Un dossier contient davantage d'images avec une légende complète qu'un autre. La première réaction consiste à le déclarer mieux renseigné partout, puis à lui confier toutes les pages du livre familial. Pourtant, son avantage global peut venir de la composition de son ensemble. Il peut comporter surtout des portraits isolés, alors que l'autre réunit davantage de groupes. Pour décider ce que le livre montrera, nous suivrons deux collections dessinées, avec des nombres entièrement créés et un critère explicite.
Nous appelons P et Q deux ensembles distincts de cinquante dessins chacun. Aucun dessin n'appartient aux deux. Un portrait isolé montre une seule personne ; une image de groupe en montre plusieurs. Dans notre convention, une légende est complète lorsque toutes les personnes représentées sont nommées. P contient dix portraits isolés, dont neuf à légende complète, et quarante groupes, dont vingt à légende complète. Q contient quarante portraits isolés, dont trente-deux complets, et dix groupes, dont quatre complets. Ces informations sont stipulées : aucune photographie ou archive de famille réelle n'a été observée, et aucune identification n'a été exécutée pour obtenir nos valeurs.
Le Met nomme les trois sœurs Wyndham.
Le Met identifie Madame X par un nom.
La National Gallery décrit une scène en bateau.
Nous avons consulté ces notices textuelles, sans examiner leurs images. Elles ne donnent pas les résultats de nos deux collections. Nous ne leur attribuons ni notre critère de légende complète ni une règle statistique pour choisir un livre. Les décisions ci-dessous portent sur les ensembles créés et les demandes éditoriales que nous leur associons. Le mot complet signifie seulement que le critère de noms posé dans l'exercice est rempli, pas que tout le contexte d'une image serait connu.
Le total donne bien un avantage à Q
Dans P, neuf portraits isolés et vingt groupes possèdent une légende complète. Nous avons donc vingt-neuf dessins complets sur cinquante, soit 58 %. Dans Q, trente-deux portraits et quatre groupes donnent trente-six dessins complets sur cinquante, soit 72 %. La rédactrice du livre peut dire que Q contient sept dessins complets de plus que P et que sa proportion globale est supérieure. Elle inscrit les deux nombres de dessins avec les deux proportions, afin que l'avantage annoncé demeure attaché aux ensembles comparés.
Elle retire cependant une première formulation qui faisait des trente-six dessins trente-six personnes identifiées. Chaque image complète de groupe peut contenir plusieurs personnes. Notre donnée porte sur l'image et sa légende, sans donner le nombre exact de personnes dans chaque groupe. Elle conserve donc trente-six dessins complets, puis laisse le nombre de personnes hors de ce bilan. Ce changement ne modifie pas les calculs 58 et 72. Il ajuste ce que les nombres désignent avant de les utiliser pour choisir les pages du livre.
Une autre phrase affirmait que Q avait quatorze images complètes de plus. Elle confondait les quatorze points séparant 72 % de 58 % avec le nombre de dessins. La rédactrice la remplace par sept images supplémentaires sur des ensembles de cinquante. Si les ensembles avaient une autre taille, le même écart de proportions ne produirait pas nécessairement sept dessins. Ici, les deux tailles sont données et égales. Le livre peut conserver à la fois l'écart de sept dans les comptes et celui de quatorze points dans les proportions, sans employer l'un comme unité de l'autre.
Chaque catégorie donne pourtant l'avantage à P
La question change lorsque la rédactrice compare les portraits isolés seulement. P en a neuf complets sur dix :90 %. Q en a trente-deux sur quarante :80 %. Q conserve davantage de portraits isolés complets en nombre, trente-deux contre neuf, mais P a la proportion la plus élevée dans cette catégorie. La rédactrice refuse donc le titre « Q est mieux renseigné dans toutes les catégories ». Elle ne remplace pas non plus trente-deux par huit pour rendre les comptes plus semblables : huit serait le nombre correspondant à 80 % sur dix, pas le nombre observé dans notre ensemble de quarante.
