Nora prépare cinq feuillets entièrement créés pour un livre familial. Elle veut dessiner entre eux des liaisons qui permettent de passer de chaque nom à tous les autres. Chaque liaison retenue possède un coût abstrait, compté une fois dans le dessin. Son frère demande d'abord le moindre coût sans circuit ; il demande ensuite que tous les noms restent reliés lorsqu'une liaison disparaît. Nora conserve les deux commandes séparément. Un dessin satisfaisant la première peut manquer la seconde, même si chaque nom y était bien présent avant la rupture.
Les trois notices servent ici aux seules catégories. Aucun contour, emplacement ou calcul ne provient des œuvres.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Les noms sont A, B, C, D et E. Les liaisons disponibles et leurs coûts sont AB un, AC deux, BC deux, CD quatre, CE quatre, DE un, BD cinq, AE sept, AD six et BE six. Toutes sont utilisables dans les deux sens. Les points ne représentent ni argent, ni durée, ni longueur mesurée. Nora choisit un ensemble de traits ; elle ne décrit pas une tournée et ne facture pas chaque passage sur un trait déjà choisi. Une suite de passages peut servir à vérifier la connexion, mais son coût n'est pas la somme remise pour le dessin.
Quatre traits bon marché peuvent encore laisser deux groupes séparés
Le frère entoure les quatre liaisons les moins coûteuses : AB, DE, AC et BC, pour six. Il a compté quatre traits et cinq noms, puis annoncé une liaison complète. Nora teste les noms. A, B et C sont reliés dans un triangle ; D et E dans une paire distincte. Aucun trait choisi ne passe entre ces deux groupes. Elle refuse donc le dessin malgré ses quatre liaisons. Le nombre de traits n'était pas une preuve de connexion : le circuit du triangle a dépensé un trait sans réunir ce groupe avec les deux noms encore séparés.
Un dessin relié sans circuit sur cinq noms possède exactement quatre traits. On peut le vérifier en partant de chaque nom séparé : un trait qui joint deux groupes distincts réduit leur nombre de un. Pour passer de cinq groupes à un, quatre jonctions sont nécessaires. Un trait dont les extrémités appartiennent déjà au même groupe ne réduit pas ce nombre et ferme un circuit, puisque les deux extrémités possédaient déjà un chemin. Nora conserve donc quatre comme nombre attendu, mais accompagne ce compte du test qui distinguera les jonctions utiles des circuits.
Elle commence par AB, coût un : les groupes deviennent AB, C, D, E. Elle ajoute DE, également un : restent AB, C et DE. Parmi les coûts deux, elle choisit AC ; les groupes deviennent ABC et DE. BC possède encore un coût deux, mais ses deux extrémités se trouvent maintenant dans ABC. Nora le laisse hors du dessin actif. Elle inscrit le triangle qu'il aurait fermé pour que le frère voie pourquoi cette liaison a été écartée avant les coûts quatre. Ce n'est pas une préférence contre B : AB est déjà retenu et BC reste disponible dans une autre proposition.
CD et CE coûtent quatre chacune et peuvent toutes deux réunir ABC avec DE. Nora choisit CD. Son dessin actif contient AB, AC, CD et DE, pour huit. Le passage B, A, C, D, E vérifie notamment que B peut atteindre E. Les quatre traits relient les cinq noms sans circuit. Nora ne remplace pas huit par le coût du passage depuis un nom particulier ; la commande facturait chaque trait choisi une fois. Elle remet ce dessin avec les groupes successifs, qui expliquent pourquoi BC avait été laissé de côté et CD réellement ajouté.
Un minimum peut conserver plusieurs dessins différents
Le coût huit est minimal dans les données posées. Les quatre plus petits coûts sont un, un, deux et deux ; leur total six est impossible, car les quatre traits correspondants formaient le triangle et la paire séparée. Il n'existe aucun coût trois permettant un total sept avec quatre traits : les seuls coûts inférieurs à quatre sont précisément ces deux un et ces deux deux. Toute autre sélection de quatre doit atteindre au moins huit. Le dessin de Nora atteint cette borne. Son certificat compare toutes les petites possibilités, au lieu de déduire le minimum de la seule réussite de sa procédure.
