Paul prépare une page de nombres pour le livre privé de la maison. Camille lui demande d'écrire trois septièmes comme une somme de fractions dont chaque numérateur vaut un. Les dénominateurs seront des entiers strictement positifs. Cette première consigne ne dit pas encore combien de fractions peuvent apparaître, ni si deux dénominateurs identiques sont permis. Paul garde ces questions sur sa feuille de travail : elles changeront réellement la solution remise. Rien ici ne mesure un objet ou une part historique ; les nombres et les décisions appartiennent à l'exercice créé pour cette page.
Trois notices servent uniquement à nommer des catégories de catalogue.
La notice 351201 du Met classe son objet parmi les livres.
La notice 351251 du Met porte les catégories des estampes et des documents éphémères.
La notice 351301 du Met indique la catégorie des livres.
Les images n'ont pas été examinées. Aucune notice ne fournit les décompositions.
Deux fractions : la condition porte sur les dénominateurs entiers
Paul commence par une demande plus petite : deux cinquièmes doivent tenir en deux fractions. Il écrit 2/5 = 1/x + 1/y, avec x ≤ y pour ne pas compter deux fois la même paire. Le dénominateur x ne peut pas valoir deux : un demi dépasserait déjà la cible. Il ne peut pas non plus dépasser cinq, puisque les deux fractions seraient alors chacune inférieures à un cinquième. Les seules premières possibilités sont donc trois, quatre et cinq. Cette courte plage concerne les premières valeurs ; elle ne borne pas encore y, qui peut être beaucoup plus grand que cinq.
Avec x égal à trois, le reste vaut 2/5 − 1/3 = 1/15 ; y vaut donc quinze. Avec x égal à quatre, le reste vaut 3/20 : son inverse est 20/3, et ce n'est pas un entier. Paul refuse cette ligne même si l'addition serait possible en autorisant des dénominateurs rationnels. Avec x égal à cinq, le reste est un cinquième et y vaut cinq. Il remet les deux paires 3,15 et 5,5. La seconde figure sur la feuille parce que Camille n'a pas interdit les répétitions. L'ordre inverse 15,3 ne crée pas une troisième réponse.
Pour obtenir toutes les paires sans essayer une longue plage de y, Paul repart d'une cible réduite a/b. L'équation axy = b(x+y) devient, après multiplication par a et ajout de b², (ax−b)(ay−b) = b². Les deux facteurs sont des entiers positifs : dans une somme de deux fractions positives, chaque fraction est strictement inférieure à la cible, donc ax et ay dépassent b. Puisque x ≤ y, le premier facteur ne dépasse pas le second. Il suffit alors de choisir un diviseur positif d de b² qui ne dépasse pas b ; l'autre facteur sera b²/d.
Un diviseur ne donne pourtant pas automatiquement deux dénominateurs autorisés. Paul reconstruit x = (d+b)/a et y = (b²/d+b)/a. Ces deux quotients doivent être des entiers. Il teste donc deux divisibilités, et non seulement le produit d × (b²/d). Si elles passent, les quotients sont positifs et ordonnés ; en développant l'identité des facteurs, il retrouve axy = b(x+y), puis la somme demandée. Réciproquement, chaque solution entière ordonnée fournit exactement son facteur d = ax−b. La feuille contient ainsi une correspondance dans les deux sens, qui explique pourquoi une paire ne peut pas échapper au contrôle des diviseurs.
Pour deux cinquièmes, b² vaut vingt-cinq. Les diviseurs au plus cinq sont un et cinq. Le premier donne x = (1+5)/2 = 3 et y = (25+5)/2 = 15 ; le second donne deux fois cinq. L'essai rejeté avec x égal à quatre aurait donné d égal à trois, qui ne divise pas vingt-cinq. Paul n'ajoute pas cette liste comme un nouveau procédé : elle sert à vérifier que la reconstruction abstraite retrouve les deux lignes déjà calculées. Camille peut lire la raison du rejet de quatre dans les deux écritures, sans confondre un quotient rationnel avec un entier admissible.
