Une page peut donner un partenaire à chaque nom sans former les binômes qu’annonce son titre. Dans le petit livre construit ici, Maud prépare une activité de lecture à deux. Elle ne classe ni des personnes réelles ni leurs affinités. Elle veut remettre une page où chacun appartient à une seule paire, dont les deux membres se retrouvent ensemble. Léon lui apporte d’abord un relevé complet de destinations : personne ne manque, aucune destination n’est répétée. Il reste à vérifier si ce relevé répond à la demande précise de Maud.
Tous les noms, les possibilités et les décisions de cet exercice sont inventés. Un trait autorise une paire sans exprimer de préférence. Aucun consentement réel, compétence ou obligation n’est déduit du dessin. Les modèles d’appariement employés sont classiques ; nous ne revendiquons pas une nouvelle méthode. Les objets servent seulement de repères pour une page fictive.
La notice 337241 du Met classe l’objet parmi les dessins.
La notice 337242 du Met classe l’objet parmi les dessins.
La notice 337243 du Met classe l’objet parmi les estampes.
Ces catégories ne fournissent aucune règle de partenariat ; aucun dessin n’a été examiné pour construire les paires.
Un aller simple pour chacun peut manquer la réciprocité
Maud commence avec six noms, A1, A2, A3, B1, B2 et B3. Chaque nom A peut être associé aux deux autres A ; chaque B aux deux autres B. Une possibilité supplémentaire relie A1 à B1. Il n’existe aucun autre lien entre les deux groupes. Les trois paires demandées doivent employer chacun des six noms une seule fois. Un même trait est disponible dans les deux sens : A1 peut être le partenaire de B1 exactement quand B1 peut être celui de A1.
Léon inscrit A1 vers A2, A2 vers A3 et A3 vers A1. Il fait de même avec B1 vers B2, B2 vers B3 et B3 vers B1. Chaque nom est inscrit une fois comme départ et une fois comme destination. Chacune de ses destinations est permise. Maud suit pourtant la première ligne : A1 rejoint A2, dont la ligne rejoint A3. Elle ne retrouve pas A1 au retour. Si A1 et A2 constituaient un binôme, la ligne de A2 devrait revenir vers A1 ; le relevé ne le fait pas. Maud retire donc cette page du lot à remettre sous le titre de trois binômes.
Léon propose d’imprimer les départs dans une colonne et les destinations dans une autre, puis de relier les exemplaires correspondants de chaque nom. Ce dessin possède bien six liens sans répétition d’extrémité dans chaque colonne. Il a cependant créé deux rôles pour chaque identité : A1 au départ et A1 à l’arrivée sont des occurrences distinctes sur la feuille. Une affectation entre ces rôles peut conserver le circuit à trois. Maud refuse d’effacer la seconde occurrence pour annoncer que le contrôle des deux colonnes a déjà certifié des paires de personnes. Elle conserve le relevé comme affectation orientée, avec sa propriété véritable.
Pour contrôler la demande de binômes sur ce même relevé, elle formule un test supplémentaire. Partant d’un nom, elle lit son partenaire, puis le partenaire de celui-ci ; elle doit revenir au premier nom. Aucun nom ne peut se choisir lui-même. Avec une destination unique par nom et ces deux exigences, A1 vers B1 oblige B1 vers A1. Les deux lignes représentent alors une seule paire, que Maud imprime une fois. Un circuit à trois échoue au test du retour ; un circuit à quatre échouerait également. La longueur paire d’un circuit ne remplace donc pas les allers et retours de longueur deux demandés ici.
Maud remplit une autre page avec A1–B1, A2–A3 et B2–B3. Les six noms apparaissent une seule fois parmi ses trois traits et chaque paire est autorisée. Elle sait aussi pourquoi la liaison entre les groupes doit être employée. Si aucune paire ne la traversait, les trois A devraient être regroupés deux par deux entre eux, laissant nécessairement un A dehors ; il en irait de même pour les B. Le seul passage disponible est A1–B1. Après cette paire, A2 et A3 doivent se retrouver ensemble, puis B2 et B3. Maud remet donc cette page et garde la première comme relevé orienté retiré.
Trois groupes impairs réclament plus qu’un seul partenaire extérieur
La préparation suivante comporte dix noms. Les neuf noms A1 à A3, B1 à B3 et C1 à C3 forment trois triangles : à l’intérieur de chaque lettre, chaque paire est autorisée. Le dixième nom D peut être associé à A1, B1 ou C1. Aucun autre lien ne sort des triangles. Maud demande cette fois cinq binômes couvrant les dix noms. Ce dessin a un nombre pair de noms et aucun nom sans possibilité ; ces deux vérifications ne disent encore rien de l’existence des cinq paires.