Elle donne aussi les quatre minima exacts. AB et DE sont présents dans chacun ; le troisième trait est AC ou BC et le quatrième CD ou CE. Chacune des quatre combinaisons coûte huit, relie ABC à DE et ne forme pas de circuit. Nora conserve AB, AC, CD, DE comme réalisation choisie. Le frère ne peut remplacer AC par BC dans la liste de passage B,A,C,D,E tout en gardant ce passage inchangé : avec BC, il faudrait aller de B directement à C, et A serait attaché par AB. Le coût identique ne rend pas les listes de traits interchangeables dans leur contrôle.
Un trait BD de coût cinq ne figure dans aucun minimum huit. Après AB et DE, il pourrait relier leurs deux groupes, mais il faudrait encore rattacher C, pour au moins deux. Le total serait au moins neuf. Nora n'efface pas BD de la liste disponible : elle indique seulement qu'il ne convient pas au coût minimal sous la demande actuelle. Le dessin retenu et le catalogue des traits jouent deux rôles distincts dans le dossier. Cette séparation sera utile lorsque la demande changera, puisque la liaison BD pourra alors recevoir une fonction que les premiers minima n'exigeaient pas.
Une jonction peu coûteuse possède une justification d'échange
Au moment où Nora a construit ABC et DE, toute solution finale reliée doit posséder une liaison entre ces deux groupes. CD et CE coûtent quatre, BD cinq, AD et BE six, AE sept. CD atteint le plus petit coût de ce passage entre groupes. Si un arbre complet ne contenait pas CD, Nora pourrait l'ajouter : ses extrémités étaient déjà reliées par un chemin, donc cet ajout fermerait un circuit. Ce circuit comprendrait un autre trait passant entre ABC et DE, car le chemin devait quitter un groupe pour rejoindre l'autre.
Nora retire ce trait de passage du circuit après avoir ajouté CD. Les cinq noms restent reliés, puisque les deux côtés du trait retiré disposent maintenant de l'autre partie du circuit pour se rejoindre. Le nombre de traits revient à quatre. Le coût retiré est au moins quatre, celui ajouté vaut quatre : la somme ne peut augmenter. L'échange explique pourquoi choisir CD à cette étape peut rester compatible avec un minimum. Il ne demande pas que CD soit l'unique choix possible, et ne supprime pas CE de la liste des jonctions de même coût.
Le frère propose d'utiliser ce raisonnement pour imposer n'importe quelle liaison qu'il préfère. Nora lui montre la condition manquante. Un trait choisi pour l'échange devait être aussi peu coûteux que tout passage entre les groupes concernés ; BD à cinq ne la remplit pas lorsque CD et CE à quatre restent permis. Le remplacement d'un quatre par cinq pourrait augmenter la somme. Nora conserve donc le domaine du certificat. Un circuit donne une possibilité de retirer un trait sans perdre la connexion ; il ne garantit pas à lui seul que le nouvel ensemble coûtera moins.
Des traits imposés peuvent augmenter le minimum ou rendre la demande impossible
Le frère demande maintenant de garder AC et BC dans le dessin final. Nora accepte cette nouvelle contrainte avant de choisir les autres traits. Ces deux liaisons coûtent quatre ensemble et réunissent A, B et C sans circuit. DE de coût un réunit les deux noms restants ; CD ou CE de coût quatre relie ensuite les deux groupes. Le total est neuf. Nora retient AC, BC, CD et DE, puis donne le passage A,C,B pour contrôler les deux traits imposés. AB quitte le dessin actif de cette branche, même s'il figurait dans chaque ancien minimum huit.