Pour les groupes, P en a vingt complets sur quarante, soit 50 %, et Q quatre sur dix, soit 40 %. P possède ici à la fois le nombre et la proportion les plus élevés. Les deux catégories présentent donc un avantage de dix points pour P, alors que le total présentait un avantage de quatorze points pour Q. La rédactrice maintient tous ces résultats dans sa fiche. Elle ne corrige aucun des quatre comptes pour supprimer une différence de classement qui lui paraît gênante : les totaux sont bien les sommes des catégories et les divisions ont été faites sur leurs tailles propres.
Cette vérification change la décision de présentation. Le bilan global reste disponible pour le lecteur qui demande combien de dessins complets contient chaque collection. La page consacrée aux portraits isolés donne 90 et 80 ; celle des groupes donne 50 et 40. La rédactrice retire un badge unique « meilleur dossier » qu'elle avait placé sur Q pour les deux pages de catégorie. Elle garde les valeurs nommées, plutôt qu'un jugement qui circulerait d'une question à l'autre sans changer de sens. Aucun travailleur réel n'est évalué dans cet exercice : il s'agit de deux ensembles créés, pas du bilan d'une enquête menée avant et après une intervention.
La composition explique pourquoi le total s'inverse
P contient surtout des groupes : quarante de ses cinquante dessins, soit 80 % de l'ensemble. Ses dix portraits isolés en représentent 20 %. Q présente la composition inverse :80 % de portraits isolés et 20 % de groupes. Dans nos données, les portraits isolés possèdent une plus forte proportion de légendes complètes que les groupes, dans les deux collections. Q concentre donc beaucoup plus de son ensemble dans cette catégorie. Cette différence de composition est donnée ; nous n'en faisons pas une explication de la difficulté réelle d'identifier des personnes sur une photographie.
Pour retrouver 58 % dans P, la rédactrice prend sa proportion 90 % sur les 20 % de portraits isolés, puis sa proportion 50 % sur les 80 % de groupes. Les deux contributions sont dix-huit et quarante points du total, soit cinquante-huit. Pour Q,80 % sur ses 80 % de portraits donnent soixante-quatre points, et 40 % sur ses 20 % de groupes donnent huit, soit soixante-douze. Elle ajoute ces deux décompositions à sa feuille de préparation et retire la moyenne simple des deux proportions de catégorie. Les deux catégories n'occupaient pas la même place dans chaque ensemble.
La moyenne simple de 90 et 50 aurait donné 70 pour P, au lieu de 58. Celle de 80 et 40 aurait donné 60 pour Q, au lieu de 72. La rédactrice ne les utilise donc pas comme les proportions globales de ses collections. Ces deux moyennes changent implicitement la place relative des catégories : elles leur donnent chacune la moitié du résultat. Cette autre comparaison peut avoir un objet, mais elle n'est pas le total de P et de Q tel que leurs cinquante dessins sont répartis. La correction porte ainsi sur le mélange réellement compté, sans faire disparaître l'avantage de P à l'intérieur de chaque catégorie.
Une composition égale doit être annoncée comme un autre exercice
Pour éprouver cette différence, nous créons deux autres ensembles, P-étoile et Q-étoile. Chacun contient dix portraits isolés et dix groupes. P-étoile possède neuf portraits et cinq groupes complets ; Q-étoile huit portraits et quatre groupes complets. Ces nouvelles données sont stipulées séparément. Nous ne prétendons pas les avoir obtenues en prélevant dix groupes au hasard dans P, ni garantir que n'importe quelle sélection de dix parmi ses quarante donnerait cinq légendes complètes.
P-étoile a quatorze dessins complets sur vingt, soit 70 %. Q-étoile en a douze sur vingt, soit 60 %. Avec les catégories également présentes dans ces deux nouveaux ensembles, l'avantage de P-étoile se retrouve au total comme à l'intérieur de chaque catégorie. La rédactrice conserve cette comparaison sur une page distincte. Elle ne remplace pas les 58 et 72 de la première page par 70 et 60 comme s'ils étaient des corrections de calcul. Les deux pages donnent des collections différentes, avec un mélange différent explicitement annoncé.
