Léa prépare une page de calcul pour un livre privé. Simon doit remplacer une courbe connue par une formule plus simple, avec une erreur maximale annoncée. La courbe et les personnes appartiennent à cet exercice fictif. Aucun dessin reçu, mesure réelle ou réponse d’un lecteur ne sert à déterminer les nombres. Léa donne la fonction entière avant le travail : à chaque position x entre moins un et un, la valeur vaut x au carré. Une formule proposée devra répondre pour toutes ces positions, et pas seulement pour quelques lignes d’un tableau.
Trois notices du Met identifient seulement des catégories d’objets. Leurs images et leurs procédés ne fournissent ni la courbe ni les critères de cette préparation.
La notice 337223 classe son objet parmi les estampes.
La notice 337224 classe son objet parmi les livres.
La notice 337225 classe son objet parmi les estampes.
La première commande autorise une seule droite, de formule a fois x plus b. Simon peut choisir les deux coefficients. Léa compte, à chaque position, la valeur absolue de la différence entre x au carré et cette droite. Elle souhaite rendre aussi petite que possible la plus grande de ces différences sur l’intervalle entier. Une différence positive et une différence négative comptent pareillement ; plusieurs différences petites ne compensent pas une grande. Les méthodes d’ajustement par somme de carrés déjà rencontrées dans d’autres pages ne donnent donc pas directement la réponse à cette nouvelle commande.
Simon commence par une droite qui rejoint les deux extrémités. La courbe vaut un en moins un et en un : cette droite est la constante un. Elle retrouve exactement les deux valeurs, mais sa différence à la courbe vaut un au centre, où x est nul. Son plus grand écart est donc un. Léa conserve cette proposition avec son témoin d’échec en zéro. Elle ne lui attribue pas une précision générale au motif que les deux extrémités sont exactes. Une position intérieure appartient autant que les extrémités à la commande donnée.
Il essaie ensuite la constante un demi. Puisque x au carré reste entre zéro et un sur tout l’intervalle, la différence à un demi reste entre moins un demi et un demi. Les extrémités atteignent le signe positif ; le centre atteint le signe négatif. Le plus grand écart vaut exactement un demi. Simon peut donc remettre une candidate qui améliore le un de sa première droite, avec une borne qui porte effectivement sur toutes les positions. Il lui reste à prouver qu’une droite inclinée ne pourrait pas encore faire mieux.
Pour cela, il garde trois positions : moins un, zéro et un. Il nomme leurs différences e gauche, e centre et e droite, toujours courbe moins droite. Elles valent respectivement un plus a moins b, moins b, puis un moins a moins b. En additionnant les deux différences extérieures et en retranchant deux fois celle du centre, il obtient deux. Les coefficients a et b ont disparu. Cette combinaison constitue une contrainte que toute droite devra subir, quel que soit son choix ; elle ne dépend pas seulement de la constante que Simon vient d’essayer.
Si toutes les différences avaient une grandeur au plus E, la combinaison précédente aurait une grandeur au plus quatre fois E : deux termes ont un coefficient un et celui du centre un coefficient deux. Comme sa valeur reste deux, E doit être au moins un demi. La candidate constante atteint précisément cette borne. Simon a ainsi fermé la recherche sur toutes les droites, sans parcourir une liste de pentes ni supposer que la symétrie suffirait à justifier le résultat. Les trois positions ne remplacent pas l’intervalle ; elles fournissent une borne inférieure que le contrôle de la fonction entière a effectivement atteinte.
L’égalité renseigne même les coefficients. Pour atteindre deux avec des différences bornées par un demi, les deux différences extérieures doivent être positives et égales à un demi ; celle du centre doit être négative et égale à moins un demi. Cette dernière impose b égal à un demi. La différence extérieure gauche impose alors a nul, et celle de droite le confirme. La droite optimale est donc unique dans cette famille. Léa conserve les trois signes alternés auprès du résultat : ils déterminent ici la réponse et ne sont pas trois erreurs choisies arbitrairement après elle.