Neuf est bien la borne minimale sous ces deux traits obligatoires. Deux traits restent à ajouter aux quatre points de coût déjà imposés. Une solution de coût huit demanderait qu'ils totalisent au plus quatre. Parmi les traits disponibles hors AC et BC, seuls AB et DE coûtent moins de quatre ; AB fermerait le triangle avec les deux traits imposés et ne peut être ajouté dans un dessin sans circuit. DE seul ne relie pas encore les groupes. Il faut donc au moins DE un et une jonction quatre. Nora ne conserve pas huit comme plafond atteint en comptant AB puis en oubliant le circuit qu'il forme.
Le frère impose ensuite les trois traits AB, AC et BC, tout en maintenant la demande sans circuit. Nora refuse avant toute remise. Ces trois obligations contiennent déjà le circuit A,B,C,A. Ajouter des traits vers D ou E ne retire pas ce circuit ; laisser un des trois traits hors du dessin manquerait la contrainte donnée. Aucun nombre de traits supplémentaires ne peut résoudre ces deux exigences simultanées. Nora lui rend la liste des obligations et la marche fermée qui les contredit. Elle ne transforme pas le refus en un arbre de coût neuf prétendument conforme aux trois obligations.
Une autre modification interdit seulement DE, sans imposer les traits du triangle. Nora recalcule alors une sélection : AB un, AC deux, CD quatre et CE quatre, pour onze. D et E sont désormais reliés par C, au lieu d'être directement joints. Les cinq noms restent présents. La liste de tous les arbres possibles sur les dix liaisons, puis le retrait de ceux contenant DE, donne onze comme minimum dans ce domaine. Nora remet la nouvelle sélection et ses onze points ; elle ne garde pas le un de DE comme remise sur CD ou CE, car aucun tel changement de coût n'a été posé.
L'absence de circuit ne protège aucune liaison d'un arbre
La demande suivante revient à toutes les liaisons disponibles. Le frère veut que tous les noms restent reliés après la disparition de n'importe lequel des traits choisis. Nora examine son arbre AB, AC, CD, DE. Retirer CD sépare A,B,C de D,E. Retirer AB isole B ; retirer AC sépare A,B de C,D,E ; retirer DE isole E. Chaque trait est indispensable à la connexion de cet arbre. Nora refuse donc de joindre au coût huit une promesse de maintien après rupture. Son premier minimum répondait à la connexion sans circuit, pas à cette nouvelle condition.
Ajouter CE à cet arbre fermerait le circuit C,D,E,C, pour un coût douze. Le dessin résisterait alors à la disparition de CD, de DE ou de CE : les deux traits restants du triangle relieraient ses trois noms. Pourtant, AB resterait l'unique attache de B, et AC l'unique passage entre A,B et C,D,E. La rupture de l'un de ces deux traits séparerait encore des noms. Nora refuse donc le seul ajout CE comme réponse complète. Le circuit supplémentaire a protégé une partie identifiable du dessin, sans donner la propriété demandée à tous ses traits.
Une liaison choisie peut disparaître sans séparer les noms exactement lorsqu'elle appartient à un circuit du dessin. Si ses extrémités restent reliées après retrait, leur chemin restant, complété par la liaison retirée, décrit un circuit. Réciproquement, un circuit contenant cette liaison fournit le chemin de remplacement quand elle disparaît. Nora utilise ce test pour chacune des liaisons, et non pour une seule boucle visible sur la feuille. La commande nouvelle demande donc un dessin relié où tout trait possède un tel remplacement. Elle autorise expressément les circuits, interdits dans le premier choix.
Une autre sélection maintient les cinq noms après chaque rupture simple
Nora choisit AB, BD, DE, EC et CA. Les coûts sont un, cinq, un, quatre et deux, soit treize. Ils forment le circuit A,B,D,E,C,A, qui passe par chacun des cinq noms. Après retrait de n'importe lequel de ses cinq traits, les quatre autres forment encore un chemin reliant tous les noms. Le frère reçoit cette sélection plutôt que le premier arbre augmenté de CE. BD, absent des minima huit, reçoit ici une place dans la sélection. Nora ne l'ajoute pas au-dessus de treize comme un supplément non compté : son coût cinq participe déjà à cette somme.
