Nora prépare une feuille fictive pour un livre privé. Elle veut ranger des cases sans leur attribuer de nom : les cases d'une même rangée se touchent, chaque rangée commence à gauche, et les longueurs ne peuvent augmenter en descendant. Son frère Sami souhaite remplacer la liste des rangées par celle des colonnes. Il croit d'abord que cela revient à écrire la même liste dans l'autre sens. Nora lui demande de remplir le remplacement, puis de montrer comment revenir au dessin initial. Le modèle porte sur des cases abstraites ; aucune page de catalogue n'est reproduite.
La notice 351081 du Met classe un ouvrage parmi les livres.
La notice 351095 du Met classe également un ouvrage parmi les livres.
La notice 351104 du Met donne la même catégorie documentaire.
Les notices servent seulement à cette identification. Ni leurs images ni leurs mises en page ne fournissent les rangées, les opérations ou les critères de la feuille. Nora stipule elle-même des cases unitaires et leur alignement.
Les colonnes ne sont pas les rangées lues à rebours
Elle écrit les longueurs 5, 3, 3, 1. Il y a douze cases. La première colonne rencontre les quatre rangées ; les deuxième et troisième rencontrent les trois premières ; les quatrième et cinquième ne rencontrent que la première. La liste des colonnes est donc 4, 3, 3, 1, 1. Sami avait proposé 1, 3, 3, 5, qui n'est même pas décroissante. Nora ne la trie pas pour masquer cette erreur : elle revient au comptage colonne par colonne. Le remplacement conserve douze cases, mais passe de quatre rangées à cinq, et la première longueur passe de cinq à quatre.
Nora formule la règle sur n'importe quelle liste admissible. La longueur de la colonne j est le nombre de rangées dont la longueur est au moins j. Ce nombre ne peut augmenter quand j augmente : chaque rangée atteignant une colonne tardive atteint les précédentes aussi. La nouvelle liste est donc une autre liste décroissante d'entiers positifs. Une case placée en rangée i et colonne j devient, dans le dessin transposé, la case de rangée j et colonne i. L'alignement permet cette description ; si des trous étaient permis au milieu des rangées, leurs seules longueurs ne diraient plus quelles colonnes sont occupées.
Pour revenir, elle recompte les colonnes de 4, 3, 3, 1, 1. La première en contient cinq, les deuxième et troisième trois chacune, la quatrième une. Elle retrouve 5, 3, 3, 1. La preuve du retour vaut pour toute case : après deux échanges de ses coordonnées, i,j redevient i,j. Elle ne repose pas seulement sur la somme douze ni sur les deux longueurs maximales. Sami reçoit ainsi une opération inversible sur les listes ordonnées autorisées. Nora appelle la nouvelle liste la conjuguée de la première, en conservant le dessin nécessaire pour que ce terme ait ici un sens exact.
La transformation échange deux contraintes précises. Une liste de k rangées donne une première colonne de hauteur k, donc une liste conjuguée dont la plus grande longueur vaut exactement k. Réciproquement, une plus grande longueur k donne exactement k colonnes. Il existe ainsi une correspondance entre les dessins de n cases ayant exactement k rangées et ceux de n cases dont la plus grande rangée vaut exactement k. Nora distingue cette égalité exacte de la demande « au plus k ». Dans cette dernière, les hauteurs de une à k sont permises ; elle doit transférer toute la limite, pas choisir seulement la famille de hauteur k.
Une limite change de côté avec le dessin
Sami demande toutes les listes de six cases dont les rangées ne dépassent pas trois. Nora les énumère : 3,3 ; 3,2,1 ; 3,1,1,1 ; 2,2,2 ; 2,2,1,1 ; 2,1,1,1,1 ; 1,1,1,1,1,1. Il y en a sept. Leurs conjuguées sont respectivement 2,2,2 ; 3,2,1 ; 4,1,1 ; 3,3 ; 4,2 ; 5,1 ; 6. Ces dernières ont toutes au plus trois rangées, mais leurs longueurs peuvent dépasser trois. Nora remet la seconde liste sous l'intitulé « au plus trois rangées ». La laisser sous « rangées au plus longues de trois » ferait changer la demande sans prévenir.
