Élise prépare une page inventée pour un livre de famille. Elle veut y réunir trois marques dans une zone ronde, avec le moins de rayon possible. Son frère propose de rapprocher simplement le centre de la marque qui semble la plus éloignée. Élise demande une autre preuve : le cercle retenu doit contenir toutes les marques, et aucun cercle plus petit ne doit pouvoir les contenir ensemble. La décision porte sur cette page construite, avec des positions données, et non sur une photographie ou un travail de mise en page réellement exécuté.
Les trois notices servent ici aux seules catégories. Aucun contour, emplacement ou calcul ne provient des œuvres.
Le Met classe cette notice parmi les estampes.
Le Met classe cette notice parmi les estampes.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Les marques sont ponctuelles dans la première préparation. P est placé en (0,0), Q en (4,0) et R en (2,3), dans une unité abstraite. Un disque comprend son intérieur et sa frontière ; toucher la frontière reste donc permis. Son centre peut d'abord occuper n'importe quelle position du plan. Les distances sont ordinaires : leur carré est la somme des carrés des deux écarts de coordonnées. Nous cherchons le rayon, pas l'aire d'une silhouette polygonale ni la moyenne des distances. Les noms P, Q et R restent associés aux trois positions effectivement posées.
La moitié du plus grand écart ne donne pas toujours le disque voulu
P et Q sont séparés par quatre unités. Tout disque qui les contient doit avoir un rayon au moins égal à deux. En effet, le chemin de P au centre puis du centre à Q ne peut être plus court que leur distance directe ; chacune des deux portions est au plus le rayon. Élise obtient ainsi une borne valable quel que soit le centre essayé. Elle ne la transforme pas encore en solution : une borne inférieure dit ce qu'aucun rayon ne peut battre, sans assurer qu'un disque de ce rayon contient également R.
Le disque de centre (2,0) et de rayon deux atteint P et Q sur sa frontière, mais R est à trois unités du centre. Il manque donc une marque. Aucune autre position du centre ne peut sauver le rayon deux tout en gardant P et Q. Pour couvrir leur distance quatre avec deux portions de longueur au plus deux, il faut que les deux portions soient exactement deux et alignées ; le centre est nécessairement leur milieu. Élise retire ainsi la proposition de rayon deux, plutôt que de déplacer librement son centre en oubliant que les deux premières marques lui imposent déjà une position.
Elle cherche ensuite un centre sur la verticale passant par (2,0), qu'elle note (2,c). Les carrés des distances à P et Q valent tous deux 4+c². Celui de la distance à R vaut (3−c)². Les égaler donne 4+c²=9−6c+c², donc c=5/6. Cette recherche produit un candidat, pas encore la preuve qu'aucun centre situé ailleurs ne ferait mieux. Élise inscrit cette distinction sur sa feuille : elle a résolu une égalité de trois distances, mais une solution d'égalité pourrait être une mauvaise réponse à une question de minimum.
Le candidat est C=(2,5/6). Son carré de rayon vaut 4+25/36=169/36, soit un rayon 13/6. La distance de C à R vaut 3−5/6=13/6 elle aussi. Les trois marques sont donc sur la frontière du même disque, et toutes sont contenues. Élise trace cette proposition sur la page de l'exercice et donne à son frère les trois vérifications séparées. Le rayon a dépassé la borne deux ; cette différence est précisément ce qui permet d'accueillir la troisième marque, que le disque du diamètre P-Q laissait dehors.
Un autre brouillon plaçait le centre à la moyenne des trois positions, soit (2,1). Il demandait alors un rayon égal à la racine de cinq pour atteindre P et Q. Ce rayon est plus grand que 13/6, puisque cinq dépasse 169/36. Le brouillon contient effectivement les trois marques, mais ne remplit pas l'objectif de rayon minimal. Élise le garde comme essai non retenu. Elle ne confond pas un centre facile à calculer et un centre adapté au critère. Aucun équilibre affectif entre les trois marques n'était donné par notre exercice pour imposer leur moyenne.
Trois appuis permettent de vérifier tous les centres, même ceux qu'on n'a pas essayés
Élise associe maintenant des poids aux trois positions : 13/36 pour P, 13/36 pour Q et 5/18 pour R. Ils sont positifs et leur somme vaut un. La position obtenue en mélangeant les coordonnées avec ces poids est exactement C : l'abscisse vaut quatre fois 13/36 plus deux fois 5/18, soit deux ; l'ordonnée vaut trois fois 5/18, soit 5/6. Ces poids ne disent pas combien de pages ou de proches chaque marque représente. Ils servent uniquement à construire une vérification de la limite que nous voulons imposer à un disque possible.