La cible trois septièmes produit un refus plus instructif. Ici b² vaut quarante-neuf, dont les diviseurs positifs au plus sept sont un et sept. Pour que (d+7)/3 soit entier, d doit être congru à deux modulo trois. Un et sept sont tous deux congrus à un. Aucun ne passe même la première divisibilité ; il n'existe donc pas de somme de deux fractions unitaires positives égale à 3/7. Une seule fraction ne convient pas davantage, car son dénominateur devrait être 7/3. Paul a maintenant une borne sur le nombre de termes : s'il trouve une écriture à trois termes, il aura démontré que trois est le minimum.
Ce refus n'autorise pas Paul à remplacer trois septièmes par une fraction voisine. Il conserve la cible exacte et ouvre une autre question : comment construire une somme qui termine sans connaître d'avance son nombre de termes ? La vérification par deux facteurs répondait à une longueur fixée à deux. Il ne peut pas l'utiliser comme une promesse générale d'existence à cette longueur. La nouvelle règle devra disposer de son propre argument d'arrêt, et cet argument devra porter sur une quantité qui diminue effectivement à chaque étape, plutôt que sur l'impression d'un reste devenu petit.
Un choix local qui termine
Pour un reste positif réduit a/b, inférieur à un, Paul choisit x comme le plus petit entier supérieur ou égal à b/a. La fraction 1/x ne dépasse donc pas le reste. S'il y a égalité, il écrit cette dernière fraction et s'arrête. Sinon, la soustraction donne (ax−b)/(bx). Le numérateur provisoire r = ax−b est positif. Comme x est l'arrondi vers le haut de b/a, on a x < b/a + 1 lorsque le quotient n'est pas entier ; en multipliant par a puis en retirant b, on obtient r < a. Le choix ne laisse donc pas seulement une valeur moindre : il laisse un numérateur entier strictement plus petit.
Paul réduit ensuite la fraction r/(bx) avant de recommencer. Une réduction divise le numérateur par un entier positif ; elle ne peut pas l'augmenter. Le nouveau numérateur réduit reste donc inférieur à l'ancien a. Une suite strictement décroissante d'entiers positifs ne peut pas continuer indéfiniment. Lorsqu'elle arrive à un, le reste est déjà une fraction unitaire, et la prochaine soustraction l'annule. En comptant aussi cette dernière étape, le nombre de termes est au plus le numérateur réduit initial. Ce certificat utilise la réduction à chaque tour ; il ne prend pas le dénominateur, qui peut grossir très vite, pour mesure de progrès.
Paul applique la règle à 3/7. L'inverse 7/3 se situe entre deux et trois, donc il choisit trois. Le reste vaut 3/7 − 1/3 = 2/21. L'inverse de ce nouveau reste est 21/2, soit dix et demi : le choix suivant est onze. La soustraction 2/21 − 1/11 donne (22−21)/231 = 1/231. Le troisième choix est deux cent trente et un et le reste devient zéro. La somme remise est 1/3 + 1/11 + 1/231. Les numérateurs réduits parcourent effectivement trois, deux, un ; l'argument d'arrêt prend ici la forme d'une suite visible, pas d'une assurance ajoutée après le calcul.
Les dénominateurs obtenus par cette règle ne se répètent pas. Pour le voir, Paul note le reste avant une étape sous la forme α et le dénominateur choisi sous la forme x. On a α ≤ 1/(x−1), avec une inégalité stricte lorsque x vaut deux puisque α < 1. Après retrait de 1/x, le nouveau reste est donc au plus 1/[x(x−1)]. Pour x supérieur à deux, cette borne est strictement inférieure à 1/x ; pour x égal à deux, l'inégalité stricte donne aussi un reste inférieur à 1/2. Son inverse dépasse x, donc le prochain entier choisi dépasse x. Si le reste est nul, il n'y a simplement pas de prochain terme.
Camille demande alors que les trois dénominateurs tiennent chacun sous trente. Le calcul qui vient de finir ne répond plus à sa demande : deux cent trente et un dépasse cette borne. Paul ne retire pas le dernier terme, car il laisserait un reste non payé. Il ne le remplace pas par trente, car la somme changerait. La preuve d'arrêt reste valable et la somme reste exacte, mais cette réponse précise est refusée pour la nouvelle commande. Il faut chercher une autre écriture à trois termes ; reprendre la même règle locale en donnant un autre nom à son résultat ne résoudrait pas cette contrainte.