Le dessin 3,1,1,1 est un témoin de cette différence : sa largeur vaut trois et sa hauteur quatre ; sa conjuguée 4,1,1 a une largeur quatre et une hauteur trois. Si la nouvelle page exige à la fois largeur et hauteur au plus trois, aucun de ces deux dessins n'entre. Nora conserve alors, parmi les sept premières listes, seulement 3,3 ; 3,2,1 ; 2,2,2. Leurs conjuguées restent dans ce même ensemble. Deux limites identiques sur les deux directions définissent un ensemble stable par l'opération, alors qu'une seule limite de largeur définissait un ensemble envoyé vers une autre permission.
Nora ne conclut pas que chaque dessin de cet ensemble stable demeure identique. 3,3 devient 2,2,2, tandis que 3,2,1 reste 3,2,1. Sami sépare donc sur le reçu la stabilité de la liste des candidats et la stabilité d'une entrée particulière. Une transformation peut échanger deux entrées sans sortir de la liste. Ce constat lui sert ensuite pour examiner un dessin encadré par quatre rangées et quatre colonnes : son cadre carré rend les deux dimensions égales, mais n'impose pas que toutes les cases se retrouvent à la même place après transposition.
Il dessine 4,4,3,1, qui possède douze cases, une largeur quatre et une hauteur quatre. Sa conjuguée vaut 4,3,3,2, avec les mêmes trois nombres récapitulatifs. Les dessins sont différents : la deuxième rangée perd une case et la quatrième en gagne une dans la nouvelle liste. Nora conserve les deux listes au lieu de certifier la symétrie à partir du cadre. La comparaison est possible sans mesurer une distance entre dessins : pour être identique à sa conjuguée, une liste doit coïncider terme par terme, pas seulement avoir le même total, la même hauteur et la même largeur.
Le carré central garde deux restes différents
Nora reprend 5,3,3,1 pour enregistrer sa structure autrement. Le plus grand carré placé dans le coin supérieur gauche a un côté de trois : les trois premières rangées ont au moins trois cases, mais la quatrième n'en a pas quatre. Ses neuf cases forment le carré central. À droite, la première rangée déborde de deux cases, les deux suivantes de zéro ; au-dessous, une rangée de longueur un subsiste. Elle garde les restes non nuls comme deux listes, 2 à droite et 1 au-dessous. La somme neuf plus deux plus un retrouve douze, sans faire disparaître la position des trois cases hors du carré.
Pour reconstruire, Sami donne aux trois premières rangées la longueur trois, puis ajoute deux à la première : elles deviennent 5,3,3. Il ajoute ensuite la rangée inférieure de longueur un. Ce retour utilise les deux restes séparément. Si Nora lui transmettait seulement « trois cases restantes », il pourrait placer trois à droite et zéro au-dessous, obtenant 6,3,3, ou une à droite et deux au-dessous, obtenant 4,3,3,2. Les deux listes ont douze cases et le même carré maximal de côté trois. L'aire du reste ne suffit donc pas à retrouver ses deux répartitions.
La transposition garde le carré central de côté trois, mais échange les rôles des restes en les transposant eux aussi. L'ancien reste inférieur 1 fournit une case à droite de la première nouvelle rangée. L'ancien reste droit 2, dessiné comme une rangée, devient deux rangées d'une case au-dessous. Nora reconstruit donc les rangées 4,3,3,1,1, exactement celles du premier calcul. L'échange ne se réduit pas à permuter les nombres deux et un : la liste 2 devient la liste 1,1. Sami doit conjuguer chacun des petits dessins avant de le remettre dans la nouvelle direction.
Dans une fiche générale, Nora consigne le côté d du carré, une liste décroissante de d excédents à droite, zéros permis, et une liste inférieure dont chaque longueur est au plus d. Les premières rangées se reconstruisent en ajoutant d aux excédents ; les suivantes sont la liste inférieure. Le résultat reste décroissant, et le carré suivant ne peut entrer puisque toute rangée sous les d premières a une longueur au plus d. Sami a ainsi une règle de reconstruction avec ses limites vérifiables. Choisir une rangée inférieure de longueur d+1 invaliderait l'enregistrement : le carré déclaré ne serait plus nécessairement maximal.