Ce choix permet aussi de retirer une promesse erronée de sélection. Un rédacteur proposait de prendre dix groupes dans P et d'annoncer automatiquement cinq légendes complètes, parce que P en compte vingt sur quarante. Mais une proportion globale ne désigne pas les cinq bons dessins d'une sélection précise. P contient vingt groupes complets et vingt incomplets ; dix choisis pourraient tous appartenir à l'un de ces deux ensembles. La rédactrice refuse donc cette sélection non renseignée. Pour la page P-étoile, elle conserve les cinq complets comme une donnée nouvelle, au lieu de présenter leur présence comme une conséquence obligatoire du prélèvement imaginé.
Choisir douze images ne dépend pas seulement du meilleur pourcentage
Une demande éditoriale nouvelle est posée : le livre doit montrer douze dessins avec légendes complètes, six portraits isolés et six groupes. Les rédacteurs doivent choisir l'un des deux ensembles initiaux, P ou Q, sans emprunter des dessins à l'autre. Le nombre de douze et la répartition six-six sont les conditions données de cette proposition. Aucune page réelle, commande, autorisation de reproduction ou épreuve imprimée n'est présentée.
Dans P, neuf portraits isolés complets permettent d'en choisir six, et vingt groupes complets permettent également d'en choisir six. Les rédacteurs retiennent donc six dans chaque catégorie et les inscrivent dans leur préparation fictive. Trois portraits complets et quatorze groupes complets de P restent hors de la sélection ; les dessins incomplets ne sont pas utilisés pour remplir les douze. La proposition répond bien aux deux parts de la demande. Elle ne montre pas tous les dessins complets de P, et le titre de la page ne doit pas le laisser entendre.
Q ne fournit que quatre groupes complets. Ses trente-deux portraits complets ne compensent pas les deux groupes manquants lorsque six sont exigés. Les rédacteurs refusent donc Q pour la répartition donnée, malgré sa proportion globale 72 % plus élevée. Ils ne placent pas deux portraits isolés dans la rubrique groupes pour atteindre le nombre. Ils ne déclarent pas deux groupes incomplets complets pour conserver leur premier choix. L'avantage de Q au bilan général demeure exact ; il ne lui donne pas toutes les répartitions possibles d'images complètes. La sélection de P est motivée par les catégories effectivement demandées.
Une autre répartition peut rendre Q utilisable
Nous remplissons une alternative différente : les proches préfèrent finalement huit portraits isolés et quatre groupes, toujours avec douze légendes complètes. Cette modification est expressément acceptée avant la sélection. Les rédacteurs choisissent huit parmi les trente-deux portraits complets de Q et ses quatre groupes complets. Ils préparent cette autre sélection et la remettent dans notre exercice. Q répond maintenant au nouveau projet, sans avoir acquis deux groupes supplémentaires pendant la discussion.
Le commentaire conserve donc deux décisions séparées : P pour six portraits et six groupes ; Q pour huit portraits et quatre groupes dans l'alternative acceptée. Les rédacteurs retirent la phrase disant que Q avait finalement satisfait la demande initiale. Le nombre de douze est resté le même, mais la composition a changé. La répartition n'est pas un détail de présentation que l'on pourrait effacer après avoir retrouvé le total. Elle était la raison du refus de Q, puis celle qui permet de le retenir dans une autre proposition.
Un rédacteur propose alors d'étendre cette dernière page à quatorze dessins, en ajoutant deux portraits isolés complets de Q. Les proches acceptent cette nouvelle extension, donnée dans la suite. La sélection contient dix portraits et quatre groupes complets. Les rédacteurs ajoutent réellement les deux portraits choisis, puis corrigent le nombre et la répartition annoncés. Ils ne décrivent pas ces quatorze dessins comme une sélection qui contient désormais six groupes. Le nouvel ajout agrandit la page du côté où des dessins complets restaient disponibles ; il ne ferme pas le manque qui aurait empêché la première proposition six-six.
Réunir les collections ne revient pas à réunir leurs classements
Une dernière comparaison prend l'ensemble de P et de Q, sans sélection pour le livre. Leur séparation initiale garantit ici cent dessins distincts. Les vingt-neuf complets de P et les trente-six de Q donnent soixante-cinq complets, soit 65 % du nouvel ensemble. La rédactrice indique cette réunion comme une troisième collection, avec sa propre proportion. Le 65 ne remplace ni le 58 de P ni le 72 de Q lorsqu'elle présente leurs résultats séparés.
