Camille prépare une page de livre privé avec quatre relevés entièrement fictifs. Les abscisses zéro, un, deux et trois portent les valeurs un, deux, deux et quatre. Ces nombres sont des graduations abstraites, sans personne mesurée ni phénomène observé. Nora veut une droite qui résume cette petite liste, puis une évaluation où le relevé testé ne participe pas à sa construction. Les deux demandes utiliseront les mêmes quatre nombres, mais pas de la même façon. Une erreur faible après ajustement ne sera pas annoncée comme un test effectué sans connaître la valeur à retrouver.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Ces notices ont été lues pour leurs catégories. Aucun sujet ou procédé artistique n'est repris ; les relevés et critères sont créés ici.
Une droite possède ici la formule a+bx : a est sa valeur en zéro et b l'augmentation correspondant à une unité d'abscisse. Camille autorise les coefficients fractionnaires. Pour comparer les propositions, elle retranche la valeur de la droite de chaque relevé, puis additionne les carrés de ces quatre différences. Une différence négative et une positive de même grandeur ont donc le même coût. Ce choix n'oblige pas la droite à passer par l'un des quatre points ; une commande qui imposerait un passage exact sera examinée séparément.
La droite des deux extrémités ne minimise pas le coût demandé
Nora commence par joindre les deux extrémités, (0,1) et (3,4). La droite obtenue vaut 1+x. Aux quatre abscisses, elle donne un, deux, trois et quatre. Les deux premiers relevés et le dernier sont retrouvés exactement, mais celui placé en deux vaut deux plutôt que trois. Les différences sont zéro, zéro, moins un et zéro, pour un coût total de un. Camille conserve ce résultat comme une candidate réalisée. Elle ne le choisit pas seulement parce que trois points concordent : le critère de la commande concerne la somme des quatre carrés, pas le nombre de concordances exactes.
Camille essaie la droite neuf dixièmes plus neuf dixièmes de x. Ses valeurs sont neuf dixièmes, neuf cinquièmes, vingt-sept dixièmes et dix-huit cinquièmes. Les différences aux relevés valent un dixième, un cinquième, moins sept dixièmes et deux cinquièmes. Les quatre carrés totalisent un centième, quatre centièmes, quarante-neuf centièmes et seize centièmes, soit sept dixièmes. Aucun point n'est retrouvé exactement, mais le coût est inférieur au un de la droite des extrémités. Nora abandonne donc cette première règle de sélection et remet la droite aux deux coefficients neuf dixièmes pour le critère demandé.
Pour justifier les coefficients sur toute la famille autorisée, Camille écrit les deux équations d'ajustement. La somme des relevés vaut neuf, celle des abscisses six, celle de leurs carrés quatorze et celle des produits abscisse par relevé dix-huit. Elle exige que la somme des quatre différences soit nulle et que leur somme pondérée par les abscisses soit également nulle. Cela donne 4a+6b égal à neuf et 6a+14b égal à dix-huit. En éliminant a, elle obtient b égal à neuf dixièmes ; la première équation donne alors a égal à neuf dixièmes. Ce calcul choisit deux coefficients ensemble, au lieu de déplacer séparément les quatre niveaux.
Camille vérifie ensuite que les deux équations suffisent à certifier le minimum, plutôt qu'à désigner seulement une candidate commode. Elle ajoute aux coefficients retenus deux changements quelconques u et v. L'accroissement du coût vaut 4u²+12uv+14v². Les termes faisant intervenir les anciennes différences s'annulent grâce aux deux sommes nulles. L'expression restante se réécrit 4(u+trois demis de v)²+5v². Elle est toujours positive ou nulle et ne s'annule que si u et v valent tous deux zéro. Nora garde donc la droite comme minimum unique de cette famille. Le verdict concerne les quatre carrés et la famille a+bx, sans attribuer à la droite une autre qualité qui n'aurait pas été demandée.
La somme nulle des différences ne signifie pas que chacune est nulle. Nora additionne un dixième, un cinquième, moins sept dixièmes et deux cinquièmes et retrouve zéro. Elle avait intitulé la page « aucun écart restant ». Camille remplace cette mention par « quatre écarts dont la somme s'annule ». Le coût sept dixièmes reste visible à côté de la liste. La différence négative située en deux compense les trois positives dans une somme signée, mais leurs carrés demeurent tous positifs. Nora accepte la correction du titre et conserve ses quatre relevés d'origine, distincts des quatre valeurs de la droite.
