Léa prépare une page fictive où un repère doit être placé à l’endroit où une fonction s’annule. Simon reçoit les formules et les permissions de calcul avant de choisir sa réponse. La position recherchée et les nombres appartiennent à ce cas créé ; aucun dessin reçu, relevé d’appareil ou équilibre matériel n’est observé. La demande finale veut une erreur de position au plus égale à un centième. Simon doit donc remettre davantage qu’une valeur qui semble petite dans la colonne des résultats : il lui faut une raison pour situer le zéro près de la position annoncée.
Trois notices du Met identifient des catégories d’objets. Leurs images et leurs procédés ne fournissent aucune fonction, dérivée ou règle de recherche pour notre page.
La notice 337235 classe son objet dans les dessins, ornements et architecture.
La notice 337236 classe son objet dans les dessins, ornements et architecture.
La notice 337237 classe son objet parmi les estampes.
Un intervalle porte une promesse que son milieu seul ne porte pas
La première fonction vaut x au cube moins deux x plus deux. Léa impose la recherche entre moins deux et moins un. Aux extrémités, les valeurs sont moins deux et trois : elles ont des signes contraires. Cette fonction polynomiale est continue, donc elle passe par zéro entre ces deux positions. Sa dérivée, trois x au carré moins deux, reste au moins égale à un sur l’intervalle donné. La fonction y augmente strictement ; deux positions distinctes ne peuvent donc pas y donner le même zéro. Simon dispose d’un zéro existant et unique dans cette portion, sans devoir le nommer exactement.
Il prend le milieu, moins trois demis. La fonction y vaut treize huitièmes, donc reste positive. Le zéro appartient alors à la moitié gauche, entre moins deux et moins trois demis. Simon conserve les deux extrémités avec leurs signes ; il ne remet pas simplement la position qu’il vient d’évaluer comme si elle devait être plus proche du zéro que toute autre. Cette position était surtout une question posée au milieu de la portion encore possible. La réponse positive a permis de retirer la moitié droite en préservant le changement de signe dans la moitié gardée.
Le milieu suivant est moins sept quarts. Sa valeur est neuf soixante-quatrièmes, encore positive. La portion gardée devient moins deux à moins sept quarts. Le troisième milieu, moins quinze huitièmes, donne moins quatre cent trente et un cinq cent douzièmes. Cette fois, il remplace l’extrémité gauche : le zéro est entre moins quinze huitièmes et moins sept quarts. Simon a changé de côté à retirer, selon la valeur effectivement calculée. Choisir toujours la moitié gauche aurait gardé un intervalle dont les deux valeurs seraient négatives après cette troisième question, en perdant le certificat initial.
La règle conserve à chaque étape une extrémité négative et une positive. Si le milieu donne exactement zéro, la recherche peut fermer ce cas avec la position exacte ; sinon son signe détermine l’extrémité qu’il remplace. Après n divisions de la longueur initiale un, la largeur vaut un divisé par deux puissance n. Le milieu de l’intervalle conservé est à une distance du zéro au plus égale à la moitié de cette largeur. Simon peut ainsi préparer un nombre d’étapes suffisant avant d’avoir calculé toutes les valeurs intermédiaires, tout en contrôlant à chaque fois les signes qui rendent cette borne valable.
Léa demande son centième en position. Après cinq divisions, la demi-largeur vaut un soixante-quatrième, encore supérieur au centième. Après six, elle vaut un cent vingt-huitième, inférieur au centième. Simon réalise donc les six divisions et conserve l’intervalle de moins cinquante-sept trente-deuxièmes à moins cent treize soixante-quatrièmes. Sa largeur est un soixante-quatrième. Il remet son milieu, moins deux cent vingt-sept cent vingt-huitièmes, avec la marge d’un cent vingt-huitième. Ce résultat ne prétend pas être le zéro exact ; il répond à la demande de position avec un encadrement dont les deux signes ont été effectivement conservés.
Si Léa voulait seulement une valeur fonctionnelle proche de zéro, elle pourrait formuler une autre règle d’arrêt. Simon ne remplace pourtant pas son centième en position par un centième dans la colonne des valeurs. Une même fonction peut changer très vite ou très lentement selon la zone considérée. Le contrôle par largeur ne dépend pas de cette vitesse, une fois l’existence du zéro dans l’intervalle gardé établie. Le dossier garde donc trois objets séparés : la position testée, sa valeur fonctionnelle et l’intervalle qui contient encore la position recherchée.
Une tangente peut envoyer le calcul ailleurs
Simon essaie ensuite la règle de Newton, classique : à partir d’une position x où la dérivée n’est pas nulle, il propose x moins la valeur de la fonction divisée par sa dérivée. C’est la position où la tangente calculée en x rencontrerait le niveau zéro. La règle utilise une information locale supplémentaire, la dérivée. Elle ne vérifie pas automatiquement que sa proposition appartient à l’intervalle demandé, et elle ne promet pas qu’une tangente représente toute la courbe jusqu’à son intersection.
