Léa prépare une bande fictive pour une page de calcul dans un livre privé. À chaque position entre zéro et un, une hauteur conventionnelle détermine une quantité à additionner sur la longueur. Simon doit remettre ce total, représenté par l’aire sous la fonction. Les personnes, la bande et les nombres sont créés pour l’exercice ; aucune impression ni mesure de gris n’a été observée. Léa distingue dès le début une formule fournie entièrement d’une liste de hauteurs reçues à quelques endroits. Ces deux dossiers ne lui donnent pas les mêmes possibilités de contrôle.
Trois notices du Met identifient des estampes. Aucune image ni aucun procédé de ces objets ne fournit les fonctions, les relevés ou les règles de cette bande créée.
La notice 337232 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337233 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337234 classe son objet parmi les estampes.
Une somme pondérée peut être exacte sans retrouver chaque hauteur
Le premier dossier donne la fonction entière : la hauteur vaut x au carré. Simon connaît donc chaque valeur entre les deux bouts. L’aire exacte vaut un tiers, obtenu en prenant x au cube divisé par trois entre zéro et un. Léa ne demande pas de remplacer la courbe par une droite avec le plus petit écart possible, question déjà traitée sur une autre page. Elle demande un nombre intégrant la hauteur sur la longueur entière. Deux descriptions peuvent donner le même total tout en différant à presque toutes les positions.
Simon commence par joindre les hauteurs des extrémités, zéro et un. La droite obtenue forme un triangle de base un et de hauteur un, donc d’aire un demi. Elle est au-dessus de x au carré entre les bouts ; son total dépasse l’aire donnée d’un sixième. Une seconde proposition conserve seulement la hauteur du milieu, un quart, sur toute la longueur. Ce rectangle donne un quart et manque l’aire d’un douzième. Léa garde les deux constructions : la première utilise les bouts, la seconde le milieu. Elle n’appelle pas leur désaccord une incertitude de mesure, puisque leurs règles sont différentes et toutes les valeurs connues exactes.
Il combine alors un tiers du total des extrémités avec deux tiers du total du milieu. Un tiers d’un demi plus deux tiers d’un quart vaut un tiers. Les deux erreurs se compensent exactement dans cette combinaison pour la fonction donnée : le dépassement d’un sixième et le manque d’un douzième ne reçoivent pas le même poids. Léa accepte ce nombre, mais demande ce qui autorise les poids. Simon ne les choisit pas en prenant simplement la moyenne des deux premières réponses : celle-ci aurait donné trois huitièmes, encore supérieur au tiers demandé.
Pour répondre, il cherche une règle utilisant les hauteurs en zéro, un demi et un, avec trois poids a, b et c. La règle doit intégrer exactement chacune des fonctions un, x et x au carré. La fonction constante impose a plus b plus c égal à un. La fonction x impose b sur deux plus c égal à un demi. Le carré impose b sur quatre plus c égal à un tiers. En soustrayant les deux dernières équations, b sur quatre vaut un sixième : b vaut deux tiers, puis c un sixième et a un sixième. Simon obtient les poids avant toute nouvelle courbe, à partir des trois exigences de la règle.
Cette règle vaut donc un sixième de la hauteur gauche, quatre sixièmes de celle du milieu et un sixième de celle de droite. Elle intègre aussi x au cube : ses valeurs aux trois positions sont zéro, un huitième et un, et leur somme pondérée vaut un douzième plus un sixième, soit un quart. Ce quart est bien l’aire exacte sous le cube. Comme additionner des fonctions et multiplier leurs valeurs par un coefficient préserve ces deux calculs de total, la règle est exacte pour toute combinaison des puissances zéro à trois. Simon remet cette portée précise, et Léa l’autorise pour une bande dont la fonction appartient à cette famille déclarée.
La règle n’a pourtant pas retrouvé le cube entre les trois points. Le polynôme de degré deux passant par ses trois hauteurs est trois demis de x au carré moins un demi de x. Son aire est également un quart. En un quart, sa hauteur vaut moins un trente-deuxième, alors que le cube vaut un soixante-quatrième. Léa peut donc conserver le total calculé sans présenter ce polynôme intermédiaire comme la hauteur de la bande. Si elle imposait en plus une représentation jamais négative, il faudrait examiner cette autre demande ; l’exactitude d’une intégrale n’a pas résolu automatiquement la représentation point par point.
