-B-C-O, en faisant rentrer le bord vers E. Camille teste le point (4,1), situé entre A et B. Il devrait appartenir à toute région convexe contenant A et B, mais la rentrée vers E exclut une partie de ce segment vertical. Nora retire donc ce tracé de la commande convexe. Le fait que son trait passe par E n'améliorait pas la réponse : E pouvait rester à l'intérieur du contour. Elle garde ce repère sans lui imposer une place de sommet, puis remet le rectangle avec la preuve fondée sur ses deux bords horizontaux.
Une autre fiche annonçait que le rectangle donnait quatre repères parce qu'il possédait quatre sommets. Nora la corrige : la page conserve huit repères et son enveloppe possède quatre sommets extrêmes. Le repère G est sur le contour sans créer un nouveau changement de direction ; D, E et F restent dedans. Camille peut donc décrire trois rôles, sommet, point de bord non extrême et point intérieur, avec les mêmes huit positions. La correction ne produit ni quatre noms nouveaux ni une liste abrégée des seuls noms jugés intéressants. Elle distingue l'objet tracé de la donnée dont il fournit l'enveloppe.
Un virage permet d'écarter un sommet provisoire
Pour reconstruire le contour depuis la liste, Camille range les coordonnées par x croissant, puis par y croissant lorsque x est égal. Elle obtient O, C, D, G, E, F, A, B. Cette liste de parcours n'est pas déjà le contour. Elle va construire une chaîne inférieure en retirant les virages qui repartent du mauvais côté. Pour trois points consécutifs P, Q et R, elle calcule le déterminant des vecteurs Q−P et R−P. Son signe indique le sens du virage ; zéro annonce trois points alignés. La convention retenue garde pour cette chaîne les virages strictement positifs.
Camille commence par O puis C. En ajoutant D, elle calcule le déterminant de (0,3) et (1,1), qui vaut moins trois. C est donc retiré de cette chaîne provisoire et la chaîne devient O-D. Elle ne retire pas C du dossier : il devra réapparaître sur l'autre partie du contour. En ajoutant G(2,0), le déterminant de (1,1) et (2,0) vaut moins deux ; D sort à son tour de la chaîne inférieure. Camille conserve O-G avant l'ajout suivant. Les deux retraits ont corrigé le contour en construction, sans effacer les coordonnées qui permettront de vérifier ensuite la contenance finale.
E(2,1) donne après O-G un virage positif, donc la chaîne devient O-G-E. F(3,2) produit ensuite, depuis G, les vecteurs (0,1) et (1,2), de déterminant moins un. Camille retire E, puis examine le nouveau dernier virage O-G-F : son déterminant vaut quatre et il est conservé. La chaîne devient O-G-F. Nora avait proposé de garder E parce qu'il venait d'être accepté au passage précédent ; Camille refuse ce statut définitif. La possibilité de former un bord inférieur avec les points déjà rencontrés ne garantissait pas qu'E resterait utile après l'arrivée de F.
L'ajout d'A(4,0) fait maintenant tourner la fin G-F-A du mauvais côté : les vecteurs (1,2) et (2,0) donnent moins quatre. F sort. Les trois points O, G et A sont ensuite alignés ; leur déterminant vaut zéro. Camille retire G de la liste des sommets pour garder directement O-A, puis ajoute B avec un virage positif de douze. La chaîne inférieure terminée est O-A-B. Nora vérifie ainsi deux raisons de retrait différentes : F était du mauvais côté du bord inférieur, G restait sur un segment déjà entièrement décrit par ses deux extrémités. G n'est donc pas déclaré hors de la région ni supprimé des repères.
Camille parcourt ensuite les mêmes coordonnées dans l'ordre inverse pour construire la chaîne supérieure. Elle retrouve B-C-O. En réunissant les deux chaînes sans répéter les deux extrémités communes, elle remet O-A-B-C puis le retour à O. Nora compte quatre sommets distincts ; elle ne double pas O et B parce qu'ils apparaissaient à la jonction des deux recherches. Elle vérifie enfin que D, E et F restent contenus, et que G reste sur O-A. La procédure a retrouvé le rectangle certifié, avec des retraits provisoires refaisables, au lieu d'une sélection des noms jugés visuellement les plus éloignés.
Une limite du contour peut fournir un certificat de refus
Une autre demande propose un neuvième repère P(5,1), tout en souhaitant conserver le contour précédent. Camille utilise son côté droit : tous les points du rectangle ont une première coordonnée au plus égale à quatre. P vaut cinq et ne peut donc être contenu. Nora retire la promesse du contour inchangé avant de modifier la liste. Ce refus ne dépend pas d'un calcul de distance à chaque ancien repère. Une seule inégalité satisfaite par toute la région fournit le certificat que le nouveau point se trouve de l'autre côté du bord.