Il montre un essai extérieur à l’intervalle initial pour éprouver une promesse trop large. Depuis zéro, la fonction vaut deux et sa dérivée moins deux : le pas propose un. En un, la valeur vaut un et la dérivée un : le pas revient à zéro. Ces deux positions se répètent exactement. Elles n’ont jamais fourni une valeur nulle. Léa refuse donc « Newton trouve le zéro depuis n’importe quel départ ». La répétition ne décrit pas un appareil instable ; elle est produite par la formule et ces deux départs. Les considérations générales de cycles déjà rencontrées ailleurs ne donneront pas à elles seules la matière nouvelle de cette page.
Même un départ situé dans l’intervalle peut poser problème. Depuis moins un, la valeur trois rencontre une dérivée un, et le pas propose moins quatre. Cette position est hors de moins deux à moins un. Léa n’autorise pas Simon à déplacer le bord gauche pour suivre la proposition. Elle lui demande de conserver la portion dont il a déjà prouvé qu’elle contient le zéro, puis de décider si le pas est utilisable dans cette portion. Le calcul moins quatre est exact comme intersection de tangente ; c’est sa place qui manque la permission de recherche donnée.
Depuis moins deux, la tangente donne au contraire moins neuf cinquièmes : la valeur moins deux est divisée par la dérivée dix, et soustraire ce quotient revient à avancer d’un cinquième. Cette proposition appartient à l’intervalle. Sa valeur fonctionnelle vaut moins vingt-neuf cent vingt-cinquièmes, toujours négative ; elle peut donc devenir un nouveau bord gauche si l’autre bord reste positif. Simon garde cette information plutôt qu’une comparaison de décimales indiquant seulement que le pas « a l’air meilleur ». L’évaluation à la position proposée fournit le signe nécessaire pour modifier un encadrement valide.
La seule permission « accepter tout pas intérieur » ne donne toutefois pas une réduction déterminée de la largeur à chaque étape. Une proposition pourrait tomber très près d’un bord et ne retirer presque rien. Si Simon veut annoncer un nombre d’étapes suffisant d’après la largeur, il doit ajouter une condition sur la place acceptée, pas seulement sur la dérivée non nulle. Léa conserve le pas intérieur comme possibilité, puis lui confie une autre politique dont chaque question aura un gain minimal vérifiable sur la portion encore ouverte.
Le pas rapide reste une proposition soumise au certificat
Dans cette politique, un intervalle a–b garde toujours la valeur négative à gauche et la positive à droite. Simon calcule une proposition de Newton depuis sa position courante. Il l’accepte comme prochaine question uniquement si elle se trouve entre a plus un quart de la largeur et b moins un quart de la largeur. Dans le cas contraire, ou si le calcul de tangente n’est pas défini, il interroge le milieu. Cette règle a été fixée avant l’essai : elle ne choisira pas après coup quelles propositions comptent comme rapides et lesquelles doivent être oubliées.
La portion centrale laisse au moins un quart de largeur de chaque côté de la question acceptée. Après évaluation, son signe fait retirer l’un de ces côtés. L’intervalle suivant a donc une largeur au plus égale aux trois quarts de l’ancien. Le milieu donne même une moitié. Si le résultat est zéro, la réponse exacte ferme la recherche et la largeur devient nulle. Simon obtient ainsi une réduction permanente, indépendante de la faveur d’une tangente particulière. L’étape ne consiste pas à mélanger une moyenne entre Newton et le milieu : elle sélectionne une seule position réellement évaluée, puis actualise les signes de ses deux bords.
Il démarre en moins un, avec l’intervalle moins deux à moins un. La proposition moins quatre manque la portion centrale et est refusée comme question de cette politique. Simon interroge donc moins trois demis. Le résultat positif treize huitièmes réduit l’intervalle à moins deux–moins trois demis. Le point courant devient celui qu’il vient effectivement d’interroger. Il ne poursuit pas une suite cachée depuis moins quatre pendant que sa feuille annonce une division au milieu : la prochaine tangente sera calculée depuis moins trois demis.
La dérivée en ce point vaut dix-neuf quarts. Le quotient de treize huitièmes par dix-neuf quarts est treize trente-huitièmes ; le prochain pas propose donc moins trente-cinq dix-neuvièmes. La portion centrale autorisée va maintenant de moins quinze huitièmes à moins treize huitièmes. La proposition s’y trouve. Simon l’évalue et reçoit une valeur négative, moins trois mille huit cent quatre-vingt-sept six mille huit cent cinquante-neuvièmes. Elle remplace le bord gauche. Le bord droit reste moins trois demis, dont la valeur positive n’a pas changé. Cette fois, un pas de tangente a effectivement été utilisé, sans retirer les deux témoins de l’encadrement.
