Dans le livre fictif de Salomé, trois lignes rencontrent trois colonnes. Certaines cases possèdent déjà un nombre ; les autres restent ouvertes. Salomé reçoit une règle pour ce jeu : le nombre d’une case est le produit d’un coefficient attaché à sa ligne et d’un coefficient attaché à sa colonne. Thomas veut compléter le tableau, puis nommer les six coefficients qui auraient produit ses valeurs. Salomé distingue ces deux demandes avant d’affirmer que ses renseignements suffisent.
Tous les nombres sont strictement positifs. Ce sont des coefficients et des cases créés, sans prix, fréquence, personne évaluée ni appareil réellement calibré. Les factorisations sont classiques, sans invention revendiquée. Une égalité dans notre tableau ne certifie aucune cause observée. Les indices identifient des lignes et des colonnes, pas des dates ou des rangs de mérite.
La notice 337700 du Met classe l’objet parmi les estampes.
La notice 337701 du Met classe l’objet parmi les estampes et les éphémères.
La notice 337702 du Met classe l’objet parmi les estampes.
Ces catégories ne donnent aucune règle de multiplication ; les valeurs de notre page sont stipulées, sans examen d’image.
Cinq cases peuvent suffire aux neuf produits
Les lignes portent les coefficients r1, r2 et r3 ; les colonnes c1, c2 et c3. La case Mij vaut ri multiplié par cj. Salomé reçoit M11 égal à deux, M12 à trois, M22 à six, M23 à dix et M33 à vingt. Les quatre autres cases sont inconnues. Elle ne reçoit aucun coefficient absolu. La règle multiplicative appartient à la demande ; elle devra aussi contrôler la compatibilité de toute case supplémentaire avec cette règle.
Pour commencer le calcul, elle choisit provisoirement r1 égal à un. M11 fixe alors c1 à deux, M12 fixe c2 à trois. Puis M22 donne r2 égal à six divisé par trois, soit deux. M23 donne c3 égal à dix divisé par deux, soit cinq. Enfin, M33 donne r3 égal à vingt divisé par cinq, soit quatre. Chaque division utilise une valeur positive déjà déterminée. Salomé obtient ainsi les six coefficients d’une réalisation du modèle, en suivant les cinq cases reçues plutôt qu’en donnant arbitrairement un nombre à chaque case vide.
Les quatre produits manquants en résultent : M13 vaut cinq, M21 quatre, M31 huit et M32 douze. Salomé remet le tableau complet, dont les lignes sont deux, trois, cinq ; quatre, six, dix ; huit, douze, vingt. Elle garde les cinq cases reçues identifiées dans cette remise. Les quatre nombres nouveaux ne sont pas quatre observations supplémentaires : ils sont déduits sous la règle de produit et pourront servir de prédictions à comparer avec un renseignement ultérieur. Thomas ne doit pas les recopier dans la colonne des données reçues pour annoncer ensuite que neuf données ont confirmé le modèle.
Les produits déterminés peuvent cacher une échelle encore libre
Thomas veut maintenant inscrire r1 égal à un comme coefficient attesté. Salomé examine une autre réalisation. Elle multiplie chacun des trois coefficients de ligne par cinq et divise chacun des trois coefficients de colonne par cinq. Les lignes reçoivent cinq, dix, vingt ; les colonnes deux cinquièmes, trois cinquièmes, un. Dans chaque case, les deux changements se compensent et le produit reste exactement celui du tableau remis. M23 vaut notamment dix fois un, toujours dix. Les cinq données reçues ne départagent donc pas ces deux réalisations des coefficients, même si elles ont déterminé tous les produits.
La liberté n’est pas limitée au nombre cinq de cet exemple. Pour tout facteur positif λ, remplacer chaque ri par λri et chaque cj par cj divisé par λ conserve chaque produit. Le λ se multiplie et se divise dans la même case. Salomé retire donc le titre « six coefficients retrouvés » de sa première remise, et garde « neuf produits déduits, coefficients présentés sous r1 égal à un ». Cette précision ne retire pas une valeur au tableau : M13 demeure cinq dans toute cette famille. Elle retire seulement la prétention que le choix d’une unité d’échelle aurait été une observation fournie par les cinq cases.
Une donnée indépendante ajoute ensuite r2 égal à deux à la demande. Dans la famille précédente, r2 vaut deux λ ; la donnée force λ à un. Salomé peut donc remettre les six coefficients absolus un, deux, quatre et deux, trois, cinq sous cette information ajoutée. Les produits ne changent pas, puisqu’ils étaient déjà les mêmes pour chaque λ. Thomas corrige sa fiche : cette nouvelle donnée a fermé l’échelle des facteurs, sans améliorer la précision d’une case auparavant déduite. Sa valeur n’était pas inutile ; elle répondait à une autre question que la complétion des produits.