La scène donne BD indisponible avant le contrôle de la feuille. Nora conserve alors le chemin B,A,C,E,D, constitué des quatre traits restants. Elle vérifie que B rejoint D par ce chemin et que C ou E peut également atteindre chaque autre nom. La sélection avait coûté treize pour ses cinq traits préparés ; le dessin disponible après le retrait n'en conserve que quatre. Nora ne décrit pas BD comme parcouru ni comme revenu après une réparation. Sa décision de préparation avait prévu la connexion avec n'importe quel trait manquant, et cette réalisation utilise effectivement les autres traits choisis.
Le minimum treize se contrôle sur les sous-ensembles de la liste disponible, sans prendre le coût d'une tournée comme définition de la demande. Un dessin répondant à toutes les ruptures doit donner au moins deux attaches à chaque nom, car une attache unique isolerait ce nom après retrait. Il faut donc au moins cinq traits. Toute sélection d'au moins six traits coûte au moins quatorze : les six coûts les plus petits sont un, un, deux, deux, quatre et quatre. Aucun dessin à six traits ou davantage ne peut battre treize. La recherche des meilleurs candidats peut ainsi se limiter aux dessins à cinq traits.
Avec cinq traits et cinq noms, ces degrés au moins deux imposent exactement deux attaches par nom. Si le dessin est relié, il forme alors un seul circuit passant par les cinq. Les douze circuits non orientés possibles ont été contrôlés avec leurs traits disponibles et leurs coûts ; celui A,B,D,E,C,A est le seul à atteindre treize. Nora ne dit pas que toute demande de résistance serait nécessairement une tournée : le raisonnement dépend ici du nombre minimal de traits et de cinq noms. Il fournit le certificat fini du minimum de cette liste, tandis que des dessins avec davantage de traits peuvent résister sans former un circuit unique.
Deux circuits réunis peuvent protéger les traits sans protéger un nom commun
Le frère prépare une autre sélection : AB, AC, BC d'une part, CD, CE, DE d'autre part. Elle coûte quatorze. Les deux triangles se rejoignent par C, donc les cinq noms sont reliés. Chaque trait appartient à l'un des triangles et dispose des deux autres comme remplacement. Nora confirme que le dessin remplit la demande de maintien après une rupture de trait, même s'il n'est pas le minimum treize. Il ne possède pas un circuit simple unique passant par les cinq noms : pour passer d'un triangle à l'autre et revenir, une marche doit retrouver C.
Le frère souhaite ensuite retirer un nom quelconque avec tous les traits qui y touchent. La sélection à deux triangles manque cette autre commande : si C disparaît, AB reste d'un côté et DE de l'autre, sans liaison entre les quatre noms encore présents. Nora conserve cet échec avec les deux triangles. Le test de remplacement de chaque trait n'avait pas testé la disparition d'un nom et de plusieurs traits ensemble. Elle ne rebaptise pas le retrait de C en une seule rupture de trait pour lui appliquer la preuve précédente. La demande a changé d'objet.
Le circuit à cinq noms choisi pour treize possède une autre propriété, vérifiée dans cette liste : retirer un de ses noms et les deux traits voisins laisse un chemin reliant les quatre noms restants. Si C est retiré, A,B,D,E restent reliés par AB, BD et DE ; si B est retiré, A,C,E,D restent reliés par AC, CE et ED. Nora retient donc ce dessin sous la nouvelle permission de perdre un nom, en précisant que la connexion porte sur les quatre qui restent. Elle ne promet aucun passage par le nom supprimé et ne prétend pas avoir prouvé une protection contre deux noms retirés ensemble.
Une limite de deux passages depuis A retire les anciens minima
Une proposition séparée revient à la demande sans circuit, avec toutes les liaisons initiales disponibles. Le frère veut maintenant que chaque nom puisse rejoindre A en deux passages au plus sur le dessin choisi. La longueur de ce chemin compte les traits, pas leur coût ; AD peut coûter six et demander un seul passage. Nora doit encore réduire la somme des coûts sous cette limite. Elle ne cherche pas où placer un centre sur un arbre déjà donné : A est fixé et les traits restent à choisir. Les conditions précédentes de résistance aux ruptures ne sont pas demandées dans cette branche.