Léon propose D–A1, A2–A3, puis le circuit orienté B1 vers B2, B2 vers B3, B3 vers B1, et le même circuit pour les C. Le relevé retrouve encore chaque identité une fois dans chacun des deux rôles. Les deux premières paires ont réellement des retours ; les six autres lignes continuent de circuler par trois. Maud contrôle donc séparément la couverture des colonnes et la réciprocité. Elle refuse d’étendre le statut des deux binômes présents aux deux circuits restants. Réussir une partie du test n’a pas transformé le reste du relevé en trois autres paires.
Elle retire D du dessin pour examiner ce qui reste : trois groupes séparés, chacun de trois noms. Dans une couverture par paires, un groupe impair ne peut pas être entièrement couvert par ses seuls traits intérieurs. Il faut qu’au moins un de ses noms rencontre un partenaire extérieur. Or, dans cette préparation, le seul partenaire extérieur disponible à chacun des groupes est D. Couvrir les trois groupes réclamerait donc que D appartienne à trois paires différentes. La demande lui permet seulement une paire. Maud rejette la promesse de cinq binômes, avec une obstruction portant sur ces trois groupes après le retrait de D.
Léon essaie de contourner cette conclusion en laissant D choisir B1 plutôt que A1. Maud effectue le contrôle : B2 et B3 peuvent alors être ensemble, mais les trois A et les trois C demeurent séparés du reste. Chacun laisse un nom sans partenaire. Choisir C1 produit le même défaut pour A et B. Ce constat ne dépend donc pas d’une mauvaise première destination de D. Maud laisse sur la fiche les trois possibilités de D, puisqu’elles sont toujours permises, mais retire le résultat complet de la préparation. Aucun de ces commencements ne peut se prolonger en cinq paires avec les seuls traits donnés.
Le contrôle fournit une règle nécessaire plus générale, dont Maud précise la portée. Si l’on retire plusieurs noms d’un dessin et que le reste possède davantage de groupes impairs séparés qu’il n’y a de noms retirés, une couverture complète est impossible. Chaque groupe impair devrait employer au moins un partenaire parmi les noms retirés, car aucun trait ne relie deux groupes du reste. Deux groupes différents ne peuvent employer le même partenaire dans une couverture par paires. Il leur faut donc des noms retirés distincts. Maud utilise seulement cette nécessité prouvée ici ; elle n’annonce pas que l’absence d’une telle obstruction a été démontrée suffisante dans tout dessin.
Cette vérification porte sur un seul ensemble de personnes. Elle diffère d’une attribution d’objets où chaque personne reçoit une ressource distincte, sans que l’objet doive lui rendre une destination. Dans la feuille à deux colonnes, chaque identité du groupe avait été dupliquée en deux rôles. Une permutation pouvait alors couvrir ces rôles par des circuits. Maud conserve cette distinction dans les consignes du livre : le contrôle d’affectation reste utilisable pour ce qu’il vérifie, mais la page actuelle demande en plus que les rôles d’une même personne conduisent à un partenariat réciproque. Il serait faux d’obtenir cette condition simplement en changeant le titre du relevé.
Léon apporte alors une autre proposition sur ce dessin à dix noms. Elle ne contient plus de flèches : chaque trait possède une même part pour ses deux extrémités. Il donne la part un à D–A1 et A2–A3, puis une moitié à chacun des trois traits du triangle B et à chacun des trois traits du triangle C. Les deux autres traits sortant de D ont la part zéro, comme les deux traits A1–A2 et A1–A3. Pour chaque nom, la somme des parts des traits qui le touchent vaut exactement un. Les parts de tous les traits totalisent cinq. Léon annonce donc que cinq paires sont couvertes et que la symétrie a cette fois corrigé son problème d’aller simple. Maud reconnaît les égalités calculées, mais suspend cette conclusion : deux demi-partenariats inscrits autour de B1 ne désignent toujours pas le binôme entier auquel B1 appartient.
Elle tente concrètement de convertir cette proposition en paires dans le triangle B. Si B1–B2 reçoit la part entière un, les traits B1–B3 et B2–B3 doivent tomber à zéro afin de conserver un pour B1 et B2. B3 reçoit alors zéro, sans trait extérieur pour lui donner un. Choisir B1–B3 laisse B2 dans la même situation ; choisir B2–B3 laisse B1. Ne choisir aucun trait entier ne couvre personne par une paire. Les moitiés formaient bien un relevé symétrique dont chaque somme locale était correcte, mais aucun des trois choix entiers ne préserve ces sommes pour tous les B. Maud conserve les parts initiales comme réponse au problème des sommes, et retire leur titre de couverture en binômes. Elle n’arrondit pas les trois moitiés vers un, ce qui donnerait deux partenaires à chaque nom plutôt qu’un.