Nora accepte ensuite d'agrandir l'enveloppe pour inclure P. Camille remplace le côté A-B par les deux segments A-P et P-B. Le contour devient O-A-P-B-C. Chaque ancien repère reste dans le rectangle, désormais contenu dans la nouvelle région, et P figure sur son bord. Les virages du nouveau contour sont tous positifs. L'enveloppe contient le rectangle et le triangle A-P-B, dont la base A-B a longueur trois et dont P est à distance horizontale un. L'aire ajoutée vaut trois demis ; l'aire totale devient vingt-sept demis. Nora reçoit le nouveau contour avec cette liste de sommets, sans présenter P comme une retouche du nom d'un ancien coin.
Camille vérifie aussi la minimalité de cet agrandissement. Toute région convexe contenant les anciens quatre coins contient leur rectangle ; si elle contient P en plus, elle contient les segments entre P et tous les points de A-B, donc le triangle A-P-B. La réunion considérée est précisément le pentagone remis et elle est convexe. Nora ne choisit donc pas un contour plus large pour se dispenser de la preuve. Elle garde le pentagone à cinq sommets comme la région imposée par ces données, avec sa nouvelle aire. Le certificat d'exclusion par x au plus égal à quatre appartenait à l'ancien contour ; il n'est pas laissé comme limite du nouveau dessin.
Dans une branche séparée, Nora ajoute plutôt un nom H à la position (2,2), déjà intérieure au rectangle initial. Cette addition ne change pas l'enveloppe. Elle conserve toutefois H dans la liste, qui possède maintenant neuf noms. Camille retire le titre « aucune donnée ajoutée puisque le contour reste identique ». L'ajout a donné un repère nommé, même si la plus petite région convexe demeurait la même. Les deux opérations, ajouter P extérieur ou ajouter H intérieur, reçoivent ainsi des résultats contrôlés différents pour le contour et des résultats communs pour le nombre de noms effectivement inscrits.
Supprimer un sommet peut rendre extrême un point qui ne l'était pas
Repartons des huit repères d'origine, sans P ni H. Nora retire cette fois B(4,3) de la liste donnée. Camille avait proposé de relier directement les anciens voisins A et C pour fermer le contour O-A-C. Son aire serait six. Mais F(3,2) doit encore être contenu, puisqu'il n'a pas été retiré. Le segment A-C a pour équation 3x+4y égal à douze, avec le côté intérieur contenant O. F donne dix-sept et se trouve du côté extérieur. Nora refuse donc cette simple fermeture des anciens voisins, qui aurait abandonné un repère demeuré dans la commande.
Camille reprend les sept coordonnées restantes et retrouve l'enveloppe O-A-F-C. F, intérieur au rectangle précédent, est devenu un sommet extrême après la suppression de B. Les points D et E sont du côté intérieur de ses quatre bords et G reste sur O-A. L'aire vaut dix-sept demis. Nora remet ce contour avec la liste contenant F, plutôt qu'une liste de trois anciens sommets accompagnée de cette aire issue d'un autre dessin. Retirer B a donc demandé de réexaminer les points qui n'étaient pas dans l'ancienne liste des sommets ; leur statut intérieur dépendait de la région que B contribuait à imposer.
Nora compare cette suppression à celle de F dans les huit données initiales. Les quatre coins O, A, B et C restent alors présents et imposent toujours le rectangle entier. L'enveloppe ne change pas, malgré le retrait d'un repère. Camille ne conclut pas que supprimer un nom laisse toujours le contour inchangé, ni qu'une diminution du nombre de noms diminue nécessairement l'aire. B et F étaient tous deux des données de la même liste ; leurs retraits ont des conséquences différentes sur la fermeture convexe. Nora garde les deux listes de départ et leurs deux contours, au lieu de donner au retrait de F les dix-sept demis du retrait de B.
Dans la branche sans B, Nora demande un certificat montrant que le sommet F ne pourrait pas être retiré de la liste des sommets. Camille reprend la droite A-C et son test : O, A et C sont sur le côté 3x+4y au plus égal à douze, mais F atteint dix-sept. Une région convexe construite seulement sur ces trois anciens coins ne peut l'inclure. Nora accepte ce certificat et conserve F dans le contour. Il n'affirme pas que F serait indispensable dans toute autre liste de repères : l'ancien B suffisait précisément à le laisser intérieur. Le certificat porte sur les sept données de cette branche et la tentative de revenir au triangle refusé.
