Mina prépare un registre fictif pour un livre privé. Les lignes portent des indices entiers et une valeur calculée. Elle veut une règle polynomiale à coefficients rationnels, de degré au plus trois, qui rende un entier à chaque indice entier, y compris aux indices négatifs. Ces valeurs ne sont ni des effectifs de personnes ni des mesures ; elles peuvent être négatives. Son frère Jules pense devoir interdire les fractions dans la formule. Mina lui demande de vérifier les valeurs plutôt que de choisir la règle par l'apparence de ses coefficients.
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Ces notices situent les documents consultés. Leurs textes et images ne fournissent aucune valeur, formule ou procédure de différences pour le registre. La règle de degré et le domaine entier sont les conditions de cet exercice.
Des valeurs entières peuvent venir de coefficients fractionnaires
Mina propose P(x)=x(x−1)/2. À zéro, un, deux et trois, la formule donne zéro, zéro, un et trois. Jules la développe en x²/2−x/2 et veut la refuser à cause des deux demi-coefficients. Mina examine le produit avant la division : deux entiers consécutifs comprennent toujours un entier pair, donc leur produit est divisible par deux. Pour chaque indice entier, la valeur est entière. Cette preuve couvre aussi −1, où le produit vaut deux, et −2, où il vaut six. La règle répond à la demande, bien que ses coefficients dans les puissances de x ne soient pas entiers.
Elle distingue alors deux permissions. Des coefficients entiers suffisent à donner des valeurs entières aux indices entiers, mais ils ne sont pas nécessaires. La famille autorisée est plus grande. Mina garde x(x−1)/2 comme contre-exemple à l'interdiction proposée ; elle ne remplace pas la demande par « pas de fraction visible ». Pour décrire cette famille sans contrôler une infinité d'indices séparément, elle cherchera une autre base de polynômes, dans laquelle les coefficients seront précisément liés aux valeurs reçues et aux soustractions de son registre.
Elle définit B_0(x)=1, B_1(x)=x, B_2(x)=x(x−1)/2 et B_3(x)=x(x−1)(x−2)/6. Plus généralement, B_k(x) est le produit des k facteurs x, x−1 jusqu'à x−k+1, divisé par k!. Pour un entier n positif ou nul, B_k(n) compte les choix de k éléments parmi n quand k≤n ; il vaut zéro quand k>n. Ce comptage justifie l'entier malgré le dénominateur. Mina précise la portée : cette première justification concerne les indices non négatifs. Elle ne l'applique pas encore aux indices négatifs par une convention laissée implicite.
Une table de différences fixe les coefficients de cette base
Mina calcule les différences successives des quatre valeurs zéro, zéro, un, trois. La première rangée de différences est zéro, un, deux ; la deuxième un, un ; la troisième zéro. Elle conserve la première valeur de chaque rangée, en incluant la rangée initiale : zéro, zéro, un, zéro. Ce sont les coefficients de B_0, B_1, B_2 et B_3. La règle reconstituée est donc exactement B_2. Elle a retrouvé le polynôme proposé sans éliminer ses fractions et sans transformer les quatre valeurs en un dessin approximatif de courbe.
L'opération qui soutient la table est ΔP(x)=P(x+1)−P(x). Pour les polynômes B_k, elle donne ΔB_k=B_{k−1} quand k≥1, tandis que ΔB_0 vaut zéro. Mina vérifie B_2 directement : [(x+1)x−x(x−1)]/2=x. Pour les autres degrés, l'identité découle de la relation des coefficients binomiaux B_k(x+1)=B_k(x)+B_{k−1}(x). Cette relation peut être établie sur tous les entiers positifs par le comptage des choix selon qu'ils comprennent le dernier élément. Les deux membres étant des polynômes, leur égalité sur une infinité de nombres établit la même identité polynomiale.
Les polynômes B_0 jusqu'à B_d forment une base des polynômes rationnels de degré au plus d : chacun a son propre degré k et un coefficient dominant non nul, 1/k!. On peut donc retirer successivement le terme de plus haut degré d'un polynôme quelconque, puis descendre jusqu'à la constante. Dans cette écriture, Δ^jP(0) donne le coefficient de B_j. En effet, après j différences, B_j devient B_0, qui vaut un en zéro ; les termes de degré supérieur deviennent des B_k d'indice positif, nuls en zéro ; les termes plus petits ont disparu. La table n'est donc pas un ajustement choisi parmi plusieurs bases sans règle de lecture.
Le retour est aussi unique sur les d+1 indices zéro à d. Si deux polynômes de degré au plus d donnaient ces mêmes valeurs, leur différence aurait d+1 racines distinctes tout en ayant un degré au plus d ; elle serait nulle. Mina peut construire la règle par les différences et prouver que cette règle est la seule sous la limite donnée. Elle conserve cette limite sur la fiche de calcul. La preuve de valeurs entières qui suivra ne sera pas déduite du nombre de lignes seules, mais du nombre de lignes et du degré effectivement autorisé.
