Léa prépare un dessin fictif composé de cases, avec deux nombres entiers positifs nommés x et y. Elle veut que le carré de x dépasse de exactement une unité deux fois le carré de y. Simon doit trouver les couples possibles et expliquer pourquoi sa liste n'en oublie aucun sous la limite donnée. Aucun dessin du dossier ne décrit les dimensions d'un objet reçu. Les nombres sont des données et des résultats de cette page créée ; la différence d'une unité est une égalité exacte, pas une marge de mesure.
Trois notices du Met identifient des catégories d'objets. Leurs images et leurs procédés ne donnent aucun couple entier, équation ou règle de génération pour cette page.
La notice 351061 classe son objet parmi les estampes.
La notice 351062 classe son objet parmi les dessins.
La notice 351064 porte également cette dernière catégorie.
Une première égalité ne suffit pas à remplir la liste
Simon note la condition x² moins deux y² égal à un. Avec y égal à un, x² devrait valoir trois, qui n'est pas un carré entier. Avec y égal à deux, x² vaut neuf et x vaut trois. Le couple trois–deux satisfait donc la commande : neuf moins huit vaut un. Simon conserve les deux nombres, et non seulement le neuf final. Le couple un–zéro satisfait aussi l'égalité, mais ne répond pas à la demande initiale de deux nombres positifs. Il pourra servir de point de départ de calcul sans être remis comme dessin admissible.
Léa propose de chercher le couple suivant en augmentant y d'une unité. Simon pourrait le faire pour une petite limite, en vérifiant chaque carré. Il veut toutefois une méthode qui produise des solutions et une raison séparée pour ne rien oublier. Trouver trois–deux puis dix-sept–douze en parcourant une liste ne montrerait pas encore ce qu'il faut faire après douze. Il nomme donc l'écart N(x,y) égal à x² moins deux y² et cherche une transformation dont il puisse contrôler cet écart sur une paire quelconque, avant de la répéter sur les premières réponses.
Il définit une transformation G : le nouveau premier nombre est trois x plus quatre y ; le nouveau second est deux x plus trois y. Depuis trois–deux, le premier devient neuf plus huit, soit dix-sept, et le second six plus six, soit douze. La vérification donne deux cent quatre-vingt-neuf moins deux fois cent quarante-quatre, donc un. Une autre application depuis dix-sept–douze donne quatre-vingt-dix-neuf–soixante-dix : cinquante et un plus quarante-huit pour le premier, trente-quatre plus trente-six pour le second. Simon a produit deux étapes avec leurs composantes, sans ajuster un nombre après avoir choisi l'autre.
L'égalité conservée se vérifie avant les étapes suivantes. Le carré de trois x plus quatre y contient neuf x², vingt-quatre xy et seize y². Deux fois le carré de deux x plus trois y contient huit x², vingt-quatre xy et dix-huit y². Leur différence annule les deux termes mixtes et laisse exactement x² moins deux y². G conserve donc N pour toute paire à laquelle ses formules sont appliquées. Simon peut poursuivre sa génération sous le même signe d'écart. Il ne tire pas cette propriété de la réussite des seuls couples trois–deux et dix-sept–douze.
À partir de quatre-vingt-dix-neuf–soixante-dix, G donne cinq cent soixante-dix-sept–quatre cent huit. Le couple suivant est trois mille trois cent soixante-trois–deux mille trois cent soixante-dix-huit. Les deux nombres augmentent strictement lorsqu'ils étaient positifs : le premier reçoit trois fois lui-même et quatre fois l'autre, le second deux fois le premier et trois fois lui-même. Simon peut donc arrêter cette suite dès qu'un nombre dépasse une limite imposée à ce même nombre. Ce contrôle d'arrêt s'applique à la suite générée ; il ne prouve pas encore que toutes les solutions de l'égalité appartiennent à cette suite.
Revenir à une paire plus petite permet de prouver la complétude
Simon prépare la transformation inverse H : trois x moins quatre y pour le premier nombre, trois y moins deux x pour le second. Appliquée à dix-sept–douze, elle donne cinquante et un moins quarante-huit, soit trois, et trente-six moins trente-quatre, soit deux. Appliquée à trois–deux, elle donne un–zéro. Les coefficients de H sont entiers ; le retour ne nécessite donc aucun arrondi. En composant H avec G, les termes croisés s'annulent et l'on retrouve exactement x et y. H conserve aussi l'écart, puisque c'est l'inverse de la transformation qui le conservait.