Elle compare ce choix au meilleur ajustement par carrés sur ces mêmes trois positions. La droite obtenue par ce second objectif est la constante deux tiers. Les différences valent un tiers, moins deux tiers, un tiers, et leurs carrés totalisent deux tiers. La constante un demi produit trois carrés d’un quart, soit trois quarts, un peu davantage. Mais son plus grand écart vaut un demi au lieu de deux tiers. Léa choisit donc un demi pour sa commande actuelle. La candidate deux tiers gagne dans la somme et perd sur l’écart le plus grand, avec la même courbe et les mêmes trois positions de comparaison.
Simon n’intitule pas cette page « mauvaise droite des carrés ». Il conserve deux remises, chacune avec son objectif. La première demande un total sur trois positions ; la seconde demande une garantie sur toutes les positions entre les bornes. La comparaison aux trois points suffit à montrer que les réponses diffèrent, mais la garantie de un demi provenait aussi de zéro inférieur ou égal à x au carré inférieur ou égal à un. Une feuille montrant seulement les trois erreurs ne donnerait pas encore ce contrôle complet de l’intervalle.
Une proposition de mise en page retire le centre du tableau et garde les positions moins un, moins un demi, un demi et un. Les valeurs de la courbe y sont un, un quart, un quart et un. Parmi les droites, la constante cinq huitièmes donne des écarts trois huitièmes aux extrémités et moins trois huitièmes aux deux positions intérieures retenues. Elle semble améliorer le un demi de la première garantie. Simon examine soigneusement ce « mieux » : il a été calculé pour une liste différente, qui ne contient plus zéro.
Pour cette liste de quatre positions, il peut certifier le trois huitièmes. La moyenne des valeurs d’une droite en moins un et un vaut b. Celle de ses valeurs en moins un demi et un demi vaut également b. Les moyennes des valeurs de la courbe valent, elles, un et un quart. La différence entre les deux moyennes d’erreurs est donc trois quarts. Si les quatre erreurs sont bornées par E, chacune de ces moyennes est dans l’intervalle de moins E à E, et leur différence ne peut dépasser deux E. Il faut E au moins égal à trois huitièmes, borne que la constante atteint.
Le centre absent départage les deux promesses. En zéro, la courbe vaut zéro et la constante cinq huitièmes conserve cinq huitièmes : la grandeur de l’écart est cinq huitièmes, supérieure au trois huitièmes annoncé sur l’échantillon. Léa refuse donc cette constante pour une garantie de trois huitièmes sur la page entière. La liste ne contenait aucune valeur fausse ; elle demandait seulement moins de contrôles. Simon garde l’optimalité sur les quatre positions dans sa feuille propre et remet un demi pour la commande sur tout l’intervalle, sans ajouter le centre après coup au motif du résultat calculé sans lui.
La courbe connue permet cette décision parce qu’elle renseigne chaque valeur entre les positions choisies. Si Léa avait donné seulement quatre observations sans règle entre elles, Simon n’aurait pas pu attribuer automatiquement x au carré au centre. Il aurait dû garder cette valeur inconnue. Ici, la formule était fournie avant la sélection du tableau et reste une hypothèse de la page. La remise complète utilise cette information explicite, pas une observation intérieure que Simon aurait inventée pour contredire un échantillon.
Léa autorise ensuite une famille plus souple : deux morceaux affines, l’un sur la moitié gauche et l’autre sur la moitié droite, avec une jointure continue en zéro. Le résultat n’a plus besoin d’être une droite unique sur tout l’intervalle. Simon doit cependant rendre une seule valeur au point de jointure ; deux limites incompatibles ne constitueraient pas la fonction continue demandée. Les méthodes générales de découpage déjà rencontrées ne suffisent pas à décider les coefficients ni la précision de ces deux morceaux. Il reprend le critère du plus grand écart sous cette famille nouvelle.
Sur la moitié droite, il propose x moins un huitième. La différence à x au carré vaut x au carré moins x plus un huitième. Elle se réécrit comme le carré de x moins un demi, diminué d’un huitième. Quand x parcourt zéro à un, ce carré parcourt zéro à un quart. La différence reste donc entre moins un huitième et un huitième. Elle atteint le signe positif en zéro et en un, puis le signe négatif en un demi. Ce contrôle donne une borne sur toute la moitié, avec son point intérieur le plus défavorable.
