Léa compose pour son livre privé une scène avec quatre personnes choisissant chacune une route de R vers T. Maud voudrait leur laisser un passage supplémentaire : personne ne serait obligée de l’emprunter, et les anciennes routes resteraient disponibles. Elle pense donc que cette liberté ne pourrait faire monter leurs scores. Léa distingue deux commandes avant de répondre : réduire la somme par un choix coordonné, ou laisser chaque personne changer seule de route lorsqu’elle réduit son propre score. Aucun déplacement ni comportement réel n’est observé.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Les notices identifient des dessins seulement. Personnes, charges et scores sont créés ; aucune méthode des œuvres ne les détermine.
Le dessin possède d’abord R–A–T, route U, et R–B–T, route L. R vers A porte un score égal au nombre de personnes dont la route utilise cette flèche. B vers T possède la même règle. A vers T et R vers B valent chacune cinq, quel que soit leur nombre d’utilisateurs. Une personne paie la somme des scores de sa route sous les charges de la disposition entière. Les quatre personnes choisissent une route chacune ; elles ne divisent pas leur choix en fractions. Les scores sont des points fictifs, pas des temps, des prix ou une mesure d’effort.
Deux routes et un état stable à deux personnes de chaque côté
Lorsque deux personnes prennent U et deux L, les flèches R–A et B–T portent chacune deux. Chaque route vaut alors deux plus cinq, soit sept, et la somme des quatre scores vingt-huit. Maud examine un changement individuel depuis cette disposition. Si une personne quitte U pour L, U ne porte plus qu’une personne et L en porte trois. La personne qui change reçoit donc trois plus cinq, huit, et non le sept que portait L avant son arrivée. Elle refuse ce changement pour la demande de réduire son score propre.
La même vérification s’applique à une personne quittant L pour U : elle recevrait huit après son déplacement de choix. Aucun changement individuel strictement avantageux n’existe donc depuis la répartition deux et deux. Léa appelle stable une disposition possédant cette propriété, pour les permissions de son exercice. Le mot ne signifie pas que les personnes auraient signé un accord collectif ni qu’elles ne pourraient jamais changer pour une autre raison. Il ferme seulement la question donnée : peut-on réduire son score en remplaçant sa propre route, toutes les autres gardées ?
Si les quatre choisissent U, chacune reçoit neuf. Une personne peut choisir L, alors vide, et y recevrait un plus cinq, six. Avec trois sur U et une sur L, une des trois reçoit huit et peut passer sur L où elle recevra sept. Les situations symétriques se corrigent de la même façon. L’unique répartition stable des charges est donc deux et deux. Les identités des deux personnes sur U ne sont pas imposées : parmi quatre noms, six choix de paire fournissent cette même répartition. Léa conserve le résultat sur les charges sans inventer une unanimité de choix individuels.
Le passage ajouté utilise les deux charges au lieu d’en éviter une
Maud ouvre une flèche A vers B de score zéro. Elle rend disponible R–A–B–T, route Z. Ce zéro ne décrit aucun passage réel instantané ; il est une valeur du catalogue créé. Une personne sur Z utilise maintenant à la fois R–A et B–T, les deux flèches dont le score dépend de leur charge. Appelons u le nombre sur U, l le nombre sur L et z celui sur Z, avec u+l+z=4. Les charges variables deviennent u+z sur R–A et l+z sur B–T. Elles ne restent donc pas celles des deux routes anciennes lorsqu’un nouveau choix apparaît.
Sous cette répartition, une personne sur U reçoit u+z+5 ; sur L, l+z+5. Sur Z, elle reçoit u+z+l+z, soit quatre plus z. Léa conserve ces trois expressions dans sa feuille. Le quatre de la dernière vient du nombre total de personnes et le z supplémentaire du fait que chaque personne sur Z participe aux deux charges. Maud avait attribué à Z le score quatre en pensant qu’elle supprimerait toujours le cinq constant sans autre conséquence. Cette ligne aurait oublié précisément les passages variables que la nouvelle route utilise ensemble.