Nora choisit AB, AC, AD et DE, pour dix. B, C et D rejoignent A directement ; E suit E,D,A, en deux passages. Le dessin est un arbre et satisfait donc les deux exigences. Une autre sélection AB, BC, AD, DE coûte également dix : C rejoint A par B et E par D, chacun en deux. Nora retient la première sur sa feuille active, avec les trajets des cinq noms. AD, plus cher que CD, possède ici une place que l'ancienne demande ne lui donnait pas. Son passage direct relie D à la racine fixée avant de lui rattacher E.
Les huit arbres de coût inférieur à dix ont été contrôlés sur cette limite. Les quatre de coût huit laissent une distance maximale trois ou quatre depuis A. Les quatre de coût neuf laissent tous un maximum trois. Aucun ne convient. Nora atteint dix et donne donc cette valeur comme minimum sous la nouvelle condition. Elle conserve la liste des arbres écartés avec leur maximum, au lieu de présenter dix comme un supplément de deux ajouté au coût huit sans recherche. Les deux points supplémentaires correspondent à des traits différents, dont les chemins permettent réellement de respecter la limite.
Le frère propose de remplacer AD six par CD quatre dans la première sélection à dix, en réutilisant le certificat de jonction peu coûteuse. Le nouvel ensemble AB, AC, CD, DE est bien relié sans circuit et ne coûte que huit. Mais E doit alors suivre E,D,C,A, soit trois passages. Nora refuse cet échange sous la nouvelle demande. La preuve antérieure assurait que retirer un trait du circuit conserverait la connexion et n'augmenterait pas le coût ; elle n'assurait pas de conserver cette borne sur les chemins vers A. Nora garde donc AD dans sa remise active, avec le chemin de E qui justifie son choix.
Le frère reçoit finalement cette page à dix et les trajets vers A. Les minima à huit restent les réponses sans limite de profondeur ; la sélection à treize répondait à la rupture simple ; neuf avait gardé les deux traits imposés. Nora conserve chaque sélection avec sa contrainte et les contrôles remplis. Le livre construit peut retrouver les liaisons choisies, la somme comptée une fois par trait et le domaine de chemins testé, sans attribuer à une seule feuille les propriétés de toutes les préparations.
Une information circule par tours, avec un seul envoi par nom
Après ces premières remises, une autre commande arrive. Les cinq lettres représentent maintenant les cinq détenteurs fictifs des feuillets. A possède seul une information à transmettre aux quatre autres. Les liaisons préparées forment encore un arbre, payé une fois selon le catalogue initial ; mais leur présence ne signifie pas que tous les passages peuvent être employés au même instant. Le frère demande un horaire de transmission, terminé à la fin du troisième tour. Nora conserve le catalogue et ouvre une feuille différente pour les tours, plutôt que de remplacer discrètement les coûts des traits par des durées.
La règle créée autorise chaque nom déjà informé au début d'un tour à envoyer l'information à un seul voisin encore non informé. Plusieurs noms peuvent envoyer en même temps, vers des destinataires différents. Celui qui reçoit pendant un tour ne peut devenir émetteur qu'au tour suivant. Sur chaque ligne de l'horaire, Nora écrit donc d'abord les détenteurs disponibles, puis les envois, puis les nouveaux détenteurs. Elle ne regarde pas seulement si une flèche figure dans l'arbre : elle vérifie aussi si son point de départ possède déjà le message à cet instant. Les traits restent bidirectionnels, mais le sens de chaque envoi appartient à l'horaire rempli.
