Léa prépare une page fictive contenant deux formules, destinées à être comparées par Simon. Elle lui demande de trouver leur facteur commun complet, avec les multiplications qui permettent de reconstruire les deux originaux. Les lettres et les coefficients sont donnés par cette commande créée. Simon ne reçoit ni un relevé expérimental ni une image à interpréter. Une première fiche autorise des coefficients rationnels ; les suivantes changeront expressément cette permission. La page doit garder ces demandes séparées, même lorsque les mêmes signes restent visibles sur le papier.
Trois notices du Met situent des objets parmi les livres. Elles ne fournissent aucun polynôme, coefficient ou procédé de calcul à cette page.
La notice 351045 classe son objet parmi les livres.
La notice 351046 porte cette même catégorie.
La notice 351051 aussi. Aucune image de ces objets n'est examinée ici.
Une soustraction peut livrer un facteur, mais il faut encore le vérifier
Sur la première fiche, f vaut x au cube moins deux x au carré moins x plus deux. La seconde formule g vaut x au cube moins x au carré moins quatre x plus quatre. Simon soustrait f de g, coefficient par coefficient. Les cubes disparaissent ; il reste h égal à x au carré moins trois x plus deux. Cette différence n'est pas encore, par sa seule origine, une preuve que h divise les deux formules. Une différence de polynômes peut laisser un reste qui ne les divise pas. Simon effectue donc les divisions au lieu de donner aussitôt la différence comme réponse complète.
Pour diviser f par h, il commence par x : multiplier h par x donne x au cube moins trois x au carré plus deux x. La soustraction à f laisse x au carré moins trois x plus deux, exactement h. Simon ajoute donc un au quotient et le reste devient nul. Sa feuille porte f égal à h multiplié par x plus un. La première étape a retiré le terme de degré trois ; la seconde a retiré le degré deux. Il n'a ni évalué x à une position choisie ni obtenu un quotient par une approximation décimale.
Il fait le même travail sur g, sans recopier le quotient précédent. Après avoir retiré x fois h, il reste deux x au carré moins six x plus quatre, soit deux fois h. Le quotient est donc x plus deux et le reste nul. Simon remet les deux quotients différents avec le même h. Léa peut refaire chaque multiplication et retrouver tous les coefficients initiaux. Si Simon avait donné x plus un pour les deux fiches, la seconde multiplication aurait rendu f plutôt que g ; la présence d'un facteur commun n'autorise pas à fusionner leurs parties restantes.
Il reste à prouver que Simon n'a pas oublié un facteur commun plus grand. Tout polynôme divisant à la fois f et g divise aussi leur différence g moins f. Cette différence est précisément h. Puisque h divise déjà f et g, il contient donc tout facteur qu'ils peuvent partager. La feuille réunit deux preuves différentes : les divisions attestent que h est commun, tandis que la soustraction limite tous les autres facteurs communs à des diviseurs de h. Léa reçoit le facteur complet avec un certificat de maximalité, pas seulement deux produits réussis.
Camille propose x moins un, parce qu'il divise effectivement les deux originaux. Simon accepte ce constat, mais refuse d'en faire le facteur commun complet demandé. Le polynôme h se décompose en x moins un multiplié par x moins deux. Avec seulement x moins un retiré, les deux quotients garderaient encore x moins deux en commun. Léa ajoute donc ce second facteur à la remise plutôt que de déclarer la première réponse fausse en toute chose. Une réponse peut fournir un diviseur correct tout en manquant la totalité de l'objet demandé.
Simon choisit h avec un coefficient dominant égal à un. Deux fois h diviserait aussi f et g lorsque les coefficients rationnels sont autorisés : il suffirait de diviser les quotients par deux. Pour comparer les réponses, la commande exige donc ce représentant normalisé. Simon ne change pas les racines en retirant ce facteur constant. Il fixe la manière d'écrire le résultat, puis conserve séparément les quotients qui reconstruisent les formules sous cette écriture. Cette normalisation deviendra une question différente lorsqu'une fiche interdira de diviser les coefficients par deux.