Léa demande alors ce qu'il adviendrait d'une solution positive que Simon n'aurait pas déjà produite. Il prend une telle solution avec y supérieur à deux. L'égalité donne x² égal à deux y² plus un. Comme y est entier, y est au moins trois ; on a alors un inférieur au quart de y². Ainsi x² est inférieur à neuf quarts de y², ce qui donne deux x inférieur à trois y. Le second nombre de H, trois y moins deux x, est donc strictement positif. La transformation inverse ne sort pas du domaine positif sur cette solution encore grande.
Le premier nombre de H est également positif. Puisque x² dépasse deux y², x est supérieur à quatre tiers de y : le carré de quatre tiers reste inférieur à deux. Trois x moins quatre y est donc positif. Enfin x est supérieur à y, car x² vaut deux y² plus un. Le nouveau second nombre trois y moins deux x est alors inférieur à y. Simon tient trois faits simultanés sur toute grande solution : H garde des entiers positifs, garde l'écart un et diminue strictement le second nombre. Il ne doit pas vérifier une nouvelle permission de retour pour chaque paire rencontrée.
Ce retour ne peut continuer indéfiniment parmi des entiers positifs de plus en plus petits. Il atteint une solution avec y au plus égal à deux. La valeur un ne convient pas, car elle imposerait x² égal à trois. La valeur deux donne précisément trois–deux, dont H conduit à un–zéro. Toute solution positive revient donc au même petit couple, et le retour possède à chaque étape un inverse G déterminé. Simon peut reconstituer son chemin en répétant G depuis trois–deux. Voilà pourquoi la liste générée est complète : la preuve de descente ferme l'éventualité d'une solution isolée hors de cette génération.
Léa fixe ensuite x au plus égal à mille. Simon garde trois, dix-sept, quatre-vingt-dix-neuf et cinq cent soixante-dix-sept comme premières coordonnées admissibles, avec deux, douze, soixante-dix et quatre cent huit comme secondes. La première coordonnée suivante, trois mille trois cent soixante-trois, dépasse mille. La croissance interdit toute étape ultérieure dans cette limite, et la descente interdit une autre branche manquante. Ces deux raisons sont nécessaires à la remise : une suite croissante seule aurait seulement arrêté une procédure, tandis qu'un inventaire complet sans contrôle de croissance aurait encore demandé où couper la liste.
Une transformation correcte peut sauter des réponses admissibles
Camille préfère avancer deux fois plus vite et applique G deux fois à chaque étape. Les formules réunies donnent dix-sept x plus vingt-quatre y, puis douze x plus dix-sept y. Depuis un–zéro, cette grande étape produit dix-sept–douze, puis cinq cent soixante-dix-sept–quatre cent huit. L'écart reste un, puisque chacune des deux étapes le conservait. Mais la nouvelle liste a sauté trois–deux et quatre-vingt-dix-neuf–soixante-dix, bien qu'ils respectent la même commande et le plafond mille. La validité des sorties produites n'a pas garanti la complétude de cette procédure accélérée.
Simon retrouve les deux réponses manquantes sans changer l'équation ni revenir à une recherche de tous les nombres. Il ouvre une seconde suite avec le point de départ trois–deux et la même grande étape. Elle donne quatre-vingt-dix-neuf–soixante-dix, puis trois mille trois cent soixante-trois–deux mille trois cent soixante-dix-huit. La première suite rassemble les étapes paires de G depuis un–zéro ; la seconde, ses étapes impaires. Leur réunion restitue exactement la suite dont la descente a prouvé la complétude. Simon ne remplace pas le premier point de départ par le second : un seul des deux oublierait encore une moitié des étapes.
Sous le plafond mille, Camille peut ainsi remettre deux petites listes, dix-sept et cinq cent soixante-dix-sept dans l'une, trois et quatre-vingt-dix-neuf dans l'autre, puis les réunir dans l'ordre croissant. Le point un–zéro reste identifié comme point de calcul, pas comme paire positive. Le grand pas avait conservé la relation numérique ; c'est l'ajout du second point de départ qui a réparé la couverture des solutions. Léa conserve cette différence dans la commande, afin qu'une personne qui choisit un autre pas ne confonde pas « aucune sortie fausse » avec « aucune sortie oubliée ».
