Camille prépare une bande abstraite pour une page privée. Nora reçoit huit nombres et voudrait retrouver la courbe qui les a produits. Camille lui donne plusieurs candidates, puis lui demande de choisir les renseignements supplémentaires nécessaires. Leur exercice ne porte pas sur une image récupérée : toutes les courbes, positions et lectures sont créées sur la feuille.
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Les notices identifient seulement cette catégorie. Aucune forme, costume ou technique des œuvres ne fournit une courbe ni une règle de lecture ici.
La bande possède une coordonnée t qui revient à zéro après un tour de longueur un. Nous utilisons les fonctions sinus et cosinus, avec des angles en radians. Une fréquence entière k désigne k tours de leur argument sur la bande : cos(2πkt), par exemple. Il ne s'agit ni d'un son, ni d'une mesure électrique, ni d'une consigne de reproduction. Ces relations classiques servent uniquement aux dessins stipulés de Camille, sans revendication d'invention.
Huit positions peuvent faire rencontrer trois fréquences
Camille propose d'abord C1(t)=cos(2πt). Les positions relevées sont j/8, pour j allant de zéro à sept. Nora reçoit donc un, racine de deux divisée par deux, zéro, moins racine de deux divisée par deux, moins un, moins racine de deux divisée par deux, zéro, puis racine de deux divisée par deux. La dernière position n'est pas un : elle vaut sept huitièmes. Le retour en un reprendrait le premier nombre et ne constituerait pas une neuvième position distincte sur ce tour.
Une seconde candidate vaut C7(t)=cos(14πt). Aux positions j/8, son angle est 2πj moins 2πj/8. Le cosinus d'un angle entier de tours moins un angle vaut celui de cet angle. C7 donne donc exactement les huit nombres de C1. Nora ne remplace pas sept par un dans la formule de la candidate : elle conserve deux courbes distinctes dont les restrictions à la liste donnée sont égales. La feuille de huit lectures ne possède aucune ligne où leur différence deviendrait visible.
Camille ajoute C9(t)=cos(18πt). Son angle au même endroit est 2πj plus 2πj/8, ce qui retrouve encore le cosinus de C1. Les trois candidates appartiennent donc à la même classe pour cette observation. Nora avait intitulé sa remise « une seule ondulation retrouvée ». Elle retire ce titre et remet les trois formules compatibles. Le fait que les valeurs suivent une alternance reconnaissable ne lui permet pas de choisir combien d'ondulations la courbe complète traverse entre les positions.
Nora choisit un nouveau relevé à t égal à un seizième. C1 y donne cos(π/8), un nombre positif. C7 donne cos(7π/8), son opposé, et C9 donne cos(9π/8), également son opposé. Camille fournit la valeur positive de C1 : dans le catalogue limité à ces trois candidates, Nora conserve alors C1 et écarte les deux autres. Si la valeur avait été négative, ce même relevé aurait laissé deux candidates. La position supplémentaire n'est donc pas qualifiée de discriminante complète indépendamment du catalogue et de la réponse reçue.
Dans cette branche négative, Nora demande ensuite t égal à un trente-deuxième. L'angle de C7 y vaut 7π/16, inférieur à π/2 ; son cosinus est positif. Celui de C9 vaut 9π/16, supérieur à π/2 et inférieur à π ; son cosinus est négatif. Camille choisit C7 et remet sa valeur positive. Nora peut maintenant sélectionner C7 dans cette branche. Elle garde l'ordre des deux questions : la première avait refusé C1, tandis que la seconde a départagé les deux restantes, sans remplacer la première réponse.
Cette sélection n'est pas une preuve d'unicité parmi toutes les fréquences entières. Camille ouvre un catalogue plus large contenant également C33. Aux huit positions j/8, C33 retrouve C1 parce que trente-deux tours supplémentaires y sont entiers. À un seizième, les deux tours supplémentaires le sont encore ; à un trente-deuxième, il en reste exactement un. C33 et C1 donnent donc les mêmes lectures à toutes les positions employées dans la première branche. Nora conserve son ancien choix seulement avec la restriction aux trois candidates. Ajouter des points rationnels avait élargi le contrôle, sans interdire toutes les courbes périodiques possibles.