Imposer le dernier passage change la droite remise
Dans une autre commande, Nora veut que la droite passe exactement par le dernier point (3,4). Cette fois, l'égalité a+3b égale à quatre est une condition, et non un avantage facultatif d'une candidate. La droite neuf dixièmes plus neuf dixièmes de x atteint seulement dix-huit cinquièmes en trois. Camille la retire donc du choix autorisé pour cette commande. Nora continue à minimiser les quatre carrés, mais uniquement parmi les droites qui satisfont son passage final. La commande n'exige pas de retrouver aussi le premier relevé ; joindre automatiquement les deux extrémités ajouterait une deuxième obligation.
Camille remplace a par 4−3b dans les quatre différences. Leurs carrés totalisent 14b²−30b+17, soit quatorze fois le carré de b moins quinze quatorzièmes, augmenté de treize quatorzièmes. Le minimum vaut donc treize quatorzièmes, atteint avec b égal à quinze quatorzièmes et a égal à onze quatorzièmes. Aux quatre positions, cette droite donne onze quatorzièmes, treize septièmes, quarante et un quatorzièmes et quatre. Les différences sont trois quatorzièmes, un septième, moins treize quatorzièmes et zéro. Nora reçoit cette liste et le dernier passage exact qu'elle avait effectivement demandé.
Nora compare treize quatorzièmes à sept dixièmes : le coût augmente de huit trente-cinquièmes. Elle garde pourtant la droite contrainte dans cette commande, car la candidate moins coûteuse manquait son passage imposé. Camille ne présente pas cette augmentation comme une erreur d'addition ou comme une nouvelle donnée dans les relevés. Tous les relevés sont demeurés un, deux, deux et quatre. Nora a accepté une condition supplémentaire et son coût. Elle reçoit aussi le diagnostic de son premier essai 1+x : son passage par le premier point était exact mais facultatif, et son coût un dépassait celui de la meilleure droite respectant seulement le dernier passage.
Les deux feuilles sont conservées séparément : neuf dixièmes pour les deux coefficients dans la commande libre, puis onze quatorzièmes et quinze quatorzièmes dans la commande contrainte. Nora revient ensuite à la commande libre pour la suite. Camille restaure donc cette première formule, plutôt que garder le dernier point exact et lui attribuer le coût sept dixièmes. L'accord sur un passage donné n'est pas une modification du relevé ; c'est une restriction de la famille disponible au moment du choix. Les critères restent attachés aux formules qui les atteignent réellement.
Retirer le relevé testé doit précéder la construction de la droite
Pour son évaluation suivante, Nora choisit le relevé placé en deux. Elle veut le mettre de côté, construire une droite à partir des trois autres, puis confronter la valeur ainsi obtenue à celle qu'elle avait mise de côté. Camille ne lui donne pas moins sept dixièmes, qui était l'écart de la droite construite avec les quatre relevés. Cette droite avait déjà utilisé la valeur deux lors du choix de ses coefficients. Nora retire donc la troisième ligne du tableau de construction avant tout calcul de la nouvelle droite ; elle garde sa valeur dans une autre feuille destinée à la comparaison finale.
Les trois couples encore disponibles sont (0,1), (1,2) et (3,4). Ils sont exactement sur la droite 1+x. Camille vérifie les trois valeurs, puis la formule lui donne trois à l'abscisse deux. Nora ouvre seulement alors sa feuille réservée : elle y retrouve deux, et la différence relevé moins valeur annoncée vaut moins un. Elle remet ce résultat comme erreur du test choisi. Le moins sept dixièmes du tableau complet reste dans l'autre dossier, avec sa construction qui connaissait les quatre valeurs. L'erreur a changé parce que la donnée utilisée pour choisir la droite a changé, sans que l'abscisse testée ait été déplacée.
Camille avait proposé de choisir d'abord la droite complète, puis de masquer simplement la troisième ligne à l'affichage. Nora refuse cette opération comme réalisation du test. Les coefficients auraient encore été déterminés avec la valeur maintenant invisible. Elle demande les trois couples de construction et la formule 1+x sur la remise du test ; la feuille à quatre couples et la formule aux neuf dixièmes appartiennent au résumé complet. L'effacement d'une ligne dans la présentation n'a donc pas tenu lieu de retrait dans le calcul. Camille remplace la fiche masquée par la reconstruction à trois relevés et lui remet effectivement l'annonce trois avant la comparaison avec deux.
