Des triangles entiers dans un livre privé : retrouver une forme avant de changer son échelle

Images, objets et documents · 17 min de lecture

Léa prépare un inventaire fictif pour une page privée. Chaque ligne doit porter trois entiers positifs : les deux côtés d'un angle droit et le côté opposé. Elle n'utilise ni mesure de photographie ni objet à fabriquer. Sa sœur Zoé propose plusieurs lignes exactes, mais deux difficultés apparaissent : une même forme revient sous plusieurs tailles, tandis qu'une recette qui fournit des exemples pourrait en oublier. Léa veut pouvoir retrouver l'origine de chaque ligne avant de décider lesquelles entrent dans la page. La règle locale est a²+b²=c² ; la liste finale range les deux petits côtés par ordre croissant.

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Ces catégories situent seulement les documents consultés. Aucun dessin, procédé de construction ou rapport de longueurs n'en est tiré. L'équation, les entiers et les limites qui suivent sont les conditions stipulées pour la feuille de Léa.

Séparer la taille de la forme primitive

Zoé apporte 10, 24, 26. Léa vérifie 100+576=676 avant de chercher une origine. Les trois nombres ont pour plus grand diviseur commun deux ; elle divise donc toute la ligne et obtient 5, 12, 13. La première ligne avait deux fois chaque longueur de la seconde. Sur le reçu, Léa conserve la ligne demandée, 10, 24, 26, mais réserve une autre colonne à son facteur deux et à son origine 5, 12, 13. Elle ne remplace pas la commande par un triangle plus petit. Elle distingue la taille inscrite et les entiers primitifs qui permettront de la reconstruire.

Le même traitement donne quatre comme facteur pour 12, 16, 20, puis l'origine 3, 4, 5. Choisir deux parce que les trois nombres sont pairs laisserait 6, 8, 10, encore divisible. Léa calcule donc le plus grand diviseur des trois, pas un diviseur commode rencontré en premier. Si un diviseur commun des deux petits côtés existe, son carré divise c² et le diviseur lui-même divise c ; la normalisation par le diviseur des trois est cohérente avec l'équation. Après division, aucun entier supérieur à un ne divise encore les trois valeurs. C'est cette ligne réduite qu'elle appelle primitive.

Dans une ligne primitive, les deux petits côtés ne peuvent être pairs, puisqu'alors c serait pair aussi. Ils ne peuvent pas non plus être tous deux impairs : leurs carrés valent chacun un modulo quatre, leur somme vaudrait deux, tandis qu'un carré entier vaut zéro ou un modulo quatre. Il reste exactement un côté impair et un côté pair ; le côté opposé est impair. Léa change temporairement ses étiquettes : a désigne désormais le petit côté impair, b le pair. Cela ne signifie pas que a est le plus court. Pour 8, 15, 17, elle prend a=15 et b=8, même si la liste imprimée commence par huit.

Deux facteurs qui doivent être des carrés séparés

Avec cette orientation, elle forme u=(c+a)/2 et v=(c−a)/2. Les deux nombres sont entiers positifs puisque a et c sont impairs et c>a. Leur produit vaut (c²−a²)/4=b²/4=(b/2)². Leur somme vaut c et leur différence a. Si un entier divisait u et v, il diviserait donc a et c. Dans une ligne primitive, a et c sont premiers entre eux : un nombre premier commun diviserait aussi b², donc b, ce qui contredirait la réduction. Léa a ainsi deux facteurs premiers entre eux dont le produit est un carré.

Elle justifie alors le passage décisif. Dans la décomposition du produit, chaque nombre premier a un exposant pair. Comme aucun premier n'appartient à la fois à u et à v, cet exposant vient entièrement d'un seul facteur ; il y est donc déjà pair. Chaque facteur est un carré. Léa écrit u=m² et v=n², avec m>n>0. Elle retrouve aussitôt a=m²−n² et c=m²+n². L'égalité b²=4m²n² et la positivité de b donnent b=2mn. Ce passage n'ajoute pas une formule trouvée après les exemples : il extrait les paramètres des nombres de la ligne reçue.

Pour 5, 12, 13, les deux facteurs sont neuf et quatre. Les racines positives donnent m=3 et n=2 ; la reconstruction produit 9−4=5, 2×3×2=12, 9+4=13. Pour 8, 15, 17, l'orientation impaire a=15 donne seize et un, donc m=4 et n=1. Si Zoé utilisait le côté huit dans la première formule, elle obtiendrait 25/2 et 9/2 : ce ne seraient pas les facteurs entiers requis. Léa garde les deux ordres sur sa feuille : ordre croissant pour lire l'inventaire, ordre impair/pair pour retrouver son origine.