Une composante peut disparaître de chaque lecture
Camille remet une autre fiche dont les huit nombres valent tous dix. Nora propose la courbe constante dix. Camille lui montre aussi D(t)=10+3sin(8πt). Aux positions j/8, le sinus reçoit πj et vaut zéro. Cette seconde courbe traverse pourtant treize à un seizième, puisque son sinus y vaut un. Nora demande ce relevé ; Camille fournit treize. Elle refuse alors la constante, tout en conservant les huit dix qui étaient corrects pour D. Une composante absente des nombres n'était pas nécessairement absente de la courbe.
Le résultat dépend de la phase, et pas seulement du nombre quatre dans cette fréquence. La candidate 10+3cos(8πt) donne alternativement treize et sept aux mêmes huit positions. Nora ne peut donc pas annoncer que toute composante de fréquence quatre est invisible. Le sinus était nul à chacune des positions choisies ; le cosinus y atteint au contraire ses extrêmes. Elle inscrit ces deux listes distinctes auprès de leurs formules, puis garde le sinus pour la branche où les huit nombres étaient dix. Cette vérification précise pourquoi la composante était perdue.
Un catalogue borné rend les coefficients identifiables
Pour une nouvelle commande, Camille limite expressément les courbes à une constante plus des sinus et cosinus de fréquences un, deux et trois. Il y a sept coefficients : la constante et deux pour chacune des trois fréquences. Cette borne n'est pas déduite des huit lectures anciennes ; elle appartient au nouveau modèle autorisé. Nora reçoit les valeurs de F(t)=10+2cos(2πt)+sin(4πt) et doit retrouver ses coefficients dans ce catalogue. Aucun terme de fréquence quatre ou trente-trois n'est permis dans cette commande.
Les huit valeurs, dans l'ordre, sont douze, onze plus racine de deux, dix, neuf moins racine de deux, huit, onze moins racine de deux, dix, puis neuf plus racine de deux. Nora calcule d'abord leur moyenne : les termes en racine s'annulent, comme les deux augmentations et diminutions dues au sinus. Le total vaut quatre-vingts, donc la constante retrouvée vaut dix. Ce calcul ne remplace pas chaque lecture par dix sur la fiche : il extrait un coefficient commun et laisse encore six coefficients à examiner.
Pour la fréquence un, Nora multiplie chaque valeur par cos(2πj/8), additionne, puis multiplie le total par un quart. Elle retrouve deux. Avec le sinus de la même fréquence, elle obtient zéro. Pour la fréquence deux, les deux calculs donnent respectivement zéro et un ; pour la fréquence trois, ils donnent deux zéros. Ces résultats reposent sur les sommes sur les huit positions : chaque sinus ou cosinus non constant a une somme nulle, son carré totalise quatre, et les produits entre les six colonnes distinctes totalisent zéro. La fiche des coefficients reproduit ainsi exactement F, au lieu d'attribuer la courbe à sa seule moyenne.
Nora veut aussi savoir si une seconde courbe du catalogue pourrait fournir les mêmes nombres. La différence de deux candidates possède encore au plus les fréquences trois dans les deux sens. En écrivant z=exp(2πit) et en multipliant cette différence par z³, on obtient un polynôme de degré au plus six. Les huit positions donnent huit valeurs distinctes de z. Si toutes les lectures de la différence sont nulles, ce polynôme possède huit racines distinctes ; il doit donc être nul. Nora garde cette preuve d'unicité dans le catalogue borné, avec la borne trois qui la permet.