Maud ajoute au contrôle des parts une contrainte portant sur le groupe B entier. Trois noms exigent une somme totale de trois à leurs extrémités. Un trait intérieur de part entière contribue deux à cette somme, puisqu’il touche deux de ces noms. Si tous les traits sont entiers et si aucun ne sort du groupe, leur contribution totale reste paire ; elle ne peut valoir trois. Il faut donc au moins un trait sortant du groupe dans une couverture entière. Le relevé de Léon avait une somme de parts sortantes égale à zéro pour B, et également pour C. Il échoue à cette contrainte malgré ses sommes individuelles exactes. Maud joint ce diagnostic aux égalités qu’elle a conservées : la symétrie retirait le défaut des flèches, mais l’intégralité et le besoin d’un passage hors des groupes impairs restaient encore à satisfaire. Elle ne remet aucun binôme sur la seule base du total cinq.
Une liaison entre deux groupes change effectivement la préparation
Dans une branche nouvelle, Maud autorise B1–C1. Tous les autres traits restent ceux de la préparation à dix noms. Le livre reçoit donc une permission précise, plutôt qu’un souhait général de compléter la feuille. Léon commence par mettre D avec B1, ce qui utilise l’une de ses possibilités. B1 n’est alors plus disponible pour C1. Maud doit décider si ce choix permis peut encore appartenir à la couverture complète demandée sous le dessin modifié.
Elle examine d’abord les A : ils ne peuvent toujours sortir de leur triangle que par A1–D. Si D est déjà avec B1, aucun A n’a de partenaire extérieur disponible, et trois A ne peuvent être couverts intérieurement. Maud retire donc D–B1 de la préparation visant cinq binômes. Elle ne le retire pas du menu des paires autorisées. L’association est possible isolément, mais elle ne peut figurer dans une réalisation complète de cette branche. Cette différence a une conséquence concrète : elle libère D pour A1 avant d’écrire les trois autres paires.
Après D–A1 et A2–A3, il reste les six noms B et C. Aucun ne peut plus utiliser D. Chaque triangle doit donc envoyer un nom vers l’autre, et leur seule liaison est B1–C1. Maud retient cette paire, puis B2–B3 et C2–C3. Elle vérifie les cinq traits de la fiche : ils sont donnés, dix extrémités distinctes sont employées et aucun nom ne reste dehors. La permission nouvelle a effectivement produit une couverture. Elle n’a pas rendu la feuille orientée précédente réciproque par une correction de présentation ; Maud a sélectionné d’autres relations et les remet comme cinq paires.
Léon souhaiterait proposer une seconde couverture en gardant D–C1. Maud la ferme avec le même groupe A, qui réclame toujours D–A1. Elle peut donc aller au-delà du constat qu’une fiche fonctionne : toute couverture complète doit utiliser D–A1 ; les deux A restants ont alors leur paire imposée. Les B et C exigent ensuite B1–C1, puis leurs deux paires intérieures. La couverture remise est unique pour ces permissions. Les trois destinations de D demeurent dans le dessin, mais une seule entre dans une couverture complète. Maud n’attribue pas cette unicité à un ordre alphabétique de sélection.
Si la liaison B1–C1 venait à être retirée, la couverture disparaîtrait, même en conservant D–A1. Maud pourrait garder D–A1, A2–A3, B2–B3 et C2–C3, laissant B1 et C1 sans paire. Ajouter directement B1 à une paire occupée enfreindrait la demande. Ce retrait permet d’identifier ce qu’apporte la liaison nouvelle : elle relie les deux noms que les couvertures intérieures laissent dehors. Maud garde cette vérification auprès de la décision d’autoriser le trait. Elle ne présente pas la simple présence d’un nouveau trait comme une garantie uniforme pour n’importe quel ajout au dessin.
Une paire conservée peut empêcher de prolonger la solution pourtant disponible
Une autre suite commence avant cette réparation, avec A1–A2 déjà inscrit comme binôme à conserver. Ce maintien est une donnée de l’exercice. Les huit autres noms restent à regrouper, et Maud autorise de nouveau B1–C1. Léon propose d’utiliser la couverture complète trouvée plus haut, D–A1, A2–A3 et les trois paires B et C. Elle serait une couverture du dessin, mais elle retirerait précisément le binôme que la nouvelle demande impose de garder. Maud refuse donc de la remettre comme prolongement de la page reçue.