Prenons un centre quelconque X, sans le restreindre à la verticale déjà essayée. La moyenne pondérée des carrés de ses trois distances à P, Q et R est égale à 169/36 plus le carré de la distance de X à C. On retrouve cette égalité en développant les trois carrés : les termes qui dépendent linéairement de X se rassemblent grâce au centre pondéré C. Les trois distances depuis C ont le même carré 169/36. Le frère peut donc contrôler une identité qui couvre toutes les positions de X, au lieu de recevoir seulement une liste de centres qu'Élise aurait choisis pour son essai.
Si un disque de centre X et de rayon r contient les trois marques, chacun des trois carrés de distance est au plus r². Leur moyenne avec des poids positifs de somme un est donc au plus r². L'identité précédente impose r² au moins égal à 169/36 plus la distance au carré entre X et C. En particulier, r ne peut être inférieur à 13/6. Le disque déjà construit atteint cette borne. La feuille possède maintenant les deux parties du résultat : une proposition qui contient effectivement toutes les marques et un obstacle applicable à toute proposition de rayon plus petit.
L'identité règle aussi la place du centre lorsque le rayon est minimal. Si X différait de C, le carré de leur distance serait strictement positif et ferait dépasser 169/36. Un disque de rayon exactement 13/6 ne pourrait alors pas contenir les trois marques. C est donc le seul centre pour ce rayon minimal. Élise refuse une note laissant entendre que le même petit disque pourrait glisser librement le long de la page. La marge d'un disque plus grand et l'unicité du disque optimal sont deux propriétés différentes ; son certificat concerne le second, avec les trois positions inchangées.
Le frère reçoit la page C,13/6 et la fiche des poids, puis contrôle les coordonnées du mélange. Il avait demandé que le choix demeure vérifiable sans essayer une infinité de centres. Élise répond à cette demande par une identité et ses conditions, plutôt que par le seul mot optimal. Les trois poids positifs accompagnent les trois appuis sur la frontière. Les marques gardent leurs noms dans le livre ; les poids restent dans le dossier de calcul et ne sont pas présentés comme une part d'importance accordée à leurs propriétaires imaginaires.
Faire passer le cercle par trois points ne suffit pas à le rendre minimal
Une autre feuille remplace R par S=(1,1), en gardant P et Q. Le disque de centre (2,0) et de rayon deux contient S, dont le carré de distance au centre vaut deux. La distance P-Q impose toujours le rayon au moins deux. Cette fois, le disque du diamètre suffit réellement et atteint la borne. S n'a pas besoin de toucher la frontière pour être correctement retenu. Élise remet donc ce disque pour cette feuille, au lieu d'exiger trois marques sur la bordure parce que la préparation précédente possédait trois appuis.
Le cercle passant exactement par P, Q et S aurait son centre en (2,−1) : la distance au carré à P vaut cinq et celle à S vaut également cinq. Son rayon serait la racine de cinq, donc plus grand que deux. Il contient les trois points sur sa frontière, mais perd contre le disque du diamètre qui laisse S à l'intérieur. Élise refuse ce nouveau candidat. L'égalité des distances lui avait fourni une bonne proposition dans la première feuille ; elle ne devient pas pour autant une garantie de minimum pour toutes les positions possibles du troisième point.
La fiche des poids explique pourquoi les deux cas diffèrent. Pour représenter (2,−1) par P, Q et S, le poids de S devrait être moins un, puisque S est le seul point d'ordonnée non nulle. Les deux autres poids seraient alors 5/4 pour P et 3/4 pour Q. Leur somme resterait un, mais ils ne seraient pas tous positifs. On ne peut plus conclure que leur combinaison des carrés est au plus le plus grand de ces carrés. Élise barre donc cette étape du certificat, sans barrer l'égalité algébrique des distances. Le signe des poids était une condition du raisonnement, pas une décoration du calcul.
Imposer un centre déjà nommé change le problème
Le frère ajoute une demande à la première feuille P,Q,R : le centre de la zone ronde doit désormais être l'une des trois marques. Il accepte que cette demande soit une autre convention, posée avant la nouvelle décision. Élise n'utilise plus C=(2,5/6), qui ne figure pas dans cette liste. Elle doit comparer trois candidats discrets, sans chercher à améliorer chacun par un déplacement. Le rayon minimal libre reste 13/6 dans l'ancien dossier ; il ne constitue pas une réponse admissible tant que le frère maintient sa liste de centres autorisés.