Salomé peut vérifier pourquoi aucune autre liberté ne subsiste dans ce premier relevé. Elle dessine un nom pour chaque coefficient de ligne et de colonne, puis relie deux noms lorsqu’une case reçue donne leur produit. Les cinq liens forment la suite c1, r1, c2, r2, c3, r3. À partir de r1, chaque coefficient est atteint par un lien qui permet une division. Deux réalisations positives compatibles diffèrent donc seulement par l’échelle donnée au premier nom : cette différence se transmet alternativement en multiplication sur les lignes et en division sur les colonnes. Le dessin relié explique à la fois les produits uniques et la liberté absolue qui restait avant la donnée r2.
Deux groupes séparés laissent des cases croisées ouvertes
Une autre feuille ne reçoit que M11 égal à deux, M12 à trois, M23 à dix et M33 à vingt. M22 n’est plus fournie dans cette branche. Le dessin comporte maintenant deux groupes : r1 avec c1 et c2 ; r2 et r3 avec c3. Toutes les lignes et les colonnes apparaissent dans une donnée, mais aucun lien ne relie les deux groupes. Salomé cherche ce qui peut être transmis pour leurs rencontres encore inconnues.
La réalisation précédente reste possible : lignes un, deux, quatre et colonnes deux, trois, cinq. Salomé en prépare une seconde, avec lignes un, cinq, dix et colonnes deux, trois, deux. M11 reste deux, M12 trois, M23 dix et M33 vingt. Pourtant M13 passe de cinq à deux ; M21 passe de quatre à dix. Les deux feuilles conservent exactement les quatre données de cette branche. Salomé refuse donc de remettre une valeur unique pour ces deux cases croisées. L’existence d’une première réalisation complète ne certifiait pas les cases que l’on pouvait changer en réglant séparément l’échelle du second groupe.
Une relation entre ces cases reste toutefois déterminée. Le produit M13 multiplié par M21 vaut r1c3 multiplié par r2c1. En regroupant autrement les quatre facteurs, il vaut M11 multiplié par M23, donc deux fois dix, soit vingt. La première réalisation donne cinq fois quatre ; la seconde deux fois dix. Salomé remet cette relation avec les deux exemples, plutôt que remplacer les deux valeurs ouvertes par zéro. La donnée « leur produit vaut vingt » apporte une contrainte effective, mais ne dit ni que M13 vaut cinq ni que M21 vaut quatre. Une relation certaine entre deux cases n’est pas la détermination de chacune séparément.
Thomas propose de donner r2 égal à deux pour fermer le relevé, comme sur la première feuille. Salomé garde cette donnée et constate ce qu’elle fixe : c3 vaut cinq et r3 quatre dans le second groupe. Le premier peut pourtant encore choisir r1 égal à un avec c1 deux, c2 trois, ou r1 égal à deux avec c1 un, c2 trois demis. Les quatre cases reçues et r2 restent exactes dans ces deux réalisations. M13 vaut alors cinq ou dix ; M21 quatre ou deux. Une échelle absolue donnée dans un groupe n’a pas relié son échelle à celle du groupe séparé. Salomé retire donc la promesse de toutes les cases certaines sous ce seul ajout.
Elle reçoit à la place une case qui relie les groupes, M22 égal à six. Comme M12 vaut trois, leur rapport M22 divisé par M12 vaut r2 divisé par r1, les deux c2 se compensant. Ce rapport vaut deux. Avec M11, M23 et M33, il restitue alors les cinq, quatre, huit et douze du premier tableau. Salomé remet ces produits comme déduits du lien effectivement ajouté. Ce lien n’a pourtant pas donné r1 égal à un : toute l’échelle globale λ reste libre. La case nouvelle a fermé l’échelle relative entre deux groupes, tandis que la donnée absolue r2 aurait seulement fermé l’échelle de son propre groupe isolé.
Si la demande veut à la fois tous les produits et tous les coefficients absolus, Salomé conserve les deux ajouts : M22 égal à six relie les groupes, puis r2 égal à deux ferme l’échelle restante. Thomas ne peut pas leur prêter séparément le résultat de la demande conjointe. La fiche avec seulement r2 gardait des produits croisés variables ; celle avec seulement M22 gardait des coefficients absolus variables. Les deux renseignements ne sont ni deux copies d’une même mesure ni deux façons de nommer un nombre manquant. Ils ont atteint deux libertés différentes dans le dessin reçu.
