Dans le livre fictif de Salomé, huit fragments occupent un ordre fixe. Thomas doit retenir un seul passage, depuis une première position jusqu’à une dernière, en gardant tout ce qui se trouve entre elles. Chaque fragment porte un score stipulé pour l’exercice. Ce score ne mesure ni une qualité littéraire ni une préférence observée. Salomé demande d’abord la plus grande somme ; elle ajoutera ensuite des limites de longueur et une permission précise de traverser la fin. Thomas doit conserver les permissions avec chaque passage remis, plutôt que faire circuler une sélection dont les bornes auraient disparu.
La notice 351200 du Met classe l’objet parmi les livres.
La notice 351012 du Met indique aussi la catégorie des livres.
La notice 351013 du Met porte les catégories livres, ornement et architecture.
Ces catégories ne donnent aucun score. Les valeurs, les passages et les règles de choix sont créés, sans examen d’image.
Les huit valeurs sont cinq, cinq, moins quatre, six, six, six, moins vingt et vingt et un. Thomas numérote les positions de un à huit avant de choisir. Il ne peut pas rassembler seulement les six valeurs positives : cette sélection aurait laissé deux trous. Une seule paire de bornes détermine ici tous les fragments retenus. La permission de choisir un passage ne permet pas de réordonner les pages ou d’effacer un fragment intérieur au motif que sa valeur est négative.
Une perte intérieure ne commande pas forcément un nouveau départ
Thomas prépare d’abord une sélection en coupant avant chaque valeur négative. Il obtient les deux cinq, les trois six et le vingt et un final comme trois possibilités séparées. La meilleure de ces trois vaut vingt et un. Salomé lui montre pourtant le passage entier : dix moins quatre plus dix-huit moins vingt plus vingt et un donne vingt-cinq. Ce passage garde les deux pertes et gagne quatre sur sa remise. Elle retire la règle « couper dès qu’un fragment est négatif », sans prétendre que ces pertes deviennent positives. Leur présence est le prix du maintien de tout ce qui précède le dernier fragment.
Pour décider autrement, Thomas suit le meilleur passage qui finit exactement à la position actuellement lue. À la première, il vaut cinq. À chaque nouvelle valeur, deux possibilités couvrent tous les passages qui finissent là : commencer à cette position seule, ou prolonger un passage finissant juste avant. Parmi ces prolongements, conserver le meilleur précédent suffit, car tous reçoivent la même valeur ajoutée. Thomas compare donc la nouvelle valeur à cette valeur plus le meilleur total précédent. Il ne compare pas seulement le signe de la nouvelle page ; il compare les deux passages complets qu’elle peut terminer.
Les meilleurs totaux finissant successivement aux huit positions valent cinq, dix, six, douze, dix-huit, vingt-quatre, quatre et vingt-cinq. À la septième, la valeur moins vingt laisse quatre en prolongeant le passage précédent, contre moins vingt en commençant seule. Thomas garde le début à la première position. Quand vingt et un arrive ensuite, ce début donne vingt-cinq, contre vingt et un en repartant à la huitième. La perte de vingt n’avait pas effacé les vingt-quatre déjà accumulés. Salomé remet le passage un à huit avec cette comparaison, plutôt qu’une fin isolée choisie parce qu’elle paraît très favorable.
Thomas sépare aussi le total du meilleur passage finissant maintenant et le meilleur rencontré jusque-là. À la septième position, le premier est quatre, tandis que le second demeure vingt-quatre, obtenu de un à six. Il conserve ce passage antérieur comme candidat, même s’il ne finit pas sur la dernière page lue. À la huitième, vingt-cinq le remplace. Si le livre avait été arrêté après la septième, remettre quatre aurait confondu une obligation de terminer à cette page avec la liberté de choisir les deux bornes. La même lecture doit donc garder deux informations, parce que les deux demandes ne coïncident pas.