Les paramètres m et n sont premiers entre eux, car un premier commun ferait partager un diviseur à m² et n². Ils ont des parités opposées : s'ils étaient impairs tous deux, a=m²−n² serait pair, alors qu'il est le côté impair choisi ; s'ils étaient pairs tous deux, ils ne seraient pas premiers entre eux. Chaque ligne primitive fournit donc une paire ordonnée unique, m>n, première entre elle et de parités opposées. Les racines positives de u et v fixent cette paire. Un échange des petits côtés dans la liste ne fournit pas une seconde origine puisque l'orientation impaire la rétablit.

Vérifier les conditions de la recette dans l'autre sens

Léa choisit maintenant des paramètres qui respectent ces conditions. Le calcul (m²−n²)²+(2mn)²=(m²+n²)² établit l'angle droit dans le modèle. Il reste à prouver la réduction primitive. Un premier impair qui diviserait les trois nombres diviserait 2mn ; il diviserait donc m ou n. En divisant aussi m²−n², il devrait alors diviser l'autre paramètre, interdit par leur coprimalité. Le nombre deux ne divise pas les trois valeurs puisque m²−n² est impair quand m et n ont des parités opposées. Aucun premier commun ne subsiste. La recette produit bien une ligne primitive, et pas seulement une égalité de carrés.

Zoé teste m=3, n=1 pour décider si la seule coprimalité suffisait. La recette donne 8, 6, 10. L'équation est correcte, mais les trois nombres sont divisibles par deux ; leur origine normalisée est 3, 4, 5. Trois et un sont premiers entre eux, pourtant ils sont tous deux impairs. Léa retire donc cette paire du registre des paramètres primitifs, tout en gardant 6, 8, 10 comme taille recevable sous le facteur deux de 3, 4, 5. Elle ne rejette pas la ligne exacte : elle corrige son classement et conserve la raison précise pour laquelle ses paramètres ne sont pas primitifs.

Le test m=4, n=2 échoue sur l'autre condition. Il donne 12, 16, 20, dont le facteur commun est quatre. Les deux paramètres partagent deux ; ce facteur commun est mis au carré dans chacune des trois expressions. Ils ont aussi la même parité, mais Léa peut déjà expliquer ici la multiplication des longueurs par quatre en écrivant m=2×2 et n=2×1. La paire réduite 2, 1 produit 3, 4, 5. Ce contrôle empêche Zoé d'associer systématiquement « paramètres non primitifs » à un simple doublement : le défaut de coprimalité et celui de parité ne créent pas le même facteur.

Léa reprend alors 10, 24, 26 sans la réduire. Son côté impair n'existe pas : les deux petits côtés sont pairs. Même en choisissant dix arbitrairement, elle obtiendrait u=18 et v=8, qui ne sont pas des carrés. Leur produit est pourtant 144. Dix-huit et huit partagent deux, et le raisonnement sur les exposants séparés n'est plus permis. La ligne n'est pas fausse ; c'est l'inversion primitive qui a été appliquée trop tôt. Léa revient au facteur commun deux, inverse 5, 12, 13 par neuf et quatre, puis réapplique deux aux trois longueurs. La normalisation est donc une opération nécessaire avant cette inversion.

Fermer réellement une première liste

La première commande autorise c au plus égal à cinquante. Pour une origine primitive, c=m²+n² ; n étant au moins un, m² ne peut dépasser quarante-neuf. Léa n'a besoin que des entiers m de deux à sept, avec n entre un et m−1. Elle élimine les paires qui partagent un diviseur, celles de même parité et celles dont la somme des carrés dépasse cinquante. Cette borne transforme la formule en une recherche finie justifiée. Elle ne s'arrête pas après avoir trouvé quelques triangles familiers. Tout triangle admissible a une origine primitive dont le c est au plus celui de sa propre taille, donc au plus cinquante aussi.

Les paramètres retenus sont 2,1 ; 3,2 ; 4,1 ; 4,3 ; 5,2 ; 5,4 ; 6,1. Après remise des petits côtés en ordre croissant, les origines sont 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 ; 20,21,29 ; 9,40,41 ; 12,35,37. Léa vérifie notamment que m=7 ne fournit rien : n pair doit valoir deux, quatre ou six ; deux donne déjà c=53, et les deux autres le dépassent davantage. Elle inscrit les sept origines, mais ne les confond pas avec la liste de toutes les tailles. Une origine peut encore fournir plusieurs lignes sous la même borne.