Un certificat fini vaut sur tous les indices entiers
Si les d+1 valeurs initiales sont entières, toutes les différences le sont, car elles ne sont obtenues que par soustraction d'entiers. Les coefficients Δ^jP(0) de la base B_j sont donc des entiers. Aux indices non négatifs, chaque B_j possède déjà une valeur entière ; la somme à coefficients entiers aussi. Réciproquement, si P donne des valeurs entières à tous les indices entiers, il les donne en particulier en zéro, un jusqu'à d, et la même table produit des coefficients entiers. Mina a ainsi une condition nécessaire et suffisante, au lieu du seul test suffisant que Jules avait proposé sur les coefficients des puissances.
Pour les indices négatifs, elle pose n=−m avec m entier positif. Les k facteurs du numérateur de B_k(−m) sont −m, −m−1 jusqu'à −m−k+1. En tirant le signe de chacun, elle obtient B_k(−m)=(−1)^k fois le coefficient binomial qui choisit k éléments parmi m+k−1. Ce dernier est entier. Le signe peut rendre la valeur négative, mais ne la rend pas fractionnaire. Par exemple, B_3(−1)=−1 et B_2(−1)=1. Mina peut donc étendre le certificat à tout Z, sans prétendre que le comptage de sous-ensembles aurait directement un ensemble de taille négative.
Le registre peut maintenant accepter toute liste d'entiers sur les d+1 premières lignes : la table fournit un unique polynôme rationnel de degré au plus d, dont toutes les valeurs entières restent entières. Cela ne signifie pas que toutes les valeurs seront positives. B_3 donne −1 en l'indice −1 ; il passerait le certificat d'intégralité mais manquerait une demande séparée de valeurs non négatives partout. Mina inscrit donc « valeur entière » sur le reçu actuel. Une exigence de signe demanderait un autre contrôle, que la table de différences entières ne remplit pas à elle seule.
Retirer le degré rend le même relevé insuffisant
Jules retire ensuite la limite de degré en conservant les quatre premières valeurs zéro, zéro, un, trois. Mina compare B_2(x) et Q(x)=B_2(x)+x(x−1)(x−2)(x−3)/5. Le terme ajouté s'annule sur chacun des quatre indices reçus. Les deux règles passent donc ces quatre lignes exactes. Mais Q(4)=6+24/5=54/5, qui n'est pas entier, tandis que B_2(4)=6. Les mêmes observations finies étaient compatibles avec une règle entière sur tous les indices et une règle qui manque la première ligne suivante. Le degré avait été un élément du certificat, pas une préférence de présentation.
Mina garde Q dans le dossier comme témoin de ce manque, sans le présenter comme une mauvaise interpolation des lignes reçues : il les remplit exactement. Sous la permission de degré au plus trois, Q était exclu parce qu'il a degré quatre ; après retrait de cette permission, il devient un candidat parmi d'autres. Répéter la table de quatre valeurs ne lui redonne pas la limite retirée. Mina refuse donc de remettre un certificat universel à partir du relevé seul, même si Jules préfère visuellement la formule courte B_2. Le choix de la formule courte n'avait pas été stipulé comme critère de preuve.
Des lignes régulièrement espacées ne représentent pas tous les entiers
Le frère propose une autre collecte : indices zéro, deux et quatre, valeurs zéro, un et deux. La règle P(x)=x/2, de degré un, les produit et donne un entier à chaque indice pair. Elle donne pourtant un demi en l'indice un et trois demis en trois. Mina ne confond pas « trois valeurs entières à trois indices » avec le certificat précédent. Les indices zéro à d y formaient une portion consécutive du réseau entier. Une grille de pas deux laisse une seconde famille d'indices, les impairs, que l'observation reçue ne représente pas.
Elle peut changer de variable en posant x=2t. La règle devient R(t)=P(2t)=t et répond au certificat sur tous les t entiers. Mais ce retour ne dit rien de P aux x impairs, car ceux-ci correspondraient à des t demi-entiers, hors du domaine certifié. Mina remet donc, si c'est la demande, un certificat sur les seuls indices pairs. Elle conserve la conversion x=2t à côté du certificat. Elle ne transforme pas ensuite « tous les t entiers » en « tous les x entiers » en effaçant la relation entre les deux indices.
Déplacer l'origine conserve le réseau, mais change les coefficients
Une origine décalée d'un entier présente une différence importante avec ce changement de pas. Mina utilise P(x)=1+x², dont les valeurs en zéro, un, deux et trois sont un, deux, cinq et dix. La table donne les premières valeurs un, un, deux, zéro ; la règle est B_0+B_1+2B_2. Si le registre commence maintenant en x=1 et nomme t=x−1, les valeurs sont deux, cinq, dix, dix-sept. Les coefficients de la nouvelle table sont deux, trois, deux, zéro. Le même polynôme s'écrit donc 2B_0(t)+3B_1(t)+2B_2(t), avec des coefficients différents mais le même ensemble d'indices d'origine.