Une vérification générale explique le choix local. Un passage finissant à la nouvelle position et comportant plusieurs fragments possède nécessairement un dernier fragment précédent, immédiatement voisin. Retirer la nouvelle valeur laisse un passage qui finissait à cette position précédente. Si ce passage n’était pas le meilleur précédent, le remplacer par celui qui l’était augmenterait ou conserverait le total, sans créer de trou. Commencer seul couvre l’unique autre possibilité. Salomé peut ainsi transmettre les deux bornes du meilleur candidat avec son total ; elle ne doit pas mémoriser tous les passages pour justifier cette première demande.
La permission de garder au moins un fragment reste essentielle. Sur une feuille distincte portant moins trois, moins deux et moins quatre, Thomas ne peut pas remettre une sélection vide de score zéro. Le meilleur passage non vide est le fragment central, score moins deux. Son calcul commence donc par une valeur effectivement reçue, et non par zéro présenté comme passage déjà disponible. Salomé pourrait autoriser le vide dans une autre commande, mais elle devrait le nommer avant de comparer les résultats. Elle ne transforme pas une absence de remise en victoire sur tous les fragments négatifs.
Deux à quatre fragments retirent certains commencements
Salomé revient aux huit valeurs initiales et demande maintenant entre deux et quatre fragments, bornes incluses. Le passage entier de score vingt-cinq devient interdit par sa longueur huit. Le dernier vingt et un seul est interdit également, cette fois parce qu’il n’a qu’un fragment. Thomas choisit les positions quatre à six, les trois valeurs six, de score dix-huit. Une sélection peut ainsi être refusée aux deux extrémités de la plage autorisée. Il ne suffit pas de couper le meilleur passage libre jusqu’à quatre positions en espérant conserver son caractère maximal.
Thomas écrit les sommes depuis le début : zéro avant le premier fragment, puis cinq, dix, six, douze, dix-huit, vingt-quatre, quatre et vingt-cinq. Un passage commençant après la borne i et finissant à j vaut la somme au point j moins celle au point i. Pour une fin fixée, maximiser ce total revient donc à retenir la plus petite somme de début parmi les bornes permises. Salomé exige cependant que ces bornes produisent entre deux et quatre fragments. Le plus petit préfixe du livre entier ne répond pas automatiquement à cette demande désormais bornée.
À la fin six, les débuts admissibles se situent après les bornes deux, trois ou quatre. Leurs sommes antérieures valent dix, six et douze. Soustraire la plus petite, six à la borne trois, des vingt-quatre atteints en six donne dix-huit : le passage commence bien en quatre. Soustraire zéro donnerait vingt-quatre, mais conserverait six fragments. Thomas ne garde pas ce résultat dans le tableau des choix permis pour le présenter ensuite comme une possibilité à raccourcir. Il filtre les bornes avant leur comparaison, et le témoin retenu possède déjà la bonne longueur.
Le filtre possède deux frontières différentes. Pour une fin j, une borne de début plus ancienne que j moins quatre donnerait trop de fragments ; une borne plus récente que j moins deux n’en donnerait pas assez. Quand Thomas atteint une nouvelle fin, il ajoute donc seulement la borne devenue assez ancienne pour fournir deux fragments. Il retire celles qui sont devenues trop anciennes pour en fournir au plus quatre. La fenêtre avance sans remettre toute l’histoire à disposition. Une borne encore excellente par sa somme peut sortir parce qu’elle n’appartient plus à la permission active.
Thomas range les sommes candidates dans une petite file. À la fin quatre, elle comporte les bornes zéro, un et deux, de sommes zéro, cinq et dix. Pour la fin cinq, la borne trois, de somme six, entre ; elle remplace la borne deux, de somme dix. La nouvelle borne est plus récente et moins coûteuse à soustraire. Chaque fin future où deux resterait autorisée permettra également trois, et six donnera un total supérieur à dix. Salomé peut donc retirer deux sans perdre un meilleur passage futur. C’est une élimination par comparaison des deux candidats, pas une expiration de leur droit à participer.