Une identité donnant un ne laisse aucune racine commune
Léa remet une autre paire pour éprouver la méthode. La formule u vaut x au cube plus x plus un ; v vaut x au carré plus un. En retirant x fois v de u, Simon obtient exactement un. La division suivante, de v par un, ne laisse aucun reste. Le dernier reste non nul est donc constant, et le facteur commun normalisé vaut un. Simon fournit l'identité u moins x fois v égal à un. Le résultat ne vient pas du fait qu'il aurait essayé plusieurs valeurs de x sans rencontrer deux zéros à la même place.
Si une même valeur annulait u et v, le membre gauche de cette identité y vaudrait zéro, alors que son membre droit reste un. Simon peut donc exclure une racine commune sans connaître individuellement les racines des deux formules. Il n'affirme pas qu'aucune des deux ne possède de racine. Léa garde l'identité sur la page et retire une légende trop large qui annonçait « aucun zéro ». La décision obtenue porte sur le partage d'une racine par les deux polynômes, et non sur l'existence de tous leurs zéros pris séparément.
La différence avec la première paire est lisible dans les certificats. Pour f et g, la combinaison g moins f fournit h de degré deux, puis les divisions montrent que ce résultat divise les deux originaux. Pour u et v, la combinaison u moins x fois v fournit une constante non nulle. Aucun facteur de degré positif ne peut diviser cette constante. Simon n'a pas ajouté une règle spéciale fondée sur la taille des coefficients : la même conservation des diviseurs au cours d'une soustraction a fermé deux commandes par des sorties différentes, l'une polynomiale, l'autre constante.
Une racine répétée ne crée pas une deuxième position
La troisième fiche donne r égal à x au cube moins trois x plus deux. Léa demande cette fois quelles répétitions de facteur peuvent être retirées pour dresser une liste de positions distinctes. Simon calcule la dérivée r prime, trois x au carré moins trois, et applique les divisions exactes à r et r prime. Retirer x sur trois fois r prime de r laisse moins deux x plus deux. Diviser ensuite r prime par ce reste donne moins trois x sur deux moins trois sur deux, sans nouveau reste. Le facteur commun normalisé est x moins un.
Simon divise r par ce facteur et obtient x au carré plus x moins deux, qui se décompose en x moins un multiplié par x plus deux. La formule originale s'écrit donc x moins un au carré multiplié par x plus deux. Léa reçoit deux positions distinctes, un et moins deux, mais trois occurrences de facteurs linéaires si les répétitions sont conservées. Simon n'inscrit pas deux fois la position un dans une liste censée ne garder que les positions différentes. Il ne retire pas non plus l'exposant deux de la formule originale : la liste et la factorisation répondent à deux remises différentes.
Camille veut supprimer directement x moins un deux fois, puisqu'il apparaît au carré. Simon lui montre que cela donnerait seulement x plus deux et ferait disparaître la position un de la liste. La division par le facteur commun avec la dérivée a retiré une des deux occurrences, pas toutes les occurrences du facteur répété. Il vérifie le quotient en remultipliant par x moins un et retrouve r. La décision conserve ainsi un témoin pour chaque position tout en réduisant sa multiplicité à une ; enlever tout le facteur répété aurait produit un autre objet.
Pour comparer deux formules, Léa ajoute w égal à x moins un au cube multiplié par x plus trois. Le facteur x moins un apparaît deux fois dans r et trois fois dans w. Leur facteur commun contient donc deux occurrences, pas trois et pas cinq. Les quotients sont respectivement x plus deux et x moins un multiplié par x plus trois. Ces quotients n'ont plus de facteur commun de degré positif : leurs zéros sont moins deux, puis un et moins trois. Simon conserve le minimum des deux multiplicités dans le facteur partagé, et garde le troisième exemplaire de w dans son quotient.
Léa place les deux réponses côte à côte sans les confondre. La comparaison r avec sa dérivée avait produit x moins un ; la comparaison r avec w produit x moins un au carré. La liste des positions communes reste dans les deux cas réduite à un, mais les objets polynomiaux remis sont différents. Simon ne choisit donc pas l'exposant en comptant seulement les noms de racines distinctes. Il le vérifie dans les multiplications exactes et dans ce qui demeure commun aux quotients. La même position peut porter une information que sa présence unique dans une liste ne montre pas.