Le premier arbre AB, AC, CD, DE peut terminer en trois tours, à condition de commencer par AC. À la fin du premier tour, A et C sont informés. Au deuxième, A envoie à B tandis que C envoie à D ; les quatre noms A, B, C et D sont alors disponibles. Au troisième, D envoie à E. Nora inscrit ces trois lignes auprès du coût huit. Le chemin de E depuis A compte trois traits, mais les autres destinataires ont reçu en parallèle sur une branche. Cet arbre manque la précédente limite de deux passages vers A et remplit pourtant la nouvelle limite de trois tours : les deux contrôles ne portent pas sur la même propriété.
Nora refuse une proposition du frère qui annonce tous les noms dès le premier tour en écrivant AC, CD et DE sur la même ligne. C ne possédait pas l'information au début de cette ligne ; D non plus. Les trois flèches dessinent un chemin existant, mais ses deux derniers émetteurs ne sont pas encore disponibles. Elle scinde réellement cette proposition : AC au premier tour, CD au deuxième, DE au troisième, avec AB ajouté en parallèle au deuxième. La correction garde les mêmes quatre traits et leur coût huit. Elle change l'horaire, sans présenter l'ancien chemin comme trois envois simultanés devenus vrais par simple notation.
Le frère compare alors l'arbre en étoile AB, AC, AD, AE, dont tous les noms sont à un seul passage de A. Son coût est seize. Il paraît plus rapide si l'on ne regarde que ces quatre distances. Avec un seul envoi par personne et par tour, il demande pourtant quatre tours : A est le seul émetteur pouvant joindre un destinataire non informé sur cette sélection. Après AB, B n'a pour voisin que A, qui possède déjà le message ; il ne peut aider à informer C, D ou E. Nora donne AB, puis AC, puis AD, puis AE, chacun dans son tour. La petite profondeur de l'étoile n'a pas supprimé le travail successif de son unique centre.
Trois tours est également une borne atteinte pour cinq noms dans ce modèle. Au départ, un seul nom est informé. Au premier tour, il peut en ajouter au plus un, soit deux au total. Au deuxième, ces deux émetteurs peuvent en ajouter au plus deux, soit quatre. Il en reste donc au moins un avant le troisième tour. L'horaire de l'arbre à huit atteint cette borne. Nora utilise ici la limite d'émission pour compter les destinataires accessibles à temps, pas le nombre de chemins présents dans le dessin. L'étoile ne l'atteint pas, même si ses quatre destinataires sont tous voisins de la source.
Une précision arrive ensuite : le premier destinataire doit être B. Nora ne peut plus conserver AC comme premier envoi de son horaire à huit. Avec AB au premier tour, C ne reçoit par A qu'au deuxième, D par C au troisième et E par D au quatrième. La sélection AB, AC, CD, DE manque donc l'échéance trois sous cette nouvelle priorité. L'arbre AB, AC, CE, DE connaît le même retard, avec E puis D à la fin. Dans les deux autres anciens minima à huit, AB, BC et DE sont présents avec CD ou CE : depuis A, l'information doit parcourir successivement les quatre traits. Aucun de ces quatre minima ne termine alors en trois tours.
Nora prépare AB, AC, BD et DE, dont le coût total est neuf. Elle envoie de A à B au premier tour. Au deuxième, A envoie à C tandis que B envoie à D. Au troisième, D envoie à E. Le premier destinataire imposé est bien B, et chaque émetteur possédait le message au début de son tour. E reste à trois passages de A sur cet arbre, par B puis D ; Nora ne lui attribue pas pour autant un quatrième tour. B avait reçu assez tôt pour prendre en charge cette branche au moment où A s'occupait de C. Cette disponibilité simultanée donne une place précise à BD, payée cinq dans les neuf points de préparation.
Neuf est le moindre coût pour cette commande avec premier envoi AB et échéance trois. Les arbres de moindre coût sont exactement les quatre minima huit déjà conservés ; leurs horaires contraints viennent d'être refusés. L'énumération des cent vingt-cinq arbres possibles confirme qu'aucun autre arbre moins cher n'a été omis. La nouvelle sélection coûte neuf et son horaire complet passe. Nora conserve à la fois la borne sur le coût et les trois lignes de transmission. Elle n'appelle pas neuf un nouveau minimum de simple connexion : sans la priorité de B au premier tour, le premier arbre à huit et son horaire commençant par AC restaient conformes.