Une case ajoutée peut contredire la règle au lieu de compléter la page
Le premier tableau possédait cinq liens formant une seule suite. Une nouvelle note annonce maintenant M13 égal à six. Les cinq anciennes données prédisent pourtant cinq pour cette case. Salomé ne peut donc conserver à la fois la règle multiplicative, les cinq valeurs initiales et le six de cette note. Elle ne remplace pas automatiquement c3 par six : r1 avait été fixé provisoirement à un pour présenter les coefficients, et modifier c3 changerait aussi M23 et M33, déjà reçues.
La contradiction se voit dans quatre cases : M12 multiplié par M23 vaut trois fois dix, soit trente ; M13 multiplié par M22 vaudrait six fois six, soit trente-six. Sous la règle de produit, les deux multiplications devraient donner r1r2c2c3. Salomé retient cette identité comme certificat du refus, avec les quatre données qu’elle utilise. Elle laisse ouverte la question de savoir quelle note ou quelle règle doit être rectifiée. Le tableau ne lui donne aucune priorité automatique à la note la plus récente, et la normalisation r1 égal à un ne permet pas de sauver trente-six sans changer une donnée reçue.
Un cycle plus long peut échapper aux rectangles incomplets
Une dernière feuille reçoit six cases seulement : M11 deux, M22 six, M33 vingt, M12 trois, M23 dix et M31 neuf. Les trois autres cases sont ouvertes. Thomas veut vérifier uniquement les rectangles de quatre cases entièrement renseignées. Il n’en trouve aucun : chaque rectangle de deux lignes et deux colonnes possède au moins une case manquante. Il en conclut que les six valeurs ne présentent aucune contradiction. Salomé cherche pourtant le cycle reliant les six coefficients.
Ce cycle suit r1, c2, r2, c3, r3, c1 puis r1. Multiplier les trois cases M11, M22 et M33 donne r1r2r3c1c2c3. Multiplier M12, M23 et M31 doit donner le même produit des six facteurs, seulement dans un autre ordre. Les valeurs reçues donnent d’un côté deux fois six fois vingt, soit deux cent quarante, et de l’autre trois fois dix fois neuf, soit deux cent soixante-dix. Salomé refuse cette feuille sous la règle multiplicative. Le manque de rectangle complet n’a pas rendu le cycle compatible ; il empêchait seulement d’appliquer le contrôle limité choisi par Thomas.
Elle peut aussi retrouver le nombre attendu sans multiplier les six facteurs. En mettant provisoirement r1 à un, M11 donne c1 deux, M12 donne c2 trois, M22 donne r2 deux, M23 donne c3 cinq et M33 donne r3 quatre. La dernière case M31 devrait donc valoir huit. Les cinq premières ont construit une réalisation ; la sixième lui demande un produit différent. Salomé remet cette propagation avec le certificat deux cent quarante contre deux cent soixante-dix. L’un donne une valeur attendue pour la case contestée, l’autre montre pourquoi les six données ne peuvent être simultanément conservées.
Thomas essaie un autre contrôle : additionner les valeurs prises alternativement sur le cycle. Avec M31 rectifiée à huit dans une branche explicitement distincte, les deux sommes seraient deux plus six plus vingt, soit vingt-huit, et trois plus dix plus huit, soit vingt et un. Elles ne sont pas égales, alors que le tableau un, deux, quatre multiplié par deux, trois, cinq réalise bien ces six valeurs. Salomé rejette donc ce test additif. L’identité nécessaire concernait le produit des facteurs, pas la somme des cases. Elle ne transforme pas les vingt et un de la feuille compatible en une seconde contradiction pour préserver le contrôle inadéquat de Thomas.
Dans cette branche rectifiée, M31 vaut effectivement huit avant la remise. Le produit alternatif retrouve deux cent quarante, et Salomé peut compléter les trois cases manquantes M13 cinq, M21 quatre et M32 douze. Le neuf de la feuille refusée reste conservé avec son certificat. Elle n’annonce pas qu’une relecture aurait révélé huit sur une note qui donnait neuf : la demande a expressément remplacé une valeur dans le scénario. La nouvelle feuille fonctionne sous cet ajout corrigé ; elle ne valide pas rétrospectivement les six valeurs de la première.
