Lina prépare une page entièrement inventée pour un livre privé. Elle donne à Noé deux couches numérotées A et B, puis lui demande de conserver leur effet lorsqu'elle changera le fond. Noé veut d'abord lui remettre seulement la valeur finale de la page. Leur choix devra préciser ce que cette valeur contient déjà, ce qui dépend du fond et ce qu'une couche nouvelle pourra encore changer.
Une notice du Met présente un dessin.
Une autre notice du Met présente une peinture.
Une troisième notice du Met présente un dessin.
Ces notices ont été lues textuellement. Aucun sujet, forme ou procédé des œuvres n'est repris. Les valeurs et les opérations suivantes sont données pour notre page créée.
Nous utilisons un nombre entre zéro et cent pour chaque fond ou couche. Il ne représente ni une couleur perçue, ni une quantité d'encre, ni une mesure d'une image réelle. Une couche possède une valeur c et un poids a entre zéro et un. Nous stipulons son opération : partir du fond g, en garder la part un moins a, puis ajouter a fois c. Le résultat est donc (1−a)g+ac. Les mots couche et fond nomment ces données de notre exercice ; nous ne certifions aucun logiciel, procédé d'impression ou norme de contraste.
La seconde couche rencontre déjà le résultat de la première
Lina donne un fond de vingt. A possède la valeur cent et le poids un demi ; B possède zéro et le même poids. Elle demande A d'abord, B ensuite. Noé calcule A : la moitié de vingt, dix, plus la moitié de cent, cinquante, donnent soixante. B doit ensuite agir sur ce soixante, pas sur le vingt initial. Elle en garde une moitié et ajoute une moitié de zéro. La page finit donc à trente. Lina reçoit la liste vingt, soixante, trente avec les deux couches dans l'ordre demandé.
Noé avait préparé deux calculs indépendants : A sur vingt donnait soixante, B sur vingt donnait dix. Il proposait de faire ensuite la moyenne de ces deux résultats, trente-cinq. Lina refuse cette réponse. Les deux calculs indépendants ont chacun rencontré le fond original, alors que B devait rencontrer le résultat d'A. Elle conserve trente pour la page et garde trente-cinq sur la fiche de la tentative refusée. Changer l'ordre de préparation des calculs sur la table ne change pas leur entrée : la seconde opération a besoin du nombre produit par la première.
Dans l'ordre inverse, Noé applique d'abord B à vingt et obtient dix, puis A à dix : cinq plus cinquante donnent cinquante-cinq. Les mêmes deux valeurs et les mêmes deux poids n'ont donc pas fourni la même page. Lina remet à Noé deux bandes de travail portant trente et cinquante-cinq, sans choisir une photographie à laquelle ces nombres devraient ressembler. Elle veut retenir la première bande pour la version présente. Noé inscrit A puis B sur sa fiche ; conserver seulement les deux noms sans leur ordre laisserait encore deux opérations différentes.
Lina demande pourquoi A ne disparaît pas complètement lorsqu'on pose B après elle. B ne garde pas zéro du nombre rencontré ; elle en garde la moitié. Les cinquante ajoutés par A au premier passage contribuent donc encore pour vingt-cinq au résultat final. Le fond original avait contribué pour dix après A, puis pour cinq après B. La page trente se décompose ainsi en vingt-cinq venus d'A, zéro venu de B et cinq venus du fond. Noé peut retirer le faux commentaire qui appelait B « remplacement complet par zéro » : ce remplacement aurait demandé un poids égal à un.
Deux poids d'un demi ne rendent pas le fond absent
Noé additionne ensuite les deux poids un demi et annonce un. Il voudrait alors livrer une couche entièrement indépendante du fond. Lina reprend la part du fond : A en gardait une moitié et B garde une moitié de cette moitié. Il en reste un quart. Sous ces deux couches, le fond vingt contribuait pour cinq ; un fond quatre-vingts contribuerait pour vingt. Les deux poids ne se sont pas additionnés comme deux surfaces disjointes qui couvriraient chacune une moitié différente de la page. Chaque opération a agi sur le nombre entier reçu.
Lina choisit justement quatre-vingts comme nouveau fond. A donne quarante plus cinquante, soit quatre-vingt-dix. B en garde quarante-cinq. Noé reçoit donc quarante-cinq pour la même pile A puis B. Il ne conserve pas trente comme valeur invariable de ses couches. Les quinze supplémentaires proviennent du changement de soixante dans le fond, dont la pile garde un quart. Lina prépare sa nouvelle page avec quarante-cinq et conserve l'ancienne avec trente. Aucun paramètre des couches n'a été modifié entre ces deux réalisations ; c'est la donnée située avant elles qui a changé.