Nora stipule aussi que le résultat moins un est celui de ce test fictif précis. Il ne correspond pas à l'évaluation d'une cinquième observation qui serait survenue ensuite. Les trois couples ont été choisis dans sa liste créée, et le quatrième a été réservé avant leur usage. Elle conserve cette organisation pour rendre l'évaluation refaisable. Le livre peut montrer une conséquence du retrait d'une donnée sans raconter qu'une personne réelle avait annoncé trois avant de découvrir un relevé deux. Nora garde les moments de son exercice dans la page, au lieu d'ajouter un événement extérieur pour donner plus d'autorité au résultat.
Le plus petit écart ajusté peut devenir un test plus défavorable
Nora reprend les quatre relevés puis réserve cette fois celui d'abscisse trois, qui vaut quatre. Les trois couples de construction sont maintenant (0,1), (1,2), (2,2). Leurs deux équations donnent une pente d'un demi et une valeur en zéro de sept sixièmes. Camille obtient sept sixièmes, cinq tiers et treize sixièmes aux trois abscisses disponibles. Ces valeurs ne coïncident pas toutes avec les trois relevés ; leurs différences satisfont cependant les deux équations du meilleur ajustement à cette liste. Camille conserve cette formule reconstruite, sans forcer le dernier couple disponible à être un point de passage exact.
À l'abscisse réservée trois, la nouvelle droite donne sept sixièmes plus trois demis, soit huit tiers. Nora compare cette annonce à quatre et obtient quatre tiers d'erreur. Dans la droite complète, ce relevé avait une erreur de seulement deux cinquièmes, plus petite que les sept dixièmes en valeur absolue du relevé d'abscisse deux. Les deux tests réservés inversent cet ordre : un pour l'abscisse deux, quatre tiers pour trois. Nora choisit donc de traiter le dernier relevé comme le test le plus défavorable de ces deux remises, plutôt que le troisième au seul motif qu'il avait la plus grande erreur après ajustement complet.
Camille explique ce renversement depuis la construction. Le relevé situé en trois participait lui-même au choix de la pente et de la valeur en zéro du tableau complet. Le retirer laisse une liste dont la progression finale est plus faible : un, deux, puis encore deux. La formule reconstruite n'a aucune obligation de rejoindre quatre en trois. Nora avait voulu maintenir cette égalité tout en affirmant qu'elle tenait ce relevé à l'écart ; Camille retire l'égalité de la commande de test. La branche précédente qui imposait le dernier passage avait reçu cette valeur comme contrainte. La branche présente la garde hors des données de construction et accepte qu'elle contredise l'annonce obtenue.
Nora conserve les deux feuilles de test avec leurs trois données visibles et leurs données réservées. Elle ne place pas les erreurs un et quatre tiers sous un même intitulé « erreurs de la droite neuf dixièmes ». Les droites de test sont respectivement 1+x et sept sixièmes plus x sur deux. Chacune répond à sa liste disponible. Le relevé d'abscisse deux avait la même valeur dans les deux préparations, mais il était réservé dans la première et utilisé dans la seconde. Nora indique ces rôles dans la remise. Elle garde ainsi le calcul qui a effectivement précédé chaque annonce, au lieu de combiner des erreurs de constructions différentes sous une formule commune.
Une famille plus souple gagne dans l'ajustement et perd dans ces tests
Camille propose maintenant des formules quadratiques, avec une constante, un terme en x et un terme en x². Sur les quatre relevés complets, elle retient vingt-trois vingtièmes plus trois vingtièmes de x plus un quart de x². Les valeurs obtenues sont vingt-trois vingtièmes, trente et un vingtièmes, quarante-neuf vingtièmes et soixante-dix-sept vingtièmes. Les différences sont moins trois vingtièmes, neuf vingtièmes, moins neuf vingtièmes et trois vingtièmes. Leurs carrés totalisent neuf vingtièmes, moins que les sept dixièmes de la droite. Nora choisit donc la quadratique si sa seule commande est de minimiser ce coût sur la liste complète parmi ces deux familles.