Pour chaque origine, le facteur k est un entier positif vérifiant k≤50/c. Celle qui finit par cinq autorise k de un à dix ; celle qui finit par treize, k de un à trois ; celles qui finissent par dix-sept et vingt-cinq, k de un à deux. Les trois dernières, de côtés opposés vingt-neuf, trente-sept et quarante-et-un, n'autorisent que k=1. Le compte vaut donc dix plus trois plus deux plus deux plus un plus un plus un, soit vingt lignes. La réduction primitive rend ces groupes disjoints : une même ligne ne peut avoir deux plus grands diviseurs communs différents, ni deux origines primitives après division.

Zoé demande les lignes atteignant exactement c=50. Léa ne parcourt plus toutes les longueurs une par une : cinquante doit être divisible par le c de l'origine. Parmi les sept valeurs, seules cinq et vingt-cinq divisent cinquante. Les facteurs dix et deux donnent respectivement 30,40,50 et 14,48,50. Les deux lignes ont le même côté opposé mais des formes primitives différentes, 3,4,5 et 7,24,25. Léa les remet ensemble sur la page ; elle n'en conserve pas une seule sous prétexte que la dernière colonne aurait une valeur répétée. La clé du classement comporte l'origine et le facteur, pas seulement c.

La sœur propose ensuite de conserver aussi m=3, n=1 comme seconde entrée pour 6,8,10. Léa montre le doublon : la ligne existe déjà sous l'origine 3,4,5 avec k=2. Si la liste ouvrait toutes les paires sans les filtres primitifs, la même taille reviendrait avec plusieurs descriptions. En imposant les conditions puis le facteur séparé, Léa peut retrouver la description unique de n'importe laquelle des vingt lignes. Elle garde néanmoins le test 3,1 dans une note de refus, afin que l'absence de cette paire parmi les paramètres ne ressemble pas à une erreur de recherche.

Une limite sur le tour change les lignes remises

Une seconde commande porte sur le périmètre, au plus soixante, et non sur le côté opposé. En remplaçant les trois longueurs, Léa obtient k[(m²−n²)+2mn+(m²+n²)]=2km(m+n). Elle utilise donc k≤60/[2m(m+n)]. L'origine 3,4,5 a un périmètre douze et fournit cinq tailles ; 5,12,13 a un périmètre trente et fournit deux tailles. Les origines 8,15,17 et 7,24,25 ont des périmètres quarante et cinquante-six et fournissent une taille chacune. Les autres périmètres sont soixante-dix, quatre-vingt-deux et quatre-vingt-quatre : aucune taille positive ne les ramène sous soixante. La seconde remise comporte neuf lignes.

Léa justifie aussi pourquoi partir des sept origines précédentes n'a rien omis sous cette nouvelle permission. Dans un triangle non dégénéré, les deux petits côtés ont une somme strictement supérieure à c ; avec des longueurs positives satisfaisant l'équation, (a+b)²=c²+2ab>c². Le périmètre est donc strictement supérieur à 2c. S'il vaut au plus soixante, c est strictement inférieur à trente. Toutes les origines de cette seconde remise figurent nécessairement dans la première recherche qui allait jusqu'à cinquante. Ce passage relie les deux listes par une borne démontrée, sans prendre leur différence de compte pour une preuve de complétude.

Pour un périmètre exactement égal à soixante, Léa trouve deux descriptions : origine 3,4,5 avec k=5, soit 15,20,25 ; origine 5,12,13 avec k=2, soit 10,24,26. Les valeurs de c, vingt-cinq et vingt-six, sont différentes. Zoé avait voulu choisir la seconde parce que vingt-six serait « plus près de cinquante » ; ce rapprochement ne répond pas à la seconde commande, qui fixe le tour et ne demande aucune proximité d'une borne abandonnée. Léa remet les deux lignes de périmètre soixante, chacune accompagnée de son facteur et de sa paire primitive. Aucun choix de meilleure forme n'a été ajouté aux conditions.

La différence devient concrète avec 30,40,50. Cette ligne appartient à la première liste, mais son périmètre vaut cent vingt et l'exclut de la seconde. À l'inverse, chaque ligne de périmètre au plus soixante appartient à la première puisque son c est inférieur à trente. Léa inscrit donc une inclusion entre les remises, puis retire onze lignes quand la sœur confirme le plafond de tour. Elle garde les origines qui n'ont plus de taille autorisée dans le dossier de calcul, sans leur attribuer une entrée imprimée vide. La sélection change parce qu'une expression différente est bornée, pas parce que la formule d'origine aurait cessé d'être exacte.