Dans cette même étape, zéro sort pour une autre raison : cinq fragments le sépareraient de la fin cinq. La file conserve alors les bornes un et trois, sommes cinq et six. Le meilleur passage finissant en cinq vaut dix-huit moins cinq, soit treize, de deux à cinq. Thomas tient séparées les deux sorties : deux a été dominée par une borne meilleure ; zéro a dépassé la longueur autorisée. Sans cette distinction, il pourrait éliminer une borne simplement parce qu’elle est ancienne, avant de vérifier si la commande lui laisse encore une place.
À la fin six, la borne quatre, somme douze, entre. La borne un expire, laissant trois puis quatre. Thomas obtient les dix-huit de quatre à six avec trois. La borne quatre reste derrière elle, même si elle ne gagne pas maintenant. Lorsque la fin atteint huit, trois expire à son tour. La file commence alors par quatre, suivie de cinq et six, dont les sommes sont douze, dix-huit et vingt-quatre. Le meilleur passage finissant en huit vaut vingt-cinq moins douze, soit treize, de cinq à huit. La borne perdante conservée pour une fin antérieure devient ainsi la bonne après la sortie de sa voisine.
Thomas refuse d’ajouter la borne sept à cette dernière comparaison. Sa somme quatre serait plus basse que douze et ferait gagner vingt et un, mais elle ne laisserait que le fragment huit. L’entrée différée des bornes est donc aussi importante que la sortie des anciennes. Il ne peut pas conserver toutes les petites sommes puis vérifier la longueur seulement après avoir annoncé le gagnant : le meilleur de cette liste élargie serait précisément interdit. Salomé garde les trois six, score dix-huit, comme meilleure remise dans la plage deux à quatre, même si le dernier fragment isolé possède un score plus grand.
La file ne représente pas tous les débuts encore légaux : certains ont été retirés parce qu’un candidat plus récent, de somme inférieure, les dominait. Thomas conserve avec chaque entrée sa borne, et non sa seule somme. Il peut alors annoncer le passage choisi et vérifier sa longueur sans deviner son commencement après le calcul. Si deux sommes étaient égales et que Salomé préférait le commencement le plus ancien, il garderait l’ancienne devant la nouvelle jusqu’à son expiration. Effacer les égalités par habitude changerait ce départage. Les données présentes ne créent pas cette égalité ; Thomas fixe néanmoins la convention plutôt qu’inventer une préférence au moment de la remise.
La fin peut rejoindre le début, mais pas produire un passage vide
Une nouvelle permission place les huit fragments sur une boucle. Thomas peut traverser de huit à un, puis continuer, mais chaque fragment apparaît au plus une fois dans un passage. Sans borne de longueur autre que ce maximum huit, il retient huit, un, deux, trois, quatre, cinq et six. Leur somme vaut quarante-cinq : vingt et un rejoint les vingt-quatre du début. Le fragment sept, moins vingt, reste extérieur. Salomé voit le passage effectivement proposé, avec ses sept positions, et non deux morceaux linéaires présentés silencieusement comme un seul sous la permission précédente.
Le calcul par le complément retrouve cette possibilité. La somme du livre entier vaut vingt-cinq. Omettre le seul moins vingt donne vingt-cinq moins moins vingt, soit quarante-cinq. Le fragment omis possède la plus petite somme de tous les passages linéaires non vides ; le complément traverse la fin et reste non vide. Thomas compare ce choix aux passages qui ne traversent pas la fin, dont le meilleur valait vingt-cinq. Cette comparaison nomme les deux familles admissibles. Elle ne suppose pas que le gagnant doive forcément traverser la jonction parce que cette nouvelle permission vient d’être accordée.