Des crochets diagonaux couvrent chaque case une fois
Sami propose une autre découpe autour de la diagonale. Pour chaque case diagonale i,i présente, il prend cette case, les cases à sa droite dans la même rangée et celles sous elle dans la même colonne. Dans 5,3,3,1, le premier crochet possède la première rangée et la première colonne, la case commune étant comptée une seule fois : cinq plus quatre moins un, soit huit. Le deuxième possède une case à droite, une au-dessous et son centre, soit trois. Le troisième ne possède que son centre, soit un. Les longueurs des trois crochets, 8,3,1, totalisent bien douze.
Nora vérifie qu'ils ne se chevauchent pas et qu'aucune case n'est perdue. Pour une case i,j avec i≤j, le crochet i la contient dans sa rangée ; pour i≥j, le crochet j la contient dans sa colonne. Dans les deux cas, le numéro du crochet est le plus petit des deux indices. Une case ne peut avoir deux valeurs différentes de ce minimum. Chaque crochet diagonal couvre donc exactement les cases qui lui sont attribuées par cette règle, et les crochets forment une partition du dessin. La somme des longueurs est justifiée par cette répartition, pas seulement par sa réussite sur douze.
La transposition échange le bras horizontal et le bras vertical de chaque crochet. Elle en conserve la longueur, même si le dessin n'est pas symétrique. Dans notre exemple, le premier bras horizontal a quatre cases et le vertical trois ; après échange, ils valent trois et quatre. Les longueurs 8,3,1 restent donc les mêmes pour les deux conjuguées. Nora refuse de les utiliser seules comme certificat de symétrie : une longueur paire, comme huit, peut précisément provenir de deux bras de tailles différentes. La liste des crochets garde une découpe d'aire, mais n'enregistre pas chaque bras séparément dans le cas général.
La symétrie impose des impairs distincts
Nora limite maintenant la demande aux dessins identiques à leur conjuguée. Dans chaque crochet diagonal, les deux bras ont alors la même longueur t. Le crochet possède 2t+1 cases, un nombre impair. En descendant d'une case diagonale à la suivante, la longueur d'une rangée ne peut augmenter, tandis que son indice augmente d'un. Son bras droit diminue donc d'au moins un. Les longueurs des crochets diminuent d'au moins deux : ce sont des impairs distincts, écrits en ordre strictement décroissant. Nora conserve cette dernière condition ; une liste de nombres simplement impairs ne décrit pas toujours un dessin autorisé.
Pour neuf cases, Sami trouve deux listes d'impairs distincts : 9, et 5,3,1. Il reconstruit d'abord le crochet neuf : un centre, quatre cases à droite et quatre au-dessous. Le dessin a les rangées 5,1,1,1,1. Pour 5,3,1, il pose trois centres diagonaux, avec des bras de longueurs deux, un et zéro. Les trois premières rangées ont chacune trois cases, et aucune autre rangée n'apparaît ; c'est le carré 3,3,3. Ces deux dessins sont symétriques, ont neuf cases, mais des hauteurs différentes. Nora les remet comme deux entrées, sans prendre l'une pour une version plus grande de l'autre.
Le retour à partir d'une liste quelconque d'impairs distincts suit le même procédé : pour le ième nombre h_i, Nora calcule t_i=(h_i−1)/2 et pose le centre i,i, puis t_i cases à droite et autant au-dessous. Comme les t_i diminuent strictement, les longueurs t_i+i des premières rangées ne peuvent augmenter. Les cases réfléchies sous la diagonale complètent les rangées inférieures sans trou. Chaque crochet ajouté reste attaché aux précédents et l'ensemble est aligné à gauche. La reconstruction donne un dessin admissible et symétrique ; sa découpe diagonale retrouve les nombres initiaux, ce qui établit aussi l'unicité du retour.