Le classement conserve une inversion utilisable

Zoé souhaite finalement numéroter les lignes par le petit côté le plus court. Léa accepte cette présentation, mais garde le test de parité dans l'inversion. Pour 20,21,29, l'impair est vingt-et-un ; u=25 et v=4 donnent m=5,n=2, puis b=20. Si elle identifiait automatiquement a à la première colonne, les facteurs 49/2 et 9/2 interrompraient l'inversion. Elle fournit donc une consigne remplie sur cette ligne : réduire par le diviseur commun, repérer le côté impair, calculer les deux demi-sommes, puis prendre les racines positives. La numérotation visible ne remplace aucune de ces décisions.

Pour comparer deux lignes sans recalculer leur paramétrage, Léa peut utiliser leurs origines primitives déjà certifiées. 9,12,15 et 15,20,25 réduisent toutes deux vers 3,4,5 avec des facteurs trois et cinq ; elles appartiennent à la même famille malgré trois nombres différents. 7,24,25 et 15,20,25 finissent toutes deux par vingt-cinq, mais leurs origines sont différentes. Elle vérifie ce second couple par la réduction : la première ligne est déjà primitive, la seconde se divise par cinq. Le dossier permet ainsi deux réponses distinctes à « même triangle » : mêmes valeurs ou même forme primitive. Léa garde le sens demandé dans l'intitulé de la colonne avant de grouper les lignes.

La page remise porte neuf lignes lorsque le plafond de périmètre soixante est confirmé. Le dossier conserve la recherche de vingt lignes sous c≤50, les sept origines et les deux paires de paramètres refusées comme primitives. Un lecteur peut retrouver l'origine d'une taille et vérifier son plafond sans transformer les catalogues consultés en preuves arithmétiques. Aucune méthode de fabrication, stabilité matérielle ou propriété d'un objet réel n'a été déduite de ces catégories documentaires. L'inventaire concerne seulement les longueurs entières et les deux permissions de la feuille fictive.

Une aire reçue appelle une autre recherche

Une demande ultérieure ouvre une feuille distincte : Zoé fixe une aire de deux cent dix, sans reprendre le plafond de périmètre. Léa laisse les neuf lignes déjà remises intactes. Elle doit cette fois retrouver toutes les longueurs qui produisent cette aire, avant de comparer leurs origines. Aucun dessin supplémentaire n'accompagne la demande ; l'aire est une condition exacte de l'exercice, non une surface mesurée. La recherche précédente par limite supérieure ne répond pas directement à cette égalité.

Léa écrit ab/2=210, donc ab=420. Avec a≤b, a ne peut dépasser la racine de 420 ; il suffit de tester les diviseurs positifs jusqu'à vingt. Les valeurs possibles de a sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15 et 20. Chaque valeur fixe b=420/a. Elle teste ensuite si a²+b² est un carré entier. Deux couples seulement passent : 12,35 donne 144+1225=1369=37² ; 20,21 donne 400+441=841=29². La borne sur le plus petit facteur et la liste complète de ses diviseurs ferment la recherche, même sans plafond donné sur c. Les deux triangles sont primitifs, mais ils ont des paramètres différents : 6,1 pour le premier, 5,2 pour le second. Une même aire ne les fusionne donc pas en une seule forme.

Zoé tente pourtant de partir de 3,4,5 et de multiplier les longueurs par trente-cinq, puisque son aire six doit devenir deux cent dix. Léa calcule la conséquence : l'aire est multipliée par le carré du facteur, pas par le facteur lui-même. Elle obtiendrait six fois trente-cinq au carré, soit sept mille trois cent cinquante. Pour atteindre exactement deux cent dix depuis cette origine, il faudrait k²=35, qui n'a pas de solution entière. L'origine 5,12,13 demanderait k²=7 et échouerait aussi. Ces refus ne sont pas des plafonds dépassés : aucune taille entière de ces familles ne remplit l'égalité reçue. Léa conserve les deux couples trouvés par les diviseurs, au lieu de chercher un arrondi de ces facteurs.

La sœur ajoute alors la permission c≤30 à cette nouvelle feuille. Léa garde 20,21,29 et écarte 12,35,37, bien que leurs aires restent identiques. Elle remet le premier avec l'aire calculée et l'origine primitive ; elle annexe le second comme résultat de la recherche d'aire, refusé seulement par la dernière limite. Si le plafond disparaît, les deux redeviennent recevables, sans refaire le test des diviseurs. Zoé voit ainsi trois étapes distinctes dans le reçu : une égalité de produit qui propose les candidats, le carré exact qui certifie l'angle droit, puis une borne qui sélectionne parmi les certifiés. L'aire ne remplace aucune de ces vérifications et la borne ne prouve pas l'égalité.