Dans la réunion, les portraits isolés sont cinquante, dix venant de P et quarante de Q. Quarante et un possèdent une légende complète, neuf plus trente-deux, soit 82 %. Les groupes sont également cinquante, quarante venant de P et dix de Q ; vingt-quatre sont complets, vingt plus quatre, soit 48 %. La composition réunie donne cette fois autant de dessins dans chaque catégorie. La moyenne 82 plus 48, divisée par deux, retrouve donc 65. La rédactrice peut la donner pour cette réunion précise, mais elle ne la réutilise pas rétrospectivement pour les collections où les catégories avaient des tailles différentes.
Les 82 % de portraits isolés réunis ne sont pas la moyenne simple des 90 et 80 de départ. Celle-ci vaudrait 85 et accorderait autant de poids aux dix portraits de P qu'aux quarante de Q. Pour les groupes, la moyenne simple des 50 et 40 donnerait 45 au lieu de 48, en traitant également les quarante de P et les dix de Q. La rédactrice retire ces deux moyennes de sa fiche de réunion et conserve les comptes quarante et un sur cinquante, puis vingt-quatre sur cinquante. La comparaison garde ainsi la place de chaque collection à l'intérieur des catégories, après avoir déjà vérifié la place des catégories à l'intérieur de chaque collection.
Un bilan exact peut permettre de retrouver une composition perdue
Nous ajoutons un travail de fiche entièrement construit. Une version abrégée de P a perdu les tailles des deux catégories, mais conserve cinquante dessins,29 légendes complètes,90 % de portraits isolés complets et 50 % de groupes complets. Les deux catégories sont présentes et les proportions sont données comme exactes, sans arrondi. La rédactrice doit remplir les deux tailles dans cette fiche. Elle ne consulte aucun document réel pour retrouver les cases ; nous éprouvons ce que ces quatre valeurs stipulées permettent de déduire ensemble.
Elle commence par tester la proposition de vingt-cinq dessins dans chaque catégorie. Les 90 % des vingt-cinq portraits donneraient 22,5 légendes complètes, et les 50 % des vingt-cinq groupes 12,5. Le total serait trente-cinq, au lieu des vingt-neuf donnés. Surtout, les deux catégories compteraient chacune une demi-image complète, impossible dans notre critère appliqué à des dessins entiers. La rédactrice refuse cette répartition égale. Elle ne rend pas les deux nombres entiers en les arrondissant séparément : cela remplacerait les proportions exactes et ne retrouverait toujours pas le total fourni. La commodité d'une fiche divisée en deux moitiés ne suffit pas à compléter les cases.
Pour retrouver une répartition compatible, elle part d'un calcul de comparaison : cinquante dessins au taux 50 % donneraient vingt-cinq complets. Chaque portrait isolé remplaçant un groupe dans cette répartition de calcul ajoute une différence de quarante centièmes, puisque 90 % moins 50 % vaut 40 %. Les vingt-neuf complets exigent quatre de plus que vingt-cinq. Quatre divisés par quarante centièmes donnent dix portraits isolés ; les quarante autres dessins sont des groupes. La rédactrice inscrit dix et quarante dans les cases, puis vérifie neuf portraits complets et vingt groupes complets. Elle a retrouvé les tailles avec les proportions et le total réunis, sans dire que n'importe quel bilan global de 58 % aurait fourni ces tailles à lui seul.
Cette distinction règle aussi une proposition concurrente de trente portraits et vingt groupes. Elle donnerait vingt-sept portraits complets et dix groupes complets, soit trente-sept sur cinquante. Les proportions de catégorie resteraient 90 et 50, mais le total serait 74 %, pas 58 %. La rédactrice ne conserve donc pas cette composition sous le bilan de P. Elle la garde seulement comme autre répartition de calcul, expressément séparée. La correction porte sur la compatibilité des quatre valeurs à la fois : réussir les deux divisions de catégorie n'autorise pas à ignorer le total qui permet précisément de retrouver la composition perdue.