Deux calculs emboîtés demandent encore une hypothèse
Léa fournit ensuite x à la puissance quatre comme nouvelle fonction entière. L’aire exacte vaut un cinquième. La règle précédente utilise zéro, un seizième et un, et remet cinq vingt-quatrièmes. Son dépassement vaut un cent vingtième. Simon retire donc la promesse d’exactitude pour cette quatrième puissance, tout en gardant les trois poids : ils restent ceux de la règle choisie. Le défaut n’est ni une mauvaise addition ni une hauteur fausse au milieu. La fonction a quitté la famille pour laquelle la somme pondérée avait été démontrée exacte.
Il partage maintenant la longueur en deux moitiés, chacune avec son propre milieu. Les cinq hauteurs sont zéro, un deux cent cinquante-sixième, un seizième, quatre-vingt-un deux cent cinquante-sixièmes et un. Les poids sur la bande entière deviennent un douzième aux bouts, un tiers aux deux quarts et un sixième au centre commun. Le centre participe aux deux moitiés ; il ne reçoit ni le poids d’un bout isolé ni deux fois le poids d’un milieu. La somme donne soixante-dix-sept trois cent quatre-vingt-quatrièmes. Son dépassement du cinquième vaut un mille neuf cent vingtième, seize fois moins que celui de la première règle.
Simon peut exploiter ce rapport dans le cas entièrement fourni. S’il nomme S la première somme et R la somme raffinée, S vaut le total exact augmenté de seize unités d’erreur, tandis que R le dépasse d’une unité. Seize R moins S élimine donc l’erreur et donne quinze fois le total exact. La combinaison, divisée par quinze, retrouve un cinquième. Léa reçoit cette correction avec ses coefficients seize et moins un. Il s’agit d’une extrapolation du total, pas d’une nouvelle fonction positive construite en mélangeant les hauteurs de la bande.
Ils examinent ce que Simon a réellement utilisé : deux valeurs calculées et un rapport d’erreurs justifié pour la quatrième puissance donnée. Le seul fait que deux sommes soient proches ne démontre pas ce rapport pour une fonction inconnue. Si Léa donne un polynôme de degré quatre quelconque, les puissances inférieures n’apportent aucune erreur et le terme de quatrième degré garde le même rapport ; la correction reste exacte. Pour une fonction arbitraire, cette explication ne suffit plus. Simon inscrit donc la famille dans la fiche de la correction avant que Léa ne lui confie un autre relevé.
Une proposition retire justement la formule et ne garde que les cinq hauteurs. Simon prépare un contrôle qui s’annule aux cinq positions : le carré du produit de x, x moins un quart, x moins un demi, x moins trois quarts et x moins un. Ajouter une quantité positive de cette fonction ne change aucune des cinq hauteurs. Cela ne change donc ni S ni R ni leur correction. Entre deux positions consécutives, le produit n’est pourtant pas nul et son carré est positif ; son aire est strictement positive. Léa refuse ainsi de présenter la correction comme un certificat pour toutes les fonctions passant par le relevé. Elle conserve le cinquième pour la fonction fournie, sans le transférer à ce dossier privé de formule.
Une courbe invisible aux trois relevés peut porter une aire importante
Pour distinguer une absence de garantie d’une simple petite erreur, Léa ouvre un dossier avec trois hauteurs nulles : en zéro, un demi et un. Aucune formule entre ces positions n’est donnée. La règle à trois poids répond zéro. Simon compare d’abord la fonction nulle et le produit x au carré, multiplié par le carré de x moins un demi, puis par le carré de x moins un. Les deux fonctions ont les trois hauteurs nulles, mais le produit est positif ailleurs. Sa valeur ne provient pas d’un relevé manquant que Simon aurait prétendu recevoir : c’est une autre fonction compatible qu’il construit pour contrôler la portée de la réponse.