Camille retire ensuite la borne pour revenir au catalogue libre. Elle peut ajouter à F un multiple non nul de sin(8πt), qui ne change aucun des huit nombres. Nora ne prolonge donc pas son certificat au nouveau catalogue. Elle remet séparément la reconstruction unique permise par la première commande et les courbes supplémentaires de la seconde. Aucun coefficient ancien n'a été recalculé : c'est la famille des réponses admissibles qui a changé. La valeur zéro du coefficient de fréquence quatre n'avait jamais été estimée par la fiche à sept coefficients ; ce coefficient y était exclu.
Supprimer la moitié des positions retire aussi un contrôle
Camille veut réduire la liste pour sa page et ne conserve que j égal à zéro, deux, quatre et six. Les positions sont désormais zéro, un quart, un demi et trois quarts. F y donne douze, dix, huit, dix. Son terme sin(4πt) vaut zéro à ces quatre endroits. Nora pouvait le retrouver égal à un dans la liste de huit, mais ne le retrouve plus dans la liste réduite. Elle conserve la composante sur la fiche de F et retire seulement la promesse de la récupérer depuis les quatre valeurs restantes.
Les fréquences un et trois rencontrent également une ambiguïté sur ces quatre positions. Leurs cosinus donnent tous deux un, zéro, moins un, zéro. La courbe 10+2cos(6πt) fournit donc les quatre mêmes valeurs que F. Auparavant, à t égal à un huitième, F donnait onze plus racine de deux, tandis que cette nouvelle candidate donnait dix moins racine de deux. Nora constate que la position effectivement supprimée portait un écart entre ces candidates. Elle choisit de garder cette cinquième lecture pour la commande qui doit les séparer, plutôt que prétendre reconstruire l'ancienne fiche complète depuis sa réduction.
Camille propose une réduction différente : préparer la moyenne de chaque couple voisin avant de supprimer une case sur deux. Pour les deux premières valeurs de F, la moyenne de douze et onze plus racine de deux vaut vingt-trois demis plus racine de deux divisée par deux. Cette valeur n'est pas la première lecture douze de la réduction précédente. Nora lui donne donc un autre nom de colonne et conserve les deux positions qui ont été mélangées. Le nombre de cases final peut être le même, mais la moyenne préalable a changé l'opération appliquée aux lectures.
La moyenne circulaire peut perdre une différence exacte
Nora ouvre une fiche séparée, directement faite de huit nombres x0 à x7. Elle n'emploie plus une formule continue pour les produire. Chaque sortie yj est la moyenne de xj et xj+1 ; la dernière utilise x7 et x0, puisque la bande se ferme. Camille lui remet huit sorties égales à deux. Nora trouve une entrée constante : huit deux. Elle trouve aussi quatre, zéro, quatre, zéro, quatre, zéro, quatre, zéro. Chacun de ses couples voisins possède la même moyenne deux, y compris le couple qui traverse la fermeture.
La différence entre ces deux entrées vaut deux, moins deux, deux, moins deux, et ainsi de suite. Sur chaque couple, ces différences s'annulent. Plus généralement, ajouter une quantité a aux positions paires et retirer a aux positions impaires ne change aucune sortie. Nora choisit a égal à un dans une nouvelle réalisation : trois, un, trois, un, trois, un, trois, un donnent encore huit deux. Toutes ces entrées sont distinctes et non négatives. La perte ne vient donc pas de la permission de valeurs négatives ou d'un arrondi après moyenne.
Camille demande une reconstruction avec x0 explicitement égal à trois. La relation x suivant égale deux y présent moins x présent impose alors un à x1, trois à x2, puis les mêmes deux valeurs alternées jusqu'à x7. La fermeture retrouve trois après le dernier un. Nora retient cette entrée unique sous la nouvelle condition x0=3. Elle ne présente pas la condition comme une neuvième sortie de moyenne : il s'agit d'une valeur d'entrée connue, qui fixe la quantité alternante auparavant libre. Les huit sorties seules n'avaient pas choisi ce trois.