Un centre P demande un rayon quatre pour atteindre Q ; sa distance à R est la racine de treize, plus petite que quatre. Le centre Q demande lui aussi quatre pour atteindre P. Le centre R demande la racine de treize pour atteindre chacun des deux autres points. Élise choisit donc R sous la contrainte nouvelle. Ce rayon est supérieur à 13/6 : treize dépasse 169/36. Le résultat ne démontre pas qu'elle avait mal calculé C. Il montre le prix, en rayon, d'une restriction sur l'emplacement du centre, avec une décision remplie parmi les trois possibilités réellement permises.
Élise remet d'abord R avec son rayon racine de treize. Le frère examine la place occupée, puis accepte expressément de créer un repère de centre qui ne soit pas l'une des trois marques. Elle reprend alors C et 13/6 sur une autre feuille, sous cette permission nouvelle. P, Q et R ne changent pas de position et aucune marque n'est retirée pour faire tenir la page. Le changement porte sur le domaine de choix du centre. Les deux remises gardent chacune ce domaine, afin que le cercle libre ne soit pas présenté comme une réponse à la première contrainte encore en vigueur.
Une marque ajoutée peut remplacer les trois appuis par un diamètre
Une nouvelle préparation contient P, Q, R et T=(2,−3). R et T sont séparés par six unités, ce qui impose un rayon au moins égal à trois. Le disque de centre (2,0) et de rayon trois atteint R et T ; il contient également P et Q, chacun à deux unités du centre. Élise le choisit. Elle n'ajoute pas les deux unités de P-Q aux trois unités déjà nécessaires pour R-T : un seul disque contient les quatre marques ensemble. Son rayon est déterminé par la paire verticale dans ce cas, tandis que les deux marques horizontales restent à l'intérieur.
Le premier cercle C,13/6 ne convient pas à cette nouvelle préparation. Depuis C=(2,5/6), la distance jusqu'à T vaut 5/6+3=23/6, au-delà du rayon 13/6. Agrandir seulement le rayon en conservant C demanderait au moins 23/6 ; déplacer le centre vers (2,0) permet au contraire de limiter le rayon à trois. Élise donne ce déplacement avec les quatre contrôles. L'ajout d'une marque n'a pas seulement allongé une valeur sur l'ancienne fiche : il a modifié les points qui certifient le minimum et la position effectivement retenue pour le centre.
Le frère avait réservé une zone de rayon 5/2 pour cette préparation à quatre marques. Élise lui donne la borne trois issue de R-T et refuse la zone proposée avant toute remise. Il peut choisir un autre rayon permis ou changer les marques du prochain projet, mais les quatre marques présentes ne tiennent pas dans la zone fixée. Elle laisse donc cette préparation sans page remise à ce stade. Elle ne place pas T dans une annexe tout en continuant d'annoncer quatre marques couvertes par le disque. Le manque concerne une condition géométrique précise du projet, pas le nombre de noms écrits dans son dossier.
Couvrir une marque incertaine demande de couvrir toute sa zone
Nous reprenons maintenant P,Q,R, sans T. P et Q sont encore des positions exactes. R désigne en revanche le centre d'une petite zone ronde de rayon un, entièrement donnée comme incertitude de placement. La demande est de couvrir chaque position possible dans cette petite zone, pas seulement son centre. Élise ne choisit aucune probabilité parmi ces positions et ne prétend pas que R se trouvera plus souvent au milieu. Le point U=(2,4), situé tout en haut de la petite zone, fait partie des positions à couvrir au même titre que toutes les autres.
Le cercle nominal C,13/6 manque déjà U : leur distance verticale vaut 4−5/6=19/6. La première page n'est donc pas robuste à l'incertitude nouvellement annoncée. Pourtant, elle couvre toujours P, Q et le centre R. Élise retire l'étiquette « toutes les positions possibles » du brouillon, en maintenant sa validité pour trois positions exactes. Cette distinction l'oblige à reconstruire la décision à partir de la zone entière. Il ne suffit pas de déplacer le nom R vers U sur le dessin et d'oublier que le bas et les côtés de la zone restent eux aussi permis.