Un facteur non constant peut ne donner aucune position réelle
Une autre formule p vaut x au carré plus un, le tout au carré. Sa dérivée est quatre x multiplié par x au carré plus un. Leur facteur commun normalisé vaut x au carré plus un ; une occurrence de ce facteur peut être retirée pour donner le quotient sans répétition. Simon vérifie qu'il ne doit pas retirer aussi x : p contient un terme constant égal à un et ne s'annule pas en zéro. Les deux facteurs x et x au carré plus un n'ont rien de commun de degré positif, puisque le second moins x fois x vaut un.
Léa demande ensuite les positions réelles auxquelles p s'annule. Simon ne répond pas « deux » parce que le facteur partagé a un degré égal à deux. Pour toute valeur réelle de x, x au carré est au moins nul ; x au carré plus un est donc au moins un. Son carré reste positif. Il n'existe aucune position réelle dans cette fiche. Le facteur commun non constant et l'absence de zéro réel sont compatibles. Le premier résultat concernait une division de polynômes ; la seconde demande a ajouté le domaine des positions autorisées.
Cette fiche change concrètement la page à remettre. La rubrique « facteur répété » contient x au carré plus un et sa multiplicité dans p. La rubrique « positions réelles » reste vide, accompagnée de la borne positive que Simon vient de calculer. Camille ne remplit pas ce vide avec deux positions imaginées pour conserver le degré comme nombre de lignes. Si la commande autorisait des nombres complexes, il faudrait annoncer ce nouveau domaine ; cela ne ferait pas apparaître des positions réelles dans la version qui vient d'être vérifiée.
Passer aux restes peut fabriquer un facteur qui n'existait pas avant
Léa donne maintenant a égal à x au carré moins un et b égal à x au carré plus un. Sur la fiche rationnelle, b moins a vaut deux. En divisant cette identité par deux, Simon obtient moins un demi fois a plus un demi fois b égal à un. Le facteur commun normalisé vaut donc un. Il laisse les deux coefficients fractionnaires visibles dans le certificat. Ils ne sont pas des arrondis de moins un et un ; remplacer les demis par ces entiers changerait le membre droit en deux et ferait perdre l'identité annoncée.
Camille propose de vérifier les mêmes formules en ne gardant que les restes modulo deux. Dans ce calcul, moins un et plus un deviennent tous deux le reste un. Les deux polynômes reçus sont alors identiques : x au carré plus un. Leur facteur commun a maintenant le degré deux. Il s'écrit même x plus un au carré, parce que le terme médian deux x disparaît modulo deux. Simon inscrit ce résultat sur la fiche modulo deux, sans le reporter comme facteur commun de la paire rationnelle qui avait donné un.
Le certificat aux demis ne peut pas être copié dans cette fiche. Le nombre deux est nul modulo deux et ne possède aucun inverse ; « un demi » n'y désigne donc pas un coefficient autorisé. Simon multiplie d'abord l'ancienne identité par deux pour obtenir b moins a égal à deux, avec des coefficients entiers. Sa réduction modulo deux donne zéro égal à zéro. Cette égalité reste vraie, mais elle n'interdit plus un facteur commun non constant. Le certificat n'a pas été réfuté dans son ancien domaine : une opération essentielle à sa forme normalisée a cessé d'être disponible dans le nouveau.
Pour distinguer cet incident d'une disparition universelle des certificats, Léa ouvre une fiche modulo trois. La différence b moins a vaut encore le reste deux, mais deux y possède l'inverse deux. Multiplier la différence par deux donne le reste un, car quatre se réduit à un. Simon retrouve donc un certificat constant et un facteur commun normalisé égal à un. La paire modulo deux ne permet pas de conclure que toutes les réductions produiront le facteur de degré deux. Les deux calculs exposent exactement la permission qui a changé, l'inversion ou non du coefficient deux.
Une dérivée nulle oblige à changer la réduction des répétitions
Léa revient au polynôme x au carré plus un, mais garde expressément la fiche modulo deux. Sa dérivée formelle vaut deux x, donc le polynôme nul dans ce calcul. La comparaison avec cette dérivée donne comme facteur commun le polynôme entier x au carré plus un : tout facteur du premier divise aussi zéro. Si Simon divisait aveuglément par ce facteur, il obtiendrait un et annoncerait qu'aucun facteur de degré positif ne doit rester dans la liste sans répétition. Pourtant la formule reçue est le carré de x plus un. Ce résultat aurait retiré jusqu'à la dernière occurrence qu'il fallait conserver.