Le remplacement de CD par BD dans ce premier arbre augmente donc sa préparation de un point, mais il ne sert pas à raccourcir le nombre de traits du chemin vers E. L'ancien chemin A,C,D,E et le nouveau A,B,D,E comportent chacun trois traits. La différence est que B est disponible dès la fin du premier tour imposé, tandis que C ne l'est qu'à la fin du deuxième. Nora peut donner à D l'information un tour plus tôt en utilisant B. Elle garde cette comparaison auprès de l'échange : sous la priorité annoncée, une profondeur identique peut fournir deux dates d'arrivée différentes. Ce sont les premiers détenteurs effectivement obtenus qui décident de la suite utilisable.
Avant la dernière remise, le frère ajoute que B ne peut rien envoyer pendant le deuxième tour. B reste destinataire du premier envoi AB ; il conserve donc l'information, mais son émission suivante doit attendre. Nora refuse alors son horaire à neuf : la ligne B vers D au deuxième tour ne respecte plus la disponibilité donnée. Décaler cet envoi au troisième conduirait D à transmettre vers E au quatrième. Elle ne déplace pas DE sur le troisième tour pour cacher ce retard, puisque D n'aurait reçu que pendant ce tour. L'indisponibilité porte sur un émetteur à une date précise, pas sur la disparition du trait BD du catalogue.
Nora reprend la sélection AB, AC, AD, DE, pour dix, mais lui joint cette fois un horaire. A envoie à B au premier tour, puis à D au deuxième. Au troisième, A envoie à C tandis que D envoie à E. B ne produit aucun envoi au deuxième tour. Les cinq noms sont informés à la fin du troisième, les deux émissions simultanées de la dernière ligne partent de détenteurs déjà disponibles, et leurs destinataires diffèrent. A a utilisé exactement un envoi à chaque tour. La préparation coïncide avec l'un des anciens arbres limités à deux passages vers A, mais ce n'est pas sa profondeur seule qui prouve cette nouvelle réalisation datée.
Le refus des arbres moins chers reste contrôlable sous cette dernière consigne. Les quatre minima huit manquaient déjà l'échéance avec AB premier ; empêcher une émission de B ne peut leur donner un horaire plus rapide. Parmi les quatre arbres à neuf, deux ne possèdent pas AB et ne peuvent effectuer le premier envoi imposé. Les deux autres sont AB, AC, BD, DE et AB, BC, BD, DE. Tous deux doivent faire passer par B le message destiné à D puis E. Avec B muet au deuxième tour, D ne peut le recevoir avant le troisième et E attend un quatrième. La sélection à dix est donc minimale pour la dernière demande, sans changer les scores du catalogue.
Le frère proposait de conserver la sélection à neuf en ajoutant une seule ligne « B reçoit avant de partir ». Nora lui montre que cette phrase était déjà vraie au premier tour et ne levait pas l'interdiction d'émettre au deuxième. Elle garde l'interdiction sur la colonne des émetteurs disponibles, puis les envois A vers D et D vers E dans les deux lignes suivantes de son nouvel horaire. Son frère choisit réellement cette dernière feuille à dix. La réception d'un message et l'autorisation de le transmettre restent deux conditions distinctes, même lorsqu'elles concernent le même nom dans la même sélection.
La page active contient désormais les quatre traits AB, AC, AD, DE et l'horaire AB ; AD ; AC avec DE. Nora conserve l'ancien horaire AC ; AB avec CD ; DE auprès du coût huit, puis AB ; AC avec BD ; DE auprès du coût neuf. Elle ne remplace pas les premières réponses par un prix final devenu universel. La première répondait à la diffusion libre, la deuxième imposait B comme premier destinataire et la dernière ajoutait son indisponibilité au deuxième tour. Les traits choisis, les dates des émissions et les permissions réellement posées permettent de retrouver chaque décision dans le dossier du livre.
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