La tangente suivante propose moins quatre-vingt-dix-neuf mille quatre cent soixante-huit cinquante-six mille cent septièmes, environ moins 1,7727. Elle est dans l’intervalle encore ouvert, mais à gauche de sa portion centrale, dont le bord gauche est moins deux cent soixante-sept cent cinquante-deuxièmes, environ moins 1,7566. La politique refuse donc cette proposition intérieure. Simon prend le milieu des deux bords courants, moins cent vingt-sept soixante-seizièmes, dont la valeur est positive. Il remplace le bord droit par ce milieu et continue à partir de la position réellement évaluée. Une condition centrale ne signifie pas seulement « ne pas sortir » ; cette troisième question le montre sur une tangente définie et une proposition intérieure.
Léa ne prétend pas que la position refusée aurait nécessairement été moins précise que ce milieu. La politique protège un progrès minimal de largeur, pas la supériorité de chaque position évaluée. Pour cette fonction connue, le pas refusé pouvait être très proche du zéro. Simon conserve son calcul dans l’audit, tout en utilisant le milieu sur la fiche exécutée. Il peut préférer une autre politique si la demande change, mais ne peut promettre la réduction aux trois quarts puis garder des exceptions intérieures près du bord sans nouvelle preuve.
Avec cette réduction minimale, quatorze questions suffisent à ramener la demi-largeur initiale un demi sous un centième : un demi multiplié par trois quarts à la puissance quatorze est inférieur au centième, alors que la puissance treize ne suffit pas à cette garantie conservatrice. Simon ne dit pas que cette politique sera toujours plus rapide que les six divisions simples du premier dossier. Elle permet des pas de tangente tout en gardant une borne de terminaison ; sa garantie la plus défavorable est ici moins serrée que celle de la division systématique. Le nombre de questions réellement nécessaire peut être moindre, mais devra provenir des intervalles obtenus, pas du nom de la méthode.
Une petite valeur ne suffit pas sur une fonction aplatie
Léa donne une autre fonction complète : la quatrième puissance de x moins un tiers, entre zéro et un. Son zéro est un tiers. À la position un demi, la valeur vaut un mille deux cent quatre-vingt-seizième, inférieure à un millième. Pourtant la position reste éloignée du zéro d’un sixième, bien plus que le centième demandé. Simon retire donc l’arrêt fondé seulement sur « valeur inférieure au millième » pour une demande de position. Ce contre-exemple n’exige aucune erreur de calcul : la fonction est simplement très plate près de son zéro.
Les deux extrémités de cette fonction donnent des valeurs positives. L’absence de changement de signe n’autorise pas Simon à nier l’existence du zéro, que la formule montre directement. Elle signifie que le certificat par deux signes contraires ne démarre pas sur ces extrémités. En outre, la dérivée s’annule au zéro et ne possède pas une borne positive sur un intervalle qui le contient. Simon ne peut donc reprendre ni la preuve d’unicité par augmentation stricte sur toute la portion, ni la conversion de résidu par une dérivée minimale positive comme si la première fonction était toujours active.
La formule entièrement donnée fournit ici une conversion différente et exacte : la distance au tiers est la racine quatrième de la valeur fonctionnelle. Pour garantir une distance au plus égale à un centième, il faut donc une valeur au plus égale à un cent millionième. Léa reçoit cette condition propre à la fonction aplatie. Elle ne l’applique pas automatiquement au cube moins deux x plus deux. Le pouvoir de convertir une valeur en distance dépend de la relation donnée ; les valeurs un millième et un cent millionième ne sont pas deux réglages interchangeables d’une précision universelle.
Des signes contraires ont aussi besoin d’une liaison entre eux
Un dernier petit contrôle donne une fonction valant moins un avant la position un tiers, puis un à partir du tiers inclus. Ses valeurs en zéro et un ont des signes contraires, mais aucune position ne vaut zéro. Simon ne doit pas introduire une hauteur intermédiaire pour la rendre continue : la rupture appartient à la règle déclarée. Les divisions successives peuvent rapprocher les deux bords autour du saut, sans jamais trouver un zéro qui n’existe pas. Le raccourcissement d’un intervalle de signes opposés n’a donc pas, à lui seul, fabriqué l’objet recherché.
Léa conserve ce contrôle pour préciser pourquoi sa première fonction autorisait la procédure. Le polynôme y était continu avant le premier signe calculé ; aucune rupture n’avait été permise. La fonction en marche d’escalier manque exactement cette hypothèse. La fonction aplatie conserve au contraire la continuité, mais manque le changement de signe aux extrémités choisies. Simon garde ces deux refus de transfert séparés : l’un retire l’existence promise par le certificat, l’autre retire la possibilité de commencer ce certificat sans retirer le zéro donné par la formule.