La distance à une enveloppe n'est pas la distance aux repères nommés
Nora revient à la liste initiale et demande quel repère se trouve à la position Q(2,2). Camille consulte les huit coordonnées : aucun nom ne possède cette position. Q appartient pourtant à l'intérieur du rectangle. Nora avait utilisé la contenance de l'enveloppe comme une réponse positive à sa recherche d'identité ; Camille retire ce résultat. L'enveloppe contient, par sa construction, tous les points entre certains repères. Cette fermeture ne les ajoute pas à la liste finie des noms. H pourrait désigner Q dans la branche où Nora l'a expressément ajouté, mais ce nom ne doit pas entrer dans le dossier initial sans cette donnée.
Camille remplit ensuite une demande de proximité, qui peut être posée même lorsque la position n'est pas nommée. Elle compte le carré de la distance ordinaire aux repères : à E(2,1), Q possède une différence verticale de un ; à F(3,2), une différence horizontale de un. Les deux carrés valent un. D(1,1) donne deux, les quatre coins donnent des valeurs plus grandes, G(2,0) donne quatre. La distance minimale à la liste vaut donc un, avec deux noms ex æquo, E et F. Nora reçoit ces deux noms. Elle ne transforme pas le choix de l'un pour une légende en unicité de la réponse à cette demande.
À la région convexe, la distance minimale de Q vaut au contraire zéro, puisque Q appartient déjà à cette région. Nora ne remplace donc pas les deux noms E et F par le mot rectangle dans la ligne qui cherchait un repère le plus proche. Les deux résultats un et zéro ont des objets différents : une liste finie de positions, puis une région continue contenant ces positions et d'autres. Camille lui remet les deux calculs séparés et garde l'absence de nom en Q. Elle peut ainsi présenter une zone de comparaison sans fabriquer une présence dans cette zone ou une identité au point interrogé.
Les seuls sommets peuvent répondre à la demande la plus éloignée
Camille propose de conserver seulement les quatre sommets pour répondre aux demandes de distance depuis Q(2,2). Cette réduction échoue pour le plus proche : les deux coins B et C sont à distance racine de cinq, alors que les repères E et F donnaient une distance de un. Nora refuse cette réponse à la première demande. Elle examine toutefois une autre question, le repère le plus éloigné, avant de décider si la liste réduite échoue de la même manière. Les deux questions ne choisissent pas les mêmes extrêmes et doivent recevoir chacune leur certificat.
Dans le rectangle entier, x reste entre zéro et quatre : le carré de x moins deux est donc au plus quatre. Comme y reste entre zéro et trois, le carré de y moins deux est également au plus quatre. Le carré de la distance de Q à n'importe quel point de la région est donc au plus huit. O(0,0) et A(4,0) atteignent tous deux huit. Camille les remet comme les deux repères les plus éloignés de Q dans la liste, sans énumérer les distances aux trois repères intérieurs. Le certificat vaut pour toute la région qui les contient et pas seulement pour quelques points omis de sa feuille. Les coins B et C n'atteignent que cinq ; un repère intérieur ne peut dépasser la borne huit, quelles que soient ses coordonnées dans le rectangle.
Nora choisit finalement deux relevés de recherche différents pour cette page. Pour la proximité, elle garde les huit coordonnées et répond E et F à distance un. Pour l'éloignement, les quatre sommets accompagnés de la borne de région suffisent et elle répond O et A à distance racine de huit. Elle retire la consigne qui autorisait à employer la petite liste pour les deux recherches. La réduction a gardé les informations nécessaires au maximum et perdu celles nécessaires au minimum sur les noms donnés. Camille conserve les deux réponses dans leurs lignes propres, plutôt qu'une seule liste de coins présentée comme un remplacement complet des données. La recherche dans la région reste encore différente : elle donnait zéro pour la proximité de Q, sans nommer un repère à sa position.
Nora choisit enfin de garder les huit coordonnées avec l'enveloppe à quatre sommets pour la page initiale. La branche ajoutant P reçoit son pentagone, celle retirant B son quadrilatère avec F exposé. Chaque contour reste accompagné de la liste qui l'impose et de ses limites. Les repères intérieurs et ceux situés sur un bord ne disparaissent pas parce que le dessin utilise moins de sommets. Camille remet ainsi des régions et des recherches de noms qui ne se remplacent pas silencieusement, avec les points fictifs exacts qui ont permis leurs certificats.
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