Elle essaie D=(2,3/2), avec un rayon 5/2. Les distances à P et Q ont pour carré 4+9/4=25/4 ; ces deux marques sont donc couvertes. La distance de D au centre R vaut 3/2. Pour tout point Z dans la petite zone, la distance D-Z est au plus la distance D-R plus R-Z, donc au plus 3/2+1=5/2. Cette inégalité couvre la zone entière, y compris les côtés qu'une vérification de la seule verticale aurait laissés sans justification. U atteint la borne 5/2 ; il constitue une position effectivement admise qui touche la frontière du grand disque.
Pour prouver que ce rayon ne peut être réduit, Élise utilise P,Q et U, tous obligatoires pour la nouvelle demande. Les poids 5/16,5/16 et 3/8 donnent D comme leur centre pondéré : l'ordonnée est quatre fois 3/8, soit 3/2. Les trois distances depuis D ont le même carré 25/4. Pour n'importe quel autre centre X, leur moyenne pondérée vaut donc 25/4 plus le carré de X-D. Tout disque couvrant la zone incertaine et P,Q doit couvrir ces trois positions ; son rayon est au moins 5/2. La couverture de la zone entière et ce certificat inférieur se rejoignent au même rayon.
Le frère avait proposé d'utiliser cette fois la moyenne des positions autorisées dans la petite zone. Élise ne lui donne pas cette moyenne : aucune répartition n'a été posée, et la demande portait sur toutes les positions. Elle lui remet D,5/2 avec l'inégalité de couverture et le certificat P,Q,U. Il accepte ce disque pour la page incertaine. La position U n'est pas annoncée comme l'emplacement finalement observé de la marque ; elle sert à montrer pourquoi même le meilleur choix devait réserver ce rayon. La remise accomplit ainsi une exigence de couverture, sans transformer une possibilité extrême en observation.
Deux zones de même rayon ouvrent une répartition nouvelle
Une dernière proposition revient aux trois marques exactes P,Q,R, sans incertitude et sans T. Le frère accepte maintenant deux zones rondes distinctes sur deux panneaux, avec le même rayon pour chacune. Chaque marque doit figurer dans au moins une zone ; aucune obligation ne demande de réunir les trois dans une seule. La question devient le plus petit rayon commun réalisable. Élise ne réduit pas le rayon du disque unique en prétendant avoir gardé son ancienne promesse : le nombre de zones permises change expressément. Les deux panneaux sont disponibles avant le choix de leurs positions et de leur rayon.
Son premier partage réunit P et Q dans le disque de centre (2,0), rayon deux, et place R au centre de l'autre disque de même rayon. Il est réalisable, mais Élise trouve mieux : elle réunit P et R dans le disque centré en (1,3/2), avec un rayon racine de treize divisé par deux. La distance P-R est racine de treize ; les deux points sont donc aux extrémités d'un diamètre. Q est placé au centre du second disque, qui reçoit exactement le même rayon. Les trois marques sont couvertes, et le rayon commun a baissé puisque treize divisé par quatre est inférieur à quatre.
Pour exclure un rayon commun encore plus petit, Élise attribue chacune des trois marques à un panneau qui la couvre. Avec trois marques et deux panneaux, au moins un panneau doit recevoir deux marques, même si certaines auraient aussi pu être couvertes par les deux. Les trois distances possibles entre deux marques sont quatre, racine de treize et racine de treize. Toute paire a donc une distance au moins égale à racine de treize. Le disque qui couvre cette paire doit avoir un rayon au moins égal à la moitié de cette distance. Le partage P-R avec Q atteint la borne ; il est optimal pour la nouvelle permission de deux zones.
Le frère choisit effectivement cette dernière disposition pour une page à deux panneaux. Élise inscrit P et R dans le premier, Q dans le second, puis donne le même rayon à leurs deux contours. Elle laisse C,13/6 dans le dossier de la demande à une seule zone. La réduction ne vient ni d'une marque supprimée ni d'un rapprochement des positions ; elle vient d'une répartition désormais autorisée. Le second panneau couvre Q à sa position donnée, sans déplacer ce point vers le centre du premier pour fabriquer une réunion que personne n'avait demandée.
La page garde trois marques nommées et des zones expressément choisies. Pour une zone exacte, C et 13/6 suffisaient ; avec l'incertitude donnée pour R, D et 5/2 couvraient toutes les positions ; deux panneaux permettent enfin le partage rempli P-R avec Q. Élise conserve chaque feuille avec sa demande, plutôt que d'en tirer un rayon unique pour toutes les pages. Sa décision finale peut être retrouvée dans les positions couvertes, dans le nombre de zones et dans la preuve qui empêche un rayon commun plus petit. Le livre reçoit cette limite précise sans prendre les essais écartés pour des placements déjà accomplis.
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