Sur la feuille entièrement négative, le passage de somme minimale serait au contraire le livre entier. Son complément serait vide et la soustraction donnerait zéro, ce qui reste interdit. Thomas garde moins deux comme meilleur passage circulaire non vide. Il peut contrôler ce cas avant d’accepter un résultat obtenu par différence : si l’omission a tout pris, elle n’a laissé aucune remise. Salomé ne corrige pas cette faute en ajoutant une position fictive au cercle. Le droit de rejoindre le début modifie les passages possibles, pas le nombre de fragments reçus ni la permission du vide.
Salomé rétablit maintenant la longueur deux à quatre sur la boucle. Le passage de score quarante-cinq possède sept fragments et sort. Thomas retient huit, un et deux : vingt et un plus cinq plus cinq vaut trente et un, pour trois fragments. Ce résultat dépasse les dix-huit de la meilleure remise linéaire bornée. Il garde le moins quatre extérieur plutôt que le traverser pour atteindre les trois six, car cela demanderait déjà un passage trop long. Le gain circulaire s’appuie donc sur la jonction autorisée et sur des bornes vérifiées ensemble, pas sur la sélection de toutes les bonnes valeurs.
Pour chercher par omission sous cette dernière permission, Thomas inverse aussi les limites. Sur huit fragments, en garder entre deux et quatre signifie en omettre entre quatre et six. Il n’utilise plus le minimum libre moins vingt, qui n’omettait qu’un fragment et laisserait sept. Parmi les passages linéaires omis de longueur quatre à six, le minimum est moins six, aux positions trois à sept : moins quatre plus six plus six plus six moins vingt. Le complément est exactement huit, un, deux. Vingt-cinq moins moins six donne trente et un, avec la longueur trois déjà demandée.
Cette inversion de la plage permet une vérification complète du choix. Un passage circulaire qui traverse la jonction a un complément linéaire, et les longueurs des deux totalisent huit. Chercher le plus petit complément dans la plage quatre à six donne donc le plus grand passage de cette famille, sans revenir sur un fragment deux fois. Les passages linéaires bornés restent à comparer, score maximal dix-huit. Thomas retient trente et un. Si le complément touchait lui-même une extrémité, le passage restant pourrait être linéaire ; le compter aussi dans l’autre famille ne créerait pas une nouvelle remise et ne changerait pas le maximum.
Le meilleur total n’est pas la meilleure moyenne départagée
La dernière commande revient à l’ordre linéaire et garde deux à quatre fragments, mais demande la plus grande moyenne. Salomé ajoute un départage : parmi les meilleures moyennes, commencer le plus tôt, puis prendre le passage le plus court. Les positions quatre à cinq et cinq à six donnent chacune douze sur deux, soit six ; quatre à six donne dix-huit sur trois, également six. Thomas choisit quatre à cinq. Sous la somme, il remettait les trois six ; sous cette moyenne et ce départage, il en remet deux. Il n’appelle pas dix-huit une moyenne supérieure au motif que son numérateur était plus grand.
Thomas peut certifier la borne six sans convertir chaque moyenne en décimales. Il soustrait six à chaque valeur du passage testé. Le total transformé vaut la somme initiale moins six fois la longueur. Une somme transformée positive signifierait une moyenne au-dessus de six ; zéro donne exactement six. Dans les passages ne contenant pas la dernière position, toutes les valeurs sont au plus six. Les passages autorisés contenant vingt et un en fin ont pour autres valeurs moins vingt, puis éventuellement six et six. Thomas vérifie ces trois seules exceptions au lieu d’exclure le dernier fragment sur son apparence.
Ces trois passages de fin ont les sommes un, sept et treize, pour les longueurs deux, trois et quatre. Après retrait de six par fragment, ils valent moins onze, moins onze et moins onze. Aucun ne dépasse zéro. Les passages constitués uniquement de six atteignent zéro ; tous les autres passages sans la fin restent en dessous. La moyenne maximale est donc six, et les trois témoins annoncés suffisent pour appliquer le départage. Thomas remet quatre à cinq avec son certificat, sans présenter le vingt et un comme une exception qui aurait échappé à la comparaison.