Les trois sommes des différences, de leurs produits par x et de leurs produits par x² sont nulles. Si Camille modifie les trois coefficients, le coût augmente de la somme des quatre carrés du changement de formule aux quatre abscisses ; les termes croisés avec les différences s'annulent. Cette somme ne peut être négative. Pour qu'elle soit nulle, la modification quadratique doit valoir zéro aux quatre abscisses distinctes ; ses trois coefficients sont alors tous nuls. Nora peut donc accepter le minimum unique dans la famille quadratique, sans croire que l'avantage observé provenait d'une seule formule choisie au hasard parmi les candidates possibles.
Nora change toutefois le critère de comparaison des familles. Elle veut réserver chacun des quatre relevés à son tour, reconstruire la formule avec les trois autres et additionner les quatre carrés des erreurs sur les valeurs réservées. Les paramètres de la quadratique ne resteront pas ceux du tableau complet. Avec trois abscisses distinctes, chaque reconstruction quadratique passe exactement par les trois couples de construction. Cette concordance n'annonce encore rien sur le quatrième, puisque celui-ci est absent de sa détermination. Camille prépare donc quatre nouvelles formules plutôt que déplacer seulement les anciennes différences sous le nouvel intitulé.
Quand le dernier relevé est réservé, les trois premiers donnent la quadratique 1+trois demis de x−x² sur deux. Ses valeurs en zéro, un et deux sont exactement un, deux et deux. En trois, elle donne un. Nora retrouve sa valeur réservée quatre et enregistre une erreur de trois, dont le carré vaut neuf. La droite construite sur ces mêmes trois couples avait donné huit tiers, avec une erreur de quatre tiers. La reconstruction quadratique réussissait mieux sur ses trois données de construction, où son coût était nul, mais elle manque davantage ce relevé réservé. Nora retire donc l'annonce que passer exactement par les trois données garantirait le meilleur test qui les exclut.
Les quatre erreurs quadratiques réservées, dans l'ordre des abscisses, valent moins trois, un, moins un et trois. Leurs carrés totalisent vingt. Pour les droites reconstruites, les quatre erreurs sont un tiers, deux septièmes, moins un et quatre tiers ; leurs carrés totalisent 1310/441, nombre inférieur à trois. Nora reçoit les quatre lignes de chaque évaluation, avec leurs données de construction propres. Les deux premiers calculs ne constituent pas une nouvelle famille de cas à développer séparément : ils ferment le total du critère commun. Elle garde toutefois leurs fractions exactes, au lieu d'arrondir chaque ligne avant de décider quelle famille sera retenue.
Nora choisit finalement les droites pour la commande fondée sur les quatre tests réservés, puisqu'elles atteignent ce total inférieur à vingt. Pour la commande précédente fondée sur le coût du tableau complet, elle conserve la quadratique à neuf vingtièmes, meilleure que la droite à sept dixièmes. Aucun des quatre relevés n'a changé. Les familles n'ont simplement pas reçu le même critère dans les deux commandes. Camille remet la feuille des tests avec le choix des droites et retire le minimum quadratique du motif attaché à ce choix. La préférence donnée aux droites dans cette évaluation n'est pas présentée comme une preuve de réussite sur des relevés futurs qui n'existent pas dans leur exercice.
Deux données réservées peuvent laisser un coefficient indéterminé
Nora ouvre une autre commande avant de fermer le dossier : les deux relevés intérieurs seront tenus à l'écart ensemble. Camille ne reçoit pour construire sa formule que les couples (0,1) et (3,4). Elle doit annoncer les valeurs en un et deux avant leur comparaison avec les deux relevés réservés. Nora souhaite d'abord conserver les deux familles de formules. Cette commande n'est pas le regroupement des deux tests précédents : ceux-ci avaient chacun trois données de construction, alors que la nouvelle n'en fournit que deux. Camille reprend donc la recherche avec cette liste réellement réduite.
Pour les droites, les deux couples disponibles fixent exactement la formule 1+x. Elle annonce deux en un et trois en deux, puis Nora ouvre les deux valeurs réservées, deux et deux : les erreurs sont zéro et moins un, dont les carrés totalisent un. Pour les quadratiques, Camille obtient au contraire toute une famille 1+x+kx(x−3). Chaque valeur de k garde les deux couples de construction exactement, puisque le terme supplémentaire s'annule en zéro et en trois. Avec k nul, les annonces valent deux et trois. Avec k égal à un quart, elles valent un demi de moins chacune, soit trois demis et cinq demis. Les deux constructions retrouvent les données visibles, mais ne donnent pas les mêmes annonces sur les données réservées. Nora refuse donc un résultat quadratique unique présenté comme déterminé par ces deux couples.