La pile a donc un poids effectif de trois quarts, puisqu'elle laisse un quart du fond. Noé essaie de donner à cette couche regroupée la valeur cinquante, moyenne de cent et zéro. Sur vingt, elle produirait un quart de vingt, cinq, plus trois quarts de cinquante, trente-sept et demi, soit quarante-deux et demi. Lina rejette cette réponse. La moyenne simple des deux valeurs ne tient pas compte du fait qu'A traverse encore B et que B arrive en dernier. Elle a demandé une opération équivalente à la pile, pas une troisième opération choisie parce que ses valeurs semblent symétriques.
Ils gardent alors les vingt-cinq qui viennent d'A après B, et cherchent la valeur c de la couche regroupée de poids trois quarts. Trois quarts de c doivent donner vingt-cinq ; c vaut donc cent tiers. Avec un fond vingt, le regroupement donne cinq plus vingt-cinq, trente. Avec quatre-vingts, il donne vingt plus vingt-cinq, quarante-cinq. Lina retient cette couche regroupée : poids trois quarts, valeur cent tiers. Le nombre fractionnaire n'est pas une imperfection à arrondir avant la remise. Il conserve exactement les deux opérations données pour tous les fonds autorisés dans ce modèle.
Un aperçu déjà calculé n'est pas la valeur de la couche regroupée
Noé essaie maintenant de conserver trente comme valeur c, puisqu'il l'avait effectivement obtenu dans l'ancienne page. Il garde le poids trois quarts. Sur vingt, sa proposition donne cinq plus vingt-deux et demi, soit vingt-sept et demi. Elle ne reproduit même plus l'ancienne page trente. Lina lui montre ce qui a été confondu : trente comprenait déjà les cinq issus du fond vingt. Le mettre dans c puis ajouter encore un quart du fond ne revient pas à reprendre les vingt-cinq propres aux couches. L'aperçu n'avait pas été livré comme une contribution indépendante.
Sur le nouveau fond quatre-vingts, cette même erreur produit vingt plus vingt-deux et demi, soit quarante-deux et demi, au lieu de quarante-cinq. Noé voulait conserver l'ancienne page pour travailler sur un fond nouveau ; il constate maintenant qu'il a fabriqué une opération différente. Lina lui remet la contribution vingt-cinq séparée du coefficient un quart appliqué au fond. Avec ces deux nombres, il calcule directement vingt-cinq plus un quart de g. Il n'a plus besoin d'extraire une couleur de l'aperçu trente pour reconstruire ce que les couches apportaient.
Noé peut aussi décider de conserver l'aperçu comme un nombre complet, sans aucun fond futur en dessous. Il le traite alors comme une couche de poids un et de valeur trente. Le résultat reste trente sur vingt comme sur quatre-vingts. Lina accepte cette proposition pour une autre commande, celle d'une page définitivement figée. Elle la refuse pour sa commande présente, qui devait adapter la même pile au changement de fond. Les deux remises restent possibles : l'une conserve le résultat ancien, l'autre conserve l'opération qui permettra d'en produire un nouveau. Elles ne répondent pas à la même suite de travail.
Regrouper les opérations ne permet pas d'inverser leur ordre
Dans la pile inverse, B puis A, la part conservée du fond reste un quart. En revanche, A ajoute cinquante en dernier. Le regroupement doit donc conserver cinquante plus un quart de g, et sa valeur c de poids trois quarts devient deux cents tiers. Sur le fond vingt, cinq plus cinquante donnent bien cinquante-cinq. Noé avait gardé cent tiers sous le même nom « deux couches ». Lina retire cette fiche : le poids final commun ne suffisait pas à décrire la contribution différente. Elle inscrit l'ordre avec le couple contribution, part du fond.
Lina peut maintenant comparer les deux opérations sans préparer chaque fond séparément. A puis B donne vingt-cinq plus un quart de g ; B puis A donne cinquante plus un quart de g. Leur différence est toujours moins vingt-cinq, quel que soit g entre zéro et cent. Noé essaie de chercher un fond qui rendrait les deux piles égales. Il ne le trouve pas, et les deux expressions expliquent pourquoi : changer g ajoute exactement la même quantité aux deux. Lina retire donc cette recherche de sa préparation et garde le choix d'ordre comme la décision qui distingue les deux versions.
Elle ne transforme pourtant pas cette différence en une règle disant que toute inversion de couches change le résultat. Dans une branche où A et B portent toutes deux la valeur cent, avec leurs poids un demi, les deux opérations donnent soixante-dix-cinq plus un quart de g. Si A possède un poids zéro, elle laisse simplement son entrée inchangée et l'ordre avec B n'a plus cet effet. Noé conserve ces deux contrôles limites sur sa fiche. Ils lui permettent de dire pourquoi la différence observée vient de deux valeurs distinctes réellement actives, pas de la seule présence de deux noms dans une pile.