L'écart opposé possède une autre petite solution
Une seconde demande veut que x² soit inférieur de une unité à deux y². Simon note cette fois N égal à moins un. Le couple un–un convient, car un moins deux donne moins un. Appliquer G donne sept–cinq : trois plus quatre pour le premier, deux plus trois pour le second. La vérification est quarante-neuf moins cinquante. Une nouvelle application donne quarante et un–vingt-neuf, puis deux cent trente-neuf–cent soixante-neuf. Ces couples ne peuvent être rangés dans le dossier précédent en changeant seulement la légende : leurs écarts calculés ont réellement le signe opposé.
G conserve N quel que soit son signe, mais Simon doit vérifier de nouveau que H réduit toute solution positive de cette autre demande. Avec y égal à deux, x² devrait valoir sept, qui n'est pas un carré entier. Au-dessus du couple un–un, y est donc au moins trois. L'égalité x² égal à deux y² moins un donne x inférieur à trois demis de y, donc trois y moins deux x positif. Elle donne aussi x supérieur à quatre tiers de y pour y au moins trois, puisque deux y² moins un dépasse seize neuvièmes de y². Le premier nombre de H est positif lui aussi.
Pour ces mêmes solutions, x est supérieur à y : deux y² moins un dépasse y² quand y est supérieur à un. Le nouveau second nombre de H est donc strictement plus petit. Simon retrouve une descente entière qui garde l'écart moins un jusqu'au couple un–un. Il s'arrête là : appliquer encore H donnerait moins un–un, dont la première coordonnée n'est plus positive et dont la seconde n'a pas diminué. Le petit couple d'arrêt n'est donc pas remplacé par un–zéro, qui aurait le mauvais signe d'écart. La procédure complète change son point d'arrêt en même temps que la demande.
Léa conserve les deux générations côte à côte. Trois–deux démarre les solutions positives de l'écart un ; un–un démarre celles de l'écart moins un. Elles utilisent la même transformation G, mais pas le même point de départ. Avec x au plus égal à mille, la seconde liste contient un, sept, quarante et un et deux cent trente-neuf comme premières coordonnées. La suivante, mille trois cent quatre-vingt-treize, dépasse la limite. Simon garde l'écart avec chaque couple plutôt que de réunir les deux listes sous une étiquette qui effacerait la différence demandée.
Une autre transformation change le signe à chaque passage
Camille propose J : x plus deux y pour le premier nombre, x plus y pour le second. Depuis un–zéro, J donne un–un. Depuis un–un, elle donne trois–deux ; puis sept–cinq et dix-sept–douze. Cette suite semble parcourir les réponses des deux dossiers tour à tour. Simon calcule ce qu'elle conserve réellement. Le carré de x plus deux y moins deux fois le carré de x plus y vaut moins x² plus deux y², soit l'opposé de N. J n'est donc pas une autre transformation qui garderait l'écart un ; elle en inverse le signe à chaque application.
Appliquer J deux fois donne trois x plus quatre y, puis deux x plus trois y, exactement G. Les deux dossiers fixes correspondent ainsi aux deux parités d'étape de J depuis un–zéro. Après une étape, l'écart vaut moins un ; après deux, il vaut un ; après trois, moins un à nouveau. Simon peut employer J pour produire un inventaire réunissant expressément les deux signes, mais il doit sélectionner les étapes paires pour la commande de l'écart un. Remettre sept–cinq dans ce dernier dossier serait une erreur de commande, malgré la place correcte de cette paire dans la suite alternée.
Léa donne une demande différente, où les deux signes sont acceptés et où x doit être positif, y non nul et x au plus égal à vingt. Simon conserve alors un–un, trois–deux, sept–cinq et dix-sept–douze. L'étape suivante de J, quarante et un–vingt-neuf, dépasse vingt. Les deux preuves de descente précédentes assurent qu'il n'a pas manqué une autre paire sous la limite ; la suite alternée ordonne maintenant leur réunion. Sur la fiche, Simon inscrit le signe calculé à côté de chacune. Le changement de permission a ajouté des réponses sans rendre faux les anciens dossiers où un seul signe était admis.