Repartons de deux personnes sur U, deux sur L et aucune sur Z. Une personne de U reçoit sept. Si elle choisit Z, les nouveaux nombres sont u=1, l=2 et z=1. Sa route Z vaut alors cinq. Les autres ne possèdent pourtant pas toutes un meilleur score : l’unique personne sur U reçoit sept, et les deux sur L reçoivent huit chacune. La nouvelle somme vaut sept plus seize plus cinq, encore vingt-huit. Léa inscrit le gain de deux de celle qui a changé et la hausse d’un des deux autres dans des lignes séparées. Son amélioration n’avait pas promis de diminuer chaque fiche.
L’une des personnes sur L change ensuite pour Z. Les nombres deviennent un, un, deux. Les deux personnes restées sur les anciennes routes reçoivent huit chacune, les deux de Z six chacune : total vingt-huit. Celle qui vient de changer recevait huit avant ce geste et reçoit six après. Une personne sur U peut alors choisir Z, donnant zéro, un, trois. Elle reçoit sept au lieu de huit ; la dernière sur L reçoit désormais neuf, et les trois de Z sept chacune. Le total monte à trente. L’amélioration de cette troisième personne n’a donc pas été une baisse de la somme commune.
La dernière personne sur L peut encore gagner un point en choisissant Z : elle passe de neuf à huit. Les quatre sont alors sur Z, chacune reçoit quatre plus quatre, huit, total trente-deux. Toute la suite a comporté un gain individuel strict au moment du geste : deux, deux, un puis un. Pourtant le total final dépasse vingt-huit, et chaque personne termine au-dessus du sept de la disposition initiale. Léa conserve les dispositions intermédiaires réellement calculées. Elle ne fait pas passer l’augmentation pour une erreur d’addition ni pour une obligation d’emprunter la route nouvelle : celle-ci était permise, et les changements avantageux ont conduit à son usage par les quatre.
Vérifier la stabilité avec les charges qui suivraient le changement
Depuis quatre personnes sur Z, quitter cette route pour U donnerait trois sur Z et une sur U. La charge de R–A resterait quatre : la personne qui quitte Z y passe encore par U. Son score serait quatre plus cinq, neuf, contre les huit qu’elle reçoit. Quitter pour L donnerait de même neuf. La disposition finale est donc stable. Maud ne calcule pas une route U solitaire à six en imaginant qu’elle quitterait aussi R–A : les trois autres utilisateurs de Z conservent cette flèche, et la nouvelle route U la conserve également pour la personne considérée.
Léa peut même prouver l’unicité de cette répartition stable sans parcourir toutes les listes de noms. Supposons qu’une personne soit sur U, donc u au moins égal à un. Son score courant vaut u+z+5. Si elle passe sur Z, z augmente d’un et la nouvelle route vaut quatre plus z+1, soit z+5. Son gain vaut exactement u, strictement positif. Toute disposition conservant quelqu’un sur U permet donc une amélioration individuelle. Le même calcul donne un gain l pour une personne sur L. Une disposition stable ne peut garder aucune personne sur ces deux routes ; les quatre doivent être sur Z.
La comparaison a recalculé le score de la personne après son arrivée sur la route nouvelle. Évaluer simplement Z à quatre plus z avant le changement aurait annoncé un point de gain supplémentaire. Cette différence n’efface pas le sens des gains, mais elle fausserait leurs valeurs et la lecture des étapes. Léa garde z+1 dans le témoin individuel puis z dans la description de la disposition reçue. Les nombres ne décrivent pas une personne assez petite pour ne pas compter dans la charge : notre règle possède quatre choix entiers et chacun y participe.
Le meilleur choix collectif demeure disponible
L’ancienne répartition deux et deux reste une proposition autorisée après l’ajout de A–B, puisqu’aucune flèche ancienne n’a été retirée. Elle garde sa somme vingt-huit si les quatre la conservent. Maud a donc raison sur une portée précise : le meilleur résultat qu’une préparation coordonnée peut obtenir ne peut être rendu plus mauvais par la seule addition d’une possibilité que l’on est libre de ne pas utiliser. Ce raisonnement ne portait pas sur une disposition résistant à tous les changements individuels. La répartition à vingt-huit demeure réalisable, mais nous avons vu le premier gain qui la quitte.