Réduire l'effet de l'ordre peut contredire la conservation de la page
Dans une branche supplémentaire, Lina autorise des poids nouveaux, mais garde cent pour A et zéro pour B. Elle souhaite que l'écart entre les deux ordres ne dépasse plus dix, tout en conservant un quart du fond. Pour des poids a et b, les deux opérations gardent chacune (1−a)(1−b) du fond. Leurs contributions diffèrent de cent fois a fois b dans ce cas. Le nouveau critère demande donc un produit ab au plus égal à un dixième ; le poids final de trois quarts ne fournit pas à lui seul ce produit.
Noé choisit a égal à cinq septièmes et b à un huitième. La part du fond vaut deux septièmes fois sept huitièmes, soit un quart, comme demandé. Le produit ab vaut cinq cinquante-sixièmes ; l'écart entre ordres vaut donc cent vingt-cinq quatorzièmes, inférieur à dix. Lina contrôle la page sur vingt. A puis B y apporte cinq huitièmes de cent, soit soixante-deux et demi, plus cinq issus du fond : soixante-sept et demi. Dans l'autre ordre, A apporte cinq septièmes de cent en dernier, avec les mêmes cinq du fond. Leur écart réduit est atteint, mais le premier résultat ne vaut plus trente. Lina peut retenir cette proposition pour une page moins sensible à l'ordre ; elle ne peut pas annoncer que la page ancienne a été conservée parce que sa part du fond est demeurée un quart.
Elle demande alors de conserver également trente sur vingt, sans changer les valeurs cent et zéro. Les cinq issus du fond étant fixés, A doit encore apporter vingt-cinq après B : a(1−b) vaut un quart. La condition sur le fond donnait (1−a)(1−b) égal à un quart. En additionnant ces deux égalités, Noé retrouve 1−b égal à un demi, puis b égal à un demi ; la première égalité impose à son tour a égal à un demi. Les anciens poids sont donc les seuls permis par cette double conservation, et leur écart reste vingt-cinq. Lina retire la demande d'écart au plus dix de la version qui doit garder trente. Elle conserve l'autre version aux poids cinq septièmes et un huitième comme choix différent. Leur refus ne repose pas sur l'échec d'un essai particulier : les deux conditions conservées avaient fixé les paramètres qui empêchent le nouveau critère.
Une troisième couche peut réduire la différence sans l'effacer
Lina ajoute maintenant C, de valeur cinquante et de poids un demi, après chacune des deux piles sur le fond vingt. Elle obtient une moitié de trente plus vingt-cinq, soit quarante, pour A puis B puis C. Dans l'autre ordre des deux premières couches, une moitié de cinquante-cinq plus vingt-cinq donne cinquante-deux et demi. Noé constate que C rencontre deux entrées différentes. Il ne peut pas garder quarante pour les deux pages au seul motif que leur dernière couche est désormais identique. La différence de vingt-cinq a été réduite à douze et demi, mais demeure.
Pour rendre les deux pages identiques à cette étape, Lina donne à C un poids un dans une branche séparée. C ne garde alors rien de son entrée et impose cinquante. Les deux pages finissent bien à cinquante. Noé lui remet ce choix avec le nouveau poids, au lieu de retirer l'ordre des deux premières couches de leur historique. La donnée qui efface leur différence est précise : elle abandonne entièrement les résultats antérieurs à C. Lina choisit cette branche seulement pour la page où elle veut une valeur finale fixe. Elle conserve C à un demi lorsqu'elle veut encore laisser intervenir les couches préparées.
Ils essaient ensuite de regrouper A, B et C à un demi sans calculer l'aperçu intermédiaire. A puis B apportait vingt-cinq et gardait un quart du fond. C en garde une moitié, puis ajoute vingt-cinq : la nouvelle contribution devient trente-sept et demi, et la part du fond un huitième. Sur vingt, trente-sept et demi plus deux et demi donnent quarante. Le poids effectif est sept huitièmes. Noé remet ces paramètres à Lina pour conserver la pile complète sur un fond futur. La valeur de cette couche regroupée doit être trois cents septièmes, puisque sept huitièmes de cette valeur donnent trente-sept et demi.
Lina contrôle cette remise sur quatre-vingts. La pile A puis B y donnait quarante-cinq ; C à un demi la porte à quarante-sept et demi. Le regroupement ajoute également dix, un huitième de quatre-vingts, aux trente-sept et demi propres aux couches. Noé garde donc la même opération regroupée pour les deux fonds. Il ne remplace pas sa contribution par l'aperçu quarante de l'ancienne page. Chaque regroupement a conservé séparément la part du fond, même lorsque les trois couches semblaient déjà former une page complète sur le premier essai.