L’aire de ce produit vaut un huit cent quarantième. Simon peut l’obtenir en développant les puissances, puis en intégrant chaque monôme sur l’intervalle. Multiplier le produit par n’importe quel nombre positif laisse les trois zéros intacts et multiplie son aire par le même nombre. Sans autre borne sur la fonction, les trois hauteurs ne donnent donc aucune limite supérieure finie au total. Léa ne peut pas transformer la réponse zéro de sa règle en intervalle de précision simplement en lui ajoutant une petite marge choisie après le calcul.
Elle ajoute alors une restriction réelle au menu : toutes les hauteurs doivent rester entre zéro et un. Simon conserve un contre-exemple compatible avec cette nouvelle condition. Il multiplie le produit par quatre cent trente-deux. Pour vérifier la hauteur, il écrit z égal à x moins un demi ; le produit initial devient z au carré multiplié par le carré de un quart moins z au carré. En nommant t égal à z au carré, t parcourt zéro à un quart. La fonction t fois le carré de un quart moins t a son maximum en un douzième, où elle vaut un quatre cent trente-deuxième. Le produit multiplié ne dépasse donc jamais un.
Cette fonction compatible a une aire de quatre cent trente-deux sur huit cent quarante, soit dix-huit trente-cinquièmes. Elle a encore les trois relevés nuls, reste non négative et ne dépasse pas un ; son total dépasse pourtant un demi. Léa conserve la fonction nulle et cette autre fonction dans la comparaison. Leur désaccord ne vient plus d’une hauteur arbitrairement grande. La borne de hauteur a limité l’aire à un au plus, mais elle n’a pas fourni une variation assez lente pour rendre les trois relevés représentatifs. Léa décide de demander une condition entre les positions, plutôt qu’une quatrième valeur isolée présentée d’avance comme suffisante.
Une limite de variation transforme les relevés en encadrement
Dans la nouvelle commande, la fonction reste non négative et possède une limite de variation précise : entre deux positions x et y, la différence absolue des hauteurs ne dépasse pas la distance entre ces positions. Les trois relevés restent nuls. Cette condition est donnée comme hypothèse du cas, sans prétention de mesure d’une matière réelle. Elle autorise des angles et n’impose pas de dérivée continue. Simon doit reprendre l’ensemble des fonctions compatibles avec cette règle ; il ne garde pas automatiquement le produit précédent au motif qu’il respectait seulement la borne de hauteur.
Sur une portion comprise entre deux relevés nuls a et b, la nouvelle condition impose une hauteur au plus égale à x moins a en venant de gauche, et au plus égale à b moins x en venant de droite. Simon prend le plus petit de ces deux plafonds à chaque position. Il obtient un triangle montant jusqu’au milieu puis redescendant, de base b moins a et de hauteur la moitié de cette base. Son aire vaut le carré de la longueur du trou divisé par quatre. Cette borne utilise les deux relevés ensemble ; une simple limite venant de gauche laisserait un triangle deux fois trop grand sur cette portion.
Les deux trous actuels ont chacun une longueur un demi. Chacun porte donc au plus un seizième d’aire, et la bande entière au plus un huitième. La fonction nulle fournit le plancher zéro. Simon montre également que le plafond est atteignable : il prend, à chaque position, la distance au plus proche des trois relevés. Sur chaque moitié, cette fonction est exactement le triangle décrit ; aux trois relevés elle vaut zéro. La distance à un ensemble fixe varie d’au plus la distance parcourue : en partant du relevé le plus proche d’un point, le chemin jusqu’au second ajoute au plus la distance entre eux, puis on échange les deux points pour l’autre sens. La fonction respecte donc bien la condition sur toute la bande.
Léa peut maintenant recevoir l’intervalle de totaux zéro à un huitième, dont les deux extrémités correspondent à des fonctions effectivement compatibles. Elle ne reçoit toujours pas un nombre exact unique. Si elle veut un nombre minimisant le pire écart à ce total inconnu, Simon choisit un seizième, le milieu de l’intervalle. Tout autre nombre aurait une distance supérieure à un seizième à au moins une des deux extrémités atteignables. Ce choix est un centre d’incertitude sur une quantité, pas une hauteur supplémentaire ni une courbe au milieu de la bande. Léa garde cette distinction dans la colonne où sera imprimé le nombre.