Une autre fiche abrégée affiche cinquante dessins,90 % et 50 % exacts dans les catégories, mais 60 % au total. Ce total demanderait trente légendes complètes. Avec le même calcul, l'écart de cinq au-dessus des vingt-cinq donnerait 12,5 portraits isolés, puis 37,5 groupes. Les catégories ne peuvent pas contenir ces demi-dessins. La rédactrice suspend donc cette fiche comme incompatible avec les données exactes annoncées. Elle ne remplace pas 60 par 58 uniquement parce que P existe ailleurs dans notre exercice. Il faudrait une donnée autorisant cette correction. Sa décision conserve les valeurs reçues, signale l'incompatibilité et retire cette fiche des résultats utilisables pour choisir des dessins.
Modifier le critère peut rendre une sélection possible sans identifier une personne nouvelle
Dans une nouvelle branche des ensembles initiaux, nous précisons les groupes incomplets. P possède, en plus de ses vingt groupes complets, dix groupes où au moins une personne est nommée et dix où aucune ne l'est. Q possède, en plus de ses quatre groupes complets, six groupes où au moins une personne est nommée. Les autres noms restent inconnus dans ces groupes partiels. Les proches proposent maintenant un autre critère pour la page : chaque dessin retenu doit porter au moins un nom, sans exiger que toutes ses personnes soient identifiées. Ce changement est explicitement accepté ; il n'accomplit aucune identification supplémentaire.
Avec ce critère, P dispose de trente groupes admissibles sur quarante, soit 75 %, au lieu des vingt complets précédents. Q dispose de ses dix groupes admissibles sur dix, soit 100 %, au lieu de quatre complets. Les portraits isolés gardent leurs résultats : une seule personne y figure, et l'exigence d'au moins un nom y coïncide avec celle d'une légende complète. La rédactrice sépare donc les deux colonnes de groupes et leurs critères. Elle retire la mention 100 % de légendes complètes qu'un rédacteur avait proposée pour Q. Le nouveau 100 désigne la présence d'au moins un nom sur chaque groupe, sans effacer les personnes encore non nommées.
Les proches reprennent alors la demande de six portraits isolés et six groupes, mais sous ce nouveau critère. Q peut y répondre : la rédactrice choisit six de ses portraits complets, ses quatre groupes complets et deux de ses groupes partiels. Elle inscrit effectivement cette sélection sur la fiche de page et la remet dans notre exercice. Elle ne prétend pas que Q aurait pu fournir ces six groupes sous le premier critère. Deux dessins sont devenus admissibles parce que la demande accepte désormais leurs légendes partielles, et non parce qu'une recherche aurait retrouvé leurs autres noms pendant la discussion. Le même nombre six-six correspond ici à une sélection permise par une autre exigence.
Le titre initial annonçait que toutes les personnes de la page étaient nommées. La rédactrice le retire avant la remise et annonce que chaque dessin présenté possède au moins un nom. Dans les deux groupes partiels retenus, elle garde explicitement les autres personnes non identifiées dans la légende construite ; elle ne répartit pas le nom connu entre toutes les silhouettes pour rendre le titre vrai. Les quatre groupes complets conservent leurs noms et leur statut. La page peut donc associer des légendes complètes et partielles sous le critère choisi, tout en montrant la différence que ce critère n'efface pas. La décision a changé la sélection et sa promesse au lecteur, sans changer les identités connues dans les deux ensembles.
Laisser au nombre la question qu'il peut résoudre
Le livre construit conserve trois lectures : le nombre global d'images à légende complète, les proportions propres à chaque catégorie et les dessins disponibles pour une sélection donnée. Les décisions peuvent changer lorsque la question change, sans qu'un calcul précédent devienne faux. Pour des archives réelles, il faudrait d'abord établir les ensembles, les identifications et le critère employé. Notre exercice ne fait pas cette enquête. Il montre seulement pourquoi une proportion élevée peut guider un bilan et rester insuffisante pour choisir les catégories que le livre promet effectivement de présenter.
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