Pour vérifier le minimum collectif de vingt-huit dans la carte enrichie, Léa écrit d=u−l et z le nombre sur la nouvelle route. La somme s’obtient en multipliant le score de chaque route par son nombre d’utilisateurs. Elle vaut u(u+z+5)+l(l+z+5)+z(4+z). En remplaçant u+l par quatre moins z, elle devient vingt-huit plus (z²−2z+d²)/2. Les nombres u et l sont entiers ; d a la même parité que quatre moins z. Cette condition accompagne le calcul, au lieu de permettre à une différence impaire de devenir zéro par commodité.
Avec z=0, d est pair et le supplément minimal est zéro pour d=0, soit deux et deux. Avec z=1, d est impair et son carré vaut au moins un ; le supplément minimal est encore zéro. Avec z=2, d pair peut être nul et le supplément minimal reste zéro. Avec z=3, le seul partage d’une personne entre U et L donne d égal à un ou moins un ; le supplément vaut deux. Avec z=4, d=0 et le supplément vaut quatre. Aucun partage ne descend sous vingt-huit. Plusieurs répartitions collectives y atteignent le même minimum, alors que l’unique disposition individuellement stable totalise trente-deux.
Maud choisit de conserver deux et deux pour une commande de coordination, sans rendre rétroactivement faux le gain individuel vers Z. Cette fiche demande que les quatre suivent la préparation reçue. La fiche de stabilité demandait au contraire de tester un changement d’une seule personne, les autres choix fixes. Les deux propositions emploient les mêmes règles de charges ; elles ne possèdent pas la même propriété. Léa remet vingt-huit avec son allocation et trente-deux avec son certificat de stabilité, plutôt que d’intituler l’un « meilleur » sans préciser la question qui le fait gagner.
Un compte peut décroître pendant que la somme augmente
Léa veut maintenant savoir si des améliorations individuelles pourraient tourner sans fin. Elle construit un autre nombre attaché à chaque répartition. Pour une flèche variable chargée par n personnes, elle inscrit 1+2+…+n, donc n(n+1)/2. Elle additionne ce nombre pour R–A et pour B–T, puis cinq pour chaque personne utilisant U ou L. Le passage A–B porte zéro. Ce compte est entièrement défini par les charges présentes ; il ne prétend pas être la somme effectivement portée par les quatre fiches individuelles.
Lorsqu’une personne arrive sur une flèche variable portant n personnes avant elle, ce compte augmente de n+1, exactement le score de la flèche après son arrivée. Lorsqu’elle quitte une flèche variable chargée par n personnes, il baisse de n, le score qu’elle y payait. Les flèches qu’elle conserve dans les deux routes ne changent pas de charge. Pour une flèche constante, l’augmentation ou la baisse vaut cinq. La différence totale du compte est donc exactement le nouveau score de cette personne moins son ancien score. Ce certificat traite les effets de son départ et de son arrivée, sans additionner les hausses des autres personnes comme des gestes qu’elle aurait elle-même accomplis.
Chaque amélioration individuelle stricte fait diminuer ce compte. Il ne peut donc retrouver une ancienne répartition après une suite d’améliorations strictes, puisque cette répartition porterait son ancien nombre. Il existe seulement quatre choix nommés, chacun parmi trois routes, soit quatre-vingt-un listes. Toute suite poursuivie en choisissant une amélioration disponible finit donc sur une disposition sans amélioration, laquelle est ici celle des quatre Z déjà prouvée unique. Léa n’impose pas que la même personne joue la première ni que le nombre de gestes soit identique pour tous les ordres : la fin découle du compte décroissant et de cette unicité particulière.
Sur la suite remplie plus haut, le nouveau compte vaut vingt-six, vingt-quatre, vingt-deux, vingt et un, puis vingt. La somme des fiches valait vingt-huit, vingt-huit, vingt-huit, trente puis trente-deux. Maud retire donc l’annonce « un compte diminue, le total diminue ». Le compte des sommes successives par flèche suit exactement le changement individuel ; le total actuel multiplie chaque charge par son score présent. Ces deux opérations numériques ne sont pas interchangeables. Léa les garde auprès des mêmes dispositions, avec leurs formules, pour que la preuve de terminaison ne devienne pas une fausse preuve de bien-être commun.