Une dérivée minimale peut fournir un autre reçu de précision
Simon revient au cube moins deux x plus deux sur l’intervalle négatif initial. Puisque sa dérivée y est au moins un, deux positions x et r dans cet intervalle ont des valeurs dont la différence absolue est au moins leur distance. Quand r est le zéro, cette différence est précisément la valeur absolue de la fonction en x. Simon peut donc certifier une erreur de position au plus égale au résidu. Cette implication porte sur le point évalué, pas sur le milieu d’un intervalle : elle donne une seconde manière de fermer la demande quand l’hypothèse de dérivée est effectivement vérifiée.
Il prépare un encadrement plus court, de moins neuf cinquièmes à moins sept quarts. Les valeurs y sont moins vingt-neuf cent vingt-cinquièmes et neuf soixante-quatrièmes, donc les signes requis sont encore présents. Sur cette portion, la dérivée minimale vaut cent quinze seizièmes, atteinte au bord droit. Toute position x de cette portion possède alors une erreur au plus égale à seize cent quinzièmes de son résidu. Simon peut utiliser cette borne plus serrée pour le même zéro, parce qu’il a contrôlé que le point et le zéro se trouvent tous deux dans la portion où elle s’applique.
La tangente depuis moins neuf cinquièmes propose moins mille sept cent huit neuf cent soixante-cinquièmes. Cette position appartient à la portion courte. Son résidu, calculé avec la fonction entière, est inférieur à cinq millièmes en valeur absolue. En le multipliant par seize cent quinzièmes, Simon obtient une erreur inférieure à un millième, et donc au centième voulu. Il peut remettre cette position avec ce reçu, sans attendre six divisions supplémentaires. La justification n’est pas « Newton a convergé » : elle joint une valeur fonctionnelle effectivement calculée, un encadrement valide et la dérivée minimale sur cet encadrement.
Quel zéro la commande demande-t-elle de garder ?
Léa confie enfin x au cube moins x sur la portion de moins deux à deux. Les valeurs aux bouts sont moins six et six. Une division au milieu trouve zéro immédiatement ; la position zéro répond donc parfaitement à « trouver un zéro ». Léa demande pourtant le zéro le plus à gauche de la portion. Simon ne peut pas arrêter la même fiche en renommant le zéro trouvé « premier ». La factorisation x multiplié par (x moins un), puis par (x plus un), fournit les trois positions moins un, zéro et un. Le milieu a trouvé celle du centre, pas celle que cette commande doit remettre. La précision d’une position n’a pas répondu à la sélection de l’objet recherché.
Pour conserver une recherche par intervalles, Simon sépare la portion aux deux positions où la dérivée trois x au carré moins un s’annule : moins un sur racine de trois et un sur racine de trois. Au premier point, la fonction vaut deux sur trois racines de trois, positif ; au second, elle vaut son opposé, négatif. Les valeurs aux deux bouts extérieurs gardent leurs signes moins et plus. Il obtient donc trois portions portant chacune un changement de signe. Sur la portion gauche, la fonction augmente strictement jusqu’à son maximum ; sur la centrale elle diminue strictement ; sur la droite elle augmente strictement. Chacune contient un seul zéro, et ces trois portions couvrent tout le domaine. Simon ne présente plus le certificat global comme un certificat d’unicité : il a trois certificats locaux dont l’ordre est connu.
Il remet la portion gauche pour la commande du zéro le plus à gauche et y conserve moins un comme position exacte, confirmée par substitution. Aucun zéro ne peut se trouver avant lui dans cette portion, qui n’en contient qu’un ; les deux autres portions commencent à des positions plus grandes. S’il avait seulement isolé le zéro central dans une portion courte, la largeur aurait pu fournir une excellente précision sans exclure un autre zéro à gauche. La commande a donc exigé une séparation du domaine avant le choix, pas une division supplémentaire autour de la réponse initiale. Simon conserve zéro pour la fiche « un zéro quelconque » et moins un pour la fiche sélectionnant celui de gauche.
Léa garde deux remises possibles du premier dossier. Le milieu après six divisions possède une marge d’un cent vingt-huitième issue de la largeur. La dernière position de tangente possède une marge inférieure au millième issue du résidu et de la dérivée locale. Ces deux reçus peuvent être corrects sans provenir de la même procédure. Si le dossier ne fournissait que des valeurs isolées et aucune hypothèse sur ce qui les relie, Simon ne pourrait certifier ni la continuité ni la dérivée entre elles. La page conserve donc les formules données, les questions réellement posées et la raison précise pour laquelle leur dernière position répond à la demande.
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