Sami teste 5,5, une liste de deux impairs totalisant dix. Les deux bras droits auraient chacun une longueur deux. La première rangée devrait donc avoir trois cases, la deuxième quatre, puisque son centre est dans la deuxième colonne. Les rangées augmenteraient en descendant, interdit par la feuille. Nora ne trie pas ces longueurs après coup : cela déplacerait les centres et modifierait les crochets déclarés. Le refus explique pourquoi répéter un impair n'est pas une liberté laissée par la somme. L'absence de répétition n'est pas un simple moyen d'éviter un double comptage dans un catalogue ; elle rend l'assemblage géométrique admissible.
Avec les nombres 5,3, Sami reconstruit une autre figure. Le premier bras a deux cases, le second une. Les premières rangées ont trois cases chacune ; les réflexions des bras produisent une troisième rangée de deux cases. La liste 3,3,2 possède huit cases et se conjugue en 3,3,2. Nora contrôle aussi la liste 7,1 : un bras de trois autour du premier centre et aucun autour du second donnent 4,2,1,1. Ces deux constructions montrent que le nombre de crochets, deux ici, fixe le carré central de côté deux, mais ne fixe ni la largeur totale ni le nombre de rangées. Ces derniers dépendent des longueurs effectivement reçues.
Fermer une recherche symétrique sans chercher tous les dessins
Pour douze cases, Nora peut chercher directement les impairs distincts de somme douze. Une liste d'un seul impair ne convient pas, puisque douze est pair. Avec deux nombres, les seules paires strictement décroissantes sont 11,1 ; 9,3 ; 7,5. Quatre impairs distincts ont une somme minimale de 1+3+5+7=16, déjà trop grande ; un nombre impair de termes aurait une somme impaire. Il n'existe donc aucune autre liste. La bijection fournit exactement trois dessins symétriques de douze cases, sans avoir à parcourir les soixante-dix-sept partitions de douze dans la recherche générale.
Les crochets 11,1 donnent les rangées 6,2,1,1,1,1 ; 9,3 donne 5,3,2,1,1 ; 7,5 donne 4,4,2,2. Nora reconstruit chaque liste avant de décider lesquelles entrent dans une page dont la largeur ne peut dépasser quatre. Seule 4,4,2,2 remplit cette permission. Les deux autres restent des dessins symétriques certifiés, exclus seulement de cette page. Le cadre carré de quatre par quatre ne suffisait pas à certifier la symétrie de 4,4,3,1 plus tôt ; ici, la symétrie vient de la construction par crochets, puis la limite de cadre est contrôlée sur le résultat.
Sami propose de remplacer le filtre de largeur par « au plus deux crochets ». Les trois dessins de douze en possèdent deux, donc ce filtre les garderait tous. Nora lui montre le premier : ses deux centres diagonaux n'empêchent pas la première rangée de s'étendre sur six cases. Le côté du carré central compte les centres, tandis que la largeur inclut le bras du premier crochet. Elle peut cependant traduire exactement la vraie limite : la première longueur vaut (h_1+1)/2, donc une largeur au plus quatre exige h_1≤7. Parmi les trois listes, seule 7,5 passe ce filtre sur les nombres avant reconstruction.
La sœur de Nora demande enfin si les nombres seuls prouvent que toutes les cases portent les mêmes textes après retournement. La réponse est limitée : les cases de cette feuille n'ont aucun contenu distinct et la transposition ne portait que sur leur occupation. Si une autre page attribuait des noms aux cases, la symétrie de la forme ne prouverait pas celle des noms. Nora laisse cette autre demande hors du reçu actuel. Elle remet l'opération inverse sur les formes, les deux restes du carré et les crochets qui ont réellement permis de choisir le dessin demandé.
La feuille finale conserve 4,4,2,2 sous le plafond de largeur quatre, les trois constructions symétriques de douze dans le dossier et le refus de 5,5. Les catégories des catalogues consultés ne certifient aucune disposition, symétrie ou méthode matérielle. Les preuves concernent uniquement les rangées unitaires et les permissions écrites pour cet exercice fictif.
Les Éditions privées donnent une forme aux voix, aux archives et aux histoires que vous souhaitez transmettre.
Découvrir Codex de Maison →