Une fois A1 et A2 réservés ensemble, A3 demeure sans partenaire. Ses deux seules possibilités sont A1 et A2, maintenant employés dans la paire conservée. L’ajout B1–C1 n’a changé aucun de ces traits. Maud peut contrôler une couverture complète lorsque tout est à choisir, et constater simultanément qu’aucune couverture ne prolonge A1–A2. Il ne s’agit pas de deux réponses contradictoires aux mêmes permissions : l’une permettait de refaire les paires A, l’autre conserve un binôme précis. Elle consigne l’échec du prolongement sans annuler l’existence de la couverture libre déjà remise.
Léon propose de rendre le problème possible en changeant la consigne « conserver » pour « préférer conserver ». Maud écarte cette modification, car la page suivante doit répondre au maintien donné. Elle examine une permission réellement nouvelle : D–A3. Elle ne la suppose pas déjà contenue dans D–A1 ; les indices désignent des noms distincts. Avec A1–A2 conservé, elle retient maintenant D–A3. Il reste les B et C, que B1–C1, B2–B3 et C2–C3 couvrent sans toucher au binôme reçu. Maud remet ces quatre nouvelles paires avec A1–A2 maintenu.
Elle vérifie le rôle des deux ajouts dans cette réalisation. D–A3 apporte un partenaire au nom isolé par le maintien de A1–A2. B1–C1 relie les restes impairs des deux autres groupes, puisque D est désormais utilisé. Retirer l’un ou l’autre des ajouts empêcherait cette extension : sans D–A3, A3 reste sans partenaire disponible ; sans B1–C1, les deux triangles B et C ne peuvent être entièrement couverts. Les deux permissions remplissent donc des manques différents dans la page conservée. Maud transmet la fiche complète avec ces deux traits précis, sans attribuer la réparation à une seule liberté générale de recomposer.
Pour le dessin final où D–A3 et B1–C1 sont tous deux permis, Léon compte aussi la couverture qui remplaçait A1–A2 par D–A1 et A2–A3. Elle existe toujours lorsque aucun binôme n’est imposé. Maud distingue les deux questions sur la même feuille : deux couvertures complètes libres sont possibles, mais une seule conserve A1–A2. Dans les deux, la liaison B1–C1 et les paires B2–B3, C2–C3 sont nécessaires ; les paires des A et de D changent. La consigne de maintien sélectionne ainsi une réalisation, au lieu de supprimer rétroactivement les possibilités du dessin libre.
Maud remet finalement les binômes sous leur portée exacte. Un relevé orienté complet n’avait pas certifié les retours ; les trois groupes impairs avaient interdit une couverture ; une liaison nouvelle avait permis une réalisation libre ; une autre avait rendu possible le prolongement d’une paire conservée. Le livre garde ces demandes et leurs résultats distincts. Aucun partenaire réel n’a été choisi. Chaque page du scénario présente des paires effectivement remplies et contrôlées, plutôt qu’une promesse ajoutée au seul nombre de noms imprimés.
Couvrir tous les traits ne donne pas le même minimum
Léon revient au dessin initial à dix noms, avant les liaisons B1–C1 et D–A3. Il cherche cette fois des noms à marquer, de sorte que chaque trait touche au moins un nom marqué. Il retient A1, A2, B1, B2, C1 et C2. Chaque triangle possède deux marques et tous les traits de D rencontrent A1, B1 ou C1 : les six marques couvrent bien tous les traits. Un triangle ne peut être couvert par une seule marque, car le trait reliant ses deux autres noms n’aurait aucune extrémité marquée. Les trois triangles disjoints imposent donc au moins six marques ; le relevé atteint ce minimum. Léon invoque alors une égalité entre ce minimum et le plus grand nombre de paires disjointes, puis annonce six paires. Maud refuse cette conclusion : les dix noms ne permettent même pas six binômes. Elle garde le certificat de six pour la demande de couvrir les traits, sans le convertir en certificat de paires.
Elle calcule séparément le maximum de paires. D ne peut figurer que dans une seule ; le triangle qu’il rejoint peut fournir encore une paire intérieure. Chacun des deux autres triangles ne fournit au plus qu’une paire. Avec D employé, le total ne dépasse donc pas quatre. Sans D, les trois triangles en donnent au plus trois. Maud atteint quatre avec D–C1, C2–C3, A1–A2 et B1–B2 ; A3 et B3 restent sans partenaire. Elle remet ainsi deux certificats atteints, quatre paires au maximum et six marques au minimum, dont les valeurs diffèrent de deux. La règle associant à chaque paire une marque distincte reste vraie et fournit une borne de six, mais cette borne est trop large pour déterminer le maximum quatre. Léon retire donc son annonce d’égalité pour ce groupe unique : le contrôle qui donnait une borne exacte dans une attribution entre deux classes ne lui fournit ici qu’une borne, même lorsqu’il a vraiment minimisé ses marques.
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