Modifier le score de la nouvelle permission peut changer la fin
Une commande nouvelle ajoute trois points de pénalité au choix Z, sans changer les deux règles de charge ni les deux anciennes routes. Ce nombre est une préférence du jeu, pas une taxe ou une recommandation de prix. Le score individuel de Z devient z+7, tandis que U et L conservent u+z+5 et l+z+5. Maud ne reprend pas la preuve du gain u vers Z : passer d’U à Z donnerait maintenant z+8, et peut être moins bon. Léa ouvre un relevé distinct pour cette nouvelle règle de score, en gardant les calculs précédents sous la règle sans pénalité.
Supposons qu’une disposition possède au moins une personne sur Z. Alors u+l=4−z est inférieur à quatre ; u et l ne peuvent pas tous deux valoir au moins deux. L’un des deux est donc inférieur à deux. Une personne de Z peut choisir cette ancienne route. Si elle prend U, la charge de R–A reste u+z : elle l’utilisait déjà sur Z. Son nouveau score est u+z+5 contre z+7, un gain strict lorsque u est zéro ou un. Si c’est l qui est inférieur à deux, L donne le même contrôle. Aucune disposition conservant une personne sur Z ne peut être stable sous cette pénalité de trois.
Sans personne sur Z, les anciennes routes retrouvent leur contrôle de deux personnes chacune. Cette répartition reçoit sept par personne. Choisir Z ferait apparaître z=1 et donnerait huit, donc ne serait pas avantageux ; choisir l’autre ancienne route donnerait également huit. La répartition deux et deux est ainsi stable dans la carte enrichie sous la pénalité, et toute autre répartition sans Z permet encore un changement entre U et L. Léa peut remettre cette fin avec un total de vingt-huit. Aucun des trois points n’y est payé, puisque personne n’utilise la route pénalisée ; les effets d’une règle sur les choix ne se réduisent pas aux points effectivement portés par la fin obtenue.
Le compte de terminaison s’adapte en ajoutant trois pour chaque personne sur Z. Lors d’un changement, cette partie ajoute ou retire précisément la pénalité individuelle ; les sommes successives de charges restent inchangées. La différence du compte conserve donc la même identité avec le changement de score personnel, désormais sous la nouvelle règle. Les améliorations strictes finissent encore. Léa n’annonce pas que le compte ancien aurait déjà certifié cette nouvelle préférence : elle a réellement ajouté le terme trois z avant de reprendre la preuve, puis vérifié les dispositions stables du modèle modifié.
Maud conserve enfin les deux totaux avec leur portée. Trente-deux est la somme intrinsèque sous l’unique fin stable sans pénalité ; vingt-huit est celle de la répartition stable avec la règle modifiée. Un état provisoire possédant des Z compterait aussi leurs pénalités dans les scores de décision, mais celles-ci ne mesureraient pas une charge supplémentaire sur R–A ou B–T. La fiche distingue donc les scores intrinsèques du modèle abstrait et la préférence ajoutée, sans les appeler des durées réellement subies. Léa ne recommande pas de pénaliser une route réelle à partir de quatre personnes dessinées.
Conserver le choix que la commande ferme réellement
Pour la première scène du livre, Léa raconte la suite des quatre améliorations individuelles après l’ouverture de A–B. Les quatre personnes finissent sur Z et reçoivent huit chacune. La préparation coordonnée à vingt-huit reste dans une autre feuille, de même que la fin à deux et deux sous la préférence de trois. Ces réalisations ne fusionnent pas leurs avantages : la première est stable sans pénalité, la deuxième minimise le total, et la troisième exige un score de décision effectivement modifié.
Aucun dessin cité ne fournit ces routes, charges ou préférences. Les choix composés gardent leurs règles propres, sans application d’un procédé des œuvres.
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