Construire les facteurs, puis contrôler les liens restants
Salomé retient une démarche générale pour un dessin positif relié. Elle choisit assez de liens reçus pour atteindre tous les coefficients, en évitant de fermer un cycle pendant cette construction. À partir d’un coefficient provisoire positif, chacun de ces liens détermine le nom suivant par division. Si le dessin possède six noms, cinq liens de cette construction suffisent. Tous les produits que ces liens donnent sont alors respectés par les facteurs construits. Thomas ne doit pas ajouter à la règle une égalité de sommes pour atteindre le sixième nom : la propagation a déjà utilisé la relation multiplicative donnée.
Chaque autre case reçue reste à comparer au produit des deux facteurs ainsi obtenus. Si toutes ces comparaisons réussissent, la construction fournit une réalisation positive qui respecte toutes les données : elle est un certificat de compatibilité. Si l’une échoue, le lien contesté, avec le chemin de construction entre ses deux noms, forme un cycle dont les produits alternatifs diffèrent. Salomé possède alors un certificat d’impossibilité sous les valeurs conservées. Elle n’a pas seulement vérifié quelques petites figures au hasard. Les liens de construction définissent les facteurs, et tous les liens restants contrôlent exactement si ces mêmes facteurs réalisent le relevé entier.
Deux constructions peuvent commencer par des noms différents ou emprunter d’autres liens. Quand toutes les données sont compatibles et que le dessin est relié, leurs facteurs ne diffèrent que par une échelle globale. Pour le voir, Salomé compare leurs coefficients : une même case impose que le rapport entre les deux coefficients de ligne soit l’inverse du rapport entre les deux coefficients de colonne. La relation se propage à tous les noms du dessin relié. Un seul rapport de ligne λ, et son inverse sur les colonnes, expliquent donc toutes les différences. Les produits des cases ouvertes restent les mêmes, même si les deux présentations de facteurs ne donnent pas les mêmes nombres absolus.
Salomé remet finalement chaque tableau avec ses liens reçus, les produits qu’il détermine et les libertés qui subsistent. Une normalisation n’était pas une observation ; une mesure absolue dans un groupe séparé ne remplaçait pas un lien entre groupes ; un cycle pouvait contredire une page sans rectangle complet. Les facteurs sont ceux du jeu construit. Aucune œuvre citée ne fournit ces coefficients, et aucune de ses techniques n’est reprise pour valider un tableau réel.
Les zéros changent la portée de la construction
Une branche séparée autorise maintenant des coefficients positifs ou nuls, sans nombre négatif. Elle comporte deux lignes et deux colonnes seulement. Les trois cases reçues M11, M12 et M21 valent zéro ; M22 n’est pas renseignée. Les trois liens relient encore les quatre noms r1, r2, c1 et c2. Salomé doit décider si ce dessin relié conserve la propriété de complétion qu’elle avait prouvée pour des observations strictement positives.
Elle construit deux réponses. Avec r1 et r2 tous deux nuls et c1 et c2 égaux à un, toutes les cases valent zéro. Avec r1 et c1 nuls, mais r2 et c2 égaux à un, les trois cases reçues restent nulles et M22 vaut un. Le même dessin relié et les mêmes trois observations admettent donc deux valeurs pour la quatrième case. Thomas avait choisi r1 égal à un pour lancer la propagation : M11 et M12 l’auraient alors obligé à mettre c1 et c2 à zéro, faisant toujours M22 nul. Mais cette fixation élimine la seconde réponse, où r1 est nul. Multiplier un coefficient nul par une échelle positive ne le rend jamais égal à un. Salomé refuse donc cette normalisation comme simple changement de présentation dans la nouvelle branche ; elle ne la garde pas pour déclarer M22 certain.
Une observation nouvelle donne ensuite M22 égal à un. Elle force r2 et c2 à être strictement positifs, puisque leur produit vaut un. M21 égal à zéro impose alors c1 nul ; M12 égal à zéro impose r1 nul. M11 est automatiquement respectée. Salomé peut cette fois fixer r2 à un par une échelle positive, obtenant c2 un avec r1 et c1 nuls. Les autres réalisations ont r2 égal à λ et c2 à son inverse, pour λ positif. La case positive a donc fourni un point de départ légitime pour la propagation, puis les cases nulles ont forcé des facteurs nuls en face de partenaires positifs. Salomé remet cette réponse sous les quatre observations effectivement reçues. Elle n’a ni divisé par une case nulle ni rendu les trois zéros initiaux suffisants : c’est le produit positif ajouté qui a permis de distinguer la bonne branche et de choisir le coefficient à normaliser.
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