Paul essaie 1/4 + 1/7 + 1/28. Avec le dénominateur commun vingt-huit, les numérateurs sont sept, quatre et un, dont le total douze vaut bien trois septièmes. Cette somme a autant de termes que la précédente, mais son plus grand dénominateur est vingt-huit au lieu de deux cent trente et un. Puisque une et deux fractions ont déjà été exclues, les deux sommes réalisent le nombre minimum de termes. Cela n'empêche pas leurs plus grands dénominateurs d'être différents. Paul raye uniquement la prétention « le plus petit dernier dénominateur » de sa première réponse ; il garde son exactitude et son certificat d'arrêt.
Une recherche finie pour la nouvelle commande
Trouver un exemple sous trente ne dit pas encore s'il y en a d'autres. Paul ordonne maintenant les trois dénominateurs x ≤ y ≤ z et fixe la cible 3/7. La positivité des deux derniers termes impose 1/x < 3/7, donc x dépasse 7/3 et vaut au moins trois. À l'autre extrémité, chacune des trois fractions est au plus 1/x, donc 3/7 ≤ 3/x ; x vaut au plus sept. Le premier dénominateur appartient à la plage entière de trois à sept. Cette borne vient de l'ordre des trois fractions et de leur somme, sans supposer que le choix local serait optimal.
Pour chaque x de cette plage, Paul essaie y de x à trente. Il calcule exactement le reste R = 3/7 − 1/x − 1/y. Si R n'est pas positif, la ligne ne peut pas recevoir une troisième fraction positive. Sinon, la seule valeur possible de z est 1/R. Paul conserve la ligne seulement si cet inverse est entier et si y ≤ z ≤ trente. Il n'essaie donc pas séparément trente valeurs de z : la somme détermine entièrement le dernier dénominateur. Tout triplet autorisé passera par son propre x puis son propre y, et la reconstruction rendra précisément son z ; la recherche finie est complète dans la borne annoncée.
Avec x égal à trois, les deux termes restants doivent donner 2/21. Paul peut réutiliser la condition des facteurs pour cette sous-question : (2y−21)(2z−21) = 441. Comme y ≤ z, le premier facteur positif ne dépasse pas vingt et un ; il doit être impair pour que y soit entier. Les diviseurs admissibles sont un, trois, sept, neuf et vingt et un. Ils reconstruisent respectivement les paires 11,231 ; 12,84 ; 14,42 ; 15,35 ; 21,21. Toutes sont des sommes exactes, mais seule la dernière respecte la limite trente. La recherche sous borne retient donc 3,21,21, sans effacer les autres paires du calcul à deux termes.
Avec x égal à quatre, le reste après la première fraction est 5/28. Les deux derniers dénominateurs doivent satisfaire (5y−28)(5z−28) = 784. Le premier facteur ne dépasse pas vingt-huit et doit être congru à deux modulo cinq pour reconstruire un entier y. Parmi les diviseurs de 784 qui ne dépassent pas vingt-huit, seuls deux et sept ont ce reste. Ils donnent les paires 6,84 et 7,28. La première est exacte mais dépasse trente ; la seconde passe. Paul obtient ainsi 4,7,28 par une recherche complète, au lieu de retenir cette ligne seulement parce qu'il l'avait essayée avec succès avant l'inventaire.
Les trois autres premières valeurs ne produisent pas une longue liste cachée. Pour x égal à cinq, le reste vaut 8/35 et il faudrait un diviseur d de 1225 congru à cinq modulo huit. Les diviseurs au plus trente-cinq sont un, cinq, sept, vingt-cinq et trente-cinq ; seul cinq passe, donnant y égal à cinq et z égal à trente-cinq, donc un refus sous trente. Pour x égal à six, le reste vaut 11/42. Seul deux, parmi les diviseurs de 1764 au plus quarante-deux, est congru à deux modulo onze ; il reconstruit y égal à quatre, inférieur à x, donc incompatible avec l'ordre des trois termes. Pour x égal à sept, le reste vaut 2/7 et la seule paire dont les deux dénominateurs sont au moins x est 7,7.