Pour éprouver le seuil, il refait le même test avec vingt-cinq quarts, soit six et un quart. Le meilleur total transformé vaut moins un demi, obtenu par deux six : chacun perd un quart. Avec vingt-trois quarts, soit cinq et trois quarts, le meilleur vaut au contraire trois quarts, obtenu par trois six qui gagnent chacun un quart. Le signe répond donc à deux questions nettes : six et un quart n’est atteignable par aucune moyenne permise ; cinq et trois quarts est dépassé par un passage permis. Thomas n’a pas modifié les scores pour produire ces réponses. Il a changé la valeur comparée à la même collection de passages.
L’équivalence dépend du fait que chaque passage possède une longueur positive. Pour une longueur L, la somme transformée est L multiplié par la différence entre sa moyenne et le seuil. Multiplier par L conserve le signe. Salomé peut donc réutiliser la recherche de somme sur les valeurs transformées, avec les mêmes bornes de longueur, pour vérifier un seuil de moyenne. Elle ne peut pas réutiliser sans transformation le meilleur total dix-huit pour tous les seuils : le retrait dépend de la longueur du candidat. La commande moyenne impose ainsi une modification précise du calcul, tout en gardant intacts l’ordre, les fragments et les permissions.
Thomas remet finalement les passages avec leurs commandes : un à huit pour la somme libre linéaire, quatre à six pour la somme linéaire bornée, huit à deux pour la somme circulaire bornée, quatre à cinq pour la moyenne linéaire départagée. Il écrit les positions traversées lorsqu’une borne rejoint l’autre côté du livre. Aucune de ces remises ne sert de correction silencieuse aux précédentes. Salomé peut choisir la permission qui convient à sa page ; elle ne pourra pas annoncer que le passage de trois fragments avait été calculé sous une liberté de huit, ni que le passage moyen était le plus grand total.
Une correction reçue ne modifie pas tous les candidats
Salomé garde finalement la somme linéaire de deux à quatre fragments et corrige seulement le score de la septième position. Elle ajoute une quantité δ à l’ancien moins vingt, sans modifier les sept autres valeurs ni autoriser la boucle. Thomas veut savoir s’il doit retirer les positions quatre à six déjà retenues. Il n’interprète pas cette correction comme une consigne d’utiliser obligatoirement le fragment sept : la demande continue de comparer tous les passages permis.
Thomas sépare les dix-huit candidats de cette commande en deux familles complètes. Douze évitent la position sept ; leurs totaux ne changent pas, et le meilleur demeure dix-huit, de quatre à six. Six contiennent sept exactement une fois. Chacun gagne donc exactement δ, quelle que soit sa longueur dans la plage permise. Avant la correction, le meilleur de ces six était treize, de cinq à huit ; après, il vaut treize plus δ. Leur classement intérieur ne change pas puisque la même quantité s’ajoute à chacun. Thomas peut ainsi comparer deux gagnants de familles au lieu de choisir le passage qui semble le plus proche de la page corrigée. Le nouveau maximum est exactement le plus grand de dix-huit et treize plus δ.
Une augmentation inférieure à cinq laisse donc la remise quatre à six strictement meilleure. À cinq, cinq à huit la rejoint mais ne la remplace pas sous le départage annoncé : quatre commence plus tôt que cinq. Au-dessus de cinq, Thomas retire effectivement l’ancien passage et remet cinq à huit, avec ses quatre fragments. Si la correction donne moins quatorze au lieu de moins vingt, δ vaut six et ce passage donne dix-neuf ; son moins quatorze reste conservé entre les deux six et vingt et un. Le remplacement ne procède ni d’un signe devenu positif ni d’un nouveau départ à la page sept. Thomas inscrit la correction reçue et le seuil dépassé, puis remplace les deux bornes de la remise. Il sait aussi pourquoi une correction de quatre points n’aurait autorisé aucun remplacement.
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