Des rangées en escalier peuvent être remises en carré
Léa confie enfin une autre page créée : des rangées contiennent successivement une, deux, trois cases, jusqu'à n cases dans la dernière. Elle veut que le nombre total soit exactement le carré d'un entier m. Le total vaut n fois n plus un divisé par deux. Simon ne cherche pas à conserver les mêmes nombres x et y comme dimensions du nouveau dessin. Il transforme la condition : multiplier le total par huit et ajouter un donne le carré de deux n plus un. En posant x égal à deux n plus un et y égal à deux m, il retrouve précisément x² moins deux y² égal à un.
Il vérifie que cette transformation peut être inversée dans tout son inventaire de solutions de l'écart un. L'équation implique que x est impair, puisqu'au contraire un x pair donnerait un membre gauche pair. Un carré impair vaut un modulo quatre. L'équation modulo quatre exige donc que deux y² soit divisible par quatre ; y doit être pair. Simon peut ainsi reprendre n égal à x moins un divisé par deux, et m égal à y divisé par deux, avec des entiers. Il ne garde pas seulement les solutions dont ces divisions fonctionneraient par chance : la parité nécessaire vient de leur égalité exacte.
Le couple trois–deux donne n égal à un et m égal à un : la seule rangée contient une case, déjà carrée. Dix-sept–douze donne n égal à huit et m égal à six. Les huit rangées contiennent trente-six cases, qui peuvent être comptées comme six fois six. Quatre-vingt-dix-neuf–soixante-dix donne quarante-neuf rangées et un côté de trente-cinq, donc mille deux cent vingt-cinq cases. Simon garde les deux présentations du même total, sans prétendre que la règle aurait déjà décrit comment déplacer physiquement les cases d'une présentation à l'autre.
Léa impose cette fois un plafond de mille cases au total. La présentation huit rangées, côté six, reste admise avec ses trente-six cases. Celle de quarante-neuf rangées, côté trente-cinq, le dépasse avec mille deux cent vingt-cinq. Comme les solutions de l'écart un sont toutes générées et croissent, Simon sait que les rangées admissibles sous ce plafond sont seulement une et huit. Un dessin ayant un nombre de rangées inférieur à mille n'est pas pour autant admis : la limite porte ici sur la somme des cases, pas sur le dernier rang. Il remet trente-six comme plus grand total carré permis sous cette commande.
Camille lit une autre commande où seul le nombre de rangées est limité à mille. Simon reprend alors le couple cinq cent soixante-dix-sept–quatre cent huit : il donne deux cent quatre-vingt-huit rangées et un côté de deux cent quatre. Leur total est quarante et un mille six cent seize. La solution suivante donnerait mille six cent quatre-vingt-une rangées, donc dépasserait la nouvelle limite. Simon peut accepter deux cent quatre-vingt-huit rangées, bien que leur total excède mille ; il ne réutilise pas le refus de la commande précédente, qui portait sur une autre quantité.
Ces deux plafonds produisent des remises réellement différentes. Pour mille cases, Léa reçoit huit rangées et trente-six cases. Pour mille rangées, elle reçoit deux cent quatre-vingt-huit rangées et quarante et un mille six cent seize cases. Chaque résultat garde sa conversion en x et y et la borne qui a arrêté son inventaire. La croissance permet de couper la liste ; la descente permet de la déclarer complète ; la conversion permet de savoir quelle quantité la commande doit borner. Retirer l'une de ces trois relations ferait perdre une partie de la justification, même si les premiers nombres calculés restaient inchangés.
Simon remet les deux signes d'écart dans leurs dossiers séparés, le grand pas avec ses deux points de départ et les rangées avec leur plafond exact. Il ne transforme ni un point de calcul nul ni un couple du mauvais signe en réponse positive par un changement de légende. Les opérations restent sur cette page fictive : aucune dimension d'un objet réel, propriété d'une estampe ou méthode de conservation ne se déduit de l'inventaire. La dernière liste peut être reconstruite depuis les commandes et les égalités qui l'ont réellement produite.
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