Sur la moitié gauche, Simon choisit moins x moins un huitième. Les deux morceaux valent moins un huitième en zéro et se joignent effectivement. Leur formule commune peut s’écrire valeur absolue de x moins un huitième. Le même contrôle, appliqué à la distance à zéro, donne un huitième comme plus grand écart sur l’intervalle entier. Les cinq positions moins un, moins un demi, zéro, un demi et un portent successivement les signes positif, négatif, positif, négatif, positif. Léa reçoit ainsi la fonction continue et ses deux pentes, au lieu de deux tableaux qui auraient omis leur point commun.
Une borne inférieure ferme aussi cette seconde recherche. Sur la moitié droite, les valeurs de la courbe en zéro, un demi et un sont zéro, un quart et un. Leur combinaison première valeur moins deux fois la valeur centrale plus dernière valeur vaut un demi. Pour tout morceau affine, la même combinaison de ses valeurs vaut zéro. Les erreurs doivent donc encore porter cette différence, et quatre fois leur plus grande grandeur doit être au moins un demi. Le rayon minimal vaut au moins un huitième. La proposition l’atteint sur les deux moitiés : elle est optimale dans la famille à jointure fixée en zéro.
Léa voulait d’abord donner une valeur différente au centre dans la colonne de droite, pour rendre cette colonne plus agréable à lire. Simon refuse cette retouche isolée : la formule droite atteint déjà moins un huitième en zéro et doit rencontrer la formule gauche. Modifier la seule valeur imprimée détruirait la continuité de la fonction annoncée. La famille à deux morceaux possède davantage de liberté que celle à une droite, mais elle conserve une obligation commune au centre. Ils gardent moins un huitième comme valeur de la jointure et nomment cette conséquence avant de choisir la version qui sera remise.
Cette valeur négative pose une difficulté nouvelle. Dans une troisième commande, Léa veut que la formule simplifiée reste non négative sur toute la page, comme la courbe x au carré. Le meilleur résultat précédent manque cette condition en zéro. Il ne suffit pas de le nommer « approximation » pour autoriser ce manque. Simon ne relève pas seulement le centre après le calcul : il reprend la recherche parmi les deux morceaux continus qui respectent la nouvelle condition. Le rayon d’un huitième reste le résultat de l’ancienne commande, dont la famille ne comportait pas cette restriction.
Il examine une fonction de la forme k fois la valeur absolue de x, qui vaut zéro au centre. Sur la moitié droite, l’erreur est x au carré moins kx. Pour une pente positive k inférieure à deux, son minimum se trouve en k sur deux et vaut moins k au carré sur quatre. À l’extrémité un, elle vaut un moins k. Simon cherche une pente qui équilibre ces deux grandeurs opposées : un moins k égal à k au carré sur quatre. L’équation donne k au carré plus quatre k moins quatre égal à zéro.
La racine positive est deux fois racine de deux moins deux. Le rayon équilibré vaut trois moins deux fois racine de deux. Il est environ 0,1716, supérieur à un huitième mais inférieur à un demi. La fonction reste non négative, puisqu’elle multiplie une distance à zéro par une pente positive. Son erreur vaut zéro au centre, le rayon positif aux extrémités et le rayon négatif aux deux positions de distance racine de deux moins un au centre. Simon inscrit ces positions exactes : le pire écart intérieur ne reste plus en un demi comme dans la fonction qui descendait sous zéro.
Pour vérifier toute la page, il écrit l’erreur sur une moitié sous la forme du carré de x moins k sur deux, diminué de k au carré sur quatre. Son minimum est donc le rayon négatif calculé. Son maximum sur cette moitié est atteint à une extrémité : zéro au centre ou un moins k à l’autre bout. Il vaut le rayon positif. La moitié gauche possède exactement les mêmes valeurs d’erreur aux distances correspondantes. Cette candidate respecte ainsi les deux demandes réunies : une erreur uniformément bornée par le nouveau rayon et une valeur jamais négative sur l’intervalle entier.
Il reste à savoir si une fonction à jointure positive pourrait faire mieux. Simon prend un morceau quelconque sur la moitié droite, kx plus b. La non-négativité au centre impose b positif ou nul. Si son rayon E était inférieur à un demi, la différence au centre imposerait aussi b au plus E. À l’extrémité un, la condition d’erreur donnerait k plus b au moins un moins E. Ainsi k est au moins un moins E moins b, quantité positive puisque b ne dépasse pas E et E reste inférieur à un demi. La pente ne peut plus être choisie sans cette contrainte d’extrémité.