Simon utilise donc ici les coefficients et exposants de la formule reçue. Tous ses exposants non nuls sont pairs, et les coefficients zéro et un sont leurs propres carrés modulo deux. La formule est exactement le carré de x plus un. Il prend ce polynôme comme racine carrée formelle, puis vérifie sa dérivée : elle vaut un, qui n'a pas de facteur commun non constant avec x plus un. La liste sans répétition peut maintenant garder x plus un. Simon a réalisé une extraction avant la vérification ; il n'a pas obtenu cette sortie en donnant artificiellement une dérivée non nulle à la formule initiale.
La feuille conserve les deux multiplications qui rendent ce détour contrôlable. X plus un multiplié par lui-même donne x au carré plus deux x plus un ; modulo deux, ce produit redevient exactement x au carré plus un. La comparaison du facteur extrait avec sa dérivée un ne retire rien. Léa reçoit donc une occurrence du facteur et le renseignement séparé selon lequel son carré reconstruisait la formule. Cette procédure est donnée pour ce cas à coefficients modulo deux. Simon n'en fait pas une permission de prendre une racine carrée arbitraire dans la première paire rationnelle.
Un facteur commun constant ne garantit pas un certificat entier égal à un
La dernière commande interdit les fractions dans les polynômes qui serviront de coefficients au certificat. Elle donne x et x plus deux. Leur facteur commun normalisé est un lorsqu'on travaille sur les rationnels : la différence du second et du premier vaut deux, puis sa division par deux vaut un. Les deux polynômes n'ont pas de facteur commun de degré positif à coefficients entiers non plus. Simon distingue pourtant cette absence de facteur de la demande nouvelle : fabriquer un comme combinaison des deux avec uniquement des coefficients entiers.
Il suppose qu'une telle combinaison existe et l'évalue en zéro. Le terme multiplié par x disparaît. Le terme multiplié par x plus deux devient deux fois un nombre entier, la valeur en zéro de son coefficient polynomial. Le membre gauche serait donc pair, tandis que le membre droit demandé est un. Cette contradiction interdit le certificat entier annoncé, quels que soient les degrés des deux coefficients polynomiaux envisagés. Simon n'a pas seulement essayé deux petites constantes avant d'abandonner : l'évaluation en zéro exclut toute cette classe de combinaisons.
Camille peut cependant remettre le certificat entier x plus deux moins x égal à deux. Simon le conserve avec son membre droit exact. Sur la fiche rationnelle, les coefficients un demi et moins un demi transforment ce deux en un ; sur la fiche entière, la division reste interdite. Léa ne renomme donc pas le deux « unité » pour fermer la commande. Elle reçoit un refus pour le certificat entier égal à un, à côté d'un facteur commun constant et d'une combinaison entière réelle. Ces trois résultats peuvent être vrais ensemble sans changer les formules données.
La réduction modulo deux éclaire la même obstruction sans remplacer sa preuve. Les deux polynômes entiers deviennent tous deux x, dont le facteur commun a un degré égal à un. Si une combinaison entière avait produit un avant réduction, elle aurait aussi produit un après réduction ; mais toute combinaison des deux x reste divisible par x. Simon retrouve ainsi l'impossibilité par une seconde voie. Cette comparaison ne lui donne pas une nouvelle combinaison rationnelle : elle confirme pourquoi la permission de diviser par deux était nécessaire à celle qu'il possédait déjà.
Léa remet finalement les facteurs avec leurs quotients, les listes de positions avec leur domaine et les certificats avec leurs coefficients autorisés. Les deux premiers cubes partagent h ; le polynôme répété garde un exemplaire de chaque facteur dans sa liste réduite ; la réduction modulo deux change effectivement la paire et rend une dérivée nulle. Le dernier certificat entier demeure refusé. La page conserve ces sorties sous leurs commandes propres, sans prétendre que le mot « commun » désignerait un seul objet dans toutes les demandes.
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