Elle vérifie le transport des coefficients sans ouvrir une nouvelle série de valeurs observées. Si a_j=Δ^jP(0), la nouvelle valeur a'_j=Δ^jP(1) vaut a_j+a_{j+1}, avec a_{d+1}=0. C'est la définition d'une différence appliquée à Δ^jP : sa valeur en un est sa valeur en zéro plus sa différence en zéro. Pour un, un, deux, zéro, elle obtient bien deux, trois, deux, zéro. Cette relation ne divise par aucun nombre ; elle transporte des coefficients entiers vers d'autres coefficients entiers. L'origine un se trouve sur le même réseau entier que zéro.
Le transport s'inverse en partant du dernier coefficient : a_d=a'_d, puis a_j=a'_j−a_{j+1}. Pour les nouvelles valeurs deux, trois, deux, zéro, Mina retrouve successivement zéro, deux, un, un en remontant la liste, soit un, un, deux, zéro dans l'ordre habituel. Elle garde cet ordre de calcul, car soustraire simultanément chaque voisin nouveau donnerait d'autres nombres. La réversibilité distingue le décalage d'origine de la restriction aux indices pairs. Ici, tout indice entier x correspond à un entier t=x−1, et réciproquement ; aucune classe d'indices n'a été abandonnée.
Une copie fausse peut garder des valeurs entières partout
Jules recopie la première feuille de P(x)=1+x², mais remplace le cinq de la ligne deux par six. La liste reçue devient un, deux, six, dix. Ses différences sont un, quatre, quatre ; puis trois, zéro ; enfin moins trois. Les coefficients de la règle de degré au plus trois sont un, un, trois, moins trois, tous entiers. Cette règle passe donc le certificat d'intégralité universel. Mina ne peut pas identifier le caractère erroné par la seule présence d'une fraction ou d'un coefficient non entier. Le critère certifie une propriété de la règle reconstruite, pas la fidélité de la copie à une feuille qu'il n'avait pas comparée.
La règle de cette copie vaut B_0+B_1+3B_2−3B_3. En quatre, les quatre termes donnent un, quatre, dix-huit et moins douze, soit onze ; l'ancienne règle donnait dix-sept. En moins un, elle donne un moins un plus trois plus trois, soit six, contre deux auparavant. La différence entre les deux règles peut s'écrire −x(x−1)(x−3)/2 : elle s'annule sur zéro, un et trois, mais vaut un sur deux. Le changement d'une seule valeur affecte donc les autres indices selon une règle précise. Mina joint cette différence au dossier au lieu de la qualifier de simple décalage constant d'une unité.
Une cinquième ligne attestée séparément arrive alors : la valeur en quatre est dix-sept. La règle de la copie, qui annonçait onze, ne peut remplir les cinq lignes sous la limite de degré trois. Mina demande de vérifier la ligne deux et conserve la contradiction comme telle ; l'intégralité ne l'avait pas empêchée. Si Jules lui apporte la feuille initiale où figure cinq, elle peut corriger la copie sur cette pièce distincte et retrouver 1+x². Elle ne prend pas la valeur prédite par la formule préférée comme une preuve documentaire que le cinq était écrit sur l'original.
Jules souhaite plutôt relever la limite de degré à quatre en gardant les cinq valeurs un, deux, six, dix, dix-sept. La nouvelle table finit par une quatrième différence de six. La règle B_0+B_1+3B_2−3B_3+6B_4 remplit alors les cinq valeurs et reste entière sur tous les indices entiers. En cinq, elle annonce trente-six : un plus cinq plus trente moins trente plus trente. Ce n'est pas une correction du six, mais une autre règle sous une autre permission ; l'ancienne règle quadratique aurait annoncé vingt-six. Mina peut la remettre si la nouvelle permission est confirmée, en conservant le relevé exact qu'elle interprète.
Le dossier distingue ainsi trois questions effectivement traitées : quels polynômes répondent aux valeurs reçues sous le degré donné, lesquels rendent des valeurs entières sur le réseau annoncé, et quelle pièce permet de corriger une ligne reçue. La table entière résout la deuxième une fois les deux premières conditions fixées ; elle ne fournit pas la pièce de la troisième. Mina conserve les deux tables et la demande de vérification sans faire passer la règle de degré quatre pour la copie restaurée du registre initial.
La page finale porte la limite de degré, l'origine, le pas du réseau et les valeurs effectivement retenues. Les catégories des ouvrages consultés ne fournissent aucun de ces calculs ni aucun relevé observé. Le certificat concerne seulement les polynômes rationnels et les indices stipulés dans cette feuille fictive.
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