La même extrémité donne k plus b au plus un plus E, donc k inférieur à un et demi, et en particulier à deux. La position k sur deux se trouve alors dans la moitié droite. L’erreur y vaut moins k au carré sur quatre moins b ; sa grandeur impose b plus k au carré sur quatre au plus E. Simon combine cette obligation avec la borne inférieure sur k. Il obtient E au moins égal à b plus le carré de un moins E moins b, divisé par quatre. Il n’a pas supposé que la candidate devait passer par zéro : b reste libre dans cette preuve.
Pour E fixé inférieur à un demi, cette dernière expression augmente lorsque b va de zéro à E. Son rythme de variation vaut un moins la moitié de un moins E moins b, qui est strictement positif dans cet intervalle. Sa plus petite valeur est donc obtenue en b nul. Toute candidate doit satisfaire E au moins égal au carré de un moins E, divisé par quatre. L’inégalité se réduit à E au carré moins six E plus un inférieur ou égal à zéro. Dans la plage examinée, elle force E au moins égal à trois moins deux fois racine de deux. La candidate déjà contrôlée atteint précisément cette borne.
Cette preuve porte même sur des morceaux gauche et droit dont les pentes seraient différentes. La moitié droite suffit à interdire un rayon plus petit pour la fonction entière ; la construction symétrique atteint la borne sur les deux côtés. L’égalité dans les étapes précédentes impose b nul et la pente droite calculée. Sur la moitié gauche, le même raisonnement avec la distance au centre impose la pente opposée. Simon peut donc remettre la fonction unique de cette famille sous la restriction non négative. Il n’a pas réduit arbitrairement la recherche aux fonctions symétriques pour la rendre plus facile.
Léa compare les versions sur une même petite plage centrale. Avec la fonction non contrainte, toute position dont la distance à zéro est inférieure à un huitième reçoit une valeur négative. Avec la version retenue dans la troisième commande, cette valeur est la pente positive multipliée par la distance, et reste non négative. La différence ne concerne donc pas seulement une case isolée à corriger dans le tableau. C’est toute une partie de la fonction qui change. Léa accepte l’augmentation du rayon parce qu’elle a demandé cette propriété sur chaque position, et retire la première fonction de la remise soumise à cette propriété.
Elle écarte enfin une proposition consistant à couper simplement les valeurs négatives de l’ancienne fonction à zéro. Cette opération donnerait le maximum de zéro et de la valeur absolue de x moins un huitième. Elle resterait non négative, mais elle posséderait une portion plate centrale et deux changements de pente aux distances un huitième. La famille autorisée contient deux morceaux affines se rejoignant seulement en zéro. Cette fonction coupée n’appartient pas à cette famille. Simon la laisse comme autre proposition possible si Léa change plus tard les formes permises ; il ne l’utilise pas pour nier la borne prouvée dans la famille actuelle.
Ils contrôlent néanmoins la fonction coupée avant de la ranger. Dans sa portion centrale, elle vaut zéro ; l’écart à x au carré ne dépasse donc pas un soixante-quatrième, le carré d’un huitième. Hors de cette portion, elle reprend la fonction antérieure, dont l’écart reste au plus un huitième et atteint cette grandeur aux extrémités. Son rayon total vaut donc un huitième, avec des valeurs non négatives. Ce résultat serait meilleur que la remise retenue si trois morceaux et ces deux autres jointures étaient permis. Léa maintient pourtant la commande à deux morceaux joints en zéro ; Simon remet la fonction coupée dans une feuille séparée, comme réponse calculée d’une autre famille, sans lui attribuer l’admissibilité qu’elle manque dans celle demandée.
La remise finale retient deux morceaux continus, non négatifs, avec la pente deux fois racine de deux moins deux en valeur absolue et le rayon trois moins deux fois racine de deux. La droite unique et la fonction à centre négatif restent dans leurs feuilles de comparaison, avec leurs rayons un demi et un huitième. Simon joint les conditions et les positions qui attestent chaque borne. Léa peut retrouver pourquoi l’erreur a diminué quand la famille s’est élargie, puis augmenté quand la non-négativité a été exigée, sans attribuer un même résultat à trois commandes différentes.
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