Paul remet donc un inventaire de trois triplets sous trente : 3,21,21 ; 4,7,28 ; 7,7,7. Ce ne sont pas trois mises en ordre d'une même réponse : les ensembles de dénominateurs diffèrent. Il laisse visibles les répétitions, car elles restent autorisées à ce stade. Les deux méthodes de contrôle se rejoignent : l'essai fini de y calcule le dernier inverse, tandis que les facteurs recensent toutes les paires du reste. Elles servent à fermer la liste sous une borne ; Paul ne présente pas cette liste bornée comme la liste de toutes les écritures à trois termes sans aucune limite.
La permission de répéter change le meilleur résultat
Camille précise d'abord qu'elle veut le plus petit maximum possible et qu'elle autorise les répétitions. Paul appelle M le plus grand des trois dénominateurs. Chaque dénominateur est alors au plus M, donc chaque fraction vaut au moins 1/M. Leur somme 3/7 est au moins 3/M, ce qui impose M ≥ 7. Le triplet 7,7,7 atteint cette borne. Paul peut conclure à l'optimalité sur toutes les sommes à trois termes, même au-delà de l'inventaire sous trente : aucune somme ayant un maximum inférieur à sept ne peut atteindre une valeur aussi petite que trois septièmes avec trois termes positifs de cette forme.
L'égalité précise aussi la forme de la réponse optimale. Si M vaut sept et si l'un des trois dénominateurs était inférieur à sept, sa fraction dépasserait 1/7 tandis que les deux autres seraient au moins 1/7. La somme dépasserait alors 3/7. Pour obtenir exactement la cible avec ce maximum, les trois dénominateurs doivent donc être sept. Paul ne peut pas proposer 3,21,21 comme un autre optimum : son maximum vaut vingt et un. La borne et son cas d'égalité identifient ici un seul triplet ordonné, et Camille choisit cette réponse tant que sa permission de répétition reste en vigueur.
Une dernière consigne interdit les répétitions. Paul refuse désormais 7,7,7 et 3,21,21 pour cette seule raison ; leurs additions restent exactes. Le seul triplet à dénominateurs tous différents dans l'inventaire sous trente est 4,7,28. Son maximum vaut vingt-huit. S'il existait une réponse distincte avec un maximum inférieur à vingt-huit, ses trois dénominateurs seraient tous au plus vingt-sept et elle apparaîtrait nécessairement dans l'inventaire déjà fermé sous trente. Or aucune autre ligne distincte n'y figure. Le triplet 4,7,28 est donc optimal pour cette nouvelle permission, sans devoir explorer des dénominateurs arbitrairement grands.
Camille demande pourquoi ne pas reprendre la méthode locale, puisqu'elle garantissait elle aussi des dénominateurs différents. Paul lui montre ses deux garanties séparées. Le choix local assure l'exactitude finale, l'arrêt et des dénominateurs strictement croissants ; son résultat particulier pour 3/7 finit à deux cent trente et un. La recherche bornée, elle, apporte un certificat complet d'absence sous vingt-huit et un témoin qui atteint vingt-huit. L'interdiction de répéter ne suffit pas à transformer la première méthode en méthode optimale. Ce qui autorise le dernier choix est la fermeture de la recherche dans la borne pertinente, pas simplement le fait que les trois nombres choisis soient différents.
Paul inscrit finalement sur la page remise 3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28, avec la consigne « trois termes, dénominateurs distincts, maximum minimal ». Sur la feuille de travail, il conserve 7,7,7 sous la permission précédente et 3,11,231 sous la règle locale. Ces lignes expliquent deux changements réels de décision : la limite trente écarte d'abord une construction terminée, puis l'interdiction de répétition écarte le meilleur maximum de la commande précédente. Aucune égalité n'est rendue fausse par ces refus. Le livre privé reçoit la dernière réponse avec sa condition, tandis que les raisons des choix antérieurs restent dans le dossier de travail.
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