Une fermeture impaire impose au contraire la première valeur
La fiche suivante possède cinq cases, avec des sorties un, deux, trois, quatre, cinq dans cet ordre circulaire. Nora appelle a la première entrée. Les relations donnent alors deux moins a, deux plus a, quatre moins a, puis quatre plus a. La dernière moyenne avec a doit valoir cinq : quatre plus deux a vaut dix, donc a vaut trois. L'entrée complète est trois, moins un, cinq, un, sept. Nora contrôle les cinq moyennes : un, deux, trois, quatre, cinq. La fermeture a fixé le nombre que la fiche paire laissait libre.
Pour comprendre cette différence, Nora regarde seulement un écart entre deux entrées qui auraient les mêmes sorties. Chaque étape remplace cet écart par son opposé. Après cinq pas, le premier écart devrait être à la fois lui-même et son opposé ; il vaut donc zéro. Tous les autres sont alors nuls. Sur huit cases, huit changements de signe rendaient au contraire l'écart initial sans le contraindre. Nora conserve cette distinction de parité pour la moyenne circulaire, sans la confondre avec la visibilité d'une fréquence dans les premières courbes continues.
Camille précise maintenant que toutes les entrées de la fiche à cinq cases doivent être non négatives. La reconstruction possède moins un à la deuxième case et devient inadmissible. Nora ne remplace pas ce nombre par zéro, car les moyennes voisines changeraient. Elle remet le refus avec la solution algébrique unique déjà trouvée. À partir de ces sorties, aucune autre entrée ne peut satisfaire la nouvelle condition : l'unicité sur les nombres signés a retiré toute liberté de correction. Une fermeture qui rend la reconstruction unique ne garantit pas qu'elle appartienne au domaine demandé.
Sur la fiche paire, certaines sorties n'ont aucune entrée
Une autre liste de huit sorties porte un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit. Nora additionne les sorties des positions paires, puis retranche celles des positions impaires : un moins deux plus trois moins quatre plus cinq moins six plus sept moins huit vaut moins quatre. Or, pour une vraie moyenne circulaire à huit cases, cette somme doit être zéro. Chaque entrée apparaît une fois avec le signe plus et une fois avec le signe moins dans la somme doublée. Nora refuse donc la liste, sans essayer de choisir un premier nombre qui ferait disparaître sa fermeture impossible.
Camille change uniquement la dernière sortie de huit à quatre dans une branche distincte. La somme alternée devient zéro. En partant de x0=a, Nora obtient successivement deux moins a, deux plus a, quatre moins a, quatre plus a, six moins a, six plus a, huit moins a ; la dernière moyenne avec a vaut alors quatre, comme demandé. L'entrée existe pour tout a signé. L'ancienne liste refusée reste sur sa propre fiche : la nouvelle sortie n'est pas une liberté de reconstruire les mêmes données, mais une correction effectivement autorisée du relevé final.
Pour imposer encore des entrées non négatives sur cette dernière fiche, Nora rassemble les inégalités. Les valeurs a, deux plus a, quatre plus a, six plus a exigent a au moins zéro ; les valeurs deux moins a, quatre moins a, six moins a, huit moins a exigent a au plus deux. Elle choisit a égal à un et remet un, un, trois, trois, cinq, cinq, sept, sept. Les moyennes sont bien un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, quatre. Ici, le domaine demandé laisse un intervalle de solutions, alors que la fiche impaire non négative n'en laissait aucune.
Conserver la question avec les renseignements retenus
Pour la bande continue limitée aux fréquences un à trois, Nora garde les huit lectures et les sept coefficients retrouvés. Pour la moyenne circulaire à huit cases, elle ajoute x0=3 lorsqu'une entrée unique est demandée ; pour les sorties corrigées, elle conserve le domaine de premiers nombres de zéro à deux. Ces remises portent leurs conditions différentes. La page privée peut montrer les points choisis, les candidates refusées et les valeurs retenues sans attribuer à une liste de nombres la courbe ou l'entrée qu'elle n'avait pas permis de sélectionner.
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