Arrondir après chaque couche change une autre donnée du travail
Une dernière branche utilise de très petites valeurs pour rendre visible l'effet d'un arrondi. Le fond vaut zéro ; une première couche vaut un avec un poids un demi, puis une seconde vaut zéro avec le même poids. Sans arrondi intermédiaire, la première donne un demi et la seconde un quart. Lina choisit de n'arrondir qu'au résultat final, vers l'entier le plus proche, en montant exactement à la moitié. Un quart devient donc zéro. Noé remet cette sortie avec la valeur exacte un quart qui la précédait.
S'il arrondit dès le premier passage selon la même règle, un demi devient un. La seconde couche rencontre alors un et produit un demi, qui est à nouveau arrondi à un. Lina reçoit donc un dans cette autre méthode, pas zéro. La règle d'arrondi n'a pas changé ; l'endroit où elle intervient a changé les nombres que les opérations suivantes reçoivent. Elle choisit de conserver les fractions jusqu'au dernier passage pour cette page. Noé retire le premier arrondi de sa fiche et rétablit un demi comme entrée de la seconde couche. Il n'obtient pas cette correction en arrondissant autrement le un déjà livré.
Lina doit aussi décider ce qu'elle peut regrouper. Sans arrondi intermédiaire, les deux couches de cette petite branche conservent un quart du fond et apportent un quart. Avec l'arrondi intermédiaire, cette expression ne décrit plus toutes les entrées. Pour un fond zéro, la sortie entière est un ; pour un fond un, la première couche donne un, la seconde un demi puis un. Ces deux sorties ne suffisent pas à retrouver la même opération exacte un quart plus un quart de g suivie d'un seul arrondi : celle-ci donnerait zéro puis un. Noé conserve donc l'arrondi intermédiaire comme une étape explicite s'il doit livrer cette autre méthode.
Deux couvertures de moitié peuvent se rencontrer ou se séparer
Lina ouvre une autre page fictive composée de deux zones de même taille, gauche et droite, chacune avec le fond vingt. Les valeurs cent pour A et zéro pour B restent données, mais leurs poids sont maintenant déclarés zone par zone. Une couche présente possède le poids un et une couche absente le poids zéro. Chaque couche devra être présente dans une seule des deux zones : elle couvre donc une moitié de la page. Cette présence par zones est une donnée nouvelle, distincte du poids un demi appliqué uniformément à chaque endroit dans le premier modèle.
Noé place d'abord A et B toutes deux à gauche, dans cet ordre. A remplace vingt par cent dans cette zone, puis B remplace cent par zéro. À droite, aucune des deux couches n'agit : vingt reste vingt. La moyenne des deux sorties vaut dix. Il essaie ensuite A à gauche et B à droite. La zone gauche reçoit cent et ne reçoit pas B ; la droite reste à vingt après l'absence d'A, puis B la porte à zéro. La moyenne vaut cinquante. Les deux couvertures restent pourtant d'une moitié chacune dans les deux dispositions. Remplacer chaque poids par sa moyenne un demi aurait donné trente, comme dans la pile uniforme initiale, sans décrire l'une ni l'autre de ces pages. Noé doit conserver où les deux couches se rencontrent : leurs couvertures séparées ne renseignaient pas ce recouvrement.
Lina demande maintenant cent à gauche et zéro à droite, pas seulement une moyenne élevée. Noé lui remet donc A avec les poids un, zéro, puis B avec zéro, un. Il retire de la fiche les deux poids moyens qui auraient masqué cette séparation et garde les deux valeurs finales avec leurs zones. Les poids moyens peuvent servir à décrire la moitié couverte ; ils ne suffisent pas à calculer cette remise. Dans la disposition où B suivait A au même endroit, elle rencontrait cent et effaçait justement son effet ; dans la disposition retenue, elle rencontre encore le fond vingt à droite. La nouvelle décision a changé l'entrée locale de B en changeant le recouvrement, sans changer sa valeur ni la moitié qu'elle couvre. Lina conserve cette page dans une branche distincte et n'appelle pas sa moyenne cinquante une correction du trente calculé pour des poids uniformes.
La fiche retenue conserve l'opération demandée
Pour la page présente, Lina retient A puis B sans arrondi intermédiaire, sur le fond nouveau quatre-vingts. La valeur finale vaut quarante-cinq. Elle garde aussi l'opération regroupée qui apporte vingt-cinq et conserve un quart du fond, afin de pouvoir encore changer ce dernier. La page fixe trente, l'ordre inverse et C entièrement remplaçant restent dans leurs branches distinctes. Noé lui remet les paramètres, l'ordre et la place des arrondis avec la valeur finale. Aucune œuvre consultée n'a fourni ces nombres, et aucun aperçu abstrait n'est présenté comme une épreuve d'impression réelle.
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