Choisir la prochaine position au lieu de simplement densifier le tableau
Léa autorise une nouvelle lecture, dont le résultat sera créé comme nul dans cette branche. Simon peut choisir sa position. Il examine le quart de la bande : ce point partage le premier trou de longueur un demi en deux trous d’un quart, tandis que la seconde moitié reste intacte. Les trois aires maximales deviennent un soixante-quatrième, un soixante-quatrième et un seizième. Leur somme vaut trois trente-deuxièmes. Simon remet donc, après réception du nouveau zéro au quart, une borne réellement plus petite que l’ancien un huitième ; il n’a pas conservé l’ancien triangle qui passait par une hauteur un quart à cette position.
Une autre proposition demande une lecture en un huitième. Elle partage la première moitié en un huitième et trois huitièmes. Les plafonds d’aire valent alors un deux cent cinquante-sixième et neuf deux cent cinquante-sixièmes, auxquels s’ajoute le seizième du trou droit intact. Le total vaut treize cent vingt-huitièmes, supérieur aux trois trente-deuxièmes du quart. Les deux propositions ajoutent une seule lecture et obtiennent toutes deux zéro ; leur information n’a pourtant pas le même effet sur la borne. Léa choisit le quart parce qu’il coupe le trou en deux parts égales, pas parce qu’il augmente davantage le nombre de lignes du relevé.
Simon ferme ce choix pour toutes les positions du trou. Si sa longueur vaut d et si le point nouveau le partage en longueurs u et d moins u, l’ancien plafond d au carré sur quatre est remplacé par la somme des deux carrés sur quatre. Le gain vaut u fois d moins u, divisé par deux. Il est maximal quand u vaut d sur deux, car son écart à d au carré sur huit est la moitié du carré de u moins d sur deux. Couper un trou au milieu est donc le meilleur choix à l’intérieur de ce trou. Le gain maximal dépend aussi du carré de sa longueur : à nombre de lectures égal, le plus grand trou offre le plus grand gain.
Après la lecture nulle au quart, les longueurs disponibles sont un quart, un quart et un demi. Léa autorise un second point, et Simon retient trois quarts, le milieu du trou droit encore le plus long. Le résultat nul donne quatre trous d’un quart, chacun d’aire maximale un soixante-quatrième ; le plafond devient un seizième. Lire plutôt le huitième aurait coupé un des petits trous, en laissant la moitié droite intacte. Le gain serait alors un cent vingt-huitième seulement, contre un trente-deuxième au milieu du grand trou. Simon ne distribue donc pas le second point en poursuivant simplement de gauche à droite.
La demande finale voulait une aire garantie au plus égale à un seizième. Léa avait espéré atteindre cette borne avec une seule lecture supplémentaire. Simon démontre que cela était impossible sous les résultats nuls de la branche : une seule nouvelle position ne peut partager qu’un des deux trous initiaux. Son meilleur gain vaut un trente-deuxième, donc le plafond le plus petit après cette seule lecture est trois trente-deuxièmes, encore supérieur à un seizième. Il ne s’agit pas de l’échec particulier d’un premier emplacement maladroit. La borne sur le gain interdit à tout emplacement unique de remplir la demande. Léa accepte alors deux lectures et reçoit le quart puis les trois quarts.
Simon vérifie ce dernier plafond avec une fonction entière plutôt qu’un simple total de triangles. Il prend la distance au plus proche des cinq relevés zéro, un quart, un demi, trois quarts et un. Elle respecte la limite de variation, vaut zéro aux cinq places et atteint exactement un seizième d’aire. Aucune borne plus petite ne pourrait être garantie par ces relevés et cette hypothèse. La commande atteint donc sa limite, sans marge cachée. Léa remet le plafond un seizième avec les cinq positions réellement utilisées dans le cas, et conserve le total inconnu dans l’intervalle zéro à un seizième.
Le dossier final distingue la somme pondérée exacte pour une famille de polynômes donnée et l’encadrement valable pour les fonctions inconnues soumises à une limite de variation. Les notices d’estampes n’ont établi aucune de ces règles. La première bande permettait de contrôler l’aire par sa formule entière ; la dernière a demandé deux lectures choisies et une hypothèse supplémentaire pour atteindre le plafond voulu. Léa imprime la borne avec ces conditions, sans donner à quelques hauteurs exactes la promesse de décrire toutes celles qui restent entre elles.
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