Camille avait pourtant inscrit k égal à un quart comme meilleur choix après avoir regardé les deux valeurs réservées. Les erreurs valaient alors un demi et moins un demi, pour un coût d'un demi, inférieur au un de la droite. Nora retire cette comparaison de la feuille des tests autorisés : les valeurs réservées ont servi à fixer le coefficient encore libre, contrairement à sa demande. Elle conserve le calcul d'un demi dans une feuille différente où les quatre données sont disponibles et où k peut être choisi avec elles. Pour la commande à deux données visibles, elle retient la droite déterminée et ses deux annonces effectives. Elle pourrait fournir une troisième donnée de construction ou une valeur de k expressément fixée avant le test, mais aucune de ces informations ne figurait dans la remise initiale.
Les pages remises gardent donc les données, la famille autorisée, les contraintes éventuelles et les lignes réellement retirées avant chaque reconstruction. Un passage exact peut être imposé, mais il doit alors être nommé comme condition ; une erreur d'ajustement peut être petite, mais elle ne devient pas une erreur calculée sans cette donnée. Nora conserve les formules et leurs fractions à côté des demandes qu'elles remplissent. Le lecteur peut retrouver chaque résultat dans le modèle créé, sans attribuer à une courbe plus souple ou à une concordance de trois points une garantie que leurs calculs n'ont pas établie.
Retrouver l'abscisse demande un autre ajustement
Nora donne enfin les quatre relevés comme entrées et demande des abscisses comme sorties. Elle conserve donc les couples d'origine, mais compte désormais les carrés des écarts aux abscisses zéro, un, deux et trois. Chaque valeur annoncée doit provenir d'une formule unique c+dy, même lorsque deux couples portent la même entrée y. Nora n'exige pas de restituer l'identité d'une ligne que sa valeur ne nommerait pas. Elle demande le meilleur ajustement dans ce sens nouveau, et non la simple opération algébrique qui retrouve x depuis une valeur de la droite précédente.
Camille inverse pourtant d'abord la formule y égal à neuf dixièmes plus neuf dixièmes de x. Elle obtient x égal à dix neuvièmes de y moins un. Sur les entrées un, deux, deux et quatre, cette formule donne un neuvième, onze neuvièmes, onze neuvièmes et trente et un neuvièmes. Les écarts aux quatre abscisses sont moins un neuvième, moins deux neuvièmes, sept neuvièmes et moins quatre neuvièmes ; leurs carrés totalisent soixante-dix quatre-vingt-unièmes. Camille construit ensuite le nouvel ajustement avec les deux sommes nulles, cette fois selon les relevés pris comme entrées. Les équations sont 4c+9d égal à six et 9c+25d égal à dix-huit. Elles donnent d égal à dix-huit dix-neuvièmes et c égal à moins douze dix-neuvièmes. Cette nouvelle formule fournit six dix-neuvièmes, vingt-quatre dix-neuvièmes, vingt-quatre dix-neuvièmes et soixante dix-neuvièmes ; ses carrés d'erreur aux abscisses totalisent quatorze dix-neuvièmes, moins que le coût de la formule inversée.
Nora choisit cette seconde formule pour la nouvelle remise. La première reste l'inverse exact de la droite, mais son meilleur ajustement des relevés à partir des abscisses n'en faisait pas le meilleur ajustement dans l'autre sens. Les deux entrées y égales à deux donnent nécessairement une même annonce d'abscisse, vingt-quatre dix-neuvièmes, alors que leurs abscisses données sont un et deux. Camille ne choisit pas silencieusement l'une de ces lignes comme destinataire du deux : elle conserve leurs deux écarts dans le coût demandé. Nora retire aussi une consigne qui faisait alterner les deux formules dans un aller-retour en promettant de retrouver chaque relevé. En composant la droite initiale avec la nouvelle formule, le coefficient de x devient quatre-vingt-un quatre-vingt-quinzièmes, et non un. Cette composition n'est pas une identité. Nora remet donc les deux ajustements avec leurs directions propres, puis réserve l'inverse algébrique à une autre demande qui porte effectivement sur les valeurs de la droite.
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